الدوال الزائدية العكسية

في الرياضيات ، الدوال الزائدية العكسية هي معكوسات الدوال الزائدية ، على غرار الدوال الدائرية العكسية . يوجد ستة منها شائعة الاستخدام: معكوس الجيب الزائدي، معكوس جيب التمام الزائدي، معكوس الظل الزائدي، معكوس قاطع التمام الزائدي، معكوس القاطع الزائدي، ومعكوس ظل التمام الزائدي. ويُرمز إليها عادةً برموز الدوال الزائدية، مسبوقة بـ arc- أو ar- أو برمز علوي .${\displaystyle {-1}}$(على سبيل المثال ، arcsinh ، أو arsinh ، أو${\displaystyle \sinh ^{-1}}$).

بالنسبة لقيمة معينة لدالة زائدية، فإن الدالة الزائدة العكسية تعطي قياس الزاوية الزائدة المقابلة ، على سبيل المثال${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\sinh a)=a}$و${\displaystyle \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x.}$قياس الزاوية الزائدية هو طول قوس من قطع زائد ذي وحدة واحدة${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$كما تُقاس في المستوى اللورنتزي ( وليس طول قوس زائدي في المستوى الإقليدي )، وتساوي ضعف مساحة القطاع الزائدي المقابل . وهذا يُشابه قياس الزاوية الدائرية ، حيث يُقاس بطول قوس دائرة الوحدة في المستوى الإقليدي أو ضعف مساحة القطاع الدائري المقابل . وبالمثل، فإن قياس الزاوية الزائدية هو مساحة قطاع من القطع الزائد.${\displaystyle xy=1.}$يُطلق بعض المؤلفين على الدوال الزائدية العكسية اسم دوال المساحة الزائدية . ^{[ 1 ]}

تُستخدم الدوال الزائدية في حساب الزوايا والمسافات في الهندسة الزائدية . كما تُستخدم في حلول العديد من المعادلات التفاضلية الخطية (مثل معادلة تعريف السلسلة )، والمعادلات التكعيبية ، ومعادلة لابلاس في الإحداثيات الديكارتية . وتُعد معادلات لابلاس مهمة في العديد من مجالات الفيزياء ، بما في ذلك النظرية الكهرومغناطيسية ، وانتقال الحرارة ، وديناميكا الموائع ، والنسبية الخاصة .

تستخدم الرموز الأقدم والأكثر شيوعًا البادئة arc- (أي: arcsinh ، arccosh ، arctanh ، arcsech ، arcccsch ، arccoth )، قياسًا على الدوال الدائرية العكسية ( arcsin ، إلخ). بالنسبة للقطع الزائد ذي الوحدة ("دائرة لورنتزية") في المستوى اللورنتزي ( المستوى شبه الإقليدي ذو الإشارة (1، 1) ) ^{[ 2 ]} أو في مستوى الأعداد الزائدية ، ^{[ 3 ]} فإن قياس الزاوية الزائدية (وسيط الدوال الزائدية) هو في الواقع طول قوس زائدي.

كما أن التدوين شائع أيضًا${\displaystyle \sinh ^{-1},}$${\displaystyle \cosh ^{-1},}$إلخ، ^{[ 4 ] [ 5 ]} مع ضرورة توخي الحذر لتجنب سوء تفسير الرمز العلوي -1 على أنه أس. والعرف المتعارف عليه هو أن${\displaystyle \sinh ^{-1}x}$أو${\displaystyle \sinh ^{-1}(x)}$يعني الدالة العكسية بينما${\displaystyle (\sinh x)^{-1}}$أو${\displaystyle \sinh(x)^{-1}}$يعني المقلوب${\displaystyle 1/\sinh x.}$ومن الأمور غير المتسقة بشكل خاص الاستخدام التقليدي للأعداد الصحيحة الموجبة للإشارة إلى الأس بدلاً من تركيب الدوال ، على سبيل المثال${\displaystyle \sinh ^{2}x}$يعني تقليديا${\displaystyle (\sinh x)^{2}}$وليس​${\displaystyle \sinh(\sinh x).}$

لأن وسيط الدوال الزائدية ليس طول قوس زائدي في المستوى الإقليدي ، فقد انتقد بعض المؤلفين البادئة arc- ، بحجة أنه ينبغي تفضيل البادئة ar- (لـ " المساحة " ) أو arg- (لـ " الوسيط " ). ^{[ 6 ]} وبناءً على هذه التوصية، تستخدم اختصارات معيار ISO 80000-2 البادئة ar- (أي: arsinh ، arcosh ، artanh ، arsech ، arcsch ، arcoth ).

في لغات برمجة الكمبيوتر، غالبًا ما تُسمى الدوال الدائرية العكسية والدوال الزائدية بالبادئة الأقصر a- ( asinh، إلخ).

ستعتمد هذه المقالة باستمرار البادئة ar- للتسهيل.

بما أن الدوال الزائدية هي دوال كسرية تربيعية للدالة الأسية${\displaystyle \exp x,}$يمكن حلها باستخدام الصيغة التربيعية ثم كتابتها بدلالة اللوغاريتم الطبيعي .

$$\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac \begin{aligned} \right) \left(\frac{1}{x^{2}} + 1 \right) \right) \frac{-\infty & < x < \infty , \x \neq 0, \end{aligned} \right) ...$$

بالنسبة للحجج المعقدة ، فإن الدوال الدائرية العكسية والدوال الزائدية والجذر التربيعي واللوغاريتم الطبيعي كلها دوال متعددة القيم .

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)}$$

$${\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {sgn} (x-1)\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}}$$

يمكن اشتقاق هذه الصيغ بدلالة مشتقات الدوال الزائدية. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle x=\sinh \theta }$، ثم${\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},}$لذا $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$$

يمكن الحصول على متسلسلات توسيع للدوال المذكورة أعلاه:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$$يُعطى التوسع التقاربي لدالة arsinh بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}$$

باعتبارها دوال لمتغير مركب ، فإن الدوال الزائدية العكسية هي دوال متعددة القيم تحليلية باستثناء عدد محدود من النقاط. بالنسبة لهذه الدوال، من الشائع تعريف قيمة رئيسية ، وهي دالة تحليلية أحادية القيمة تتطابق مع فرع محدد من الدالة متعددة القيم، على نطاق يتكون من المستوى المركب بعد إزالة عدد محدود من الأقواس (عادةً أنصاف خطوط أو قطع مستقيمة ). تُسمى هذه الأقواس بفواصل الفروع . تُختار القيمة الرئيسية للدالة متعددة القيم عند نقطة معينة، وتُعرَّف القيم في باقي نطاق التعريف لتتوافق مع تلك التي تم الحصول عليها بالاستمرار التحليلي .

على سبيل المثال، بالنسبة للجذر التربيعي، تُعرَّف القيمة الرئيسية بأنها الجذر التربيعي الذي له جزء حقيقي موجب . وهذا يُعرِّف دالة تحليلية أحادية القيمة، وهي مُعرَّفة في كل مكان، باستثناء القيم الحقيقية غير الموجبة للمتغيرات (حيث يكون الجزء الحقيقي للجذرين التربيعيين صفرًا). ويُرمز إلى هذه القيمة الرئيسية لدالة الجذر التربيعي بـ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$فيما يلي. وبالمثل، القيمة الرئيسية للوغاريتم، المشار إليها بـ${\displaystyle \operatorname {Log} }$فيما يلي، يُعرَّف اللوغاريتم بأنه القيمة التي يكون للجزء التخيلي عندها أصغر قيمة مطلقة. وهو مُعرَّف في كل مكان باستثناء القيم الحقيقية غير الموجبة للمتغير، حيث تصل قيمتان مختلفتان للوغاريتم إلى الحد الأدنى.

بالنسبة لجميع الدوال الزائدية العكسية، يمكن تعريف القيمة الرئيسية بدلالة القيم الرئيسية للجذر التربيعي ودالة اللوغاريتم. مع ذلك، في بعض الحالات، لا تُعطي صيغ قسم التعريفات  بدلالة اللوغاريتمات قيمة رئيسية صحيحة، إذ تُعطي مجال تعريف صغيرًا جدًا، وفي حالة واحدة يكون غير متصل .

التمثيل البياني

في التمثيل البياني التالي للقيم الرئيسية للدوال الزائدية العكسية، تظهر نقاط التفرع على شكل انقطاعات لونية. يشير ظهور نقاط التفرع كاملةً على شكل انقطاعات إلى أن هذه القيم الرئيسية لا يمكن تعميمها على دوال تحليلية مُعرَّفة على نطاقات أوسع. بعبارة أخرى، نقاط التفرع المذكورة أعلاه هي الحد الأدنى.

arsinh( z )

arcosh( z )

artanh( z )

arcoth( z )

arsech( z )

arcsch( z )

الدوال الزائدية العكسية في المستوى المركب z : يمثل اللون عند كل نقطة في المستوى القيمة المركبة للدالة المعنية عند تلك النقطة

• اللوغاريتم المركب
• توزيع القاطع الزائدي
• ISO 80000-2
• قائمة تكاملات الدوال الزائدية العكسية

• هربرت بوسمان وبول جيه كيلي (1953) الهندسة الإسقاطية والمقاييس الإسقاطية ، صفحة 207، دار النشر الأكاديمية .

• "الدوال الزائدية العكسية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]