دالة الخطوة

في الرياضيات، تُسمى الدالة على الأعداد الحقيقية دالة متدرجة إذا أمكن كتابتها كتركيبة خطية منتهية من دوال المؤشر لفترات . بعبارة أخرى، الدالة المتدرجة هي دالة ثابتة جزئياً تتكون من عدد محدود من الأجزاء .

وظيفة${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$تُسمى دالة الخطوة إذا أمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}$، لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle x}$

أين${\displaystyle n\geq 0}$،${\displaystyle \alpha _{i}}$هي أعداد حقيقية،${\displaystyle A_{i}}$هي فترات، و${\displaystyle \chi _{A_{i}}}$هي وظيفة المؤشر لـ${\displaystyle A_{i}}$:

${\displaystyle \chi _{A_{i}}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A_{i}\\0&{\text{if }}x\notin A_{i}\\\end{cases}}}$

في هذا التعريف، الفترات${\displaystyle A_{i}}$يمكن افتراض أن لها الخاصيتين التاليتين:

1. الفترات منفصلة مثنى مثنى :${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ل${\displaystyle i\neq j}$
2. اتحاد الفترات هو خط الأعداد الحقيقية بأكمله :${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$

في الواقع، إذا لم يكن الأمر كذلك في البداية، فيمكن اختيار مجموعة مختلفة من الفترات التي تنطبق عليها هذه الافتراضات. على سبيل المثال، دالة الخطوة

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}$

يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.}$

• الدالة الثابتة مثال بسيط على دالة الخطوة. عندئذٍ، لا توجد سوى فترة واحدة.${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} .}$
• دالة الإشارة sgn( x ) ، والتي تساوي -1 للأعداد السالبة و +1 للأعداد الموجبة، وهي أبسط دالة خطوة غير ثابتة.
• دالة هيفسايد H ( x ) ، التي تساوي 0 للأعداد السالبة و1 للأعداد الموجبة، تُكافئ دالة الإشارة، مع مراعاة تغيير نطاق الإشارة (${\displaystyle H=(\operatorname {sgn} +1)/2}$). إنه المفهوم الرياضي الكامن وراء بعض إشارات الاختبار ، مثل تلك المستخدمة لتحديد استجابة الخطوة لنظام ديناميكي .

• تُستخدم الدالة المستطيلة ، أو دالة الصندوق المعيارية ، لنمذجة نبضة الوحدة.

• إن مجموع وحاصل ضرب دالتين متدرجتين هما أيضاً دالة متدرجة. وحاصل ضرب دالة متدرجة في عدد ما هو أيضاً دالة متدرجة. وبذلك، تشكل الدوال المتدرجة جبراً على الأعداد الحقيقية.
• تأخذ دالة الخطوة عددًا محدودًا من القيم فقط. إذا كانت الفترات${\displaystyle A_{i},}$ل${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$في التعريف أعلاه لدالة الخطوة، تكون الأعداد منفصلة واتحادها هو خط الأعداد الحقيقية، إذن${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}}$للجميع${\displaystyle x\in A_{i}.}$
• التكامل المحدد لدالة الخطوة هو دالة خطية متعددة الأجزاء .
• تكامل لوبيغ لدالة متدرجة${\displaystyle \textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$يكون${\displaystyle \textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),}$أين${\displaystyle \ell (A)}$هو طول الفترة${\displaystyle A}$ويفترض هنا أن جميع الفترات${\displaystyle A_{i}}$لها طول محدود. في الواقع، يمكن أن تكون هذه المساواة (عند النظر إليها كتعريف) الخطوة الأولى في بناء تكامل ليبيغ. ^{[ 7 ]}
• يُعرَّف المتغير العشوائي المتقطع أحيانًا بأنه متغير عشوائي تكون دالة توزيعه التراكمي ثابتة جزئيًا. ^{[ 8 ]} في هذه الحالة، تكون دالة متدرجة محليًا (أما على المستوى الكلي، فقد تحتوي على عدد لا نهائي من الخطوات). مع ذلك، يُطلق عادةً على أي متغير عشوائي ذي عدد قابل للعد من القيم الممكنة اسم متغير عشوائي متقطع، وفي هذه الحالة، لا تكون دالة توزيعه التراكمي بالضرورة دالة متدرجة محليًا، إذ يمكن أن تتراكم فترات لا نهائية في منطقة محدودة.

• وظيفة الكرنيل
• قطعًا
• دالة سيجمويد
• دالة بسيطة
• اكتشاف الخطوات
• دالة الخطوة هيفسايد
• التقييم الثابت القطعي