العناصر القصوى والدنيا

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 129 صور
الموسوعة الحرة
مخطط هاس لمجموعة P من قواسم العدد 60، مرتبة جزئيًا وفقًا للعلاقة " x يقسم y ". المجموعة الفرعية الحمراءS{\displaystyle S}= {1,2,3,4} لها عنصران أقصى، وهما 3 و4، وعنصر أدنى واحد، وهو 1، وهو أيضًا أصغر عنصر فيها.

في الرياضيات ، وخاصة في نظرية الترتيب ، العنصر الأقصى لمجموعة جزئيةS{\displaystyle S}عنصر من مجموعة مرتبة مسبقًا هو عنصر منS{\displaystyle S}الذي ليس أصغر من أي عنصر آخر فيS{\displaystyle S}. أصغر عنصر في مجموعة جزئيةS{\displaystyle S}يُعرَّف عنصر من مجموعة مرتبة مسبقًا بشكل مزدوج على أنه عنصر منS{\displaystyle S}الذي لا يزيد عن أي عنصر آخر فيS{\displaystyle S}.

إن مفهومي العنصر الأقصى والعنصر الأدنى أضعف من مفهومي أكبر عنصر وأصغر عنصر، واللذين يُعرفان أيضاً، على التوالي، بالحد الأقصى والحد الأدنى. الحد الأقصى لمجموعة جزئيةS{\displaystyle S}عنصر من مجموعة مرتبة مسبقًا هو عنصر منS{\displaystyle S}وهو أكبر من أو يساوي أي عنصر آخر منS،{\displaystyle S,}والحد الأدنى منS{\displaystyle S}يُعرَّف هذا المفهوم أيضًا بشكل مزدوج. في حالة المجموعة المرتبة جزئيًا ، بينما لا يمكن أن يكون هناك أكثر من عنصر أقصى واحد وأكثر من عنصر أدنى واحد، قد يكون هناك أكثر من عنصر أقصى أو أدنى. [ 1 ] [ 2 ] وبالتفصيل أكثر، بالنسبة للمجموعات المرتبة كليًا ، يتطابق مفهوم العنصر الأقصى مع مفهوم العنصر الأقصى، ويتطابق مفهوم العنصر الأدنى مع مفهوم العنصر الأدنى.

على سبيل المثال، في المجموعة S:={{د،o}،{د،o،ز}،{ز،o،أ،د}،{o،أ،و}}{\displaystyle S:=\left\{\{d,o\},\{d,o,g\},\{g,o,a,d\},\{o,a,f\}\right\}} مرتبةً حسب الاحتواء ، يكون العنصر { d , o } أصغر عنصر لأنه لا يحتوي على أي مجموعات في المجموعة، ويكون العنصر { g , o , a , d } أكبر عنصر لأنه لا توجد مجموعات في المجموعة تحتويه، ويكون العنصر { d , o , g } ليس أصغر ولا أكبر عنصر، ويكون العنصر { o , a , f } أصغر وأكبر في آنٍ واحد. في المقابل، لا يوجد حد أقصى ولا حد أدنى لـS.{\displaystyle S.}

تنصّ مبرهنة زورن على أن كل مجموعة مرتبة جزئيًا، والتي يكون لكل مجموعة جزئية مرتبة كليًا حدّ أعلى لها، تحتوي على عنصر أقصى واحد على الأقل. هذه المبرهنة مكافئة لنظرية الترتيب الجيد وبديهية الاختيار [ 3 ]، وتستلزم نتائج مهمة في مجالات رياضية أخرى، مثل مبرهنة هان-باناخ ، ومبرهنة كيرزبراون ، ومبرهنة تيكونوف ، ووجود أساس هامل لكل فضاء متجهي ، ووجود إغلاق جبري لكل حقل .

تعريف

يترك(P،≤){\displaystyle (P,\leq )}لنفترض أنها مجموعة مرتبة مسبقًا ولندعهاS⊆P.{\displaystyle S\subseteq P.}عنصر أقصى منS{\displaystyle S}بالنسبة إلى≤{\displaystyle \,\leq \,}هو عنصرم∈S{\displaystyle m\in S}بحيث

لوs∈S{\displaystyle s\in S}يرضيم≤s،{\displaystyle m\leq s,}ثم بالضرورةs≤م.{\displaystyle s\leq m.}

وبالمثل، أعنصر أساسي منS{\displaystyle S}بالنسبة إلى≤{\displaystyle \,\leq \,}هو عنصرم∈S{\displaystyle m\in S}بحيث

لوs∈S{\displaystyle s\in S}يرضيs≤م،{\displaystyle s\leq m,}ثم بالضرورةم≤s.{\displaystyle m\leq s.}

وبعبارة أخرى،م∈S{\displaystyle m\in S}هو عنصر أساسي منS{\displaystyle S}بالنسبة إلى≤{\displaystyle \,\leq \,}إذا وفقط إذام{\displaystyle m}هو عنصر أقصى منS{\displaystyle S}بالنسبة إلى≥،{\displaystyle \,\geq ,\,}حيث بحسب التعريف،q≥ص{\displaystyle q\geq p}إذا وفقط إذاص≤q{\displaystyle p\leq q}(للجميع)ص،q∈P{\displaystyle p,q\in P}).

إذا كانت المجموعة الفرعيةS{\displaystyle S}إذا لم يتم تحديد ذلك، فينبغي افتراض أنS:=P.{\displaystyle S:=P.}بشكل صريح، أالعنصر الأقصى (على التوالي،العنصر الأدنى)من(P،≤){\displaystyle (P,\leq )}هو عنصر أقصى (أو عنصر أدنى) منS:=P{\displaystyle S:=P}بالنسبة إلى≤.{\displaystyle \,\leq .}

إذا كانت المجموعة المطلوبة مسبقًا(P،≤){\displaystyle (P,\leq )}كما أنها مجموعة مرتبة جزئياً (أو بشكل أعم، إذا كان القيد(S،≤){\displaystyle (S,\leq )}(إذا كانت مجموعة مرتبة جزئياً)م∈S{\displaystyle m\in S}هو عنصر أقصى منS{\displaystyle S}إذا وفقط إذاS{\displaystyle S}لا يحتوي على عنصر أكبر منم؛{\displaystyle m;}وهذا يعني صراحةً أنه لا يوجد أي عنصرs∈S{\displaystyle s\in S}بحيثم≤s{\displaystyle m\leq s}وم≠s.{\displaystyle m\neq s.} يتم الحصول على خصائص العناصر الدنيا باستخدام≥{\displaystyle \,\geq \,}بدلاً من≤.{\displaystyle \,\leq .}

الوجود والتفرد

يتكون السياج من عناصر دنيا وعناصر قصوى فقط (مثال 3).

لا يشترط وجود العناصر القصوى.

  • مثال 1: ليكنS=[1،∞)⊆R{\displaystyle S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R} }أينR{\displaystyle \mathbb {R} }يرمز إلى الأعداد الحقيقية . لكلم∈S،{\displaystyle m\in S,}s=م+1∈S{\displaystyle s=m+1\in S}لكنم<s{\displaystyle m<s}(إنه،م≤s{\displaystyle m\leq s}لكن ليسم=s{\displaystyle m=s}).
  • مثال 2: ليكنS={s∈سؤال : 1≤s2≤2}،{\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\},}أينسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يرمز إلى الأعداد النسبية و حيث2{\displaystyle {\sqrt {2}}}غير منطقي.

على العموم≤{\displaystyle \,\leq \,}هذا مجرد طلب جزئيS.{\displaystyle S.}لوم{\displaystyle m}هو عنصر أقصى وs∈S،{\displaystyle s\in S,}عندئذٍ يبقى من الممكن ألا يكون أي منهماs≤م{\displaystyle s\leq m}ولام≤s.{\displaystyle m\leq s.}وهذا يترك الباب مفتوحاً أمام إمكانية وجود أكثر من عنصر أقصى واحد.

  • مثال 3: في السياجأ1<ب1>أ2<ب2>أ3<ب3>...،{\displaystyle a_{1}<b_{1}>a_{2}<b_{2}>a_{3}<b_{3}>\ldots ,}جميعأأنا{\displaystyle a_{i}}هي ضئيلة وكلهابأنا{\displaystyle b_{i}}تكون في أقصى حد لها، كما هو موضح في الصورة.
  • مثال 4: ليكن A مجموعة تحتوي على عنصرين على الأقل، وليكنS={{أ} : أ∈أ}{\displaystyle S=\{\{a\}~:~a\in A\}}لتكن مجموعة جزئية من مجموعة القوى℘(أ){\displaystyle \wp (A)}تتكون من مجموعات فرعية أحادية ، مرتبة جزئيًا حسب⊆.{\displaystyle \,\subseteq .}هذه هي المجموعة الجزئية المنفصلة حيث لا يمكن مقارنة أي عنصرين، وبالتالي كل عنصر{أ}∈S{\displaystyle \{a\}\in S}يكون أقصى (وأدنى)؛ علاوة على ذلك، لأي قيمة مميزةأ،ب∈أ،{\displaystyle a,b\in A,}لا{أ}⊆{ب}{\displaystyle \{a\}\subseteq \{b\}}ولا{ب}⊆{أ}.{\displaystyle \{b\}\subseteq \{a\}.}

أكبر العناصر وأصغرها

بالنسبة لمجموعة مرتبة جزئياً(P،≤)،{\displaystyle (P,\leq ),}النواة غير الانعكاسية لـ≤{\displaystyle \,\leq \,}يُشار إليه بـ<{\displaystyle \,<\,}ويتم تعريفه بواسطةx<y{\displaystyle x<y}لوx≤y{\displaystyle x\leq y}وx≠y.{\displaystyle x\neq y.} للأعضاء التعسفيينx،y∈P،{\displaystyle x,y\in P,}ينطبق أحد الحالات التالية فقط:

  1. x<y{\displaystyle x<y}؛
  2. x=y{\displaystyle x=y}؛
  3. y<x{\displaystyle y<x}؛
  4. x{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}لا يمكن مقارنتهما.

بالنظر إلى مجموعة جزئيةS⊆P{\displaystyle S\subseteq P}وبعضx∈S،{\displaystyle x\in S,}

  • إذا لم تنطبق الحالة 1 على أيy∈S،{\displaystyle y\in S,}ثمx{\displaystyle x}هو عنصر أقصى منS،{\displaystyle S,}كما هو موضح أعلاه؛
  • إذا لم تنطبق الحالتان 1 و 4 على أيy∈S،{\displaystyle y\in S,}ثمx{\displaystyle x}يُطلق عليه اسم العنصر الأكبر منS.{\displaystyle S.}

وبالتالي فإن تعريف العنصر الأكبر أقوى من تعريف العنصر الأقصى.

وبصورة مكافئة، أكبر عنصر في مجموعة جزئيةS{\displaystyle S}يمكن تعريفها كعنصر منS{\displaystyle S}وهو أكبر من كل عنصر آخر منS.{\displaystyle S.} قد تحتوي المجموعة الجزئية على عنصر واحد أكبر على الأكثر. [ البرهان 1 ]

أهم عنصر فيS،{\displaystyle S,}إذا وُجد، فهو أيضًا عنصر أقصى منS،{\displaystyle S,}[ البرهان 2 ] وهو الوحيد. [ البرهان 3 ] بالاستدلالالعكسي، إذاS{\displaystyle S}إذا كان للمصفوفة عدة عناصر عظمى، فلا يمكن أن يكون لها عنصر أعظم؛ انظر المثال 3.P{\displaystyle P}تحقق شرط السلسلة التصاعدية ، وهي مجموعة جزئيةS{\displaystyle S}لP{\displaystyle P}تحتوي المجموعة على عنصر أعظم إذا، وفقط إذا ، كان لها عنصر أعظم واحد. [ البرهان 4 ]

عندما يتم تقييد≤{\displaystyle \,\leq \,}لS{\displaystyle S}هو طلب كامل (S={1،2،4}{\displaystyle S=\{1,2,4\}}(في الصورة العلوية مثال)، عندئذٍ يتطابق مفهوما العنصر الأقصى والعنصر الأكبر. [ البرهان 5 ] هذا ليس شرطًا ضروريًا: كلماS{\displaystyle S}إذا كان للمجموعة عنصر أعظم، فإن المفهومين يتطابقان أيضًا، كما ذُكر أعلاه. إذا تطابق مفهوما العنصر الأقصى والعنصر الأعظم في كل مجموعة جزئية مكونة من عنصرينS{\displaystyle S}لP.{\displaystyle P.}ثم≤{\displaystyle \,\leq \,}هذا طلب كامل علىP.{\displaystyle P.}[ الإثبات 6 ]

إن المفهوم المقابل لمفهوم الأعظم هو مفهوم العنصر الأصغر الذي يرتبط بالحد الأدنى بنفس الطريقة التي يرتبط بها مفهوم الأعظم بالحد الأقصى .

مجموعات موجهة

في المجموعة المرتبة ترتيبًا كليًا ، يتطابق مصطلحا "العنصر الأقصى" و"العنصر الأكبر"، ولذلك يُستخدمان بشكل متبادل في مجالات مثل التحليل الرياضي حيث تُؤخذ الترتيبات الكلية فقط في الاعتبار. لا تنطبق هذه الملاحظة على المجموعات الفرعية المرتبة ترتيبًا كليًا لأي مجموعة مرتبة ترتيبًا جزئيًا فحسب، بل تنطبق أيضًا على تعميمها في نظرية الترتيب عبر المجموعات الموجهة . في المجموعة الموجهة، لكل زوج من العناصر (وخاصة أزواج العناصر غير القابلة للمقارنة) حد أعلى مشترك داخل المجموعة. إذا احتوت مجموعة موجهة على عنصر أقصى، فهو أيضًا عنصرها الأكبر، [ البرهان 7 ] وبالتالي عنصرها الأقصى الوحيد. للاطلاع على مثال لمجموعة موجهة بدون عناصر قصوى أو أكبر، انظر المثالين 1 و2 أعلاه .

تنطبق استنتاجات مماثلة على العناصر الدنيا.

يمكن الاطلاع على المزيد من المعلومات التمهيدية في المقالة المتعلقة بنظرية النظام .

ملكيات

  • كل مجموعة جزئية منتهية غير فارغةS{\displaystyle S}تحتوي المجموعة على عناصر قصوى وعناصر دنيا. أما المجموعة الجزئية غير المنتهية فلا يشترط أن تحتوي على أي منهما، على سبيل المثال، الأعداد الصحيحةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }بالترتيب المعتاد.
  • مجموعة العناصر القصوى لمجموعة جزئيةS{\displaystyle S}هي دائمًا سلسلة مضادة ، أي لا يوجد عنصران أقصى مختلفان منS{\displaystyle S}وهي قابلة للمقارنة. وينطبق الشيء نفسه على العناصر الدنيا.

أمثلة

نظرية المستهلك

في علم الاقتصاد، يمكن للمرء أن يخفف من بديهية عدم التناظر، باستخدام الترتيبات المسبقة (بشكل عام الترتيبات المسبقة الكلية ) بدلاً من الترتيبات الجزئية؛ المفهوم المماثل للعنصر الأقصى مشابه جدًا، ولكن يتم استخدام مصطلحات مختلفة، كما هو مفصل أدناه.

في نظرية المستهلك، يُعتبر فضاء الاستهلاك مجموعة ماX{\displaystyle X}، عادةً ما يكون الجزء الموجب من فضاء متجهي ما بحيث يكون كلx∈X{\displaystyle x\in X}يمثل هذا كمية الاستهلاك المحددة لكل سلعة موجودة في الاقتصاد. وعادةً ما يتم تمثيل تفضيلات المستهلك من خلال إجمالي الطلب المسبق.⪯{\displaystyle \preceq }لهذا السبب.x،y∈X{\displaystyle x,y\in X}وx⪯y{\displaystyle x\preceq y}يقرأ:x{\displaystyle x}يُفضّل على الأكثر أن يكون كذلكy{\displaystyle y}. متىx⪯y{\displaystyle x\preceq y}وy⪯x{\displaystyle y\preceq x}يُفسر ذلك بأن المستهلك غير مبالٍ بينx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}لكن هذا لا يُعد سببًا للاستنتاج بأنx=y.{\displaystyle x=y.}لا يُفترض مطلقًا أن علاقات التفضيل متناظرة عكسيًا. في هذا السياق، لأيب⊆X،{\displaystyle B\subseteq X,}عنصرx∈ب{\displaystyle x\in B}يُقال إن العنصر هو عنصر أقصى إذا y∈ب{\displaystyle y\in B}يشير إلىy⪯x{\displaystyle y\preceq x} حيث يتم تفسيرها على أنها مجموعة استهلاكية لا تهيمن عليها أي مجموعة أخرى بالمعنى الذيx≺y،{\displaystyle x\prec y,}إنهx⪯y{\displaystyle x\preceq y}وليسy⪯x.{\displaystyle y\preceq x.}

تجدر الإشارة إلى أن التعريف الرسمي يشبه إلى حد كبير تعريف العنصر الأكبر في المجموعة المرتبة. ومع ذلك، عندما⪯{\displaystyle \preceq }هو مجرد طلب مسبق، عنصرx{\displaystyle x}يتصرف العنصر الذي يتمتع بالخاصية المذكورة أعلاه بشكل مشابه جدًا للعنصر الأقصى في الترتيب. على سبيل المثال، العنصر الأقصىx∈ب{\displaystyle x\in B}ليس الأمر فريدًا بالنسبة لـy⪯x{\displaystyle y\preceq x}لا يستبعد ذلك إمكانية أنx⪯y{\displaystyle x\preceq y}(بينماy⪯x{\displaystyle y\preceq x}وx⪯y{\displaystyle x\preceq y}لا يعني ذلكx=y{\displaystyle x=y}بل مجرد لامبالاةx∼y{\displaystyle x\sim y}إن مفهوم العنصر الأكبر في ترتيب التفضيل المسبق هو مفهوم الخيار الأكثر تفضيلاً . أي، بعضx∈ب{\displaystyle x\in B}مع y∈ب{\displaystyle y\in B}يشير إلىy≺x.{\displaystyle y\prec x.}

ومن التطبيقات الواضحة تعريف مراسلات الطلب. لنفترضP{\displaystyle P}ليكن فئة الدوال علىX{\displaystyle X}عنصرص∈P{\displaystyle p\in P}يُطلق عليه اسم دالة السعر أو نظام السعر ، وهو يرسم خريطة لكل حزمة استهلاكيةx∈X{\displaystyle x\in X}في قيمتها السوقيةص(x)∈R+{\displaystyle p(x)\in \mathbb {R} _{+}}تُعدّ مراسلات الميزانية مراسلات .Γ:P×R+→X{\displaystyle \Gamma \colon P\times \mathbb {R} _{+}\rightarrow X}رسم خريطة لأي نظام تسعير وأي مستوى دخل ضمن مجموعة فرعية Γ(ص،م)={x∈X : ص(x)≤م}.{\displaystyle \Gamma (p,m)=\{x\in X~:~p(x)\leq m\}.}

تُحدد علاقة الطلب أي سعرص{\displaystyle p}وأي مستوى من الدخلم{\displaystyle m}في مجموعة⪯{\displaystyle \preceq }-العناصر القصوى لـΓ(ص،م){\displaystyle \Gamma (p,m)}. د(ص،م)={x∈X : x هو عنصر أقصى من Γ(ص،م)}.{\displaystyle D(p,m)=\left\{x\in X~:~x{\text{ is a maximal element of }}\Gamma (p,m)\right\}.}

يُطلق عليها اسم مطابقة الطلب لأن النظرية تتنبأ بأنه بالنسبة لـص{\displaystyle p}وم{\displaystyle m}بالنظر إلى الخيار العقلاني للمستهلكx*{\displaystyle x^{*}}سيكون هناك عنصر ماx*∈د(ص،م).{\displaystyle x^{*}\in D(p,m).}

مجموعة فرعيةسؤال{\displaystyle Q}من مجموعة مرتبة جزئياًP{\displaystyle P}يُقال إنها نهائية مشتركة إذا كان لكلx∈P{\displaystyle x\in P}يوجد بعضy∈سؤال{\displaystyle y\in Q}بحيثx≤y.{\displaystyle x\leq y.}يجب أن تحتوي كل مجموعة جزئية نهائية مشتركة لمجموعة مرتبة جزئياً ذات عناصر قصوى على جميع العناصر القصوى.

مجموعة فرعيةل{\displaystyle L}من مجموعة مرتبة جزئياًP{\displaystyle P}ويُقال إنها مجموعة دنيا منP{\displaystyle P}إذا كان مغلقًا للأسفل: إذاy∈ل{\displaystyle y\in L}وx≤y{\displaystyle x\leq y}ثمx∈ل.{\displaystyle x\in L.}كل مجموعة سفليةل{\displaystyle L}من مجموعة مرتبة منتهيةP{\displaystyle P}يساوي أصغر مجموعة دنيا تحتوي على جميع العناصر القصوى منل.{\displaystyle L.}

انظر أيضاً

ملحوظات

البراهين
  1. ↑ إذاز1{\displaystyle g_{1}}وز2{\displaystyle g_{2}}كلاهما أعظم، إذنز1≤ز2{\displaystyle g_{1}\leq g_{2}}وز2≤ز1،{\displaystyle g_{2}\leq g_{1},}وبالتاليز1=ز2{\displaystyle g_{1}=g_{2}}عن طريق التناظر العكسي .◼{\displaystyle \blacksquare }
  2. ↑ إذاز{\displaystyle g}هو العنصر الأكبر منS{\displaystyle S}وs∈S،{\displaystyle s\in S,}ثمs≤ز.{\displaystyle s\leq g.}بسبب التناظر العكسي ، ينتج عن ذلك (ز≤s{\displaystyle g\leq s}وز≠s{\displaystyle g\neq s}) مستحيل.◼{\displaystyle \blacksquare }
  3. ↑ إذام{\displaystyle m}إذا كان عنصرًا أقصىم≤ز{\displaystyle m\leq g}(لأنز{\displaystyle g}هو الأكبر) وبالتاليم=ز{\displaystyle m=g}منذم{\displaystyle m}هو الحد الأقصى.◼{\displaystyle \blacksquare }
  4. ↑ فقط إذا : انظر أعلاه. — إذا : افترض جدلاً أنS{\displaystyle S}يحتوي على عنصر أقصى واحد فقط،م،{\displaystyle m,}لكن ليس هناك عنصر أعظم. بما أنم{\displaystyle m}ليس الأفضل، بعضs1∈S{\displaystyle s_{1}\in S}يجب أن يوجد شيء لا يُضاهى بـم.{\displaystyle m.}لذلكs1∈S{\displaystyle s_{1}\in S}لا يمكن أن يكون أقصى حد، أيs1<s2{\displaystyle s_{1}<s_{2}}يجب الانتظار لبعض الوقتs2∈S.{\displaystyle s_{2}\in S.}يجب أن يكون الأخير غير قابل للمقارنة بـم،{\displaystyle m,}أيضًا، لأنم<s2{\displaystyle m<s_{2}}يتناقضم{\displaystyle m}أقصى حد بينماs2≤م{\displaystyle s_{2}\leq m}يتناقض ذلك مع عدم إمكانية المقارنةم{\displaystyle m}وs1.{\displaystyle s_{1}.}بتكرار هذه الحجة، سلسلة تصاعدية لا نهائيةs1<s2<...<sن<⋯{\displaystyle s_{1}<s_{2}<\ldots <s_{n}<\cdots }يمكن العثور على (بحيث يكون كلsأنا{\displaystyle s_{i}}لا يُقارن بـم{\displaystyle m}(وليس الحد الأقصى). وهذا يتناقض مع شرط السلسلة التصاعدية.◼{\displaystyle \blacksquare }
  5. ↑ دعم∈S{\displaystyle m\in S}ليكن عنصرًا أقصى، لأيs∈S{\displaystyle s\in S}أيضاًs≤م{\displaystyle s\leq m}أوم≤s.{\displaystyle m\leq s.}في الحالة الثانية، يتطلب تعريف العنصر الأقصى ما يلي:s=م،{\displaystyle s=m,}وبناءً على ذلكs≤م.{\displaystyle s\leq m.}بعبارة أخرى،م{\displaystyle m}هو عنصر عظيم.◼{\displaystyle \blacksquare }
  6. ↑ إذاأ،ب∈P{\displaystyle a,b\in P}كانت لا تُقارن، إذنS={أ،ب}{\displaystyle S=\{a,b\}}سيكون له عنصران أقصى، ولكن ليس له عنصر أعظم، مما يناقض المصادفة.◼{\displaystyle \blacksquare }
  7. ↑ دعم∈د{\displaystyle m\in D}ليكن أقصى.x∈د{\displaystyle x\in D}إذا كان اختيارياً، فإن الحد الأعلى المشتركu{\displaystyle u}لم{\displaystyle m}وx{\displaystyle x}يرضيu≥م{\displaystyle u\geq m}، لذاu=م{\displaystyle u=m}بالحد الأقصى. بما أنx≤u{\displaystyle x\leq u}يُعتبر هذا صحيحاً وفقاً لتعريفu{\displaystyle u}لديناx≤م{\displaystyle x\leq m}. لذلكم{\displaystyle m}هو العنصر الأعظم.◼{\displaystyle \blacksquare }

مراجع

  1. ↑ ريتشموند، بيتينا ؛ ريتشموند، توماس (2009)، انتقال منفصل إلى الرياضيات المتقدمة ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ص  181، ISBN 978-0-8218-4789-3.
  2. ↑ سكوت، ويليام ريموند (1987)، نظرية الزمر ( الطبعة الثانية)، دوفر، ص 22، ISBN   978-0-486-65377-8
  3. ↑ جيتش، توماس (2008) [نُشر أصلاً عام 1973]. بديهية الاختيار . منشورات دوفر . رقم ISBN 978-0-486-46624-8.