دالة غير متصلة في أي مكان

من الأمثلة على هذه الدوال دالة المؤشر للأعداد النسبية ، والمعروفة أيضًا بدالة ديريشليه . ويُرمز لهذه الدالة بـ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}$ولها مجال ومجال مقابل يساويان الأعداد الحقيقية . بحسب التعريف،${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}$يساوي${\displaystyle 1}$لو${\displaystyle x}$هو عدد نسبي وهو${\displaystyle 0}$خلاف ذلك.

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle E}$هي أي مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$بحيث يكون كلاهما${\displaystyle E}$ومكملة${\displaystyle E}$كثيفة في${\displaystyle X,}$ثم الدالة ذات القيم الحقيقية التي تأخذ القيمة${\displaystyle 1}$على${\displaystyle E}$و${\displaystyle 0}$على مكمل لـ${\displaystyle E}$لن تكون متصلة في أي مكان. وقد تم بحث الدوال من هذا النوع في الأصل بواسطة بيتر غوستاف ليجون ديريشليه . ^{[ 1 ]}

وظيفة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$تُسمى دالة جمعية إذا كانت تحقق معادلة كوشي الوظيفية : $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ لجميع }}x,y\in \mathbb {R} .}$$ على سبيل المثال، كل خريطة من نوع${\displaystyle x\mapsto cx,}$أين${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$هو ثابت ما، وهو جمعي (في الواقع، هو خطي ومتصل). علاوة على ذلك، كل تحويل خطي${\displaystyle L:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$وهو على هذا الشكل (عن طريق أخذ${\displaystyle c:=L(1)}$).

على الرغم من أن كل تحويل خطي هو تحويل جمعي، إلا أن ليس كل تحويل جمعي هو تحويل خطي.${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$تكون الدالة خطية إذا وفقط إذا وُجدت نقطة تكون عندها متصلة، وفي هذه الحالة تكون متصلة في كل مكان. وبالتالي، فإن كل دالة جمعية غير خطية${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$تكون الدالة غير متصلة عند كل نقطة من مجالها. ومع ذلك، فإن تقييد أي دالة جمعية${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$إلى أي مضاعف عددي حقيقي للأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$متصلة؛ وهذا يعني تحديدًا أنه لكل عدد حقيقي${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$التقييد${\displaystyle f{\big \vert }_{r\mathbb {Q} }:r\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$إلى المجموعة${\displaystyle r\,\mathbb {Q}$ الدالة :=\{rq:q\in \mathbb {Q} \}} دالة متصلة. وبالتالي إذا${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$إذا كانت دالة جمعية غير خطية، فلكل نقطة${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$غير متصل عند${\displaystyle x}$لكن${\displaystyle x}$وهي موجودة أيضًا في مجموعة فرعية كثيفة${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$على أي${\displaystyle f}$قيود${\displaystyle f\vert _{D}:D\to \mathbb {R} }$متصلة (على وجه التحديد، خذ${\displaystyle D:=x\,\mathbb {Q} }$لو${\displaystyle x\neq 0,}$وخذ${\displaystyle D:=\mathbb {Q} }$لو${\displaystyle x=0}$).

تكون الدالة الخطية بين فضاءين متجهيين طوبولوجيين ، كالفضاءات المعيارية مثلاً، متصلة (في كل مكان) إذا وفقط إذا وُجدت نقطة تكون عندها متصلة، وفي هذه الحالة تكون متصلة بانتظام . بالتالي، فإن كل دالة خطية إما متصلة في كل مكان أو غير متصلة في أي مكان. كل دالة خطية هي دالة خطية ، وفي كل فضاء معياري لانهائي الأبعاد، توجد دالة خطية غير متصلة .

دالة كونواي ذات الأساس 13 غير متصلة عند كل نقطة.