دالة متعددة القيم

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( يناير 2020 ) ( تعرف على كيفية ومتى تحذف هذه الرسالة )

في الرياضيات ، الدالة متعددة القيم ، ^[1] الدالة متعددة القيم ، ^[2] الدالة متعددة القيم ، ^[3] أو الدالة المتعددة ، ^[4] هي دالة لها قيمتان أو أكثر في نطاقها لنقطة واحدة على الأقل في مجالها. ^[5] إنها دالة ذات قيمة محددة مع خصائص إضافية تعتمد على السياق؛ لا يميز بعض المؤلفين بين الدوال ذات القيمة المحددة والدوال المتعددة، ^[6] لكن ويكيبيديا الإنجليزية تفعل ذلك حاليًا، حيث تحتوي على مقال منفصل لكل منهما.

دالة متعددة القيم للمجموعات f: X → Y هي مجموعة جزئية

${\displaystyle \Gamma _{f}\ \subseteq \ X\times Y.}$

اكتب f(x) لمجموعة y ∈ Y مع ( x,y ) ∈ Γ _f . إذا كانت f دالة عادية، فهي دالة متعددة القيم من خلال أخذ رسمها البياني

${\displaystyle \Gamma _{f}\ =\ \{(x,f(x))\ :\ x\in X\}.}$

يتم تسميتها بالوظائف ذات القيمة الواحدة للتمييز بينها.

على الرغم من أن مؤلفين آخرين قد يميزون بينهما بشكل مختلف (أو لا يميزون على الإطلاق)، فإن Wriggers وPanatiotopoulos (2014) يميزان بين الدوال متعددة القيم والعلاقات ذات القيمة المحددة (وتسمى أيضًا الدوال ذات القيمة المحددة ) من خلال حقيقة أن الدوال متعددة القيم تأخذ قيمًا متعددة فقط عند عدد محدود (أو لا يمكن عده) من النقاط، وتتصرف بخلاف ذلك مثل الدالة . ^[7] من الناحية الهندسية، يعني هذا أن رسم بياني لدالة متعددة القيم هو بالضرورة خط بمساحة صفرية لا يتكرر، بينما قد يحتوي رسم بياني لعلاقة ذات قيمة محددة على مناطق مملوءة صلبة أو حلقات. ^[7]

نشأ مصطلح الدالة متعددة القيم في التحليل المركب، من الاستمرارية التحليلية . غالبًا ما يحدث أن يعرف المرء قيمة دالة تحليلية معقدة في بعض جوار نقطة . هذه هي الحال بالنسبة للوظائف المحددة بواسطة نظرية الدالة الضمنية أو بواسطة سلسلة تايلور حول . في مثل هذه الحالة، يمكن للمرء أن يوسع نطاق الدالة ذات القيمة المفردة على طول المنحنيات في المستوى المركب بدءًا من . وبذلك، يجد المرء أن قيمة الدالة الممتدة عند نقطة ما تعتمد على المنحنى المختار من إلى ؛ نظرًا لعدم وجود أي من القيم الجديدة أكثر طبيعية من غيرها، يتم دمجها جميعًا في دالة متعددة القيم. ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle z=a}$${\displaystyle z=a}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle z=b}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$

على سبيل المثال، دع تكون دالة الجذر التربيعي المعتادة على الأعداد الحقيقية الموجبة. يمكن للمرء أن يمد نطاقها إلى جوار في المستوى المركب، ثم أبعد على طول المنحنيات بدءًا من ، بحيث تتغير القيم على طول منحنى معين باستمرار من . بالتمديد إلى الأعداد الحقيقية السالبة، يحصل المرء على قيمتين متعاكستين للجذر التربيعي - على سبيل المثال ± i لـ -1 - اعتمادًا على ما إذا كان المجال قد تم تمديده عبر النصف العلوي أو السفلي من المستوى المركب. هذه الظاهرة متكررة جدًا، وتحدث للجذور ذات العدد n واللوغاريتمات والدوال المثلثية العكسية . ${\displaystyle f(z)={\sqrt {z}}\,}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$

لتحديد دالة ذات قيمة واحدة من دالة مركبة متعددة القيم، يمكن للمرء أن يميز إحدى القيم المتعددة باعتبارها القيمة الأساسية ، مما ينتج عنه دالة ذات قيمة واحدة على المستوى بأكمله غير متصلة على طول منحنيات حدودية معينة. بدلاً من ذلك، فإن التعامل مع الدالة متعددة القيم يسمح بالحصول على شيء متصل في كل مكان، على حساب تغييرات القيمة المحتملة عندما يتبع المرء مسارًا مغلقًا ( أحادية القيمة ). يتم حل هذه المشكلات في نظرية أسطح ريمان : للنظر في دالة متعددة القيم كدالة عادية دون تجاهل أي قيم، يضاعف المرء المجال في مساحة تغطية متعددة الطبقات ، وهو متعدد الشعب وهو سطح ريمان المرتبط بـ . ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)}$

إذا كانت f: X → Y دالة عادية، فإن معكوسها هو الدالة متعددة القيم

${\displaystyle \Gamma _{f^{-1}}\ \subseteq \ Y\times X}$

يتم تعريفها على أنها Γ _f ، والتي يُنظر إليها كمجموعة فرعية من X × Y. عندما تكون f دالة قابلة للاشتقاق بين المتشعبات ، فإن نظرية الدالة العكسية تعطي الشروط اللازمة لتكون ذات قيمة واحدة محليًا في X.

على سبيل المثال، اللوغاريتم المركب log(z) هو معكوس متعدد القيم للدالة الأسية e ^z  : C → C ^× ، مع الرسم البياني

${\displaystyle \Gamma _{\log(z)}\ =\ \{(z,w)\ :\ w=\log(z)\}\ \subseteq \ \mathbf {C} \times \mathbf {C } ^ {\ مرات }.}$

إنها ليست ذات قيمة مفردة، نظرًا لوجود قيمة مفردة w مع w = log(z) ، لدينا

${\displaystyle \log(z)\ =\ w\ +\ 2\pi i\mathbf {Z} .}$

بالنظر إلى أي دالة مجسمة على مجموعة فرعية مفتوحة من المستوى المركب C ، فإن استمرارها التحليلي يكون دائمًا دالة متعددة القيم.

• كل عدد حقيقي أكبر من الصفر له جذران تربيعيان حقيقيان ، وبالتالي يمكن اعتبار الجذر التربيعي دالة متعددة القيم. على سبيل المثال، يمكننا كتابة ؛ على الرغم من أن الصفر له جذر تربيعي واحد فقط، فإن .${\displaystyle {\sqrt {4}}=\pm 2=\{2,-2\}}$${\displaystyle {\sqrt {0}}=\{0\}}$
• يحتوي كل عدد مركب غير صفري على جذرين مربعين وثلاثة جذور مكعبة ، وبشكل عام، يحتوي على n من الجذور ذات الترتيب n . الجذر الوحيد ذو الترتيب n للعدد 0 هو 0.
• دالة اللوغاريتم المركبة متعددة القيم. القيم المفترضة بواسطة للأعداد الحقيقية و لجميع الأعداد الصحيحة .${\displaystyle \log(a+bi)}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni}$ ${\displaystyle n}$
• الدوال المثلثية العكسية متعددة القيم لأن الدوال المثلثية دورية. لدينا نتيجة لذلك، ترتبط arctan(1) بشكل حدسي بعدة قيم: π /4، 5 π /4، −3 π /4، وهكذا. يمكننا التعامل مع arctan كدالة ذات قيمة واحدة عن طريق تقييد مجال tan x إلى − π /2 < x < π /2 - وهو المجال الذي تتزايد فيه tan x بشكل رتيب. وبالتالي، يصبح نطاق arctan( x ) − π /2 < y < π /2 . تسمى هذه القيم من مجال مقيد بالقيم الأساسية .$${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(2n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1.}$$
• يمكن اعتبار المشتقة العكسية دالة متعددة القيم. المشتقة العكسية للدالة هي مجموعة الدوال التي مشتقتها هي تلك الدالة. يتبع ثابت التكامل حقيقة أن مشتقة الدالة الثابتة هي 0.
• الدوال الزائدية العكسية على المجال المركب متعددة القيم لأن الدوال الزائدية دورية على طول المحور التخيلي. أما على الأعداد الحقيقية فهي أحادية القيمة باستثناء arcosh و arsech.

هذه كلها أمثلة على الدوال متعددة القيم التي تنشأ من الدوال غير الحقنية . ونظرًا لأن الدوال الأصلية لا تحتفظ بكل المعلومات الخاصة بمدخلاتها، فهي غير قابلة للعكس. وغالبًا ما يكون تقييد الدالة متعددة القيم معكوسًا جزئيًا للدالة الأصلية.

تحتوي الدوال متعددة القيم لمتغير مركب على نقاط تفرع . على سبيل المثال، بالنسبة لدوال الجذر واللوغاريتم ذات الرقم n ، فإن 0 هي نقطة تفرع؛ وبالنسبة لدالة الظل العكسي، فإن الوحدات التخيلية i و− i هي نقاط تفرع. باستخدام نقاط التفرع، يمكن إعادة تعريف هذه الدوال لتصبح دوال ذات قيمة واحدة، عن طريق تقييد النطاق. يمكن العثور على فترة مناسبة من خلال استخدام قطع فرع ، وهو نوع من المنحنيات التي تربط أزواج نقاط التفرع، وبالتالي تقليل سطح ريمان متعدد الطبقات للدالة إلى طبقة واحدة. كما هو الحال مع الدوال الحقيقية، يمكن تسمية النطاق المقيد بالفرع الرئيسي للدالة.

في الفيزياء، تلعب الدوال متعددة القيم دورًا متزايد الأهمية. فهي تشكل الأساس الرياضي لأقطاب ديراك المغناطيسية الأحادية ، ^ونظرية العيوب في البلورات والمرونة الناتجة عن المواد، والدوامات في الموائع الفائقة والموصلات الفائقة ، والتحولات الطورية في هذه الأنظمة، على سبيل المثال ^{الانصهار} واحتجاز الكوارك . وهي أصل هياكل المجال القياسي ^في العديد من فروع الفيزياء.

• العلاقة (رياضيات)
• وظيفة (رياضيات)
• علاقة ثنائية
• دالة ذات قيمة محددة

• هـ. كلاينرت ، الحقول متعددة القيم في المادة المكثفة، الديناميكا الكهربائية، والجاذبية ، مجلة وورلد ساينتيفيك (سنغافورة، 2008) (متوفرة أيضًا عبر الإنترنت)
• H. Kleinert ، حقول القياس في المادة المكثفة ، المجلد الأول: خطوط التدفق الفائق والدوامة، 1-742، المجلد الثاني: الإجهادات والعيوب، 743-1456، مجلة وورلد ساينتيفيك، سنغافورة، 1989 (متوفر أيضًا عبر الإنترنت: المجلد الأول والمجلد الثاني)