التقارب المطلق

في الرياضيات ، يُقال إن متسلسلة أعداد لانهائية تتقارب تقاربًا مطلقًا (أو أنها متقاربة تقاربًا مطلقًا ) إذا كان مجموع القيم المطلقة لحدودها محدودًا . وبشكل أدق، متسلسلة حقيقية أو مركبة${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty}a_{n}}$يقال إنها تتقارب تقارباً مطلقاً إذا${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}$لبعض الأعداد الحقيقية${\displaystyle \textstyle L.}$وبالمثل، فإن التكامل غير المحدود لدالة ما ،${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,}$يُقال إن الدالة تتقارب تقاربًا مطلقًا إذا كان تكامل القيمة المطلقة للدالة المراد تكاملها محدودًا، أي إذا${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.}$ تُسمى المتسلسلة المتقاربة التي ليست متقاربة بشكل مطلق بالمتسلسلة المتقاربة بشكل مشروط .

يُعدّ التقارب المطلق مهمًا لدراسة المتسلسلات اللانهائية، لأن تعريفه يضمن أن تتمتع المتسلسلة ببعض الخصائص المميزة للمجاميع المنتهية، والتي لا تمتلكها جميع المتسلسلات المتقاربة. على سبيل المثال، لا تُغيّر إعادة ترتيب الحدود قيمة المجموع، وهو ما لا ينطبق بالضرورة على المتسلسلات المتقاربة شرطيًا.

عند جمع عدد محدود من الحدود، تكون عملية الجمع تجميعية وتبديلية ، مما يعني أن التجميع وإعادة الترتيب لا يغيران المجموع النهائي. على سبيل المثال ،${\displaystyle (1+2)+3}$يساوي كليهما${\displaystyle 1+(2+3)}$و${\displaystyle (3+2)+1}$ومع ذلك، فإن خاصيتي التجميع والتبديل لا تنطبقان بالضرورة على المجاميع اللانهائية. ومن الأمثلة على ذلك المتسلسلة التوافقية المتناوبة .

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }$

حدودها عبارة عن كسور تتبادل إشاراتها. هذه المتسلسلة متقاربة ويمكن حساب قيمتها باستخدام متسلسلة ماكلورين للدالة.${\displaystyle \ln(1+x)}$، وهو ما يتقارب لجميع${\displaystyle x}$مُرضٍ${\displaystyle -1<x\leq 1}$:

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

الاستبدال${\displaystyle x=1}$يكشف ذلك أن المجموع الأصلي يساوي${\displaystyle \ln 2}$ويمكن إعادة ترتيب المجموع على النحو التالي:

${\displaystyle S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

في هذا الترتيب الجديد، يتم تجميع مقلوب كل عدد فردي مع مقلوب ضعف قيمته، بينما يتم حساب مقلوب كل مضاعف للعدد 4 بشكل منفصل. ومع ذلك، فإن حساب الحدود داخل الأقواس ينتج

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

أو نصف المتسلسلة الأصلية. يُظهر انتهاك خاصيتي التجميع والتبديل في الجمع أن المتسلسلة التوافقية المتناوبة متقاربة شرطيًا . في الواقع، مجموع القيم المطلقة لكل حد هو${\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }$أو المتسلسلة التوافقية المتباعدة . وفقًا لنظرية ريمان للمتسلسلات ، يمكن تبديل أي متسلسلة متقاربة شرطيًا بحيث يكون مجموعها أي عدد حقيقي محدود أو بحيث تتباعد. عند إعادة ترتيب متسلسلة متقاربة مطلقًا، يبقى مجموعها محفوظًا دائمًا.

مجموع الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty}a_{n}}$تكون المتسلسلة متقاربة تقارباً مطلقاً إذا كان مجموع القيم المطلقة للحدود${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$يتقارب .

يمكن استخدام التعريف نفسه للمتسلسلات${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty}a_{n}}$شروطه${\displaystyle a_{n}}$ليست أعدادًا، بل عناصر من زمرة طوبولوجية أبيلية اختيارية . في هذه الحالة، بدلًا من استخدام القيمة المطلقة ، يتطلب التعريف أن يكون للزمرة معيار ، وهو دالة حقيقية موجبة.${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$على مجموعة أبيلية${\displaystyle G}$(مكتوبة بطريقة جمعية ، مع عنصر محايد 0) بحيث:

1. معيار عنصر الهوية لـ${\displaystyle G}$يساوي صفرًا:${\displaystyle \|0\|=0.}$
2. لكل${\displaystyle x\in G,}$${\displaystyle \|x\|=0}$يشير إلى${\displaystyle x=0.}$
3. لكل${\displaystyle x\in G,}$${\displaystyle \|-x\|=\|x\|.}$
4. لكل${\displaystyle x,y\in G,}$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

في هذه الحالة، الدالة${\displaystyle d(x,y)=\|xy\|}$يُنشئ بنية فضاء متري (نوع من أنواع الطوبولوجيا ) على${\displaystyle G.}$

ثم، أ${\displaystyle G}$تكون المتسلسلة ذات القيم متقاربة تقاربًا مطلقًا إذا${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

على وجه الخصوص، تنطبق هذه التصريحات باستخدام المعيار${\displaystyle |x|}$( القيمة المطلقة ) في فضاء الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة.

لو${\displaystyle G}$مكتمل فيما يتعلق بالمقياس${\displaystyle d,}$إذن، كل متسلسلة متقاربة مطلقًا هي متسلسلة متقاربة. البرهان هو نفسه كما في حالة المتسلسلات ذات القيم المركبة: استخدم خاصية الاكتمال لاستنتاج معيار كوشي للتقارب - تكون المتسلسلة متقاربة إذا وفقط إذا أمكن جعل ذيولها صغيرة بشكل تعسفي في المعيار - ثم طبق متباينة المثلث.

على وجه الخصوص، بالنسبة للمتسلسلات ذات القيم في أي فضاء باناخ ، فإن التقارب المطلق يستلزم التقارب. والعكس صحيح أيضاً: إذا كان التقارب المطلق يستلزم التقارب في فضاء معياري، فإن هذا الفضاء هو فضاء باناخ.

إذا كانت المتسلسلة متقاربة ولكنها ليست متقاربة تقاربًا مطلقًا، فإنها تُسمى متقاربة تقاربًا مشروطًا . ومن أمثلة المتسلسلة المتقاربة تقاربًا مشروطًا المتسلسلة التوافقية المتناوبة . تُظهر العديد ^{من الاختبارات القياسية للتباعد} والتقارب، وأبرزها اختبار النسبة واختبار الجذر ، التقارب ^المطلق . وذلك لأن متسلسلة القوى تكون متقاربة تقاربًا مطلقًا داخل قرص تقاربها.

يتقارب حاصل ضرب كوشي لمتسلسلتين إلى حاصل ضرب مجموعيهما إذا كانت إحدى المتسلسلتين على الأقل متقاربة تقاربًا مطلقًا. أي، لنفترض أن $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.}$$

يُعرَّف حاصل ضرب كوشي بأنه مجموع الحدود${\displaystyle c_{n}}$أين: $${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$$

إذا كان أي منهما${\displaystyle a_{n}}$أو${\displaystyle b_{n}}$إذن، يتقارب المجموع تقارباً مطلقاً. $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.}$$

يُعد التقارب المطلق لمجموع دالة على مجموعة ما تعميمًا للتقارب المطلق للمتسلسلة. يمكننا أولًا النظر في مجموعة قابلة للعد.${\displaystyle X}$ووظيفة${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} .}$ سنقدم أدناه تعريفًا لمجموع${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle X,}$مكتوبة على النحو التالي${\textstyle \sum _{x\in X}f(x).}$

لاحظ أولاً أنه نظرًا لعدم وجود تعداد (أو "فهرسة") محددة لـ${\displaystyle X}$لم يتم تحديد السلسلة بعد${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$لا يمكن فهمها من خلال التعريف الأساسي للمتسلسلة. في الواقع، بالنسبة لبعض الأمثلة من${\displaystyle X}$و${\displaystyle f,}$مجموع${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle X}$قد لا يتم تعريفها على الإطلاق، حيث أن بعض الفهرسة قد تنتج سلسلة متقاربة شرطيًا.

لذلك نُعرّف${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$فقط في حالة وجود تقابل ما${\displaystyle g:\mathbb {Z} ^{+}\to X}$بحيث${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$هي متقاربة تقاربًا مطلقًا. لاحظ أن مصطلح "متقاربة تقاربًا مطلقًا" هنا يستخدم التعريف الأساسي، المطبق على المتسلسلة المفهرسة. في هذه الحالة، قيمة مجموع${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle X}$^{[ 5 ]} مُعرَّف بواسطة $${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$$

لاحظ أنه نظرًا لأن المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا، فإن كل إعادة ترتيب تكون مطابقة لاختيار مختلف للتقابل.${\displaystyle g.}$ بما أن جميع هذه المجاميع لها نفس القيمة، فإن مجموع${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle X}$محدد بشكل جيد.

وبشكل أعم، يمكننا تعريف مجموع${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle X}$متى${\displaystyle X}$هو عدد غير قابل للعد. لكن أولاً، دعونا نحدد ما يعنيه أن يكون المجموع متقارباً.

يترك${\displaystyle X}$أي مجموعة، قابلة للعد أو غير قابلة للعد، و${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$دالة. نقول إن مجموع${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle X}$يتقارب تقاربًا مطلقًا إذا $${\displaystyle \sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .}$$

هناك نظرية تنص على أنه إذا كان مجموع${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle X}$إذا كانت متقاربة تمامًا، فإن${\displaystyle f}$تأخذ قيمًا غير صفرية على مجموعة قابلة للعد على الأكثر. لذلك، فيما يلي تعريف متسق لمجموع${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle X}$عندما يكون المجموع متقارباً بشكل مطلق. $${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).}$$

لاحظ أن السلسلة النهائية تستخدم تعريف السلسلة على مجموعة قابلة للعد .

يُعرّف بعض المؤلفين المجموع المتكرر${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$أن تكون متقاربة تمامًا إذا كانت السلسلة المتكررة${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .}$^{[ 6 ]} وهذا في الواقع يعادل التقارب المطلق لـ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.}$ بمعنى آخر، إذا كان مجموع${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle X,}$${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},}$إذا تقاربت بشكل مطلق، كما هو مُعرّف أعلاه، فإن المجموع المتكرر${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$يتقاربان بشكل مطلق، والعكس صحيح.

التكامل​${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$يُقال إن دالة حقيقية أو مركبة القيم تتقارب تقاربًا مطلقًا إذا${\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$ ويقول أحدهم أيضاً إن${\displaystyle f}$قابلة للتكامل المطلق . إن مسألة التكامل المطلق معقدة وتعتمد على ما إذا كان يتم النظر في تكامل ريمان أو ليبيغ أو كورزويل-هينستوك (التكامل القياسي)؛ بالنسبة لتكامل ريمان، يعتمد الأمر أيضًا على ما إذا كنا نأخذ في الاعتبار التكامل بمعناه الصحيح فقط (${\displaystyle f}$و${\displaystyle A}$كلاهما محدود )، أو يسمح بالحالة الأكثر عمومية للتكاملات غير الصحيحة.

كخاصية قياسية لتكامل ريمان، عندما${\displaystyle A=[a,b]}$إذا كانت فترة محدودة ، فإن كل دالة متصلة تكون محدودة وقابلة للتكامل (حسب ريمان)، وبما أن${\displaystyle f}$يشير الاستمرار إلى${\displaystyle |f|}$بما أن الدالة متصلة، فإن كل دالة متصلة قابلة للتكامل المطلق. في الواقع، بما أن${\displaystyle g\circ f}$هل ريمان قابل للتكامل على${\displaystyle [a,b]}$لو${\displaystyle f}$قابل للتكامل (بشكل صحيح) و${\displaystyle g}$إذا كانت متصلة، فإن ذلك يترتب عليه أن${\displaystyle |f|=|\cdot |\circ f}$تكون قابلة للتكامل وفقًا لريمان بشكل صحيح إذا${\displaystyle f}$صحيح. ومع ذلك، لا ينطبق هذا الاستنتاج في حالة التكاملات غير المحددة. على سبيل المثال، الدالة${\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$هي قابلة للتكامل بشكل غير صحيح وفقًا لريمان على نطاقها غير المحدود، ولكنها ليست قابلة للتكامل بشكل مطلق: $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .}$$ في الواقع، وبشكل أعم، بالنظر إلى أي سلسلة${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$يمكن للمرء أن ينظر في دالة الخطوة المرتبطة بها${\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}.}$ ثم${\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$يتقارب بشكل مطلق، أو يتقارب بشكل مشروط، أو يتباعد وفقًا للسلوك المقابل لـ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

يختلف الوضع بالنسبة لتكامل لوبيغ، الذي لا يتعامل مع مجالات التكامل المحدودة وغير المحدودة بشكل منفصل ( انظر أدناه ). إن حقيقة أن تكامل${\displaystyle |f|}$يشير كون القيمة غير محدودة في الأمثلة أعلاه إلى أن${\displaystyle f}$كما أنها غير قابلة للتكامل بالمعنى الذي قصده لوبيغ. في الواقع، في نظرية لوبيغ للتكامل، بالنظر إلى أن${\displaystyle f}$قابل للقياس ،${\displaystyle f}$تكون (ليبيغ) قابلة للتكامل إذا وفقط إذا${\displaystyle |f|}$هي قابلة للتكامل (ليبيغ). ومع ذلك، فإن الفرضية التي${\displaystyle f}$إن قابلية القياس أمر بالغ الأهمية؛ فليس من الصحيح عمومًا أن الدوال قابلة للتكامل المطلق على${\displaystyle [a,b]}$قابلة للتكامل (ببساطة لأنها قد لا تكون قابلة للقياس): ليكن${\displaystyle S\subset [a,b]}$أن تكون مجموعة فرعية غير قابلة للقياس ، وفكر في${\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,}$أين${\displaystyle \chi _{S}}$هي الوظيفة المميزة لـ${\displaystyle S.}$ ثم${\displaystyle f}$لا يمكن قياسها وفقًا لمعيار لوبيغ، وبالتالي لا يمكن تكاملها، ولكن${\displaystyle |f|\equiv 1/2}$هي دالة ثابتة وقابلة للتكامل بشكل واضح.

من ناحية أخرى، دالة${\displaystyle f}$قد تكون قابلة للتكامل وفقًا لـ Kurzweil-Henstock (قابلة للتكامل وفقًا للمقياس) بينما${\displaystyle |f|}$ليس كذلك. وهذا يشمل حالة الدوال القابلة للتكامل بشكل غير صحيح وفقًا لريمان.

بشكل عام، على أي فضاء قياس${\displaystyle A,}$يُعرَّف تكامل لوبيغ لدالة حقيقية القيمة بدلالة أجزائها الموجبة والسالبة، لذا فإن الحقائق هي:

1. ${\displaystyle f}$التكامل يعني${\displaystyle |f|}$قابل للتكامل
2. ${\displaystyle f}$قابل للقياس،${\displaystyle |f|}$التكامل يعني${\displaystyle f}$قابل للتكامل

تُعتبر هذه المفاهيم جزءًا لا يتجزأ من تعريف تكامل ليبيغ. وعلى وجه الخصوص، فإن تطبيق النظرية على مقياس العد على مجموعة ما${\displaystyle S,}$يستعيد المرء مفهوم الجمع غير المرتب للمتسلسلات الذي طوره مور وسميث باستخدام (ما يسمى الآن بالشبكات). عندما${\displaystyle S=\mathbb {N} }$تتطابق جميع خصائص مجموعة الأعداد الطبيعية، وقابلية التكامل وفقًا لمعيار ليبيغ، وقابلية الجمع غير المرتبة، والتقارب المطلق.

أخيرًا، ينطبق كل ما سبق على التكاملات ذات القيم في فضاء باناخ. يُعد تعريف تكامل ريمان ذي القيم في فضاء باناخ تعديلًا واضحًا للتعريف المعتاد. أما بالنسبة لتكامل ليبيغ، فيتطلب الأمر تجاوز التفكيك إلى أجزاء موجبة وسالبة باستخدام منهج دانييل التحليلي الوظيفي ، لنحصل على تكامل بوخنر .

• القيمة الرئيسية لكوشي – طريقة لتعيين قيم للتكاملات 
• التقارب المشروط – خاصية من خصائص المتسلسلات اللانهائية 
• تقارب متسلسلات فورييه – مسألة رياضية في التحليل التوافقي الكلاسيكي 
• نظرية فوبيني – شروط تغيير ترتيب التكامل في حساب التفاضل والتكامل 
• أنماط التقارب (فهرس مشروح) - خاصية من خصائص التسلسل أو السلسلة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• نصف قطر التقارب – نطاق تقارب متسلسلات القوى 
• نظرية متسلسلات ريمان – المتسلسلات المتقاربة بلا شروط تتقارب تقارباً مطلقاً 
• التقارب غير المشروط – تقارب متتابعة بغض النظر عن ترتيبها 
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ... – متسلسلة لانهائية قابلة للجمع إلى 1/3 صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... – سلسلة لانهائية قابلة للجمع إلى صفحة واحدة تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه