نظرية القيمة المتوسطة

يمكن إثبات النظرية كنتيجة لخاصية اكتمال الأعداد الحقيقية على النحو التالي: ^{[ 3 ]}

سنثبت الحالة الأولى،${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$الحالة الثانية مشابهة.

1. يترك${\displaystyle S}$ليكن مجموعة الكل${\displaystyle x\in [a,b]}$بحيث${\displaystyle f(x)<u}$.
2. ثم${\displaystyle S}$غير فارغ لأن${\displaystyle a}$هو عنصر من${\displaystyle S}$.
3. منذ${\displaystyle S}$هي غير فارغة ومحدودة من الأعلى بواسطة${\displaystyle b}$، من حيث الاكتمال، الأعلى${\displaystyle c=\sup S}$موجود. أي،${\displaystyle c}$هو أصغر عدد أكبر من أو يساوي كل عنصر من عناصر${\displaystyle S}$.

لاحظ أنه بسبب استمرارية${\displaystyle f}$في${\displaystyle a}$يمكننا الاحتفاظ${\displaystyle f(x)}$في أي${\displaystyle \varepsilon >0}$ل${\displaystyle f(a)}$عن طريق الحفاظ${\displaystyle x}$قريب بما فيه الكفاية من${\displaystyle a}$. منذ${\displaystyle f(a)<u}$إذا كانت هذه متباينة صارمة، فضع في اعتبارك ما يترتب عليها عندما${\displaystyle \varepsilon }$هي المسافة بين${\displaystyle u}$و${\displaystyle f(a)}$. لا${\displaystyle x}$قريب بما فيه الكفاية من${\displaystyle a}$ثم يمكنه أن يصنع${\displaystyle f(x)}$أكبر من أو يساوي${\displaystyle u}$وهذا يعني أن هناك قيمًا أكبر من${\displaystyle a}$في${\displaystyle S}$أما البرهان الأكثر تفصيلاً فيكون كالتالي:

1. يختار${\displaystyle \varepsilon =uf(a)>0}$. ثم${\displaystyle \exists \delta >0}$بحيث${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$،$${\displaystyle |xa|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<uf(a)\implies f(x)<u.}$$
2. ضع في اعتبارك الفترة${\displaystyle [a,\min(a+\delta ,b))=I_{1}}$لاحظ ذلك${\displaystyle I_{1}\subseteq [a,b]}$وكل${\displaystyle x\in I_{1}}$يستوفي الشرط${\displaystyle |xa|<\delta }$لذلك لكل${\displaystyle x\in I_{1}}$لدينا${\displaystyle f(x)<u}$. لذلك${\displaystyle c}$لا يمكن أن يكون${\displaystyle a}$.

وبالمثل، بسبب استمرارية${\displaystyle f}$في${\displaystyle b}$يمكننا الاحتفاظ${\displaystyle f(x)}$في أي${\displaystyle \varepsilon >0}$ل${\displaystyle f(b)}$عن طريق الحفاظ${\displaystyle x}$قريب بما فيه الكفاية من${\displaystyle b}$. منذ${\displaystyle u<f(b)}$إذا كانت هذه متباينة صارمة، فضع في اعتبارك الاستلزام المماثل عندما${\displaystyle \varepsilon }$هي المسافة بين${\displaystyle u}$و${\displaystyle f(b)}$. كل${\displaystyle x}$قريب بما فيه الكفاية من${\displaystyle b}$يجب عليه بعد ذلك أن يقوم${\displaystyle f(x)}$أكبر من${\displaystyle u}$وهذا يعني وجود قيم أصغر من${\displaystyle b}$وهي الحدود العليا لـ${\displaystyle S}$أما البرهان الأكثر تفصيلاً فيكون كالتالي:

1. يختار${\displaystyle \varepsilon =f(b)-u>0}$. ثم${\displaystyle \exists \delta >0}$بحيث${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$،$${\displaystyle |xb|<\delta \implies |f(x)-f(b)|<f(b)-u\implies f(x)>u.}$$
2. ضع في اعتبارك الفترة${\displaystyle (\max(a,b-\delta ),b]=I_{2}}$لاحظ ذلك${\displaystyle I_{2}\subseteq [a,b]}$وكل${\displaystyle x\in I_{2}}$يستوفي الشرط${\displaystyle |xb|<\delta }$لذلك لكل${\displaystyle x\in I_{2}}$لدينا${\displaystyle f(x)>u}$. لذلك${\displaystyle c}$لا يمكن أن يكون${\displaystyle b}$.

مع${\displaystyle c\neq a}$و${\displaystyle c\neq b}$لا بد أن يكون الأمر كذلك${\displaystyle c\in (a,b)}$والآن ندّعي أن${\displaystyle f(c)=u}$.

أصلح بعض الأشياء${\displaystyle \varepsilon >0}$. منذ${\displaystyle f}$متصل عند${\displaystyle c}$،${\displaystyle \exists \delta _{1}>0}$بحيث${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$،${\displaystyle |xc|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$.

منذ${\displaystyle c\in (a,b)}$و${\displaystyle (a,b)}$مفتوح،${\displaystyle \exists \delta _{2}>0}$بحيث${\displaystyle (c-\delta _{2},c+\delta _{2})\subseteq (a,b)}$. تعيين${\displaystyle \delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})}$ثم لدينا

$${\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon }$$ للجميع${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$بناءً على خصائص الحد الأعلى، يوجد بعض${\displaystyle a^{*}\in (c-\delta ,c]}$ذلك موجود في${\displaystyle S}$وهكذا $${\displaystyle f(c)<f(a^{*})+\varepsilon <u+\varepsilon .}$$ اختيار${\displaystyle a^{**}\in (c,c+\delta )}$نعلم أن${\displaystyle a^{**}\not \in S}$لأن${\displaystyle c}$هو أعلى مستوى لـ${\displaystyle S}$وهذا يعني أن $${\displaystyle f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \geq u-\varepsilon .}$$ كلا التفاوتين $${\displaystyle u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon }$$

صالحة للجميع${\displaystyle \varepsilon >0}$ومنها نستنتج${\displaystyle f(c)=u}$باعتبارها القيمة الوحيدة الممكنة، كما هو مذكور.

لن نثبت إلا قضية${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$، كما هو الحال${\displaystyle f(a)>u>f(b)}$الحالة مشابهة. ^{[ 4 ]}

1. يُعرِّف${\displaystyle g(x)=f(x)-u}$وهو ما يعادل${\displaystyle f(x)=g(x)+u}$ولنعد كتابة${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$مثل${\displaystyle g(a)<0<g(b)}$علينا أن نثبت ذلك${\displaystyle g(c)=0}$ بالنسبة للبعض${\displaystyle c\in [a,b]}$ونقوم كذلك بتعريف المجموعة${\displaystyle S=\{x\in [a,b]:g(x)\leq 0\}}$.
2. لأن${\displaystyle g(a)<0}$نحن نعلم ذلك${\displaystyle a\in S}$لهذا السبب${\displaystyle S}$ليس فارغًا.
3. علاوة على ذلك، كما${\displaystyle S\subseteq [a,b]}$نعلم أن${\displaystyle S}$محدودة وغير فارغة، لذا، بحسب الاكتمال، فإن الحد الأعلى${\displaystyle c=\sup(S)}$موجود.
4. توجد ثلاث حالات لقيمة${\displaystyle g(c)}$وهذه هي${\displaystyle g(c)<0,g(c)>0}$و${\displaystyle g(c)=0}$ولنفترض جدلاً أن${\displaystyle g(c)<0}$.
5. بحسب تعريف الاستمرارية، لـ${\displaystyle \epsilon =0-g(c)}$يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$وهذا يعني أن${\displaystyle |g(x)-g(c)|<-g(c)}$وهو ما يعادل${\displaystyle g(x)<0}$.
   1. لو اخترنا فقط${\displaystyle x=c+{\frac {\delta }{N}}}$، أين${\displaystyle N>{\frac {\delta }{b-c}}+1}$ثم كما${\displaystyle 1<N}$،${\displaystyle x<c+\delta }$ومنها نحصل على${\displaystyle g(x)<0}$و${\displaystyle c<x<b}$، لذا${\displaystyle x\in S}$.
   2. لكن،${\displaystyle x>c}$، وهو ما يتناقض مع حقيقة أن${\displaystyle c}$يمثل الحد الأعلى لـ${\displaystyle S}$، لذا${\displaystyle g(c)\geq 0}$.
6. لنفترض إذن أن${\displaystyle g(c)>0}$وبالمثل نختار${\displaystyle \epsilon =g(c)-0}$واعلم أن هناك${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$يشير إلى${\displaystyle |g(x)-g(c)|<g(c)}$يمكننا إعادة صياغة هذا على النحو التالي:${\displaystyle -g(c)<g(x)-g(c)<g(c)}$وهذا يعني أن${\displaystyle g(x)>0}$.
   1. إذا اخترنا الآن${\displaystyle x=c-{\frac {\delta }{2}}}$، ثم${\displaystyle g(x)>0}$و${\displaystyle a<x<c}$.
   2. ويترتب على ذلك أن${\displaystyle x}$يمثل حدًا أعلى لـ${\displaystyle S}$.
   3. لكن،${\displaystyle x<c}$وهذا يتناقض مع خاصية الحد الأدنى للحد الأعلى الأدنى${\displaystyle c}$وهذا يعني أن${\displaystyle g(c)>0}$هذا مستحيل.
7. إذا جمعنا النتيجتين، فسنحصل على ذلك.${\displaystyle g(c)=0}$أو${\displaystyle f(c)=u}$هو الاحتمال الوحيد المتبقي.

ملاحظة: يمكن أيضاً إثبات نظرية القيمة المتوسطة باستخدام أساليب التحليل غير القياسي ، والتي تضع الحجج "البديهية" التي تتضمن كميات متناهية الصغر على أساس متين . ^{[ 5 ]}

تُعد نظرية بوانكاريه ميراندا تعميمًا لنظرية القيمة المتوسطة من فترة (أحادية البعد) إلى مستطيل (ثنائي البعد)، أو بشكل أعم، إلى مكعب ذي أبعاد n .

يقدم فراهاتيس ^{[ 12 ]} تعميمًا مشابهًا للمثلثات، أو بشكل أعم، للمُجَسَّمات البسيطة ذات الأبعاد n . ليكن Dₙ مُجَسَّمًا بسيطًا ذا أبعاد n ^، وله n + 1 رأسًا يُرمز لها بـ v₀ _، ...، vₙ _. ولتكن F = ( f₁ _، ...، _fₙ ) دالة متصلة من ^Dₙ إلى Rₙ ، ^ولا تساوي صفرًا أبدًا على حدود Dₙ ^. لنفترض أن F تُحقق الشروط التالية:

• لكل i في 1، ...، n ، تكون إشارة f _i ( vi _i ) معاكسة لإشارة f _i ( x ) لجميع النقاط x على الوجه المقابل _لـ vi ؛
• إن متجه الإشارة لـ f ₁ ,..., f _n على v ₀ لا يساوي متجه الإشارة لـ f ₁ ,..., f _n على جميع النقاط على الوجه المقابل لـ v ₀ .

ثم هناك نقطة z في داخل D n حيث F ( ^z ) =(0,...,0).

من الممكن تطبيع f _i بحيث يكون f _i ( v _i )>0 لجميع قيم i ؛ عندئذٍ تصبح الشروط أبسط:

• لكل i في 1، ...، n ، يكون f _i ( vi ₎ >0، ويكون f _i ( x )<0 لجميع النقاط x على الوجه المقابل لـ vi _. على وجه الخصوص، يكون f _i ( v ₀ )<0.
• لكل النقاط x على الوجه المقابل لـ v ₀ ، f _i ( x )>0 لواحد على الأقل من i في 1، ...، n.

يمكن إثبات النظرية استنادًا إلى مبرهنة كناستر-كوراتوفسكي-مازوركيويتش . ويمكن استخدامها لتقريب النقاط الثابتة والأصفار. ^{[ 13 ]}

ترتبط نظرية القيمة المتوسطة ارتباطًا وثيقًا بالمفهوم الطوبولوجي للاتصال ، وتنتج عن الخصائص الأساسية للمجموعات المتصلة في الفضاءات المترية والمجموعات الفرعية المتصلة من R على وجه الخصوص:

• لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي فضاءات مترية ،${\displaystyle f\colon X\to Y}$هي خريطة متصلة، و${\displaystyle E\subset X}$إذا كانت مجموعة جزئية متصلة ، فإن${\displaystyle f(E)}$متصل. ( * )
• مجموعة فرعية${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت تحقق الخاصية التالية:${\displaystyle x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E}$( ** )

في الواقع، الاتصال خاصية طوبولوجية ، و (*) يُعمم على الفضاءات الطوبولوجية : إذا${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي فضاءات طوبولوجية،${\displaystyle f\colon X\to Y}$هي خريطة متصلة، و${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً متصلاً ،${\displaystyle f(X)}$متصل. يمكن اعتبار الحفاظ على الاتصال في ظل التطبيقات المتصلة بمثابة تعميم لنظرية القيمة المتوسطة، وهي خاصية للدوال المتصلة ذات القيم الحقيقية لمتغير حقيقي ، إلى الدوال المتصلة في الفضاءات العامة.

تذكر النسخة الأولى من نظرية القيمة المتوسطة، التي تم ذكرها سابقاً:

تُعد نظرية القيمة المتوسطة نتيجة مباشرة لهاتين الخاصيتين للاتصال: ^{[ 14 ]}

تُعمَّم نظرية القيمة المتوسطة بطريقة طبيعية: لنفترض أن X فضاء طوبولوجي متصل، وأن ( Y , <) مجموعة مرتبة كليًا مزودة بطوبولوجيا الترتيب ، ولتكن f  دالة متصلة من X إلى Y. إذا كانت a و b نقطتين في X ، و u نقطة في Y تقع بين f ( a ) و f ( b ) بالنسبة إلى < ، فإنه يوجد c في X بحيث f ( c ) = u . تُستعاد النظرية الأصلية بملاحظة أن R فضاء متصل وأن طوبولوجيا الترتيب الطبيعية له هي طوبولوجيا الترتيب.

تُعد نظرية النقطة الثابتة لبروير نظرية ذات صلة، وهي في بُعد واحد، تعطي حالة خاصة من نظرية القيمة المتوسطة.