أوغستين لويس كوشي

كان كوشي ابن لويس فرانسوا كوشي (1760-1848) وماري مادلين ديستر. كان لكوشي شقيقان: ألكسندر لوران كوشي (1792-1857)، الذي أصبح رئيسًا لإحدى دوائر محكمة الاستئناف عام 1847 وقاضيًا في محكمة النقض عام 1849، وأوجين فرانسوا كوشي (1802-1877)، وهو كاتب كتب أيضًا العديد من المؤلفات الرياضية. كان متفوقًا في الرياضيات منذ صغره.

تزوج كوشي من ألويز دي بور عام 1818. وكانت قريبة للناشر الذي نشر معظم أعمال كوشي. وأنجبا ابنتين، ماري فرانسواز أليسيا (1819) وماري ماتيلد (1823).

كان والد كوشي مسؤولاً رفيع المستوى في شرطة باريس خلال النظام القديم ، لكنه فقد منصبه بسبب الثورة الفرنسية (14  يوليو 1789)، التي اندلعت قبل شهر واحد من ولادة أوغستين لويس. ^{[ ب ]} نجت عائلة كوشي من الثورة وعهد الإرهاب الذي تلاها خلال الفترة 1793-1794 بالفرار إلى أركويل ، حيث تلقى كوشي تعليمه الأول على يد والده. ^{[ 6 ]} بعد إعدام روبسبير عام 1794، أصبح من الآمن للعائلة العودة إلى باريس. هناك، وجد لويس فرانسوا كوشي وظيفة بيروقراطية عام 1800، ^{[ 7 ]} وسرعان ما ترقى في مسيرته المهنية. عندما وصل نابليون إلى السلطة عام 1799، تمت ترقية لويس فرانسوا كوشي مرة أخرى، وأصبح الأمين العام لمجلس الشيوخ، حيث عمل مباشرة تحت إشراف لابلاس (الذي اشتهر لاحقًا بأعماله في الفيزياء الرياضية). كان عالم الرياضيات لاغرانج صديقًا لعائلة كوشي أيضًا. ^{[ 4 ]}

بناءً على نصيحة لاغرانج، التحق أوغستين لويس بمدرسة البانثيون المركزية ، أفضل مدرسة ثانوية في باريس آنذاك، في خريف عام ١٨٠٢. ^{[ ٦ ]} كان معظم المنهج الدراسي يتألف من اللغات الكلاسيكية؛ وقد فاز كوشي الطموح، كونه طالبًا متفوقًا، بالعديد من الجوائز في اللغة اللاتينية والعلوم الإنسانية. وعلى الرغم من هذه النجاحات، اختار كوشي مهنة الهندسة، وأعدّ نفسه لامتحان القبول في المدرسة المتعددة التقنيات .

في عام ١٨٠٥، حلّ ثانياً من بين ٢٩٣ متقدماً في هذا الامتحان، وقُبل في المدرسة. ^{[ ٦ ]} كان من أهم أهداف هذه المدرسة تزويد مهندسي المستقبل المدنيين والعسكريين بتعليم علمي ورياضي رفيع المستوى. كانت المدرسة تعمل وفق نظام عسكري، مما سبب لكوشي بعض الصعوبات في التأقلم. مع ذلك، أكمل دراسته عام ١٨٠٧، وهو في  الثامنة عشرة من عمره، والتحق بمدرسة الجسور والطرق . تخرج منها في الهندسة المدنية، بمرتبة الشرف الأولى.

بعد إتمام دراسته عام ١٨١٠، قبل كوشي وظيفة مهندس مبتدئ في شيربورغ، حيث كان نابليون ينوي بناء قاعدة بحرية. مكث كوشي هناك ثلاث سنوات، وكُلِّف بمشروع قناة أورك ومشروع جسر سان كلو ، وعمل في ميناء شيربورغ. ^{[ ٦ ]} على الرغم من انشغاله الشديد بعمله الإداري، إلا أنه وجد وقتًا لإعداد ثلاث مخطوطات رياضية، قدمها إلى الدرجة الأولى في معهد فرنسا . ^{[ ج ]} قُبلت المخطوطتان الأوليان لكوشي (حول المجسمات متعددة الأوجه )، بينما رُفضت الثالثة (حول أدلة القطوع المخروطية ).

في سبتمبر 1812، عاد كوشي، البالغ من العمر 23 عامًا، إلى باريس بعد أن ألمّ به المرض نتيجة الإرهاق. ^{[ 6 ]} وكان من أسباب عودته إلى العاصمة أيضًا فقدانه الاهتمام بوظيفته الهندسية، إذ انجذب أكثر فأكثر إلى جمال الرياضيات المجرد؛ ففي باريس، كانت فرصته في إيجاد وظيفة ذات صلة بالرياضيات أفضل بكثير. وعندما تحسنت صحته عام 1813، اختار كوشي عدم العودة إلى شيربورغ. ^{[ 6 ]} ورغم احتفاظه رسميًا بوظيفته الهندسية، فقد نُقل من كشوف رواتب وزارة البحرية إلى وزارة الداخلية. أمضى كوشي السنوات الثلاث التالية في إجازة مرضية غير مدفوعة الأجر في الغالب؛ واستغل وقته بشكل مثمر في العمل على الرياضيات (في المواضيع ذات الصلة بالدوال المتناظرة ، والمجموعة المتناظرة ، ونظرية المعادلات الجبرية من الرتب العليا). حاول الالتحاق بالصف الأول في معهد فرنسا، لكنه فشل في ثلاث مناسبات مختلفة بين عامي 1813 و1815. في عام 1815، هُزم نابليون في واترلو، وتولى الملك لويس الثامن عشر، الذي اعتلى العرش حديثًا، زمام الأمور. أُعيد تأسيس أكاديمية العلوم في مارس 1816؛ وتم عزل لازار كارنو وجاسبار مونج من هذه الأكاديمية لأسباب سياسية، وعيّن الملك كوشي ليحل محل أحدهما. كان رد فعل أقران كوشي قاسيًا؛ فقد اعتبروا قبول عضويته في الأكاديمية أمرًا شائنًا، مما جعله يكتسب العديد من الأعداء في الأوساط العلمية.

في نوفمبر 1815، طلب لويس بوينسو ، الأستاذ المساعد في المدرسة المتعددة التقنيات، إعفاءه من مهامه التدريسية لأسباب صحية. وكان كوشي آنذاك نجمًا صاعدًا في عالم الرياضيات، ومن أبرز إنجازاته في ذلك الوقت برهانه لنظرية فيرما للأعداد المضلعة . فاستقال من وظيفته كمهندس، وحصل على عقد لمدة عام لتدريس الرياضيات لطلاب السنة الثانية في المدرسة المتعددة التقنيات. وفي عام 1816، أُعيد تنظيم هذه المدرسة البونابرتية غير الدينية، وفُصل عدد من الأساتذة الليبراليين، ورُقّي كوشي إلى رتبة أستاذ.

عندما بلغ كوشي الثامنة والعشرين من عمره، كان لا يزال يعيش مع والديه. رأى والده أن الوقت قد حان لزواج ابنه، فزوّجه من ألويز دي بور، التي تصغره بخمس سنوات. كانت عائلة دي بور تعمل في الطباعة وبيع الكتب، وقد نشرت معظم أعمال كوشي. ^{[ 8 ]} تزوجت ألويز وأوغستين في 4 أبريل 1818، في حفل زفاف كاثوليكي مهيب، في كنيسة سان سولبيس. وفي عام 1819، وُلدت ابنتهما الأولى، ماري فرانسواز أليسيا، وفي عام 1823 وُلدت ابنتهما الثانية والأخيرة، ماري ماتيلد. ^{[ 9 ]}

كان المناخ السياسي المحافظ الذي استمر حتى عام 1830 مناسبًا تمامًا لكوشي. في عام 1824، توفي لويس الثامن عشر، وخلفه شقيقه شارل العاشر، الأكثر محافظة منه . خلال هذه السنوات، كان كوشي غزير الإنتاج، ونشر العديد من الرسائل الرياضية الهامة. كما شغل مناصب مشتركة في كوليج دو فرانس وكلية العلوم في باريس .

في يوليو 1830، اندلعت ثورة يوليو في فرنسا. فرّ شارل العاشر من البلاد، وخلفه لويس فيليب الأول . اندلعت أعمال شغب، شارك فيها طلاب المدرسة المتعددة التقنيات بزيّهم الرسمي، بالقرب من منزل كوشي في باريس.

شكّلت هذه الأحداث نقطة تحوّل في حياة كوشي، وتوقفًا في إنتاجه الرياضي. فبعد أن هزّه سقوط الحكومة، ودافعته كراهية عميقة لليبراليين الذين استولوا على السلطة، غادر كوشي فرنسا إلى الخارج، تاركًا عائلته وراءه. ^{[ 10 ]} أمضى فترة وجيزة في فريبورغ بسويسرا، حيث كان عليه أن يقرر ما إذا كان سيؤدي يمين الولاء للنظام الجديد. رفض القيام بذلك، وبالتالي فقد جميع مناصبه في باريس، باستثناء عضويته في الأكاديمية، التي لم يكن أداء اليمين شرطًا لها. في عام 1831، انتقل كوشي إلى مدينة تورينو الإيطالية ، وبعد فترة هناك، قبل عرضًا من ملك سردينيا (الذي كان يحكم تورينو ومنطقة بيدمونت المحيطة بها) لشغل كرسي الفيزياء النظرية، الذي أُنشئ خصيصًا له. درّس في تورينو خلال الفترة 1832-1833. في عام 1831، تم انتخابه عضواً أجنبياً في الأكاديمية الملكية السويدية للعلوم ، وفي العام التالي عضواً فخرياً أجنبياً في الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم . ^{[ 11 ]}

في أغسطس 1833، غادر كوشي تورينو متوجهًا إلى براغ ليصبح معلم العلوم لدوق بوردو، هنري دارتوا (1820-1883)، ولي العهد المنفي وحفيد شارل العاشر، البالغ من العمر ثلاثة عشر عامًا. ^{[ 12 ]} بصفته أستاذًا في المدرسة المتعددة التقنيات، كان كوشي محاضرًا سيئ السمعة، إذ كان يفترض مستويات فهم لا يستطيع بلوغها إلا قلة من أفضل طلابه، ويحشو وقته المخصص بكمية كبيرة من المواد. لم يكن لدى هنري دارتوا أي ميل أو موهبة في الرياضيات أو العلوم. على الرغم من أن كوشي أخذ مهمته على محمل الجد، إلا أنه فعل ذلك بخرق كبير، وبقلة سلطة ملحوظة على هنري دارتوا. خلال أيام عمله في الهندسة المدنية، كان كوشي مسؤولاً لفترة وجيزة عن إصلاح بعض مجاري الصرف الصحي في باريس، وارتكب خطأً عندما ذكر ذلك لتلميذه؛ بكل حقد، زعم هنري دارتوا أن كوشي بدأ مسيرته المهنية في مجاري باريس. استمر دور كوشي كمدرس حتى بلغ هنري دارتوا الثامنة عشرة من عمره في سبتمبر 1838. ^{[ 10 ]} لم يجرِ كوشي أي بحث يُذكر خلال تلك السنوات الخمس، بينما اكتسب هنري دارتوا كراهيةً شديدةً للرياضيات طوال حياته. مُنح كوشي لقب بارون ، وهو لقب كان كوشي يُولي له أهميةً بالغة.

في عام 1834، انتقلت زوجته وابنتاه إلى براغ، والتقى كوشي بعائلته بعد أربع سنوات من المنفى.

عاد كوشي إلى باريس ومنصبه في أكاديمية العلوم في أواخر عام 1838. ^{[ 10 ]} لم يتمكن من استعادة مناصبه التدريسية، لأنه ما زال يرفض أداء قسم الولاء.

في أغسطس 1839، ظهر منصب شاغر في مكتب خطوط الطول . كان هذا المكتب يُشبه الأكاديمية إلى حدٍ ما؛ فعلى سبيل المثال، كان له الحق في اختيار أعضائه. علاوة على ذلك، كان يُعتقد أن أعضاء المكتب يُمكنهم "التغاضي" عن قسم الولاء، على الرغم من أنهم كانوا مُلزمين رسميًا بأدائه، على عكس الأكاديميين. تأسس مكتب خطوط الطول عام 1795 لحل مشكلة تحديد الموقع في البحر - وتحديدًا الإحداثيات الطولية ، نظرًا لسهولة تحديد خط العرض من موقع الشمس. ولأنه كان يُعتقد أن أفضل طريقة لتحديد الموقع في البحر هي من خلال الرصد الفلكي، فقد تطور المكتب ليصبح منظمة تُشبه أكاديمية العلوم الفلكية.

في نوفمبر 1839، انتُخب كوشي لعضوية المكتب، واكتشف أن مسألة أداء اليمين لم تكن سهلة. فبدون يمينه، رفض الملك الموافقة على انتخابه. ولأربع سنوات، ظل كوشي في وضعٍ غير مُعتمد، إذ انتُخب دون موافقة رسمية؛ وبالتالي، لم يكن عضوًا رسميًا في المكتب، ولم يتقاضَ أجرًا، ولم يتمكن من حضور الاجتماعات، أو تقديم أوراق بحثية. ومع ذلك، رفض كوشي أداء أي يمين؛ إلا أنه شعر بولاءٍ كافٍ لتوجيه أبحاثه نحو الميكانيكا السماوية . وفي عام 1840، قدّم اثنتي عشرة ورقة بحثية حول هذا الموضوع إلى الأكاديمية. ووصف ورسم تمثيل الأرقام بالأرقام المُوقّعة ، وهو ابتكارٌ قدّمه جون كولسون في إنجلترا عام 1727. واستمرت عضوية المكتب المُربكة حتى نهاية عام 1843، حين استُبدل كوشي ببوانسو.

على مدار القرن التاسع عشر، عانى النظام التعليمي الفرنسي من صراعٍ حول فصل الدين عن الدولة. بعد فقدان الكنيسة الكاثوليكية سيطرتها على نظام التعليم العام، سعت إلى تأسيس فرعها التعليمي الخاص، ووجدت في كوشي حليفًا قويًا وذا مكانة مرموقة. سخّر كوشي خبرته ومعرفته للمدرسة الكنسية العليا ، وهي مدرسة في باريس يديرها اليسوعيون، لتدريب المعلمين لكلياتهم. كما شارك في تأسيس المعهد الكاثوليكي ، الذي كان يهدف إلى معالجة آثار غياب التعليم الجامعي الكاثوليكي في فرنسا. لم تُكسب هذه الأنشطة كوشي شعبيةً بين زملائه، الذين أيدوا في مجملهم مُثل التنوير التي انبثقت عنها الثورة الفرنسية. عندما شغر منصب أستاذ الرياضيات في كوليج دو فرانس عام ١٨٤٣، تقدم كوشي بطلبٍ لشغله، لكنه لم يحصل إلا على ثلاثة أصوات من أصل ٤٥.

في عام ١٨٤٨، فرّ الملك لويس فيليب إلى إنجلترا. أُلغي قسم الولاء، ومُهّد الطريق أمام كوشي للحصول على منصب أكاديمي. في الأول من مارس عام ١٨٤٩، أُعيد تعيينه في كلية العلوم أستاذًا لعلم الفلك الرياضي. بعد اضطرابات سياسية استمرت طوال عام ١٨٤٨، اختارت فرنسا أن تصبح جمهورية، برئاسة نابليون الثالث . في أوائل عام ١٨٥٢، نصّب الرئيس نفسه إمبراطورًا لفرنسا، واتخذ اسم نابليون الثالث .

طُرحت فكرة في الأوساط البيروقراطية مفادها أنه من المفيد إعادة فرض قسم الولاء على جميع موظفي الدولة، بمن فيهم أساتذة الجامعات. هذه المرة، تمكن أحد وزراء الحكومة من إقناع الإمبراطور بإعفاء كوشي من القسم. في عام ١٨٥٣، انتُخب كوشي عضوًا دوليًا في الجمعية الفلسفية الأمريكية . ^{[ ١٣ ]} وظل كوشي أستاذًا في الجامعة حتى وفاته عن عمر يناهز ٦٧ عامًا. تلقى طقوس الدفن الأخيرة وتوفي إثر إصابته بالتهاب في الشعب الهوائية في الساعة الرابعة  صباحًا من يوم ٢٣ مايو ١٨٥٧. ^{[ ١٠ ]}

اسمه هو واحد من الأسماء الـ 72 المنقوشة على برج إيفل .

تجلّت عبقرية كوشي في حله البسيط لمسألة أبولونيوس - التي تصف دائرة تلامس ثلاث دوائر معطاة - والذي اكتشفه عام 1805، وتعميمه لصيغة أويلر على المجسمات متعددة الأوجه عام 1811، وفي العديد من المسائل الأنيقة الأخرى. لكن الأهم من ذلك، مذكرته عن انتشار الموجات ، التي حازت على الجائزة الكبرى للأكاديمية الفرنسية للعلوم عام 1816. تناولت كتابات كوشي مواضيع بارزة. ففي نظرية المتسلسلات، طوّر مفهوم التقارب واكتشف العديد من الصيغ الأساسية لمتسلسلات q . وفي نظرية الأعداد والكميات المركبة، كان أول من عرّف الأعداد المركبة على أنها أزواج من الأعداد الحقيقية. كما كتب في نظرية الزمر والاستبدالات، ونظرية الدوال، والمعادلات التفاضلية، والمحددات. ^{[ 4 ]}

في نظرية الضوء، عمل على نظرية فرينل الموجية ، وعلى تشتت الضوء واستقطابه. كما أسهم في أبحاث الميكانيكا ، مستبدلاً مفهوم استمرارية الإزاحات الهندسية بمبدأ استمرارية المادة. ^{[ 14 ]} كتب عن توازن القضبان والأغشية المرنة، وعن الموجات في الأوساط المرنة. وقدّم مصفوفة متناظرة من 3 × 3 للأعداد، تُعرف الآن باسم موتر إجهاد كوشي . ^{[ 15 ]} في علم المرونة ، وضع نظرية الإجهاد ، وتُعدّ نتائجه قيّمة تقريبًا كنتائج سيميون بواسون . ^{[ 4 ]}

وتشمل المساهمات الهامة الأخرى كونه أول من أثبت نظرية فيرما للأعداد المضلعة .

اشتهر كوشي بتطويره الفردي لنظرية الدوال المركبة . وكانت أول نظرية محورية أثبتها كوشي، والمعروفة الآن باسم نظرية كوشي التكاملية ، هي التالية:

${\displaystyle \oint _{C}f(z)dz=0,}$

حيث f ( z ) دالةٌ ذات قيمٍ مركبةٍ، وهي دالةٌ تحليليةٌ على المنحنى المغلق C (الخط الكفافي) غير المتقاطع مع نفسه، والواقع في المستوى المركب . يُحسب التكامل الكفافي على طول الخط الكفافي C. يمكن إيجاد مبادئ هذه النظرية في ورقةٍ بحثيةٍ قدمها كوشي، البالغ من العمر 24 عامًا آنذاك، إلى أكاديمية العلوم (التي كانت تُسمى آنذاك "الدرجة الأولى من المعهد") في 11 أغسطس 1814. وقد نُشرت النظرية بصيغتها الكاملة في عام 1825. ^{[ 16 ]}

في عام 1826، قدّم كوشي تعريفًا رسميًا لباقي الدالة . ^{[ 17 ]} يتعلق هذا المفهوم بالدوال التي لها أقطاب - وهي نقاط شاذة معزولة، أي النقاط التي تؤول عندها الدالة إلى ما لا نهاية موجبة أو سالبة. إذا أمكن توسيع الدالة ذات القيم المركبة f ( z ) في جوار نقطة شاذة a كما يلي:

$//$

إذا كانت φ( z ) دالة تحليلية (أي ذات سلوك منتظم بدون نقاط شاذة)، يُقال إن للدالة f قطبًا من الرتبة n عند النقطة a . إذا كان n = 1، يُسمى القطب بسيطًا. يُطلق كوشي على المعامل B1 اسم باقي الدالة f عند a . إذا كانت f غير شاذة عند a، _فإن باقي f يساوي صفرًا عند a . من الواضح أن الباقي في حالة القطب البسيط يساوي

${\displaystyle {\underset {z=a}{\mathrm {Res} }}f(z)=\lim _{z\rightarrow a}(za)f(z),}$

حيث استبدلنا B ₁ بالترميز الحديث للباقي.

في عام 1831، وأثناء وجوده في تورينو، قدم كوشي ورقتين بحثيتين إلى أكاديمية العلوم في تورينو. في الأولى ^{[ 18 ]} اقترح الصيغة المعروفة الآن باسم صيغة كوشي التكاملية .

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{za}}dz,}$

حيث f ( z ) دالة تحليلية على C وضمن المنطقة المحصورة بالمسار C ، والعدد المركب a يقع في مكان ما ضمن هذه المنطقة. يُجرى التكامل على المسار عكس اتجاه عقارب الساعة. من الواضح أن الدالة المراد تكاملها لها قطب بسيط عند z = a . في الورقة البحثية الثانية ^{[ 19 ]} ، قدم نظرية الباقي .

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)dz=\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=a_{k}}{\mathrm {Res} }}f(z),}$

حيث يكون المجموع على جميع أقطاب الدالة f ( z ) البالغ عددها n على المسار C وداخله . لا تزال نتائج كوشي هذه تُشكّل جوهر نظرية الدوال المركبة كما تُدرّس اليوم للفيزيائيين ومهندسي الكهرباء. لفترة طويلة، تجاهل معاصرو كوشي نظريته لاعتقادهم أنها معقدة للغاية. لم تبدأ النظرية في تلقي الاهتمام إلا في أربعينيات القرن التاسع عشر، وكان بيير ألفونس لوران أول رياضي، إلى جانب كوشي، يُقدّم إسهامًا جوهريًا (عمله على ما يُعرف الآن بمتسلسلات لوران ، والذي نُشر عام 1843).

في كتابه "دروس في التحليل"، أكد كوشي على أهمية الدقة في التحليل. وتعني الدقة هنا رفض مبدأ عمومية الجبر (الذي تبناه مؤلفون سابقون مثل أويلر ولاغرانج) واستبداله بالهندسة والمتناهيات في الصغر . ^{[ 20 ]} كتبت جوديث غرابينر أن كوشي كان "الرجل الذي علّم التحليل الدقيق لأوروبا بأسرها". ^{[ 21 ]} ويُشار إلى الكتاب غالبًا باعتباره أول مكان تناول المتباينات، و${\displaystyle \delta -\varepsilon }$تم إدخال الحجج في حساب التفاضل والتكامل. هنا عرّف كوشي الاتصال على النحو التالي: تكون الدالة f(x) متصلة بالنسبة إلى x بين الحدود المعطاة إذا كان، بين هذه الحدود، تؤدي زيادة صغيرة جدًا في المتغير دائمًا إلى زيادة صغيرة جدًا في الدالة نفسها.

يزعم السيد باراني أن المدرسة فرضت إدراج أساليب التفاضل والتكامل رغم معارضة كوشي. ^{[ 22 ]} ويشير جيلان إلى أنه عندما تم تقليص الجزء المخصص للتحليل الجبري من المنهج الدراسي عام 1825، أصر كوشي على وضع موضوع الدوال المتصلة (وبالتالي التفاضل والتكامل) في بداية حساب التفاضل والتكامل. ^{[ 23 ]} ويوضح لاوغويتز (1989) وبينيس-سيناسور (1973) أن كوشي استمر في استخدام التفاضل والتكامل في أبحاثه حتى عام 1853.

قدّم كوشي تعريفًا صريحًا للكمية المتناهية الصغر بدلالة متتالية تقترب من الصفر. وقد كُتبت دراساتٌ عديدة حول مفهوم كوشي عن "الكميات المتناهية الصغر"، مُجادلةً بأنها تُفضي إلى كل شيء بدءًا من التعريفات "الإبسيلونية" المعتادة وصولًا إلى مفاهيم التحليل غير القياسي . ويُجمع الباحثون على أن كوشي أغفل أو ترك ضمنيًا الأفكار المهمة لتوضيح المعنى الدقيق للكميات المتناهية الصغر التي استخدمها. ^{[ 24 ]}

كان أول من برهن نظرية تايلور برهانًا دقيقًا، مُرسخًا بذلك صيغته الشهيرة للباقي. ^{[ 4 ]} ألّف كتابًا دراسيًا ^{[ 25 ]} (انظر الرسم التوضيحي) لطلابه في المدرسة المتعددة التقنيات، طوّر فيه النظريات الأساسية للتحليل الرياضي بأقصى قدر من الدقة. وقدّم في هذا الكتاب الشرط اللازم والكافي لوجود النهاية بالصيغة التي لا تزال تُدرّس حتى اليوم. كما أن اختبار كوشي الشهير للتقارب المطلق مُستمد من هذا الكتاب: اختبار كوشي للتكثيف . وفي عام 1829، عرّف لأول مرة دالة مركبة لمتغير مركب في كتاب دراسي آخر. ^{[ 26 ]} وعلى الرغم من ذلك، غالبًا ما استخدمت أبحاث كوشي نفسها أساليب حدسية، لا دقيقة؛ ^{[ 27 ]} ولذلك، عُرضت إحدى نظرياته لـ"مثال مضاد" من قِبل آبل ، والذي تم تصحيحه لاحقًا بإدخال مفهوم الاستمرارية المنتظمة .

في ورقة بحثية نُشرت عام ١٨٥٥، أي قبل عامين من وفاة كوشي، ناقش بعض النظريات، إحداها تُشابه " مبدأ الحجة " الوارد في العديد من كتب التحليل المركب الحديثة. في كتب نظرية التحكم الحديثة، يُستخدم مبدأ حجة كوشي بكثرة لاستنتاج معيار استقرار نايكويست ، الذي يُمكن استخدامه للتنبؤ باستقرار مُضخِّم التغذية الراجعة السالبة وأنظمة التحكم بالتغذية الراجعة السالبة . وهكذا، كان لعمل كوشي أثرٌ بالغٌ في كلٍّ من الرياضيات البحتة والهندسة التطبيقية.