Real number

In mathematics, a real number is a number that can be used to measure a continuous one-dimensionalquantity such as a length, duration or temperature. Here, continuous means that pairs of values can have arbitrarily small differences.^[a] Every real number can be almost uniquely represented by an infinite decimal expansion.^[b]

The real numbers are fundamental in calculus and in many other branches of mathematics, in particular by their role in the classical definitions of limits, continuity and derivatives.^[c]

The set of real numbers, sometimes called "the reals", is usually notated as a bold R or the blackboard bold⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠.

The adjective real, used in the 17th century by René Descartes, distinguishes real numbers from imaginary numbers such as the square roots of negative numbers.^[1]

The real numbers include the rational numbers, such as the integer−5 and the fraction4/3. Real numbers that are not rational are irrational. Those real numbers that are roots of polynomials with rational coefficients are algebraic numbers, which include all the rational numbers and also irrational numbers such as √2 = 1.414.... Other real numbers, such as π = 3.1415..., are not roots of polynomials; these are the transcendental numbers.^[1]

The real numbers can be thought of as the points on a line, called the number line or real line, on which the points corresponding to integers (..., −2, −1, 0, 1, 2, ...) are equally spaced.

The informal descriptions above of the real numbers are not sufficient for rigorous reasoning about real numbers. The development of a suitable formal definition was a major achievement of 19th-century mathematics and is the foundation of real analysis, the study of real functions and real-valued sequences. One modern axiomatic definition is that real numbers form the unique (up to an isomorphism) Dedekind-completeordered field.^[d] Other common definitions of real numbers include equivalence classes of Cauchy sequences (of rational numbers), Dedekind cuts, and infinite decimal representations. All these definitions satisfy the axiomatic definition and are thus equivalent.

Real numbers are completely characterized by their fundamental properties that can be summarized by saying that they form an ordered field that is Dedekind complete. Here, "completely characterized" means that there is a unique isomorphism between any two Dedekind complete ordered fields, and thus that their elements have exactly the same properties. This implies that one can manipulate real numbers and compute with them, without knowing how they can be defined; this is what mathematicians and physicists did during several centuries before the first formal definitions were provided in the second half of the 19th century. See Construction of the real numbers for details about these formal definitions and the proof of their equivalence.

The real numbers form an ordered field. Intuitively, this means that methods and rules of elementary arithmetic apply to them. More precisely, there are two binary operations, addition and multiplication, and a total order that have the following properties.

• The addition of two real numbers a and b produces a real number denoted ${\displaystyle a+b,}$ which is the sum of a and b.
• The multiplication of two real numbers a and b produces a real number denoted ${\displaystyle ab,}$${\displaystyle a\cdot b}$ or ${\displaystyle a\times b,}$ which is the product of a and b.
• Addition and multiplication are both commutative, which means that ${\displaystyle a+b=b+a}$ and ${\displaystyle ab=ba}$ for all real numbers a and b.
• Addition and multiplication are both associative, which means that ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ and ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$ for all real numbers a, b and c.
• Multiplication is distributive over addition, which means that ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$ and ${\displaystyle (a+b)c=ac+bc}$ for all real numbers a, b and c.
• There is a real number called zero and denoted 0 which is an additive identity, which means that ${\displaystyle a+0=0+a=a}$ for every real number a.
• There is a real number denoted 1 which is a multiplicative identity, which means that ${\displaystyle a\times 1=1\times a=a}$ for every real number a.
• Every real number a has an additive inverse denoted ${\displaystyle -a.}$ This means that ${\displaystyle a+(-a)=(-a)+a=0}$ for every real number a.
• Every nonzero real number a has a multiplicative inverse denoted ${\displaystyle a^{-1}}$ or ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}.}$ This means that ${\displaystyle aa^{-1}=a^{-1}a=1}$ for every nonzero real number a.
• The total order is denoted ${\displaystyle a<b.}$ Being a total order means that it has the following two properties:

1. For any two real numbers a and b, exactly one of ${\displaystyle a<b}$, ${\displaystyle \;a=b}$, ${\displaystyle \;b<a}$ is true.
2. If ${\displaystyle a<b}$ and ${\displaystyle b<c,}$ then ${\displaystyle a<c}$.

• The order is compatible with addition and multiplication, which means that ${\displaystyle a<b}$ implies ${\displaystyle a+c<b+c}$ for every real number c, and ${\displaystyle 0<ab}$ is implied by ${\displaystyle 0<a}$ and ${\displaystyle 0<b.}$

Many other properties can be deduced from the above properties. In particular:

• ${\displaystyle 0\cdot a=0}$ for every real number a
• ${\displaystyle 0<1}$
• ${\displaystyle 0<a^{2}}$ for every nonzero real number a

لا تُفرّق الخصائص السابقة بين الأعداد الحقيقية والأعداد النسبية . ويُوفّر هذا التمييز من خلال اكتمال ديديكيند ، الذي ينص على أن كل مجموعة غير فارغة من الأعداد الحقيقية ذات حد أعلى تقبل حدًا أعلى أصغر . وهذا يعني ما يلي:

• مجموعة من الأعداد الحقيقية${\displaystyle S}$تكون محدودة من الأعلى إذا كان هناك عدد حقيقي${\displaystyle u}$بحيث${\displaystyle s\leq u}$للجميع${\displaystyle s\in S}$؛ مثل هذا${\displaystyle u}$يُطلق عليه الحد الأعلى لـ${\displaystyle S.}$لذا، فإن اكتمال ديديكيند يعني أنه إذا كانت S غير فارغة ومحدودة من الأعلى، فإن لها حدًا أعلى أقل من أي حد أعلى آخر.

إن اكتمال ديديكيند يستلزم أنواعًا أخرى من الاكتمال (انظر أدناه)، ولكنه ينطوي أيضًا على بعض العواقب المهمة.

• خاصية أرخميدس : لكل عدد حقيقي x ، يوجد عدد صحيح n بحيث${\displaystyle x<n}$(يأخذ${\displaystyle n=u+1,}$أين${\displaystyle u}$هو الحد الأعلى الأدنى للأعداد الصحيحة الأقل من x ).
• بصورة مكافئة، إذا كان x عددًا حقيقيًا موجبًا، فإنه يوجد عدد صحيح موجب n بحيث${\displaystyle 0<{\tfrac {1}{n}}<x}$.
• كل عدد حقيقي موجب x له جذر تربيعي موجب ، أي أنه يوجد عدد حقيقي موجب${\displaystyle r}$بحيث${\displaystyle r^{2}=x.}$
• كل متعددة حدود أحادية المتغير من الدرجة الفردية ذات المعاملات الحقيقية لها جذر حقيقي واحد على الأقل (إذا كان المعامل الرئيسي موجبًا، فخذ الحد الأعلى الأدنى للأعداد الحقيقية التي تكون قيمة متعددة الحدود سالبة عندها).

يمكن تلخيص الخاصيتين الأخيرتين بالقول إن الأعداد الحقيقية تُشكّل حقلاً مغلقاً حقيقياً . وهذا يستلزم الصيغة الحقيقية للنظرية الأساسية في الجبر ، وهي أن كل متعددة حدود ذات معاملات حقيقية يمكن تحليلها إلى متعددات حدود ذات معاملات حقيقية من الدرجة الثانية على الأكثر.

The most common way of describing a real number is via its decimal representation, a sequence of decimal digits each representing the product of an integer between zero and nine times a power of ten, extending to finitely many positive powers of ten to the left and infinitely many negative powers of ten to the right. For a number x whose decimal representation extends k places to the left, the standard notation is the juxtaposition of the digits ${\displaystyle b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots ,}$ in descending order by power of ten, with non-negative and negative powers of ten separated by a decimal point, representing the infinite series

${\displaystyle x=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots .}$

For example, for the circle constant ${\displaystyle \pi =3.14159\cdots ,}$k is zero and ${\displaystyle b_{0}=3,}$${\displaystyle a_{1}=1,}$${\displaystyle a_{2}=4,}$ etc.

More formally, a decimal representation for a nonnegative real number x consists of a nonnegative integer k and integers between zero and nine in the infinite sequence

${\displaystyle b_{k},b_{k-1},\ldots ,b_{0},a_{1},a_{2},\ldots .}$

(If ${\displaystyle k>0,}$ then by convention ${\displaystyle b_{k}\neq 0.}$)

Such a decimal representation specifies the real number as the least upper bound of the decimal fractions that are obtained by truncating the sequence: given a positive integer n, the truncation of the sequence at the place n is the finite partial sum

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{j=1}^{n}a_{j}10^{-j}\end{aligned}}}$

The real number x defined by the sequence is the least upper bound of the ${\displaystyle D_{n},}$ which exists by Dedekind completeness.

Conversely, given a nonnegative real number x, one can define a decimal representation of x by induction, as follows:

Define ${\displaystyle b_{k}\cdots b_{0}}$ as decimal representation of the largest integer ${\displaystyle D_{0}}$ such that ${\displaystyle D_{0}\leq x}$ (this integer exists because of the Archimedean property). Then, supposing by induction that the decimal fraction ${\displaystyle D_{i}}$ has been defined for ${\displaystyle i<n,}$ one defines ${\displaystyle a_{n}}$ as the largest digit such that ${\displaystyle D_{n-1}+{\tfrac {a_{n}}{10^{n}}}\leq a,}$ and one sets ${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+{\tfrac {a_{n}}{10^{n}}}.}$

One can use the defining properties of the real numbers to show that x is the least upper bound of the ${\displaystyle D_{n}.}$ So, the resulting sequence of digits is called a decimal representation of x.

Another decimal representation can be obtained by replacing ${\displaystyle \leq x}$ with ${\displaystyle <x}$ in the preceding construction. These two representations are identical, unless x is a decimal fraction of the form ${\textstyle {\tfrac {m}{10^{h}}}.}$ In this case, in the first decimal representation, all ${\displaystyle a_{n}}$ are zero for ${\displaystyle n>h,}$ and, in the second representation, all ${\displaystyle a_{n}}$ 9. (see 0.999... for details).

In summary, there is a bijection between the real numbers and the decimal representations that do not end with infinitely many trailing 9.

تنطبق الاعتبارات السابقة مباشرة على كل أساس عددي${\displaystyle B\geq 2,}$ببساطة عن طريق استبدال 10 بـ${\displaystyle B}$و9 مع${\displaystyle B-1.}$

أحد الأسباب الرئيسية لاستخدام الأعداد الحقيقية هو أن العديد من المتتاليات لها نهايات . وبشكل أكثر دقة، فإن الأعداد الحقيقية كاملة (بمعنى الفضاءات المترية أو الفضاءات المنتظمة ، وهو معنى مختلف عن اكتمال ديديكيند للترتيب في القسم السابق):

تسلسل​${\displaystyle (x_{n})}$تُسمى مجموعة الأعداد الحقيقية متتالية كوشي إذا كان لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد صحيح${\displaystyle N}$(ربما يعتمد على${\displaystyle \varepsilon }$) بحيث تكون المسافة${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|}$أقل من${\displaystyle \varepsilon }$للجميع${\displaystyle n}$و${\displaystyle m}$كلاهما أكبر من${\displaystyle N}$هذا التعريف، الذي قدمه كوشي في الأصل ، يضفي طابعًا رسميًا على حقيقة أن${\displaystyle x_{n}}$في النهاية، يتقاربون ويظلون قريبين من بعضهم البعض بشكل عشوائي.

تسلسل${\displaystyle (x_{n})}$يتقارب إلى النهاية${\displaystyle x}$إذا ما اقتربت عناصرها في نهاية المطاف وبقيت قريبة بشكل تعسفي من${\displaystyle x}$أي، إن كان ذلك لأي سبب${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد صحيح${\displaystyle N}$(ربما يعتمد على${\displaystyle \varepsilon }$) بحيث تكون المسافة${\displaystyle |x_{n}-x|}$أقل من${\displaystyle \varepsilon }$ل${\displaystyle n}$أكبر من${\displaystyle N}$.

كل متتالية متقاربة هي متتالية كوشي، والعكس صحيح بالنسبة للأعداد الحقيقية، وهذا يعني أن الفضاء الطوبولوجي للأعداد الحقيقية كامل.

مجموعة الأعداد النسبية غير مكتملة. على سبيل المثال، المتتالية (1؛ 1.4؛ 1.41؛ 1.414؛ 1.4142؛ 1.41421؛ ...)، حيث يضيف كل حد رقمًا من التمثيل العشري للجذر التربيعي الموجب للعدد 2، هي متتالية كوشي، لكنها لا تتقارب إلى عدد نسبي (في مجموعة الأعداد الحقيقية، على النقيض من ذلك، تتقارب إلى الجذر التربيعي الموجب للعدد 2).

تُعدّ خاصية اكتمال الأعداد الحقيقية الأساس الذي يقوم عليه علم التفاضل والتكامل ، وبشكل أعم التحليل الرياضي . وعلى وجه الخصوص، يسمح اختبار كون متتالية ما متتالية كوشي بإثبات أن للمتتالية نهاية، دون حسابها، بل وحتى دون معرفتها.

على سبيل المثال، المتسلسلة القياسية للدالة الأسية

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

يتقارب إلى عدد حقيقي لكل${\displaystyle x}$لأن المجاميع

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

يمكن تصغيرها بشكل تعسفي (بشكل مستقل عن${\displaystyle M}$) عن طريق الاختيار${\displaystyle N}$كبيرة بما يكفي. وهذا يثبت أن المتتالية من نوع كوشي، وبالتالي فهي متقاربة، مما يدل على أن${\displaystyle e^{x}}$محدد جيدًا لكل${\displaystyle x}$.

مجموعة الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد ، بمعنى أنه بينما تُعتبر كل من مجموعة الأعداد الطبيعية {1، 2، 3، 4، ...} ومجموعة الأعداد الحقيقية مجموعات غير منتهية ، لا توجد دالة تقابلية من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الطبيعية. يُطلق على عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية اسم عدد عناصر المتصل ، ويُرمز له عادةً بـ${\displaystyle {\mathfrak {c}}.}$وهو أكبر بكثير من عدد عناصر مجموعة جميع الأعداد الطبيعية، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle \aleph _{0}}$ويُطلق عليها اسم ألف-صفر أو ألف-لا شيء . عدد عناصر المتصل يساوي عدد عناصر مجموعة القوى للأعداد الطبيعية، أي مجموعة جميع المجموعات الجزئية للأعداد الطبيعية.

القول بأنه لا يوجد عدد أكبر من عدد معين${\displaystyle \aleph _{0}}$وأصغر من ذلك بكثير${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$تُعرف هذه الفرضية بفرضية الاستمرارية (CH). نظام البديهيات الأكثر شيوعًا في الرياضيات، وهو نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار (ZFC)، غير كافٍ لتحديد ما إذا كانت فرضية الاستمرارية صحيحة أم لا: بافتراض أن نظرية زيرميلو-فرانكل متسقة، لا يمكن إثبات فرضية الاستمرارية أو دحضها ضمن نظرية زيرميلو-فرانكل، لأن بعض نماذج نظرية زيرميلو-فرانكل تحقق فرضية الاستمرارية، بينما يخالفها البعض الآخر. ^{[ 2 ]}

باعتبارها فضاءً طوبولوجيًا، فإن الأعداد الحقيقية قابلة للفصل . ويعود ذلك إلى أن مجموعة الأعداد النسبية، وهي مجموعة قابلة للعد، كثيفة في الأعداد الحقيقية. أما الأعداد غير النسبية فهي أيضًا كثيفة في الأعداد الحقيقية، إلا أنها غير قابلة للعد ولها نفس عدد عناصر الأعداد الحقيقية.

تشكل الأعداد الحقيقية فضاءً متريًا : المسافة بين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يُعرَّف بأنه القيمة المطلقة${\displaystyle |x-y|}$نظرًا لكونها مجموعة مرتبة كليًا، فإنها تحمل أيضًا طوبولوجيا ترتيبية ؛ فالطوبولوجيا الناشئة عن المقياس والطوبولوجيا الناشئة عن الترتيب متطابقتان، لكنهما تُقدمان تمثيلات مختلفة للطوبولوجيا - في طوبولوجيا الترتيب كفترات مرتبة، وفي طوبولوجيا المقياس ككرات إبسيلون. يستخدم بناء قطوع ديديكيند تمثيل طوبولوجيا الترتيب، بينما يستخدم بناء متتاليات كوشي تمثيل طوبولوجيا المقياس. تُشكل الأعداد الحقيقية فضاءً متريًا قابلًا للانكماش (وبالتالي متصلًا ومتصلًا ببساطة )، وقابلًا للفصل ، وكاملًا، ذو بُعد هاوسدورف  1. الأعداد الحقيقية متراصة محليًا ولكنها ليست متراصة . هناك خصائص مختلفة تُحددها بشكل فريد؛ على سبيل المثال، جميع طوبولوجيات الترتيب غير المحدودة والمتصلة والقابلة للفصل متماثلة بالضرورة مع الأعداد الحقيقية.

كل عدد حقيقي غير سالب له جذر تربيعي في${\displaystyle \mathbb {R} }$على الرغم من أن أي عدد سالب لا يفعل ذلك. وهذا يدل على أن الترتيب على${\displaystyle \mathbb {R} }$يتحدد ذلك من خلال بنيته الجبرية. كذلك، فإن كل متعددة حدود من الدرجة الفردية تقبل جذرًا حقيقيًا واحدًا على الأقل: هاتان الخاصيتان تجعلان${\displaystyle \mathbb {R} }$المثال الأبرز لحقل مغلق حقيقي . إثبات ذلك هو النصف الأول من أحد براهين النظرية الأساسية في الجبر .

تحمل الأعداد الحقيقية مقياسًا قانونيًا ، وهو مقياس ليبيغ ، وهو مقياس هار على بنيتها كمجموعة طوبولوجية مُعَيَّرة بحيث تكون الفترة 1${\displaystyle [0;1]}$لها قياس 1. توجد مجموعات من الأعداد الحقيقية غير قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ، على سبيل المثال مجموعات فيتالي .

تُشير بديهية القيمة العليا للأعداد الحقيقية إلى مجموعات جزئية من الأعداد الحقيقية، ولذلك فهي عبارة منطقية من الدرجة الثانية. لا يُمكن وصف الأعداد الحقيقية باستخدام منطق الدرجة الأولى وحده: إذ تُشير نظرية لوفنهايم-سكوليم إلى وجود مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد من الأعداد الحقيقية تُحقق نفس الجمل المنطقية من الدرجة الأولى التي تُحققها الأعداد الحقيقية نفسها. تُحقق مجموعة الأعداد الفائقة الحقيقية نفس الجمل المنطقية من الدرجة الأولى.${\displaystyle \mathbb {R} }$الحقول المرتبة التي تحقق نفس جمل الرتبة الأولى مثل${\displaystyle \mathbb {R} }$تُسمى هذه النماذج غير القياسية بـ${\displaystyle \mathbb {R} }$هذا ما يجعل التحليل غير القياسي فعالاً؛ من خلال إثبات عبارة من الدرجة الأولى في نموذج غير قياسي (والذي قد يكون أسهل من إثباتها في${\displaystyle \mathbb {R} }$نعلم أن العبارة نفسها يجب أن تكون صحيحة أيضًا بالنسبة لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

المجال​${\displaystyle \mathbb {R} }$حقل الأعداد الحقيقية هو حقل امتداد للحقل${\displaystyle \mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية، و${\displaystyle \mathbb {R} }$وبالتالي يمكن اعتبارها فضاءً متجهيًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$تضمن نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات، مع بديهية الاختيار، وجود أساس لهذا الفضاء المتجهي: توجد مجموعة B من الأعداد الحقيقية بحيث يمكن كتابة كل عدد حقيقي بشكل فريد كتركيبة خطية منتهية لعناصر هذه المجموعة، باستخدام معاملات نسبية فقط، وبحيث لا يوجد عنصر من B كتركيبة خطية نسبية للعناصر الأخرى. مع ذلك، فإن نظرية الوجود هذه نظرية بحتة، إذ لم يتم وصف مثل هذا الأساس بشكل صريح.

تنص نظرية الترتيب الجيد على أنه يمكن ترتيب الأعداد الحقيقية ترتيبًا جيدًا إذا افترضنا بديهية الاختيار: يوجد ترتيب كلي على${\displaystyle \mathbb {R} }$مع الخاصية التي تكون فيها كل مجموعة جزئية غير فارغة من${\displaystyle \mathbb {R} }$يحتوي على أصغر عنصر في هذا الترتيب. (الترتيب القياسي)${\displaystyle \leq }$لا يُعدّ ترتيب الأعداد الحقيقية ترتيبًا جيدًا، إذ على سبيل المثال، لا تحتوي الفترة المفتوحة على أصغر عنصر في هذا الترتيب. ومرة ​​أخرى، فإن وجود مثل هذا الترتيب الجيد هو أمر نظري بحت، لأنه لم يُوصف صراحةً. إذا افترضنا بديهية قابلية الإنشاء بالإضافة إلى بديهيات ZF، فيمكن إثبات إمكانية تعريف ترتيب جيد للأعداد الحقيقية صراحةً بصيغة رياضية. ^{[ 3 ]}

قد يكون العدد الحقيقي قابلاً للحساب أو غير قابل للحساب؛ إما عشوائياً خوارزمياً أو لا؛ وإما عشوائياً حسابياً أو لا.

استخدم المصريون الكسور البسيطة حوالي عام 1000  قبل الميلاد؛ وتضمنت " شولبا سوتراس " الفيدية ("قواعد الأوتار")، التي تعود إلى حوالي عام 600 قبل الميلاد، ما قد يكون أول استخدام للأعداد غير النسبية. وقد تقبّل علماء الرياضيات الهنود الأوائل ، مثل مانافا ( حوالي 750-690 قبل الميلاد) ، مفهوم اللاعقلانية ضمنيًا ، إذ كان يدرك أن الجذور التربيعية لبعض الأعداد، مثل 2 و61، لا يمكن تحديدها بدقة. ^{[ 4 ]}

في حوالي عام 500  قبل الميلاد، أدرك علماء الرياضيات اليونانيون بقيادة فيثاغورس أيضًا أن الجذر التربيعي للعدد 2 هو عدد غير نسبي.

بالنسبة للرياضيين اليونانيين، كانت الأعداد تقتصر على الأعداد الطبيعية . أما الأعداد الحقيقية فكانت تُسمى "نسبًا"، وهي نسب طولين، أو بعبارة أخرى، قياسات طول بدلالة طول آخر يُسمى وحدة الطول. ويُقال إن طولين "متناسبان" إذا وُجدت وحدة قياس يُقاس بها كلاهما بأعداد صحيحة، أي، بلغة العصر الحديث، إذا كانت نسبتهما عددًا نسبيًا . وقدّم إيدوكسوس الكنيدي (حوالي 390-340 قبل الميلاد) تعريفًا لتساوي نسبتين غير نسبيتين بطريقة مشابهة لتقسيمات ديديكيند (التي طُرحت بعد أكثر من 2000 عام)، إلا أنه لم يستخدم أي عملية حسابية سوى ضرب طول في عدد طبيعي (انظر إيدوكسوس الكنيدي ). ويمكن اعتبار هذا التعريف أول تعريف للأعداد الحقيقية.

شهدت العصور الوسطى قبول الصفر والأعداد السالبة والأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية ، أولًا على يد علماء الرياضيات الهنود والصينيين ، ثم على يد علماء الرياضيات العرب ، الذين كانوا أيضًا أول من تعامل مع الأعداد غير النسبية ككائنات جبرية (وقد أصبح ذلك ممكنًا بفضل تطور علم الجبر). ^{[ 5 ]} دمج علماء الرياضيات العرب مفهومي " العدد " و" المقدار " في فكرة أعمّ للأعداد الحقيقية. ^{[ 6 ]} كان عالم الرياضيات المصري أبو كامل شجاع بن أسلم ( حوالي 850-930) أول من قبل الأعداد غير النسبية كحلول للمعادلات التربيعية ، أو كمعاملات في معادلة (غالبًا في صورة جذور تربيعية، وجذور تكعيبية ، وجذور رابعة ). ^{[ 7 ]} في أوروبا، كانت هذه الأعداد، التي لا تتناسب مع الوحدة العددية، تُسمى أعدادًا غير نسبية أو أصماء .

في القرن السادس عشر، وضع سيمون ستيفن الأساس للتدوين العشري الحديث ، وأصر على أنه لا يوجد فرق بين الأعداد النسبية وغير النسبية في هذا الصدد.

في القرن السابع عشر، قدم ديكارت مصطلح "الحقيقي" لوصف جذور كثير الحدود ، وتمييزها عن الأعداد "التخيلية".

في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، بُذلت جهودٌ حثيثةٌ لدراسة الأعداد غير النسبية والمتسامية. قدّم لامبرت (1761) برهانًا معيبًا يُثبت أن π لا يمكن أن يكون عددًا نسبيًا؛ ^أكمل ليجندر (1794) البرهان ^{[ 8 ]} وأظهر أن π ليس الجذر التربيعي لعدد نسبي. ^{[ 9 ]} بيّن ليوفيل (1840) أن e و e² لا يمكن أن يكونا جذرًا لمعادلة تربيعية صحيحة ، ثم أثبت وجود الأعداد المتسامية؛ وسّع كانتور (1873) هذا البرهان وبسّطه بشكل كبير. ^{[ 10 ]} أثبت هيرميت (1873) أن e عدد متسامٍ، وأظهر ليندمان (1882) أن π عدد متسامٍ. وقد بسّط فايرشتراس (1885 ⁾ وهيلبرت (1893) وهورويتز [ ^{11 ]} وجوردان برهان ليندمان بشكل كبير . ^{[ 12 ]}

كان مفهوم وجود نقاط متعددة بين الأعداد النسبية، مثل الجذر التربيعي للعدد 2، معروفًا جيدًا لدى الإغريق القدماء. واعتُبر وجود خط أعداد متصل أمرًا بديهيًا، لكن طبيعة هذا الاتصال، الذي يُسمى حاليًا بالاكتمال ، لم تكن مفهومة. ولم ينتقل الصرامة التي طُوّرت في الهندسة إلى مفهوم الأعداد إلا في القرن التاسع عشر الميلادي. ^{[ 13 ]}

نظام الأعداد الحقيقية${\displaystyle (\mathbb {R}$ يمكن تعريف ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})} بديهيًا حتى التشاكل ، والذي سيتم شرحه لاحقًا. توجد أيضًا طرق عديدة لبناء نظام الأعداد الحقيقية، ومن الطرق الشائعة البدء بالأعداد الطبيعية، ثم تعريف الأعداد النسبية جبريًا، وأخيرًا تعريف الأعداد الحقيقية كفئات تكافؤ لمتتاليات كوشي الخاصة بها أو كقطاعات ديديكيند، وهي مجموعات جزئية معينة من الأعداد النسبية. ^{[ 16 ]} وهناك طريقة أخرى تتمثل في البدء ببعض البديهيات الدقيقة للهندسة الإقليدية (مثل هندسة هيلبرت أو تارسكي )، ثم تعريف نظام الأعداد الحقيقية هندسيًا. وقد ثبت أن جميع هذه الطرق لبناء الأعداد الحقيقية متكافئة، بمعنى أن أنظمة الأعداد الناتجة متماثلة .

The set of all real numbers is notated as ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (blackboard bold) or R (upright bold).^[22]

As it is naturally endowed with the structure of a field, the expression field of real numbers is frequently used when its algebraic properties are under consideration.

The sets of positive real numbers and negative real numbers are often noted ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ and ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$,^[23] respectively; ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ and ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$ are also used.^[24] The non-negative real numbers can be noted ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ but one often sees this set noted ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.}$^[23]

The notation ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ refers to the set of the n-tuples of elements of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (real coordinate space), which can be identified to the Cartesian product of n copies of ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ It is an n-dimensionalvector space over the field of the real numbers, often called the coordinate space of dimension n; this space may be identified to the n-dimensionalEuclidean space as soon as a Cartesian coordinate system has been chosen in the latter. In this identification, a point of the Euclidean space is identified with the tuple of its Cartesian coordinates.

In mathematics real is used as an adjective, meaning that the underlying field is the field of the real numbers (or the real field). For example, real matrix, real polynomial and real Lie algebra. The word is also used as a noun, meaning a real number (as in "the set of all reals").

The real numbers can be generalized and extended in several different directions:

• تحتوي الأعداد المركبة على حلول لجميع المعادلات متعددة الحدود، وبالتالي فهي حقل مغلق جبريًا على عكس الأعداد الحقيقية. ومع ذلك، فإن الأعداد المركبة ليست حقلًا مرتبًا.
• يجمع نظام الأعداد الحقيقية الممتد خطيًا عنصرين +∞ و −∞ . وهو فضاء متراص . لم يعد حقلًا، ولا حتى زمرة جمعية، ولكنه لا يزال يتمتع بترتيب كلي؛ علاوة على ذلك، فهو شبكة كاملة .
• لا يضيف الخط الإسقاطي الحقيقي سوى قيمة واحدة ∞ . وهو أيضًا فضاء متراص. ومرة ​​أخرى، لم يعد حقلًا، ولا حتى زمرة جمعية. ومع ذلك، فهو يسمح بقسمة عنصر غير صفري على صفر. وله ترتيب دوري، وتُوصَف طوبولوجيته بفصل أزواج النقاط .
• الخط الحقيقي الطويل يلتصق ببعضه${\displaystyle \aleph _{1}^{*}+\aleph _{1}}$نسخ من الخط الحقيقي بالإضافة إلى نقطة واحدة (هنا)${\displaystyle \aleph _{1}^{*}}$يشير إلى الترتيب المعكوس لـ${\displaystyle \aleph _{1}}$) لإنشاء مجموعة مرتبة مطابقة "محليًا" للأعداد الحقيقية، ولكنها أطول بطريقة ما؛ على سبيل المثال، يوجد تضمين يحافظ على الترتيب لـ${\displaystyle \aleph _{1}}$تقع هذه المجموعة في خط الأعداد الحقيقية الطويل، ولكنها لا تقع في مجموعة الأعداد الحقيقية. خط الأعداد الحقيقية الطويل هو أكبر مجموعة مرتبة كاملة ومحلية أرخميدية. وكما هو الحال في المثالين السابقين، فإن هذه المجموعة لم تعد حقلاً أو زمرة جمعية.
• الحقول المرتبة التي تمتد إلى الأعداد الحقيقية هي الأعداد الفائقة الحقيقية والأعداد السريالية ؛ كلاهما يحتوي على أعداد متناهية الصغر وأعداد كبيرة بشكل لا نهائي، وبالتالي فهما حقول مرتبة غير أرخميدية .
• تُعمم المؤثرات ذاتية الترافق على فضاء هيلبرت (مثل المصفوفات المركبة المربعة ذاتية الترافق ) الأعداد الحقيقية من نواحٍ عديدة: فهي قابلة للترتيب (وإن لم تكن مرتبة ترتيبًا تامًا)، وهي كاملة، وجميع قيمها الذاتية حقيقية، وتشكل جبرًا ترابطيًا حقيقيًا . وتُقابل المؤثرات الموجبة المحددة الأعداد الحقيقية الموجبة، بينما تُقابل المؤثرات العادية الأعداد المركبة.

• اكتمال الأعداد الحقيقية
• الكسر المستمر
• أعداد حقيقية قابلة للتحديد
• الأعداد الحقيقية الموجبة
• التحليل الحقيقي

• "الأعداد الحقيقية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]