الجذر التكعيبي

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 37 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الجذر التكعيبي للعدد x هو العدد y الذي يكون فيه العدد المعطى مرفوعاً للأس الثالث ؛ أيy3=x.{\displaystyle y^{3}=x.}يعتمد عدد الجذور التكعيبية لعدد ما على نظام الأرقام الذي يتم اعتماده.

لكل عدد حقيقي x جذر تكعيبي حقيقي واحد فقط يُرمز له بـx3{\textstyle {\sqrt[{3}]{x}}}ويُطلق عليه الجذر التكعيبي الحقيقي لـ x، أو ببساطة الجذر التكعيبي لـ x في السياقات التي لا تُؤخذ فيها الأعداد المركبة في الاعتبار. على سبيل المثال، الجذران التكعيبيان الحقيقيان لـ 8 و -8 هما 2 و -2 على التوالي . والجذر التكعيبي الحقيقي لعدد صحيح أو عدد نسبي ليس عددًا نسبيًا، ولا عددًا قابلًا للإنشاء .

لكل عدد حقيقي أو مركب غير صفري ثلاثة جذور تكعيبية مركبة. إذا كان العدد حقيقيًا، فإن أحد الجذور التكعيبية يكون حقيقيًا، والجذران الآخران عددان مركبان مترافقان غير حقيقيين . وإلا، فإن الجذور التكعيبية الثلاثة جميعها غير حقيقية. على سبيل المثال، الجذر التكعيبي الحقيقي للعدد 8 هو 2 ، والجذور التكعيبية الأخرى للعدد 8 هي أعداد مركبة.-1+أنا3{\displaystyle -1+i{\sqrt {3}}}و-1-أنا3{\displaystyle -1-i{\sqrt {3}}}الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد -27i هي3أنا،332-32أنا،{\displaystyle 3i,{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\tfrac {3}{2}}i,}و-332-32أنا.{\displaystyle -{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\tfrac {3}{2}}i.}للعدد صفر جذر تكعيبي فريد، وهو صفر نفسه.

الجذر التكعيبي دالة متعددة القيم . الجذر التكعيبي الرئيسي هو قيمته الأساسية ، أي جذر تكعيبي فريد تم اختياره مرة واحدة فقط. الجذر التكعيبي الرئيسي هو الجذر التكعيبي ذو الجزء الحقيقي الأكبر . في حالة الأعداد الحقيقية السالبة، يتشارك الجذران التكعيبيان غير الحقيقيين في الجزء الحقيقي الأكبر، ويكون الجذر التكعيبي الرئيسي هو الجذر ذو الجزء التخيلي الموجب. لذا، بالنسبة للأعداد الحقيقية السالبة، فإن الجذر التكعيبي الحقيقي ليس هو الجذر التكعيبي الرئيسي . أما بالنسبة للأعداد الحقيقية الموجبة ، فإن الجذر التكعيبي الرئيسي هو الجذر التكعيبي الحقيقي.

إذا كان y أي جذر تكعيبي للعدد المركب x ، فإن الجذور التكعيبية الأخرى هيy-1+أنا32{\displaystyle y\,{\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}وy-1-أنا32.{\displaystyle y\,{\tfrac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}

في حقل مغلق جبريًا ذي خاصية مختلفة عن ثلاثة، لكل عنصر غير صفري ثلاثة جذور تكعيبية بالضبط، والتي يمكن الحصول عليها من أي منها بضربه في أي من جذري كثير الحدودx2+x+1.{\displaystyle x^{2}+x+1.}في حقل مغلق جبرياً ذي خاصية ثلاثة، يكون لكل عنصر جذر تكعيبي واحد بالضبط.

في أنظمة عددية أخرى أو بنى جبرية أخرى ، قد يكون للعدد أو العنصر أكثر من ثلاثة جذور تكعيبية. على سبيل المثال، في نظام الأعداد الرباعية ، يكون للعدد الحقيقي عدد لا نهائي من الجذور التكعيبية.

رسم بياني للدالة y = 3 √ x . الرسم متناظر حول نقطة الأصل، لأنها دالة فردية . عند x = 0، يكون لهذا الرسم البياني مماس رأسي .
مكعب وحدة (طول الضلع = 1) ومكعب بحجم ضعف الحجم (طول الضلع = 3 √ 2 = 1.2599... OEIS : A002580  ).

تعريف

الجذور التكعيبية للعدد x هي الأعداد y التي تحقق المعادلةy3=x. {\displaystyle y^{3}=x.\ }

ملكيات

الأعداد الحقيقية

لكل عدد حقيقي x ، يوجد عدد حقيقي واحد فقط y بحيثy3=x{\displaystyle y^{3}=x}في الواقع، دالة التكعيب متزايدة، لذا فهي لا تعطي النتيجة نفسها لمدخلين مختلفين، وتشمل جميع الأعداد الحقيقية. بعبارة أخرى، هي دالة تقابل أو تناظر أحادي.

بمعنى آخر، يمكن تعريف الجذر التكعيبي لعدد حقيقي بأنه جذره التكعيبي الوحيد الذي يكون حقيقياً أيضاً. وبناءً على هذا التعريف، فإن الجذر التكعيبي لعدد سالب هو عدد سالب.

ومع ذلك، قد يكون هذا التعريف مربكًا عندما يتم اعتبار الأعداد الحقيقية كأعداد مركبة محددة، لأنه في هذه الحالة يتم تعريف الجذر التكعيبي بشكل عام على أنه الجذر التكعيبي الرئيسي، والجذر التكعيبي الرئيسي لعدد حقيقي سالب ليس حقيقيًا.

الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد 1

إذا سُمح لـ x و y بأن يكونا عددين مركبين ، فسيكون هناك ثلاثة حلول (إذا كان x لا يساوي صفرًا)، وبالتالي فإن x له ثلاثة جذور تكعيبية. للعدد الحقيقي جذر تكعيبي حقيقي واحد وجذران تكعيبيان آخران يشكلان زوجًا من الأعداد المركبة المترافقة . على سبيل المثال، الجذور التكعيبية للعدد 1 هي:

1،-12+32أنا،-12-32أنا.{\displaystyle 1,\quad -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}

يؤدي الجذران الأخيران إلى علاقة بين جميع جذور أي عدد حقيقي أو مركب. فإذا كان عدد ما هو أحد الجذور التكعيبية لعدد حقيقي أو مركب معين، فيمكن إيجاد الجذرين التكعيبيين الآخرين بضرب هذا الجذر التكعيبي في أحد الجذرين التكعيبيين المركبين للعدد 1.

الأعداد المركبة

رسم بياني للجذر التكعيبي المركب مع فرعيه الإضافيين. تُظهر الصورة الأولى الفرع الرئيسي، الموصوف في النص.
سطح ريمان للجذر التكعيبي. يمكن للمرء أن يرى كيف تتلاءم الأوراق الثلاث معًا.

بالنسبة للأعداد المركبة، يُعرَّف الجذر التكعيبي الرئيسي عادةً بأنه الجذر التكعيبي الذي له أكبر جزء حقيقي ، أو بصورة مكافئة، الجذر التكعيبي الذي له أصغر قيمة مطلقة . ويرتبط بالقيمة الرئيسية للوغاريتم الطبيعي بالصيغة التالية:

x1/3=خبرة⁡(13ln⁡x).{\displaystyle x^{1/3}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right).}

إذا كتبنا x على النحو التالي

x=رخبرة⁡(أناθ){\displaystyle x=r\exp(i\theta )\,}

حيث r عدد حقيقي غير سالب وθ{\displaystyle \theta }يقع في النطاق

-π<θ≤π{\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }،

ثم يكون الجذر التكعيبي المركب الرئيسي هو

x3=ر3خبرة⁡(أناθ3).{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}

هذا يعني أنه في الإحداثيات القطبية ، نأخذ الجذر التكعيبي لنصف القطر ونقسم الزاوية القطبية على ثلاثة لتعريف الجذر التكعيبي. وبناءً على هذا التعريف، فإن الجذر التكعيبي الرئيسي لعدد سالب هو عدد مركب، على سبيل المثال-83{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}لن تكون القيمة -2، بل ستكون1+أنا3.{\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.}

يمكن حل هذه الصعوبة أيضًا من خلال اعتبار الجذر التكعيبي دالة متعددة القيم : إذا كتبنا العدد المركب الأصلي x بثلاثة أشكال متكافئة، وهي:

x={رخبرة⁡(أناθ)،رخبرة⁡(أناθ+2أناπ)،رخبرة⁡(أناθ-2أناπ).{\displaystyle x={\begin{cases}r\exp(i\theta ),\\[3px]r\exp(i\theta +2i\pi ),\\[3px]r\exp(i\theta -2i\pi ).\end{cases}}}
التمثيل الهندسي للجذور من الثانية إلى السادسة للعدد المركب z ، في الصورة القطبية re i φ حيث r = | z | و φ = arg z . إذا كان z عددًا حقيقيًا، فإن φ = 0 أو π . تظهر الجذور الرئيسية باللون الأسود.

تكون الجذور التكعيبية المركبة الرئيسية لهذه الأشكال الثلاثة على التوالي

x3={ر3خبرة⁡(أناθ3)،ر3خبرة⁡(أناθ3+2أناπ3)،ر3خبرة⁡(أناθ3-2أناπ3).{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2i\pi }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2i\pi }{3}}\right).\end{cases}}}

ما لم تكن قيمة x تساوي صفرًا ، فإن هذه الأعداد المركبة الثلاثة متميزة، على الرغم من أن تمثيلات x الثلاثة كانت متكافئة. على سبيل المثال،-83{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}ويمكن حسابها عندئذٍ لتكون -2،1+أنا3{\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}، أو1-أنا3{\displaystyle 1-i{\sqrt {3}}}.

يرتبط هذا بمفهوم المونودرومي : إذا تتبعنا دالة الجذر التكعيبي باستمرارية على طول مسار مغلق حول الصفر، فبعد دورة واحدة، تُضرب قيمة الجذر التكعيبي (أو تُقسم) علىهـ2أناπ/3.{\displaystyle e^{2i\pi /3}.}

استحالة البناء باستخدام البوصلة والمسطرة

تظهر الجذور التكعيبية في مسألة إيجاد زاوية قياسها ثلث قياس زاوية معطاة ( تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية )، وفي مسألة إيجاد طول ضلع مكعب حجمه ضعف حجم مكعب آخر طول ضلعه معطاة ( مضاعفة المكعب ). في عام ١٨٣٧، أثبت بيير وانتزل أنه لا يمكن حل أي من هاتين المسألتين باستخدام الفرجار والمسطرة فقط .

الأساليب العددية

طريقة نيوتن هي طريقة تكرارية يمكن استخدامها لحساب الجذر التكعيبي. بالنسبة للأعداد العشرية الحقيقية ، تُختزل هذه الطريقة إلى الخوارزمية التكرارية التالية لإنتاج تقريبات أفضل تدريجيًا للجذر التكعيبي لـ a :

xن+1=13(أxن2+2xن).{\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}\right).}

تعتمد هذه الطريقة ببساطة على حساب متوسط ​​ثلاثة عوامل يتم اختيارها بحيث

xن×xن×أxن2=أ{\displaystyle x_{n}\times x_{n}\times {\frac {a}{x_{n}^{2}}}=a}

في كل تكرار.

تُحسّن طريقة هالي من ذلك من خلال خوارزمية تتقارب بشكل أسرع مع كل تكرار، وإن كان ذلك يتطلب جهدًا أكبر في كل تكرار:

xن+1=xن(xن3+2أ2xن3+أ).{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\left({\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}\right).}

يتقارب هذا بشكل تكعيبي، لذا فإن تكرارين يُنجزان نفس العمل الذي تُنجزه ثلاثة تكرارات من طريقة نيوتن. يتطلب كل تكرار من طريقة نيوتن عمليتي ضرب، وعملية جمع، وقسمة، بافتراض أن 1/3 من a محسوب مسبقًا ، لذا فإن ثلاثة تكرارات بالإضافة إلى الحساب المسبق تتطلب سبع عمليات ضرب، وثلاث عمليات جمع، وثلاث عمليات قسمة.

تتطلب كل دورة من طريقة هالي ثلاث عمليات ضرب، وثلاث عمليات جمع، وقسمة واحدة، [ 1 ] لذا فإن دورتين تتطلبان ست عمليات ضرب، وست عمليات جمع، وقسمتين. وبالتالي، فإن طريقة هالي لديها القدرة على أن تكون أسرع إذا كانت عملية القسمة الواحدة أكثر تكلفة من ثلاث عمليات جمع.

في كلتا الطريقتين ، قد يؤدي التقريب الأولي الضعيف لـ x₀ إلى أداء ضعيف للغاية للخوارزمية، ويُعدّ التوصل إلى تقريب أولي جيد أمرًا بالغ الصعوبة. تقوم بعض التطبيقات بمعالجة خانات الأس في العدد العشري؛ أي أنها تصل إلى تقريب أولي عن طريق قسمة الأس على 3. [ 1 ]

كما أن هذا الكسر المستمر المعمم مفيد أيضاً ، ويعتمد على طريقة الجذر النوني :

إذا كان x تقريبًا أوليًا جيدًا للجذر التكعيبي لـ a وy=أ-x3{\displaystyle y=ax^{3}}، ثم:

أ3=x3+y3=x+y3x2+2y2x+4y9x2+5y2x+7y15x2+8y2x+⋱{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}}
=x+2x⋅y3(2x3+y)-y-2⋅4y29(2x3+y)-5⋅7y215(2x3+y)-8⋅10y221(2x3+y)-⋱.{\displaystyle =x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}}.}

المعادلة الثانية تجمع كل زوج من الكسور من المعادلة الأولى في كسر واحد، مما يضاعف سرعة التقارب.

الظهور في حلول المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة

يمكن دائمًا حل المعادلات التكعيبية ، وهي معادلات متعددة الحدود من الدرجة الثالثة (أي أن أعلى قوة للمجهول هي 3)، لإيجاد حلولها الثلاثة بدلالة الجذور التكعيبية والتربيعية (مع العلم أنه لا توجد تعابير أبسط بدلالة الجذور التربيعية لجميع الحلول الثلاثة، إذا كان أحدها على الأقل عددًا نسبيًا ). إذا كان اثنان من الحلول أعدادًا مركبة، فإن جميع تعابير الحلول الثلاثة تتضمن الجذر التكعيبي الحقيقي لعدد حقيقي، بينما إذا كانت جميع الحلول الثلاثة أعدادًا حقيقية، فيمكن التعبير عنها بدلالة الجذر التكعيبي المركب لعدد مركب .

يمكن أيضًا حل المعادلات من الدرجة الرابعة بدلالة الجذور التكعيبية والجذور التربيعية.

تاريخ

يمكن تتبع حساب الجذور التكعيبية إلى علماء الرياضيات البابليين منذ عام 1800 قبل الميلاد. [ 2 ] في القرن الرابع قبل الميلاد، طرح أفلاطون مسألة مضاعفة المكعب ، والتي تطلبت إنشاء حافة مكعب بحجم ضعف حجم مكعب معين باستخدام الفرجار والمسطرة ؛ وهذا تطلب إنشاء طول، وهو أمر معروف الآن باستحالته.23{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}.

وردت طريقة لاستخراج الجذور التكعيبية في كتاب "الفصول التسعة في الفن الرياضي" ، وهو نص رياضي صيني جُمع حوالي القرن الثاني قبل الميلاد، وعلق عليه ليو هوي في القرن الثالث الميلادي. [ 3 ] وابتكر عالم الرياضيات اليوناني هيرو الإسكندري طريقة لحساب الجذور التكعيبية في القرن الأول الميلادي. وقد ذكر يوتوكيوس صيغته مرة أخرى في تعليقه على كتاب أرخميدس . [ 4 ] وفي عام 499 ميلادي، قدم أريابهاتا ، عالم الرياضيات والفلك من العصر الكلاسيكي للرياضيات وعلم الفلك الهندي ، طريقة لإيجاد الجذر التكعيبي للأعداد ذات الأرقام الكثيرة في كتاب "أريابهاتيا" (القسم 2.5). [ 5 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 "بحثًا عن جذر تكعيبي سريع" . metamerist.com . 2008. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2013.
  2. ↑ ساجز ، إتش دبليو إف (1989). الحضارة قبل اليونان وروما . مطبعة جامعة ييل. ص 227. ISBN  978-0-300-05031-8.
  3. ↑ كروسلي، جون؛ و. س. لون، أنتوني (1999). الفصول التسعة في الفن الرياضي: دليل وتعليق . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 213. ISBN  978-0-19-853936-0.
  4. ↑ سميلي، ج. جيلبارت (1920). "صيغة هيرون للجذر التكعيبي". هيرماثينا . 19 (42). كلية ترينيتي دبلن: 64-67 . JSTOR 23037103 . 
  5. ↑ أرياباتيا رابط مهجور أرشفة 15 أغسطس 2011 في archive.today 62، ردمك 978-81-7434-480-9