مجموعة منتهية

في الرياضيات ، المجموعة المنتهية هي مجموعة من عدد محدود من الأشياء المختلفة؛ وتسمى هذه الأشياء عناصر أو أعضاء المجموعة، وهي عادةً كائنات رياضية ، مثل الأرقام والرموز والنقاط في الفضاء والخطوط والأشكال الهندسية الأخرى والمتغيرات أو المجموعات الأخرى.

بصورة غير رسمية، المجموعة المنتهية هي مجموعة يمكن من حيث المبدأ عدّها وإنهاء عدّها. على سبيل المثال، $${\displaystyle \{2,4,6,8,10\}}$$ هي مجموعة منتهية تحتوي على خمسة عناصر. عدد عناصر المجموعة المنتهية هو عدد طبيعي (قد يكون صفرًا ) ويُسمى عدد عناصر المجموعة. أما المجموعة غير المنتهية فتُسمى مجموعة غير منتهية . على سبيل المثال، المجموعة $${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$$ عدد جميع الأعداد الصحيحة الموجبة لا نهائي.

تُعدّ المجموعات المنتهية ذات أهمية خاصة في علم التوافيق ، وهو الدراسة الرياضية للعدّ . وتعتمد العديد من الحجج المتعلقة بالمجموعات المنتهية على مبدأ خانة الحمام ، الذي ينص على أنه لا يمكن أن توجد دالة أحادية من مجموعة منتهية أكبر إلى مجموعة منتهية أصغر.

تُعرَّف الأعداد الطبيعية بشكل مجرد بواسطة بديهيات بيانو ، ويمكن بناؤها باستخدام نظرية المجموعات (على سبيل المثال، بواسطة ترتيبات فون نيومان ). ومن ثم، بشكل رسمي، مجموعة${\displaystyle S}$يُطلق عليها اسم مجموعة منتهية إذا وُجد تقابل بينها وبين مجموعة أخرى.$${\displaystyle f\colon S\to \{1,2,\cdots ,n\}}$$ لبعض الأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$، على غرار عدّ عناصره. إذا${\displaystyle S}$إذا كانت فارغة ، فإن هذا يتحقق بشكل فارغ لـ${\displaystyle n=0}$باستخدام الدالة الفارغة . الرقم${\displaystyle n}$عدد عناصر المجموعة، ويرمز له بـ${\displaystyle |S|}$.

إذا كانت المجموعة غير الفارغة منتهية، فيمكن كتابة عناصرها في تسلسل : $${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\quad (x_{i}\in S,\ 1\leq i\leq n).}$$ إذا كان n ≥ 2، فإنه يوجد العديد من هذه المتتاليات. في علم التوافيق ، مجموعة منتهية تحتوي على${\displaystyle n}$يُطلق على العناصر أحيانًا اسم${\displaystyle n}$مجموعة ومجموعة فرعية مع${\displaystyle k}$يُطلق على العناصر اسم${\displaystyle k}$-مجموعة فرعية . على سبيل المثال، المجموعة${\displaystyle \{5,6,7\}}$هي مجموعة ثلاثية  - مجموعة منتهية تحتوي على ثلاثة عناصر  - و${\displaystyle \{6,7\}}$هي مجموعة فرعية ثنائية منها.

هذه الرموز${\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}$يمكن تعريفها بشكل متكرر على النحو التالي

$${\displaystyle \{1,\cdots ,n\}=\left\{{\begin{array}{lll}\varnothing {\text{ (المجموعة الفارغة)}}&{\text{إذا كان}}&n=0\\\{1,\cdots ,n-1\}\cup \{n\}&{\text{إذا كان}}&n\geq 1\\\end{array}}\right.}$$

أي مجموعة جزئية فعلية من مجموعة منتهية${\displaystyle S}$مجموعة محدودة تحتوي على عناصر أقل من المجموعة S نفسها. ونتيجة لذلك، لا يمكن أن يوجد تقابل بين مجموعة محدودة S ومجموعة جزئية فعلية منها . تُسمى أي مجموعة تتمتع بهذه الخاصية مجموعة محدودة من نوع ديديكيند . باستخدام بديهيات ZFC القياسية لنظرية المجموعات ، فإن كل مجموعة محدودة من نوع ديديكيند هي أيضًا مجموعة محدودة، ولكن لا يمكن إثبات هذا الاستلزام باستخدام بديهيات ZF (بديهيات زيرميلو-فرانكل بدون بديهية الاختيار ) وحدها. بديهية الاختيار القابل للعد ، وهي صيغة ضعيفة من بديهية الاختيار، كافية لإثبات هذا التكافؤ.

أي دالة أحادية بين مجموعتين منتهيتين لهما نفس العدد الأصلي هي أيضاً دالة شاملة (تطبيق شامل). وبالمثل، أي تطبيق شامل بين مجموعتين منتهيتين لهما نفس العدد الأصلي هو أيضاً دالة أحادية.

اتحاد مجموعتين منتهيتين هو مجموعة منتهية، مع$${\displaystyle |S\cup T|\leq |S|+|T|.}$$

في الواقع، وفقًا لمبدأ الإدراج والاستبعاد : $${\displaystyle |S\cup T|=|S|+|T|-|S\cap T|.}$$ بشكل عام، اتحاد أي عدد محدود من المجموعات المنتهية هو اتحاد محدود. والضرب الديكارتي للمجموعات المنتهية هو أيضاً اتحاد محدود، حيث: $${\displaystyle |S\times T|=|S|\times |T|.}$$ وبالمثل، فإن حاصل الضرب الديكارتي لعدد محدود من المجموعات المنتهية هو مجموعة منتهية. المجموعة المنتهية التي${\displaystyle n}$العناصر لديها${\displaystyle 2^{n}}$مجموعات فرعية متميزة. أي مجموعة القوى${\displaystyle \wp (S)}$تكون مجموعة S المنتهية منتهية، ولها عدد عناصر.${\displaystyle 2^{|S|}}$.

أي مجموعة جزئية من مجموعة منتهية هي مجموعة منتهية. ومجموعة قيم دالة ما عند تطبيقها على عناصر مجموعة منتهية هي مجموعة منتهية.

جميع المجموعات المنتهية قابلة للعد ، ولكن ليست كل المجموعات القابلة للعد منتهية. (مع ذلك، يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "قابلة للعد" بمعنى "لا نهائية قابلة للعد"، لذا فهم لا يعتبرون المجموعات المنتهية قابلة للعد).

الشبكة شبه الحرة على مجموعة منتهية هي مجموعة مجموعاتها الفرعية غير الفارغة، مع عملية الربط المعطاة بواسطة اتحاد المجموعات.

في نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل بدون بديهية الاختيار (ZF)، تكون الشروط التالية متكافئة: ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle S}$هي مجموعة منتهية. أي،${\displaystyle S}$يمكن وضعها في علاقة تناظرية مع مجموعة تلك الأعداد الطبيعية الأقل من عدد طبيعي محدد.
2. ( كازيميرز كوراتوفسكي )${\displaystyle S}$يمتلك جميع الخصائص التي يمكن إثباتها بالاستقراء الرياضي بدءًا من المجموعة الفارغة وإضافة عنصر جديد واحد في كل مرة.
3. ( بول ستاكل )${\displaystyle S}$يمكن إعطاء ترتيب كلي يكون جيدًا من الأمام والخلف. أي أن كل مجموعة جزئية غير فارغة من${\displaystyle S}$يحتوي على عنصر أصغر وعنصر أكبر في المجموعة الفرعية.
4. كل وظيفة فردية من${\displaystyle \wp {\bigl (}\wp (S){\bigr )}}$في ذاتها شاملة . أي أن مجموعة القوى لمجموعة قوى${\displaystyle S}$هو Dedekind محدود (انظر أدناه). ^{[ 2 ]}
5. كل دالة شاملة من${\displaystyle \wp {\bigl (}\wp (S){\bigr )}}$إن العلاقة بين الشيء نفسه ونفسه علاقة أحادية.
6. ( ألفريد تارسكي ) كل عائلة غير فارغة من المجموعات الجزئية من${\displaystyle S}$تحتوي على عنصر أدنى فيما يتعلق بالاحتواء. ^{[ 3 ]} (وبصورة مكافئة، كل عائلة غير فارغة من المجموعات الجزئية من${\displaystyle S}$(يحتوي على عنصر أقصى فيما يتعلق بالتضمين.)
7. ${\displaystyle S}$يمكن أن يكون مرتبًا ترتيبًا جيدًا، وأي ترتيبين جيدين عليه يكونان متماثلين في الترتيب . بعبارة أخرى، الترتيبات الجيدة على${\displaystyle S}$يجب أن يكون هناك نوع طلب واحد فقط .

إذا تم افتراض بديهية الاختيار أيضًا ( بديهية الاختيار القابل للعد كافية)، ^{[ 4 ]} فإن الشروط التالية كلها متكافئة:

1. ${\displaystyle S}$هي مجموعة منتهية.
2. ( ريتشارد ديديكيند ) كل دالة أحادية من${\displaystyle S}$إن خاصية "الشمول" في ذاتها شاملة. وتسمى المجموعة التي تتمتع بهذه الخاصية "مجموعة ديديكيند-المنتهية" .
3. كل دالة شاملة من${\displaystyle S}$إن العلاقة بين الشيء نفسه ونفسه علاقة أحادية.
4. ${\displaystyle S}$فارغ أو كل ترتيب جزئي لـ${\displaystyle S}$يحتوي على عنصر أقصى .

من الخصائص المهمة للمجموعات المنتهية أنه، على سبيل المثال، إذا كانت المجموعة تحتوي على 4 عناصر، فلا يمكن أن تحتوي أيضًا على 5 عناصر. وهذا يعني بديهيًا أن المجموعة لا يمكن أن تحتوي على 4 عناصر بالضبط و5 عناصر بالضبط في الوقت نفسه. مع ذلك، فإن إثبات هذه الخاصية ليس بهذه البساطة. البرهان التالي مقتبس من كتاب التحليل الرياضي الأول لتيرينس تاو . ^{[ 8 ]}

اللمة: إذا كانت مجموعة${\displaystyle X}$له عددية${\displaystyle n\geq 1,}$و${\displaystyle x_{0}\in X,}$ثم المجموعة${\displaystyle X-\{x_{0}\}}$(أي${\displaystyle X}$مع العنصر${\displaystyle x_{0}}$(تمت إزالته) له عددية${\displaystyle n-1.}$

البرهان: معطى${\displaystyle X}$كما سبق، لأن${\displaystyle X}$له عددية${\displaystyle n,}$يوجد تقابل${\displaystyle f}$من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}.}$ثم، بما أن${\displaystyle x_{0}\in X,}$لا بد أن يكون هناك عدد ما${\displaystyle f(x_{0})}$في${\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}.}$نحتاج إلى إيجاد تقابل من${\displaystyle X-\{x_{0}\}}$ل${\displaystyle \{1,\dots n-1\}}$(والتي قد تكون فارغة). عرّف دالة${\displaystyle g}$بحيث${\displaystyle g(x)=f(x_{0})}$لو${\displaystyle f(x)=n}$، و${\displaystyle g(x)=f(x)}$وإلا.${\displaystyle g}$هو تقابل من${\displaystyle X-\{x_{0}\}}$ل${\displaystyle \{1,\dots n-1\}.}$

نظرية: إذا كانت مجموعة${\displaystyle X}$له عددية${\displaystyle n,}$إذن لا يمكن أن يكون لها أي عدد آخر. أي،${\displaystyle X}$لا يمكن أن يكون له عدد أصلي أيضًا${\displaystyle m\neq n.}$

البرهان: إذا${\displaystyle X}$إذا كانت المجموعة فارغة (أي أن عدد عناصرها 0)، فلا يمكن أن يوجد تقابل من${\displaystyle X}$إلى أي مجموعة غير فارغة${\displaystyle Y,}$لأنه، وبشكلٍ فارغ ، لا شيء يمكن أن يُترجم إلى${\displaystyle y_{0}\in Y.}$لنفترض، بالاستقراء ، أن النتيجة قد ثبتت حتى عدد معين من العناصر${\displaystyle n.}$لو${\displaystyle X,}$له عددية${\displaystyle n+1,}$بافتراض أن لها عددية أيضاً${\displaystyle m.}$نريد أن نوضح ذلك${\displaystyle m=n+1.}$بحسب اللمة المذكورة أعلاه،${\displaystyle X-\{x_{0}\}}$يجب أن يكون له عددية${\displaystyle n}$و${\displaystyle m-1.}$بما أن، بالاستقراء، فإن عدد العناصر فريد بالنسبة للمجموعات ذات عدد العناصر${\displaystyle n,}$لا بد أن يكون ذلك${\displaystyle m-1=n,}$وبالتالي${\displaystyle m=n+1.}$

• فين سيت
• مجموعة نقاط منفصلة
• العدد الترتيبي
• حساب البيانو

• أبوستول، توم م. (1974)، التحليل الرياضي (  الطبعة الثانية)، مينلو بارك: أديسون-ويسلي ، رقم مكتبة الكونغرس 72011473 
• كوهن، بول موريتز، FRS (1981)، الجبر العالمي ، دوردريخت: د. رايدل ، ISBN 90-277-1254-9، إل سي سي إن 80-29568 {{citation}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
• ديديكيند، ريتشارد (2012)، هل كان مؤلمًا وكان حزينًا على زحلة؟ ، مجموعة مكتبة كامبريدج (  الطبعة غلاف عادي)، كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-1-108-05038-8
• ديديكيند، ريتشارد (1963)، مقالات في نظرية الأعداد ، كتب دوفر في الرياضيات، بيمان، ووستر وودروف (  طبعة غلاف ورقي)، منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-21010-3{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• دي لا كروز، عمر؛ دزفاروف، دامير د.؛ Hall، Eric J. (2006)، “تعريفات الدقة بناءً على خصائص الطلب” (PDF) ، Fundamenta Mathematicae ، 189 (2): 155–172 ، دوى : 10.4064 / fm189-2-5 ، MR 2214576 
• هيرليش، هورست (2006)، بديهية الاختيار ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات. 1876، برلين: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 3-540-30989-6
• هوارد، بول؛ روبين، جين إي. (1998)، نتائج بديهية الاختيار ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 9780821809778
• كوراتوفسكي ، كازيميرز (1920)، “Sur la notion d’ensemble fini” (PDF) ، Fundamenta Mathematicae ، 1 : 129–131 ، دوى : 10.4064/fm-1-1-129-131 ، أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2011-05-15
• لابار، أنتوني إي. الابن (1968)، التحليل الرياضي المتوسط ، نيويورك: هولت، راينهارت ووينستون ، LCCN 68019130 
• ليفي، عزريل (1958)، "استقلالية التعريفات المختلفة للنهائية" (ملف PDF) ، Fundamenta Mathematicae ، 46 : 1-13 ، doi : 10.4064/fm-46-1-1-13 ، مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2003-07-05
• رودين، والتر (1976)، مبادئ التحليل الرياضي (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: ماكجرو هيل ، رقم ISBN 0-07-054235-X
• سوبس، باتريك (1972) [1960]، نظرية المجموعات البديهية ، كتب دوفر في الرياضيات (  طبعة غلاف ورقي)، منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-61630-4
• تاو، تيرينس (2022)، التحليل 1 ، نصوص وقراءات في الرياضيات (  الطبعة الرابعة)، سنغافورة: سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا ، doi : 10.1007/978-3-662-00274-2 ، ISBN 978-981-19-7261-4ISSN 2366-8717​ 
• Tarski، Alfred (1924)، “Sur les ensembles finis” (PDF) ، Fundamenta Mathematicae ، 6 : 45–95 ، دوى : 10.4064/fm-6-1-45-95 ، أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2011-05-15
• تارسكي، ألفريد (1954)، "نظريات حول وجود خلفاء الأعداد الأصلية، وبديهية الاختيار"، وقائع الأكاديمية الهولندية للعلوم، السلسلة أ، دراسات الرياضيات ، 16 : 26-32 ، doi : 10.1016/S1385-7258(54)50005-3 ، MR 0060555 
• وايت هيد، ألفريد نورث ؛ راسل، برتراند (فبراير 2009) [1912]، كتاب مبادئ الرياضيات ، المجلد  الثاني، دار نشر ميرشانت بوكس، رقم ISBN 978-1-60386-183-0

• باريل، مارجريتا ، "المجموعة المحدودة" ، ماث وورلد