نظرية داربو (التحليل)

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 77 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الحقيقي ، تنص نظرية داربو على أن مشتقة أي دالة حقيقية القيمة لمتغير حقيقي لها خاصية القيمة المتوسطة ، أي أن صورة الفترة هي أيضًا فترة .

متىو{\displaystyle f}الدالة قابلة للتفاضل باستمرار ، وهذا نتيجة لنظرية القيمة المتوسطة . ولكن حتى عندماو′{\displaystyle f'}بما أن الدالة غير متصلة، فإن نظرية داربو تفرض قيدًا على سلوكها.و′{\displaystyle f'}على أي فترة زمنية مغلقة.

بيان النظرية

يتركأنا{\displaystyle I}لتكن فترة مفتوحة ، ولتكنو:أنا→R{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }لتكن دالة قابلة للتفاضل ذات قيم حقيقية . عندئذٍو′{\displaystyle f'}له خاصية القيمة الوسيطة : إذاأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}هي نقاط فيأنا{\displaystyle I}معأ<ب{\displaystyle a<b}ثم لكلy{\displaystyle y}بينو′(أ){\displaystyle f'(a)}وو′(ب){\displaystyle f'(b)}يوجدx{\displaystyle x}في[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}بحيثو′(x)=y{\displaystyle f'(x)=y}[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]​

تم نشر النسخة الأصلية التي أعدها جان جاستون داربو في عام 1875. [ 4 ]

البراهين

البرهان من نظرية القيمة القصوى

يعتمد البرهان الأول على نظرية القيمة القصوى .

لوy{\displaystyle y}يساويو′(أ){\displaystyle f'(a)}أوو′(ب){\displaystyle f'(b)}ثم الضبطx{\displaystyle x}يساويأ{\displaystyle a}أوب{\displaystyle b}، على التوالي، يعطي النتيجة المرجوة. الآن افترض أنy{\displaystyle y}يقع بينو′(أ){\displaystyle f'(a)}وو′(ب){\displaystyle f'(b)}وعلى وجه الخصوص ذلكو′(أ)>y>و′(ب){\displaystyle f'(a)>y>f'(b)}. يترك φ:أنا→R{\displaystyle \varphi \colon I\to \mathbb {R} }بحيثφ(ت)=و(ت)-yت{\displaystyle \varphi (t)=f(t)-yt}إذا كان الأمر كذلكو′(أ)<y<و′(ب){\displaystyle f'(a)<y<f'(b)}نعدّل برهاننا أدناه، ونؤكد بدلاً من ذلك أنφ{\displaystyle \varphi }لديه الحد الأدنى[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}.

منذφ{\displaystyle \varphi }متصلة على الفترة المغلقة[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}، القيمة القصوى لـφ{\displaystyle \varphi }على[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}يتم الوصول إليها في مرحلة ما من[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}، وفقًا لنظرية القيمة القصوى .

لأنφ′(أ)=و′(أ)-y>0{\displaystyle \varphi '(a)=f'(a)-y>0}نحن نعلمφ{\displaystyle \varphi }لا يمكنها بلوغ قيمتها القصوى عندأ{\displaystyle a}(إذا حدث ذلك، فـ(φ(ت)-φ(أ))/(ت-أ)≤0{\displaystyle (\varphi (t)-\varphi (a))/(ta)\leq 0}للجميعت∈(أ،ب]{\displaystyle t\in (a,b]}وهذا يعنيφ′(أ)≤0{\displaystyle \varphi '(a)\leq 0}.)

وبالمثل، لأنφ′(ب)=و′(ب)-y<0{\displaystyle \varphi '(b)=f'(b)-y<0}نحن نعلمφ{\displaystyle \varphi }لا يمكنها بلوغ قيمتها القصوى عندب{\displaystyle b}.

لذلك،φ{\displaystyle \varphi }يجب أن تصل إلى قيمتها القصوى عند نقطة ماx∈(أ،ب){\displaystyle x\in (a,b)}وبالتالي، وفقًا لنظرية فيرما ،φ′(x)=0{\displaystyle \varphi '(x)=0}، أيو′(x)=y{\displaystyle f'(x)=y}.

البرهان من نظريتي المتوسط ​​والقيمة المتوسطة

يعتمد البرهان الثاني على الجمع بين نظرية القيمة المتوسطة ونظرية القيمة الوسيطة . [ 1 ] [ 2 ]

يُعرِّفج=12(أ+ب){\displaystyle c={\frac {1}{2}}(a+b)}. لأ≤ت≤ج،{\displaystyle a\leq t\leq c,}يُعرِّفα(ت)=أ{\displaystyle \alpha (t)=a}وβ(ت)=2ت-أ{\displaystyle \beta (t)=2t-a}ولـج≤ت≤ب،{\displaystyle c\leq t\leq b,}يُعرِّفα(ت)=2ت-ب{\displaystyle \alpha (t)=2t-b}وβ(ت)=ب{\displaystyle \beta (t)=b}.

وهكذا، بالنسبة لـت∈(أ،ب){\displaystyle t\in (a,b)}لديناأ≤α(ت)<β(ت)≤ب{\displaystyle a\leq \alpha (t)<\beta (t)\leq b}والآن، عرّف ز(ت)=(و∘β)(ت)-(و∘α)(ت)β(ت)-α(ت){\displaystyle g(t)={\frac {(f\circ \beta )(t)-(f\circ \alpha )(t)}{\beta (t)-\alpha (t)}}}معأ<ت<ب{\displaystyle a<t<b}. ز{\displaystyle \,g}متصل في(أ،ب){\displaystyle (a,b)}.

بالإضافة إلى،ز(ت)→و′(أ){\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(a)}متىت→أ{\displaystyle t\rightarrow a}وز(ت)→و′(ب){\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(b)}متىت→ب{\displaystyle t\rightarrow b}لذلك، من نظرية القيمة المتوسطة، إذاy∈(و′(أ)،و′(ب)){\displaystyle y\in ({f}'(a),{f}'(b))}إذن، يوجدت0∈(أ،ب){\displaystyle t_{0}\in (a,b)}بحيثز(ت0)=y{\displaystyle g(t_{0})=y}لنصلح الأمرت0{\displaystyle t_{0}}.

من نظرية القيمة المتوسطة، توجد نقطةx∈(α(ت0)،β(ت0)){\displaystyle x\in (\alpha (t_{0}),\beta (t_{0}))}بحيثو′(x)=ز(ت0){\displaystyle {f}'(x)=g(t_{0})}. لذلك،و′(x)=y{\displaystyle {f}'(x)=y}.

دالة داربو

دالة داربو هي دالة ذات قيم حقيقيةو{\displaystyle f}والتي تتمتع بـ "خاصية القيمة المتوسطة": لأي قيمتينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}في مجالو{\displaystyle f}وأيy{\displaystyle y}بينو(أ){\displaystyle f(a)}وو(ب){\displaystyle f(b)}هناك بعضج{\displaystyle c}بينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}معy=و(ج){\displaystyle y=f(c)}[ 5 ] وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة ، فإن كل دالة متصلة على فترة حقيقية هي دالة داربو. وقد تمثلت مساهمة داربو في إثبات وجود دوال داربو غير متصلة.

كل انقطاع في دالة داربوكس أمر أساسي ، أي أنه عند أي نقطة انقطاع، لا يوجد على الأقل أحد الحدين الأيسر والأيمن.

ومن الأمثلة على دالة داربو غير المتصلة عند نقطة واحدة دالة منحنى الجيب الخاصة بعالم الطوبولوجيا :

x↦{الخطيئة⁡(1/x)ل x≠0،0ل x=0.{\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{for }}x\neq 0,\\0&{\text{for }}x=0.\end{cases}}}

بحسب نظرية داربو، فإن مشتقة أي دالة قابلة للتفاضل هي دالة داربو. وعلى وجه الخصوص، فإن مشتقة الدالةx↦x2الخطيئة⁡(1/x){\displaystyle x\mapsto x^{2}\sin(1/x)}هي دالة داربو على الرغم من أنها غير متصلة عند نقطة واحدة.

من الأمثلة على دوال داربو غير المتصلة في أي مكان دالة كونواي ذات الأساس 13. ومثال آخر هو دالة بيرغفيلدت حيث يُكتب العدد الحقيقي x بالصيغة الثنائية مع الأرقام.(xأنا)أنا∈Z+{\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {Z} _{+}}}كل منهما 0 أو 1، وو(x)=∑ك=1∞(-1)xكك{\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{x_{k}}}{k}}}إذا كانت المتسلسلة متقاربة لتلك القيمة x، و 0 إذا لم تكن كذلك. [ 6 ]

تُعدّ دوال داربو فئة عامة جدًا من الدوال. فقد تبيّن أن أي دالة حقيقية ƒ على خط الأعداد الحقيقية يُمكن كتابتها كمجموع دالتين من دوال داربو. [ 7 ] وهذا يعني على وجه الخصوص أن فئة دوال داربو ليست مغلقة تحت عملية الجمع.

الدالة القوية لداربو هي الدالة التي تكون فيها صورة كل فترة مفتوحة (غير فارغة) هي خط الأعداد الحقيقية بأكمله. [ 5 ]

فرض قيود إضافية على المشتقات

تُقدّم نظرية داربو شرطًا ضروريًا لكي تكون الدالة مشتقة، ولكنه ليس شرطًا كافيًا. فكل مشتقة لدالة حقيقية هي أيضًا من فئة باير الأولى ، ومجموعة النقاط التي تكون عندها المشتقة غير متصلة هي مجموعة ضئيلة.Fσ{\displaystyle F_{\sigma }}مجموعة . وعلى العكس من ذلك، كل مجموعة ضئيلةFσ{\displaystyle F_{\sigma }}يمكن أن تظهر مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية كمجموعة عدم استمرارية للمشتقة. [ 8 ]

يُفرض قيد أدق على مجموعات المستويات الفرعية للمشتقة. بالنسبة للدالة الحقيقيةو{\displaystyle f}، ومجموعات المستويات العليا والمستويات الفرعية المرتبطة بها هي{x:و(x)>أ}{\displaystyle \{x:f(x)>a\}}و{x:و(x)<أ}{\displaystyle \{x:f(x)<a\}}، أينأ{\displaystyle a}هذا حقيقي. وقد أدخل زاهورسكي فصولًا دراسية.م0،...،م5{\displaystyle M_{0},\ldots ,M_{5}}تصف هذه المصطلحات حجم المجموعات المرتبطة بها بالقرب من نقاطها. وفي هذا السياق، توجد النظريات التالية:

  • لكل مشتقة منتهية مجموعات مرتبطة بها فيم3{\displaystyle M_{3}}.
  • لكل مشتقة محدودة مجموعات مرتبطة بها فيم4{\displaystyle M_{4}}علاوة على ذلك، تكون المجموعة مجموعة مرتبطة بمشتقة محدودة ما إذا وفقط إذا كانت تنتمي إلىم4{\displaystyle M_{4}}[ 9 ]​

بشكل بديهي، إذاو=F′{\displaystyle f=F'}وو(x0)>أ{\displaystyle f(x_{0})>a}ثم المجموعة التيو>أ{\displaystyle f>a}لا يمكن أن تكون متفرقة بشكل تعسفي بالقرب منx0{\displaystyle x_{0}}. لوو{\displaystyle f}متصل عندx0{\displaystyle x_{0}}هذا أمر تافه:و>أ{\displaystyle f>a}في بعض الأحياءx0{\displaystyle x_{0}}إذن، الكثافة المحلية هي1{\displaystyle 1}. تعبر شروط زاهورسكي عن متطلبات كثافة أضعف تظل صالحة حتى عندما يكون المشتق غير متصل.

بصورة أكثر وضوحًا، غير فارغFσ{\displaystyle F_{\sigma }}تعيينهـ{\displaystyle E}ينتمي إلىم3{\displaystyle M_{3}}إذا، لكلx∈هـ{\displaystyle x\in E}أي سلسلة من الفترات المغلقةأنان{\displaystyle I_{n}}لا يحتوي علىx{\displaystyle x}، معتوزيع⁡(x،أنان)→0{\displaystyle \operatorname {dist} (x,I_{n})\to 0}وλ(أنان∩هـ)=0{\displaystyle \lambda (I_{n}\cap E)=0}، يرضي

λ(أنان)توزيع⁡(x،أنان)→0،{\displaystyle {\frac {\lambda (I_{n})}{\operatorname {dist} (x,I_{n})}}\to 0,}

أينλ{\displaystyle \lambda }يرمز إلى مقياس ليبيغ . وبالتالي، بالقرب من نقطة منهـ{\displaystyle E}، فجوات فيهـ{\displaystyle E}لا يمكن أن يكون طولها قابلاً للمقارنة بمسافتها من النقطة. الفئةم4{\displaystyle M_{4}}أقوى:هـ{\displaystyle E}ينتمي إلىم4{\displaystyle M_{4}}إذا كان من الممكن كتابتها كاتحاد قابل للعد لمجموعات مغلقةهـ=⋃كن{\displaystyle E=\bigcup K_{n}}بحيث يكون على كلكن{\displaystyle K_{n}}، المجموعةهـ{\displaystyle E}يشغل نسبة موجبة منتظمة من كل فترة أحادية الجانب صغيرة بما فيه الكفاية، والتي يكون طولها قابلاً للمقارنة مع بعدها عن النقطة. وبهذا المعنى،م3{\displaystyle M_{3}}يستبعد ذلك وجود حفر كبيرة قريبة، بينمام4{\displaystyle M_{4}}يفرض شرطًا موحدًا إيجابيًا لانخفاض الكثافة.

ملحوظات

  1. 1 2 أبوستول، توم م.: التحليل الرياضي: نهج حديث لحساب التفاضل والتكامل المتقدم، الطبعة الثانية، أديسون-ويسلي لونجمان، إنك. (1974)، الصفحة 112.
  2. 1 2 أولسن، لارس: برهان جديد لنظرية داربو ، المجلد 111، العدد 8 (أكتوبر 2004) (ص 713-715)، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية
  3. ↑ رودين، والتر: مبادئ التحليل الرياضي، الطبعة الثالثة، ماكجرو هيل، إنك. (1976)، صفحة 108
  4. ^ Darboux، Gaston (1875)، “Mémoire sur les fonctions continues ” [ أطروحة حول الوظائف المتقطعة ] ، Annales Scientifiques de l'É.NS، Serie 2 (in French)، 4 ، Paris : École Normale Supérieure : 109–110، دوى : 10.24033/asens.122{{citation}}: صيانة CS1: التاريخ والسنة ( رابط )
  5. 1 2 سيسيلسكي، كريستوف (1997). نظرية المجموعات للرياضيين العاملين . نصوص طلابية من جمعية لندن الرياضية. المجلد 39. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 106-111 . ISBN   0-521-59441-3. Zbl 0938.03067 . 
  6. ↑ بيرغفيلدت، أكسل (27-09-2018). "الخرائط المفتوحة غير المتصلة" . ستاك إكستشينج للرياضيات . في إجابة على السؤال . تم الاسترجاع في 10-07-2023 .
  7. ↑ بروكنر، أندرو م: تفاضل الدوال الحقيقية ، الطبعة الثانية، الصفحة 6، الجمعية الرياضية الأمريكية، 1994
  8. ↑ بروكنر، أندرو م.؛ ليونارد، جيه إل (1966). "المشتقات". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 73 (4، الجزء الثاني): 24-56 .
  9. ↑ بروكنر، أندرو م. (1994). تفاضل الدوال الحقيقية . سلسلة دراسات مركز البحوث الرياضية. المجلد 5 ( الطبعة الثانية). الجمعية الأمريكية للرياضيات. الصفحات 61-67 . ISBN    0-8218-6990-6.