الهندسة الزائدية

تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق إضافة مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. البحث عن المصادر:  "الهندسة الزائدية" - الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( يونيو 2023 ) ( تعرف على كيفية ومتى تزيل هذه الرسالة )

الهندسة
إسقاط كرة على مستوى​
الفروع إقليدي غير إقليدي بيضاوي الشكل كروي زائدي الهندسة غير الأرخميدية إسقاطي أفيني اصطناعي تحليلي جبري الحساب ديوفانتين التفاضلي ريمانيان سمبلكتيك التفاضلية المنفصلة معقد محدود منفصل/تركيبي رقمي محدب حسابي كسورية حدوث الهندسة غير التبادلية الهندسة الجبرية غير التبادلية
المفاهيم سمات البعد إنشاءات المسطرة والبوصلة زاوية منحنى قطري التعامد ( العمودي ) موازي قمة الرأس التطابق تشابه التماثل
صفر الأبعاد نقطة
أحادي البعد خط شريحة شعاع طول
ثنائي الأبعاد طائرة منطقة مضلع مثلث ارتفاع وتر نظرية فيثاغورس متوازي الأضلاع مربع المستطيل المعين المعين رباعي شبه منحرف طائرة ورقية دائرة القطر محيط منطقة
ثلاثي الأبعاد مقدار مكعب مكعب الشكل اسطوانة اثني عشر وجها عشريني الوجوه المجسم الثماني هرم الجسم الأفلاطوني جسم كروي رباعي السطوح
رباعي الأبعاد / آخر الأبعاد تيسيراكت هايبرسفير
الهندسة
حسب الاسم عايدة أريابهاتا أحمس الحسن بن الحسن أبولونيوس أرخميدس عطية بودايانا بولياي براهماجوبتا كارتان تشيرن كوكستر ديكارت إقليدس أويلر جاوس جروموف هيلبرت هويجنز جييستاهاديفا كاتيانا الخيام كلاين لوباتشيفسكي مانافا مينكوفسكي مينغاتو باسكال فيثاغورس باراميشفارا بوانكاريه ريمان ساكابي سيجزي الطوسي فيبلين فيراسينا يانغ هوي الياسمين تشانغ قائمة المهندسين
حسب الفترة قبل الميلاد أحمس بودايانا مانافا فيثاغورس إقليدس أرخميدس أبولونيوس 1–1400 تشانغ كاتيانا أريابهاتا براهماجوبتا فيراسينا الحسن بن الحسن سيجزي الخيام الياسمين الطوسي يانغ هوي باراميشفارا 1400-1700 جييستاهاديفا ديكارت باسكال هويجنز مينغاتو أويلر ساكابي عايدة 1700-1900 جاوس لوباتشيفسكي بولياي ريمان كلاين بوانكاريه هيلبرت مينكوفسكي كارتان فيبلين كوكستر تشيرن اليوم الحاضر عطية جروموف
ف ت هـ

في الرياضيات ، الهندسة الزائدية (وتسمى أيضًا هندسة لوباتشيفسكي أو هندسة بولياي – لوباتشيفسكي ) هي هندسة غير إقليدية . يتم استبدال فرضية التوازي في الهندسة الإقليدية بما يلي:

بالنسبة لأي خط معين R ونقطة P ليست على R ، في المستوى الذي يحتوي على كل من الخط R والنقطة P يوجد على الأقل خطان متميزان يمران عبر P ولا يتقاطعان مع R.

(قارن ما سبق مع بديهية بلاي فير ، النسخة الحديثة من مسلمة التوازي لإقليدس .)

المستوى الزائدي هو مستوى حيث تكون كل نقطة فيه نقطة سرج . هندسة المستوى الزائدي هي أيضًا هندسة الأسطح شبه الكروية ، وهي أسطح ذات انحناء غاوسي سلبي ثابت . الأسطح السرجية لها انحناء غاوسي سلبي في بعض المناطق على الأقل، حيث تشبه المستوى الزائدي محليًا .

يوفر نموذج القطع الزائد للهندسة الزائدية تمثيلًا للأحداث التي تقع على بعد وحدة زمنية واحدة في المستقبل في فضاء مينكوفسكي ، وهو أساس النسبية الخاصة . يتوافق كل حدث من هذه الأحداث مع سرعة في اتجاه ما.

عندما أدرك علماء الهندسة لأول مرة أنهم يعملون بشيء آخر غير الهندسة الإقليدية القياسية، وصفوا هندستهم تحت العديد من الأسماء المختلفة؛ وأعطى فيليكس كلاين الموضوع أخيرًا اسم الهندسة الزائدية ليشملها في التسلسل النادر الاستخدام الآن الهندسة الإهليلجية ( الهندسة الكروية )، والهندسة المكافئة ( الهندسة الإقليدية )، والهندسة الزائدية. في الاتحاد السوفيتي السابق ، يطلق عليها عادةً هندسة لوباتشيفسكي، التي سميت على اسم أحد مكتشفيها، عالم الهندسة الروسي نيكولاي لوباتشيفسكي .

ترتبط الهندسة الزائدية بالهندسة الإقليدية بشكل أوثق مما يبدو: الفرق البديهي الوحيد هو مسلمة التوازي . عندما تتم إزالة مسلمة التوازي من الهندسة الإقليدية فإن الهندسة الناتجة هي الهندسة المطلقة . هناك نوعان من الهندسة المطلقة، الإقليدية والزائدية. جميع نظريات الهندسة المطلقة، بما في ذلك أول 28 قضية من الكتاب الأول من عناصر إقليدس ، صالحة في الهندسة الإقليدية والزائدية. يثبت الاقتراحان 27 و28 من الكتاب الأول من عناصر إقليدس وجود خطوط متوازية / غير متقاطعة.

هذا الاختلاف له أيضًا العديد من العواقب: المفاهيم المكافئة في الهندسة الإقليدية ليست مكافئة في الهندسة الزائدية؛ يجب تقديم مفاهيم جديدة. علاوة على ذلك، بسبب زاوية التوازي ، فإن الهندسة الزائدية لها مقياس مطلق ، وهي علاقة بين قياسات المسافة والزاوية.

تتمتع الخطوط المفردة في الهندسة الزائدية بنفس خصائص الخطوط المستقيمة المفردة في الهندسة الإقليدية. على سبيل المثال، تحدد نقطتان خطًا واحدًا بشكل فريد، ويمكن تمديد أجزاء الخط إلى ما لا نهاية.

يتمتع الخطان المتقاطعان بنفس خصائص الخطين المتقاطعين في الهندسة الإقليدية. على سبيل المثال، لا يمكن لخطين متميزين أن يتقاطعا في أكثر من نقطة واحدة، ويشكل الخطان المتقاطعان زوايا متقابلة متساوية، وتكون الزوايا المتجاورة للخطين المتقاطعين متكاملة .

عندما يتم تقديم خط ثالث، فقد تكون هناك خصائص للخطوط المتقاطعة تختلف عن الخطوط المتقاطعة في الهندسة الإقليدية. على سبيل المثال، إذا كان هناك خطان متقاطعان، فهناك عدد لا نهائي من الخطوط التي لا تتقاطع مع أي من الخطين المعطى.

كل هذه الخصائص مستقلة عن النموذج المستخدم، حتى لو كانت الخطوط تبدو مختلفة جذريًا.

تمتلك الخطوط غير المتقاطعة في الهندسة الزائدية أيضًا خصائص تختلف عن الخطوط غير المتقاطعة في الهندسة الإقليدية :

بالنسبة لأي خط R وأي نقطة P لا تقع على R ، في المستوى الذي يحتوي على الخط R والنقطة P يوجد على الأقل خطان متميزان يمران عبر P ولا يتقاطعان مع R.

وهذا يعني أن هناك عدد لا نهائي من الخطوط المستوية التي تمر عبر P والتي لا تتقاطع مع R.

تنقسم هذه الخطوط غير المتقاطعة إلى فئتين:

• اثنان من الخطوط ( x و y في الرسم البياني) هما متوازيان محدودان (يطلق عليهما أحيانًا متوازيان حرجتان أو متوازيان أفقيًا أو متوازيان فقط): يوجد خط واحد في اتجاه كل من النقاط المثالية في "نهايات" R ، يقترب بشكل مقارب من R ، ويقترب دائمًا من R ، لكنه لا يلتقي به أبدًا.
• جميع الخطوط الأخرى غير المتقاطعة لها نقطة ذات مسافة دنيا وتتباعد عن جانبي تلك النقطة، وتسمى متوازية للغاية ، أو متباعدة بالتوازي ، أو غير متقاطعة في بعض الأحيان.

يستخدم بعض علماء الهندسة عبارة " خطوط متوازية " ببساطة لتعني " خطوط متوازية محدودة "، بينما تعني الخطوط المتوازية للغاية الخطوط غير المتقاطعة فقط .

تشكل هذه المتوازيات المحدودة زاوية θ مع PB ؛ تعتمد هذه الزاوية فقط على الانحناء الغاوسي للمستوى والمسافة PB وتسمى زاوية التوازي .

بالنسبة للخطوط المتوازية للغاية، تنص نظرية الخطوط المتوازية للغاية على وجود خط فريد في المستوى الزائدي يكون عموديًا على كل زوج من الخطوط المتوازية للغاية.

في الهندسة الزائدية، محيط الدائرة التي نصف قطرها r أكبر من . ${\displaystyle 2\pi r}$

ليكن ، حيث هو الانحناء الغاوسي للمستوى. في الهندسة الزائدية، يكون سالبًا، لذا فإن الجذر التربيعي لعدد موجب. ${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

ومن ثم فإن محيط الدائرة التي نصف قطرها r يساوي:

${\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.}$

ومساحة القرص المحاط هي:

${\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{2R}}=2\pi R^{2}\left(\cosh {\frac {r}{R}}-1\right)\,.}$

لذلك، في الهندسة الزائدية تكون نسبة محيط الدائرة إلى نصف قطرها دائمًا أكبر تمامًا من ، على الرغم من أنه يمكن جعلها قريبة بشكل تعسفي عن طريق اختيار دائرة صغيرة بما يكفي. ${\displaystyle 2\pi }$

إذا كان الانحناء الغاوسي للمستوى يساوي −1 فإن الانحناء الجيوديسي لدائرة نصف قطرها r هو: ^[1]${\displaystyle {\frac {1}{\tanh(r)}}}$

في الهندسة الزائدية، لا يوجد خط تكون نقاطه كلها على مسافة متساوية من خط آخر. بدلاً من ذلك، تقع النقاط التي تكون جميعها على مسافة متساوية من خط معين على منحنى يسمى دورة زائدية .

منحنى خاص آخر هو المنحنى الدائري ، حيث تكون أقطاره الطبيعية (خطوطه العمودية ) كلها متوازية مع بعضها البعض (تتقارب جميعها بشكل مقارب في اتجاه واحد إلى نفس النقطة المثالية ، مركز المنحنى الدائري).

يمر عبر كل زوج من النقاط دائرتان عموديتان. وتشكل مراكز الدائرتين العموديتين النقاط المثالية للمنصف العمودي للقطعة المستقيمة الواقعة بينهما.

بالنظر إلى أي ثلاث نقاط مميزة، فإنها تقع جميعها إما على خط، أو دورة زائدة، أو دورة زمنية ، أو دائرة.

طول القطعة المستقيمة هو أقصر طول بين نقطتين .

طول قوس الدائرة الفائقة الذي يربط بين نقطتين أطول من طول قوس القطعة المستقيمة وأقصر من طول قوس الدائرة الفائقة الذي يربط بين نفس النقطتين.

أطوال قوسي دائرتي الدائرة الزاويتين اللتين تربطان بين نقطتين متساوية، وأطول من طول قوس أي دائرة زاويتين تربط بين النقطتين، وأقصر من قوس أي دائرة تربط بين النقطتين.

إذا كان الانحناء الغاوسي للمستوى يساوي −1، فإن الانحناء الجيوديسي لدورة الساعة يساوي 1 ويكون الانحناء لدورة فائقة بين 0 و1. ^[1]

على عكس المثلثات الإقليدية، حيث يبلغ مجموع الزوايا دائمًا π راديان (180 درجة، زاوية مستقيمة )، في الفضاء الزائدي يكون مجموع زوايا المثلث دائمًا أقل تمامًا من π راديان (180 درجة). ويسمى الفرق بالعيب . بشكل عام، يكون عيب المضلع الزائدي المحدب ذو الأضلاع هو مجموع زواياه مطروحًا منه . ${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}$

تُعطى مساحة المثلث الزائدي بضرب عيبه بالراديان في R ² ، وهو ما ينطبق أيضًا على جميع مضلعات القطع الزائد المحدبة. ^[2] وبالتالي فإن جميع المثلثات الزائدية لها مساحة أقل من أو تساوي R ² π. مساحة المثلث المثالي الزائدي الذي تكون فيه جميع الزوايا الثلاث 0 درجة تساوي هذا الحد الأقصى.

كما هو الحال في الهندسة الإقليدية ، فإن كل مثلث زائدي الشكل له دائرة داخلية . في الفضاء الزائدي، إذا كانت رؤوسه الثلاثة تقع على دائرة دائرية أو دائرة زائدية ، فإن المثلث ليس له دائرة محيطة .

كما هو الحال في الهندسة الكروية والإهليلجية ، في الهندسة الزائدية إذا كان مثلثان متشابهين، يجب أن يكونا متطابقين.

المضلعات الخاصة في الهندسة الزائدية هي المضلعات المنتظمة ذات القرون الزائدة والمضلعات الزائفة ذات الأضلاع المنتظمة ذات عدد لا نهائي من الأضلاع.

في الهندسة الإقليدية ، الطريقة الوحيدة لإنشاء مثل هذا المضلع هي جعل أطوال الأضلاع تتجه نحو الصفر ويصبح شكل المضلع غير قابل للتمييز عن الدائرة، أو جعل الزوايا الداخلية تتجه نحو 180 درجة ويصبح شكل المضلع يقترب من خط مستقيم.

ومع ذلك، في الهندسة الزائدية، يكون للمضلع المنتظم أو شبه المضلع أضلاع بأي طول (أي أنه يظل مضلعًا بأضلاع ملحوظة).

ستكون منصفات الأضلاع والزوايا ، اعتمادًا على طول الضلع والزاوية بين الضلعين، متوازية محدودة أو متباعدة. إذا كانت المنصفات متوازية محدودة، فإنها تكون على شكل قمة ويمكن نقشها وحصرها بواسطة دوائر عمودية متحدة المركز .

إذا كانت المنصفات متباعدة ومتوازية، فإنها تكون شبه منحرف ويمكن نقشها وحصرها بواسطة دورات زائدة (جميع الرؤوس على نفس مسافة الخط، والمحور، وكذلك نقطة منتصف القطع الجانبية كلها متساوية البعد عن نفس المحور).

كما هو الحال في المستوى الإقليدي ، فمن الممكن أيضًا تقسيم المستوى الزائدي إلى فسيفساء ذات مضلعات منتظمة كوجوه .

يوجد عدد لا نهائي من البلاطات المنتظمة بناءً على مثلثات شوارتز ( p q r ) حيث 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1، حيث p و  q و  r هي كل من رتب تماثل الانعكاس عند ثلاث نقاط من مثلث المجال الأساسي ، ومجموعة التماثل هي مجموعة مثلث زائدي . يوجد أيضًا عدد لا نهائي من البلاطات المنتظمة التي لا يمكن إنشاؤها من مثلثات شوارتز، بعضها يتطلب على سبيل المثال أشكالاً رباعية الأضلاع كمجالات أساسية. ^[3]

على الرغم من أن الهندسة الزائدية تنطبق على أي سطح ذو انحناء غاوسي سلبي ثابت ، فمن المعتاد افتراض مقياس يكون فيه الانحناء K يساوي −1.

يؤدي هذا إلى تبسيط بعض الصيغ. ومن الأمثلة على ذلك:

• مساحة المثلث تساوي قياس زاوية المثلث بالراديان .
• مساحة القطاع الدائري الشمسي تساوي طول قوسه الدائري الشمسي.
• قوس الدائرة الدائرية بحيث يكون الخط المماس في إحدى النهايتين موازيًا لنصف القطر عبر النقطة الطرفية الأخرى ويبلغ طوله 1. ^[4]
• نسبة أطوال القوس بين نصف قطرين لدائرتي هروسكلتين متحدة المركز حيث تكون الدائرتي هروسكلتين على مسافة 1 هي e  : 1. ^[4]

بالمقارنة مع الهندسة الإقليدية، فإن الهندسة الزائدية تقدم العديد من الصعوبات لنظام الإحداثيات: مجموع زوايا الشكل الرباعي يكون دائمًا أقل من 360 درجة؛ لا توجد خطوط متساوية البعد، لذلك يجب أن يكون المستطيل المناسب محاطًا بخطين ودورتين زائدتين؛ يؤدي نقل قطعة مستقيمة بشكل موازٍ حول الشكل الرباعي إلى دورانه عندما يعود إلى الأصل؛ إلخ.

ومع ذلك، هناك أنظمة إحداثيات مختلفة للهندسة المستوية الزائدية. وتعتمد جميعها على اختيار نقطة (الأصل) على خط موجه مختار (المحور السيني ) وبعد ذلك توجد العديد من الخيارات.

يمكن إيجاد إحداثيات لوباتشيفسكي x و y عن طريق إسقاط عمودي على المحور x . سيكون x هو تسمية قدم العمودي. ستكون y هي المسافة على طول العمودي للنقطة المعطاة من قدمها (موجبة على جانب واحد وسلبية على الجانب الآخر).

يقيس نظام إحداثيات آخر المسافة من النقطة إلى الدائرة الدائرية عبر نقطة الأصل المتمركزة حولها والطول على طول هذه الدائرة الدائرية. ^[5]${\displaystyle (0,+\infty )}$

وتستخدم أنظمة الإحداثيات الأخرى نموذج كلاين أو نموذج قرص بوانكاريه الموضح أدناه، وتأخذ الإحداثيات الإقليدية على أنها زائدية.

يتم إنشاء نظام إحداثيات شبيه بالديكارت ^{[ بحاجة لمصدر ]} ( x, y ) على المستوى الزائدي الموجه على النحو التالي. اختر خطًا في المستوى الزائدي مع اتجاه ونقطة أصل o على هذا الخط. ثم:

• إحداثي x لنقطة هو المسافة الموقعة لإسقاطها على الخط (أسفل القطعة العمودية على الخط من تلك النقطة) إلى الأصل؛
• إحداثي y هو المسافة الموقعة من النقطة إلى الخط، مع الإشارة وفقًا لما إذا كانت النقطة على الجانب الموجب أو السالب من الخط الموجه.

المسافة بين نقطتين ممثلة بـ ( x_i, y_i )، i=1,2 في نظام الإحداثيات هذا هي ^{[ بحاجة لمصدر ]} $${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.}$$

يمكن استخلاص هذه الصيغة من الصيغ الخاصة بالمثلثات الزائدية .

حقل الموتر المتري المقابل هو: . ${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}$

في نظام الإحداثيات هذا، تأخذ الخطوط المستقيمة أحد هذه الأشكال (( x ، y ) هي نقطة على الخط؛ x ₀ ، y ₀ ، A ، و α هي معلمات):

موازي للغاية لمحور x

${\displaystyle \tanh(y)=\tanh(y_{0})\cosh(x-x_{0})}$

متوازي بشكل مقارب على الجانب السلبي

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(x)}$

متوازي بشكل مقارب على الجانب الإيجابي

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(-x)}$

متقاطع بشكل عمودي

${\displaystyle x=x_{0}}$

متقاطع بزاوية α

${\displaystyle \tanh(y)=\tan(\alpha )\sinh(x-x_{0})}$

بشكل عام، لن تنطبق هذه المعادلات إلا في نطاق محدود (من قيم x ). وعند حافة هذا النطاق، تتضخم قيمة y إلى ± ما لا نهاية.

منذ نشر كتاب العناصر لإقليدس حوالي عام 300 قبل الميلاد، حاول العديد من علماء الهندسة إثبات مسلمة التوازي . حاول البعض إثباتها من خلال افتراض نفيها ومحاولة استنتاج تناقض . وكان من أبرز هؤلاء بروكلس وابن الهيثم وعمر الخيام ^[6] ونصير الدين الطوسي وويتلو وجرسونيدس وألفونسو وفيما بعد جيوفاني جيرولامو ساكري وجون واليس ويوهان هاينريش لامبرت وليجيندر . [ 7 ] كانت محاولاتهم محكوم عليها ^بالفشل ( كما نعلم الآن ، لا يمكن إثبات مسلمة التوازي من المسلمات الأخرى)، لكن جهودهم أدت إلى اكتشاف الهندسة الزائدية.

كانت نظريات الحسن والخيام والطوسي حول الأشكال الرباعية ، بما في ذلك رباعي ابن الهيثم-لامبيرت ورباعي الخيام-ساكيري ، أولى النظريات حول الهندسة الزائدية. كان لأعمالهم حول الهندسة الزائدية تأثير كبير على تطورها بين علماء الهندسة الأوروبيين اللاحقين، بما في ذلك ويتيلو وجرسونيدس وألفونسو وجون واليس وساكيري. ^[8]

في القرن الثامن عشر، قدم يوهان هاينريش لامبرت الدوال الزائدية ^[9] وحساب مساحة المثلث الزائدي . ^[10]

في القرن التاسع عشر، استكشف نيكولاي لوباتشيفسكي ويانوس بولياي وكارل فريدريش جاوس وفرانز تورينوس الهندسة الزائدية على نطاق واسع. وعلى عكس أسلافهم ، الذين أرادوا فقط إزالة فرضية التوازي من بديهيات الهندسة الإقليدية، أدرك هؤلاء المؤلفون أنهم اكتشفوا هندسة جديدة. ^{[11] [12]}

كتب غاوس في رسالة إلى فرانز تاورينوس عام 1824 أنه قام ببنائه، لكن غاوس لم ينشر عمله. أطلق عليه غاوس " هندسة غير إقليدية " ^[13] مما تسبب في استمرار العديد من المؤلفين المعاصرين في اعتبار "الهندسة غير الإقليدية" و "الهندسة الزائدية" مترادفين. نشر تاورينوس نتائج حول علم المثلثات الزائدية في عام 1826، وجادل بأن الهندسة الزائدية متسقة ذاتيًا، لكنه لا يزال يؤمن بالدور الخاص للهندسة الإقليدية. نشر لوباتشيفسكي النظام الكامل للهندسة الزائدية في عامي 1829/1830، بينما اكتشفه بولياي بشكل مستقل ونشره في عام 1832.

في عام 1868، قدم أوجينيو بلترامي نماذج للهندسة الزائدية، واستخدم ذلك لإثبات أن الهندسة الزائدية كانت متسقة إذا وفقط إذا كانت الهندسة الإقليدية كذلك.

تم تقديم مصطلح "الهندسة الزائدية" بواسطة فيليكس كلاين في عام 1871. ^[14] اتبع كلاين مبادرة آرثر كايلي لاستخدام تحويلات الهندسة الإسقاطية لإنتاج تماثلات القياس . استخدمت الفكرة مقطعًا مخروطيًا أو رباعيًا لتحديد منطقة، واستخدمت نسبة التقاطع لتحديد متري . التحويلات الإسقاطية التي تترك المقطع المخروطي أو الرباعي مستقرًا هي تماثلات القياس. "أظهر كلاين أنه إذا كان المطلق لكايلي منحنى حقيقيًا، فإن جزء المستوى الإسقاطي في داخله متساوي القياس للمستوى الزائدي..." ^[15]

كان لاكتشاف الهندسة الزائدية عواقب فلسفية مهمة. فقبل اكتشافها ، نظر العديد من الفلاسفة (مثل هوبز وسبينوزا ) إلى الدقة الفلسفية من حيث "الطريقة الهندسية"، في إشارة إلى طريقة الاستدلال المستخدمة في كتاب العناصر لإقليدس .

استنتج كانط في نقد العقل الخالص أن المكان (في الهندسة الإقليدية ) والزمان لا يكتشفهما البشر كخصائص موضوعية للعالم، بل هما جزء من إطار منهجي لا مفر منه لتنظيم تجاربنا. ^[16]

يقال أن غاوس لم ينشر أي شيء عن الهندسة الزائدية خوفًا من "ضجة البيوتيين " (الذين تم تصويرهم على أنهم أغبياء من قبل الأثينيين القدماء ^[17] )، والتي من شأنها أن تدمر مكانته كأمير الرياضيات ( باللاتينية: princeps mathematicorum). ^[18] جاءت "ضجة البيوتيين" وذهبت، وأعطت زخمًا لتحسينات كبيرة في صرامة الرياضيات والفلسفة التحليلية والمنطق . ثبت أخيرًا أن الهندسة الزائدية متسقة وبالتالي فهي هندسة صالحة أخرى.

وبما أن الهندسة الإقليدية والزائدية والإهليلجية كلها متسقة، فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو: ما هي الهندسة الحقيقية للفضاء، وإذا كانت زائدية أو إهليلجية، فما هو انحناؤها؟

كان لوباتشيفسكي قد حاول بالفعل قياس انحناء الكون عن طريق قياس المنظر الطبيعي لشعرى اليمانية واعتبارها النقطة المثالية لزاوية التوازي . وقد أدرك أن قياساته لم تكن دقيقة بما يكفي لإعطاء إجابة محددة، لكنه توصل إلى استنتاج مفاده أنه إذا كانت هندسة الكون زائدية، فإن الطول المطلق لا يقل عن مليون مرة قطر مدار الأرض (2 000 000  وحدة فلكية ، 10 فرسخ فلكي ). ^[19] يزعم البعض أن قياساته كانت معيبة من الناحية المنهجية. ^[20]

توصل هنري بوانكاريه ، من خلال تجربته الفكرية حول العالم الكروي ، إلى استنتاج مفاده أن التجربة اليومية لا تستبعد بالضرورة الهندسة الأخرى.

يقدم لنا تخمين الهندسة قائمة كاملة من ثمانية احتمالات للهندسة الأساسية لفضائنا. تكمن المشكلة في تحديد أي منها ينطبق في أنه للوصول إلى إجابة نهائية، نحتاج إلى أن نكون قادرين على النظر إلى أشكال ضخمة للغاية - أكبر بكثير من أي شيء على الأرض أو ربما حتى في مجرتنا. ^[21]

تضع النسبية الخاصة المكان والزمان على قدم المساواة، بحيث يمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار هندسة الزمكان الموحد بدلاً من النظر إلى المكان والزمان بشكل منفصل. ^{[22] [23]} تحل هندسة مينكوفسكي محل الهندسة الجاليلية (وهي الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد مع الزمن في النسبية الجاليلية ). ^[24]

في النسبية، بدلاً من الهندسة الإقليدية والإهليلجية والزائدية، فإن الهندسة المناسبة التي يجب مراعاتها هي فضاء مينكوفسكي ، وفضاء دي سيتر ، وفضاء دي سيتر المضاد ، ^{[25] [26]} والتي تتوافق مع الانحناء الصفري والإيجابي والسالب على التوالي.

تدخل الهندسة الزائدية إلى النسبية الخاصة من خلال السرعة ، والتي تمثل السرعة ، ويتم التعبير عنها بزاوية زائدية . وقد أُطلق على دراسة هندسة السرعة هذه اسم الهندسة الحركية . تحتوي مساحة السرعات النسبية على هندسة زائدية ثلاثية الأبعاد، حيث يتم تحديد دالة المسافة من السرعات النسبية للنقط "القريبة" (السرعات). ^[27]

توجد العديد من الكرات الزائفة في الفضاء الإقليدي التي لها مساحة محدودة من الانحناء الغاوسي السلبي الثابت.

بموجب نظرية هيلبرت ، لا يمكن غمر مستو زائدي كامل (سطح منتظم كامل ذو انحناء غاوسي سلبي ثابت ) بشكل متساوي القياس في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد.

توجد نماذج مفيدة أخرى للهندسة الزائدية في الفضاء الإقليدي، حيث لا يتم الحفاظ على المقياس. أحد النماذج الورقية المعروفة بشكل خاص والتي تعتمد على المجال الزائف يرجع الفضل فيها إلى ويليام ثورستون .

لقد تم استخدام فن الكروشيه لإظهار المستويات الزائدية، وقد قامت داينا تايمينا بإجراء أول عرض من هذا القبيل . ^[28]

في عام 2000، أظهر كيث هندرسون نموذجًا ورقيًا سريع الصنع أطلق عليه اسم " كرة القدم الزائدية " (أو بالأحرى، بلاط مثلث مقطوع من الدرجة 7 ). ^{[29] [30]}

تم توفير التعليمات الخاصة بكيفية صنع لحاف زائدي، صممه هيلامان فيرجسون ، ^{[31] بواسطة} جيف ويكس . ^[32]

يمكن تضمين العديد من الكرات الزائفة - الأسطح ذات الانحناء الجاوسي السالب الثابت - في الفضاء ثلاثي الأبعاد وفقًا للمقياس الإقليدي القياسي، وبالتالي يمكن تحويلها إلى نماذج ملموسة. من بين هذه الكرات الزائفة، تعد الكرات الزائفة (أو الكرات الزائفة) الأكثر شهرة؛ حيث إن استخدام الكرات الزائفة كنموذج للمستوى الزائد يشبه استخدام المخروط أو الأسطوانة كنموذج للمستوى الإقليدي. ومع ذلك، لا يمكن تضمين المستوى الزائد بالكامل في الفضاء الإقليدي بهذه الطريقة، وهناك نماذج أخرى مختلفة أكثر ملاءمة لاستكشاف الهندسة الزائدية بشكل تجريدي.

هناك أربعة نماذج تستخدم عادة في الهندسة الزائدية: نموذج كلاين ، ونموذج قرص بوانكاريه ، ونموذج نصف المستوى لبوانكاريه ، ونموذج لورنتز أو القطع الزائد . تحدد هذه النماذج مستوى زائديًا يلبي مسلمات الهندسة الزائدية. وعلى الرغم من أسمائها، فقد تم تقديم النماذج الثلاثة الأولى المذكورة أعلاه كنماذج للفضاء الزائدي بواسطة بلترامي ، وليس بواسطة بوانكاريه أو كلاين . كل هذه النماذج قابلة للتمديد إلى أبعاد أكثر.

نموذج بلترامي-كلاين ، المعروف أيضًا باسم نموذج القرص الإسقاطي ونموذج قرص كلاين ونموذج كلاين ، سمي على اسم يوجينيو بلترامي وفيليكس كلاين .

بالنسبة للبعدين، يستخدم هذا النموذج الجزء الداخلي من دائرة الوحدة للمستوى الزائدي الكامل ، وأوتار هذه الدائرة هي الخطوط الزائدية.

بالنسبة للأبعاد الأعلى ، يستخدم هذا النموذج الجزء الداخلي من الكرة الوحدوية ، وأوتار هذه الكرة n هي الخطوط الزائدية.

• يتمتع هذا النموذج بميزة أن الخطوط مستقيمة، ولكن عيبه أن الزوايا مشوهة (التعيين غير متوافق )، كما أن الدوائر لا يتم تمثيلها كدوائر.
• المسافة في هذا النموذج هي نصف لوغاريتم النسبة المتقاطعة ، والتي قدمها آرثر كايلي في الهندسة الإسقاطية .

نموذج قرص بوانكاريه ، المعروف أيضًا باسم نموذج القرص المطابق، يستخدم أيضًا الجزء الداخلي من دائرة الوحدة ، ولكن يتم تمثيل الخطوط بواسطة أقواس الدوائر المتعامدة على دائرة الحدود، بالإضافة إلى أقطار دائرة الحدود.

• يحافظ هذا النموذج على الزوايا، وبالتالي فهو متوافق . وبالتالي فإن جميع التماثلات داخل هذا النموذج هي تحويلات موبيوس .
• تظل الدوائر الموجودة بالكامل داخل القرص دوائر على الرغم من أن المركز الإقليدي للدائرة أقرب إلى مركز القرص من المركز الزائدي للدائرة.
• الدوائر الدائرية هي دوائر داخل القرص تكون مماسة لدائرة الحدود، باستثناء نقطة الاتصال.
• الدورات الفائقة هي أوتار مفتوحة النهاية وأقواس دائرية داخل القرص تنتهي على الدائرة الحدودية بزوايا غير متعامدة.

يأخذ نموذج نصف المستوى لبونكاريه نصف المستوى الإقليدي، المحدود بخط B للمستوى، ليكون نموذجًا للمستوى الزائدي. لا يتم تضمين الخط B في النموذج.

يمكن اعتبار المستوى الإقليدي مستوى بنظام إحداثيات ديكارت ويتم اعتبار المحور السيني بمثابة الخط B ونصف المستوى هو النصف العلوي ( y > 0) من هذا المستوى.

• تكون الخطوط الزائدية إما نصف دوائر متعامدة على B أو أشعة عمودية على B.
• يتم تحديد طول الفاصل الزمني على الشعاع بواسطة قياس لوغاريتمي، وبالتالي فهو ثابت تحت التحويل المتجانس ${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y),\quad \lambda >0.}$
• مثل نموذج قرص بوانكاريه، يحافظ هذا النموذج على الزوايا، وبالتالي فهو متوافق . وبالتالي فإن جميع التماثلات داخل هذا النموذج هي تحويلات موبيوس للمستوى.
• نموذج نصف المستوى هو حد نموذج قرص بوانكاريه الذي تكون حدوده مماسًا لـ B في نفس النقطة بينما يتجه نصف قطر نموذج القرص إلى ما لا نهاية.

يستخدم نموذج القطع الزائد أو نموذج لورنتز قطع زائد ثنائي الأبعاد ذو دوران (من ورقتين، ولكن باستخدام واحدة) مدمج في فضاء مينكوفسكي ثلاثي الأبعاد . يُنسب هذا النموذج عمومًا إلى بوانكاريه، لكن رينولدز ^[33] يقول إن فيلهلم كيلينج استخدم هذا النموذج في عام 1885

• هذا النموذج له تطبيق مباشر على النسبية الخاصة ، حيث أن فضاء مينكوفسكي 3 هو نموذج للزمكان ، يقمع بعدًا مكانيًا واحدًا. يمكننا أن نأخذ القطع الزائد لتمثيل الأحداث (المواضع في الزمكان) التي سيصل إليها مراقبون مختلفون يتحركون بالقصور الذاتي ، بدءًا من حدث مشترك، في وقت محدد .
• ومن الممكن بعد ذلك تحديد المسافة الزائدية بين نقطتين على القطع الزائد باستخدام السرعة النسبية بين المراقبين المتقابلين.
• يتعمم النموذج بشكل مباشر على بُعد إضافي: يرتبط الهندسة الزائدية ثلاثية الأبعاد في الفضاء الزائدي الثلاثي الأبعاد بفضاء مينكوفسكي رباعي الأبعاد.

لا يتم استخدام نموذج نصف الكرة الأرضية في كثير من الأحيان كنموذج بحد ذاته، ولكنه يعمل كأداة مفيدة لتوضيح التحولات بين النماذج الأخرى.

يستخدم نموذج نصف الكرة النصف العلوي من الكرة الوحدوية : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z>0.}$

الخطوط الزائدية هي عبارة عن أنصاف دوائر متعامدة على حدود نصف الكرة الأرضية.

نموذج نصف الكرة هو جزء من كرة ريمان ، والإسقاطات المختلفة تعطي نماذج مختلفة للمستوى الزائدي:

• يعرض الإسقاط المجسم من على المستوى نقاطًا مقابلة على نموذج قرص بوانكاريه${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle z=0}$
• إسقاط مجسم من على السطح يعرض نقاطًا مقابلة على نموذج القطع الزائد${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,z>0}$
• إسقاط مجسم من على المستوى يعرض نقاطًا مقابلة على نموذج نصف المستوى لبوانكاريه${\displaystyle (-1,0,0)}$${\displaystyle x=1}$
• يقوم الإسقاط المتعامد على المستوى بإسقاط النقاط المقابلة على نموذج بلترامي-كلاين .${\displaystyle z=C}$
• يقوم الإسقاط المركزي من مركز الكرة إلى المستوى بإسقاط النقاط المقابلة على نموذج جانس${\displaystyle z=1}$

في عام 1966 اقترح ديفيد جانز نموذجًا للقطع الزائد المسطح في مجلة American Mathematical Monthly . ^[34] وهو عبارة عن إسقاط متعامد لنموذج القطع الزائد على المستوى xy. لا يُستخدم هذا النموذج على نطاق واسع مثل النماذج الأخرى ولكنه مع ذلك مفيد جدًا في فهم الهندسة الزائدية.

• على عكس نماذج كلاين أو بوانكاريه، يستخدم هذا النموذج المستوى الإقليدي بأكمله .
• يتم تمثيل الخطوط في هذا النموذج كفروع للقطع الزائد . ^[35]

يستخدم نموذج النطاق جزءًا من المستوى الإقليدي بين خطين متوازيين. ^[36] يتم الحفاظ على المسافة على طول خط واحد عبر منتصف النطاق. بافتراض أن النطاق معطى بواسطة ، فإن المقياس معطى بواسطة . ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|\operatorname {Im} z|<\pi /2\}}$${\displaystyle |dz|\sec(\operatorname {Im} z)}$

تصف جميع النماذج نفس البنية بشكل أساسي. الفرق بينها هو أنها تمثل مخططات إحداثيات مختلفة موضوعة على نفس الفضاء المتري ، أي المستوى الزائدي. السمة المميزة للمستوى الزائدي نفسه هي أنه يحتوي على انحناء غاوسي سلبي ثابت ، وهو غير مبالٍ بمخطط الإحداثيات المستخدم. الجيوديسيات ثابتة بشكل مماثل: أي أن الجيوديسيات تتطابق مع الجيوديسيات تحت تحويل الإحداثيات. يتم تقديم الهندسة الزائدية بشكل عام من حيث الجيوديسيات وتقاطعاتها على المستوى الزائدي. ^[37]

بمجرد اختيار مخطط إحداثيات (أحد "النماذج")، يمكننا دائمًا تضمينه في فضاء إقليدي بنفس البعد، ولكن من الواضح أن التضمين ليس متساوي القياس (نظرًا لأن انحناء الفضاء الإقليدي يساوي 0). يمكن تمثيل الفضاء الزائدي بعدد لا نهائي من المخططات المختلفة؛ ولكن التضمينات في الفضاء الإقليدي بسبب هذه المخططات الأربعة المحددة تُظهر بعض الخصائص المثيرة للاهتمام.

وبما أن النماذج الأربعة تصف نفس المساحة المترية، فمن الممكن تحويل كل منها إلى الآخر.

انظر على سبيل المثال:

• علاقة نموذج بلترامي-كلاين بنموذج القطع الزائد ،
• العلاقة بين نموذج بلترامي-كلاين ونموذج قرص بوانكاريه ،
• وعلاقة نموذج قرص بوانكاريه بنموذج القطع الزائد .

يمكن تحقيق كل تماثل قياس ( تحويل أو حركة ) للمستوى الزائدي على نفسه باعتباره تركيبة من ثلاثة انعكاسات على الأكثر . وفي الفضاء الزائدي ذي الأبعاد n ، قد تكون هناك حاجة إلى ما يصل إلى n +1 انعكاس. (هذا ينطبق أيضًا على الهندسة الإقليدية والكروية، لكن التصنيف أدناه مختلف.)

يمكن تصنيف جميع تساويات الزوايا في المستوى الزائدي إلى الفئات التالية:

• الحفاظ على التوجه
  • تساوي القياس - لا شيء يتحرك؛ انعكاسات صفرية؛ درجات صفر من الحرية .
  • الانعكاس عبر نقطة (نصف دورة) - انعكاسان عبر خطين متعامدين يمران عبر النقطة المعطاة، أي دوران بمقدار 180 درجة حول النقطة؛ درجتان من الحرية .
  • الدوران حول نقطة طبيعية - انعكاسان عبر خطوط تمر عبر النقطة المعطاة (يشمل الانعكاس كحالة خاصة)؛ تتحرك النقاط في دوائر حول المركز؛ ثلاث درجات من الحرية.
  • "الدوران" حول نقطة مثالية (الدوران) - انعكاسان عبر خطوط تؤدي إلى النقطة المثالية؛ تتحرك النقاط على طول دورات دائرية تتركز حول النقطة المثالية؛ درجتان من الحرية.
  • الترجمة على طول خط مستقيم - انعكاسان عبر خطوط عمودية على الخط المعطى؛ تتحرك النقاط خارج الخط المعطى على طول دورات زائدة؛ ثلاث درجات من الحرية.
• عكس الاتجاه
  • الانعكاس من خلال خط - انعكاس واحد؛ درجتان من الحرية.
  • الانعكاس المشترك من خلال خط والترجمة على طول نفس الخط - الانعكاس والترجمة يتنقلان؛ ثلاثة انعكاسات مطلوبة؛ ثلاث درجات من الحرية. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

توضح مطبوعات MC Escher الشهيرة Circle Limit III و Circle Limit IV نموذج القرص المطابق ( نموذج قرص Poincaré ) بشكل جيد للغاية. الخطوط البيضاء في III ليست جيوديسية تمامًا (إنها دورات زائدية )، ولكنها قريبة منها. من الممكن أيضًا رؤية الانحناء السلبي للمستوى الزائدي بوضوح تام ، من خلال تأثيره على مجموع الزوايا في المثلثات والمربعات.

على سبيل المثال، في Circle Limit III، تنتمي كل رأس إلى ثلاثة مثلثات وثلاثة مربعات. في المستوى الإقليدي، سيكون مجموع زواياها 450 درجة؛ أي دائرة وربع. ومن هذا، نرى أن مجموع زوايا المثلث في المستوى الزائدي يجب أن يكون أصغر من 180 درجة. هناك خاصية مرئية أخرى وهي النمو الأسي . في Circle Limit III ، على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يرى أن عدد الأسماك ضمن مسافة n من المركز يرتفع بشكل أسي. الأسماك لها مساحة زائدية متساوية، لذا فإن مساحة الكرة التي يبلغ نصف قطرها n يجب أن ترتفع بشكل أسي في n .

تم استخدام فن الكروشيه لإظهار المستويات الزائدية (الصورة أعلاه) حيث تم صنع أولها بواسطة داينا تايمينا ، ^[28] التي فاز كتابها مغامرات الكروشيه بالمستويات الزائدية بجائزة بائع الكتب/الرسم البياني لعام 2009 لأغرب عنوان لهذا العام . ^[38]

HyperRogue هي لعبة تشبه ألعاب Roguelike تدور أحداثها على طبقات مختلفة من المستوى الزائدي .

لا تقتصر الهندسة الزائدية على بعدين؛ حيث توجد هندسة زائدية لكل عدد أكبر من الأبعاد.

الفضاء الزائدي ذو البعد n هو حالة خاصة من الفضاء المتماثل الريماني من النوع غير المضغوط، لأنه متماثل بالنسبة للحاصل

${\displaystyle \mathrm {O} (1,n)/(\mathrm {O} (1)\times \mathrm {O} (n)).}$

تعمل المجموعة المتعامدة O(1, n ) عن طريق التحويلات المحافظة على القاعدة على فضاء مينكوفسكي R ^{1, n} ، وتعمل بشكل انتقالي على القطع الزائد ذي الصفحتين لمتجهات القاعدة 1. تمر الخطوط الزمنية (أي تلك التي لها مماسات ذات قاعدة موجبة) عبر الأصل عبر نقاط متعاكسة في القطع الزائد، لذا فإن فضاء هذه الخطوط يعطي نموذجًا للفضاء الزائدي n . يكون مثبت أي خط معين متماثلًا مع حاصل ضرب المجموعتين المتعامدتين O( n ) وO(1)، حيث تعمل O( n ) على الفضاء المماس لنقطة في القطع الزائد، ويعكس O(1) الخط عبر الأصل. يمكن وصف العديد من المفاهيم الأولية في الهندسة الزائدية بمصطلحات جبرية خطية : حيث يتم وصف المسارات الجيوديسية من خلال التقاطعات مع المستويات عبر الأصل، ويمكن وصف الزوايا ثنائية السطوح بين المستويات الزائدة من خلال المنتجات الداخلية للمتجهات الطبيعية، ويمكن إعطاء مجموعات الانعكاس الزائدي تحقيقات مصفوفة صريحة.

في الأبعاد الصغيرة، توجد تماثلات استثنائية لمجموعات لي والتي تقدم طرقًا إضافية للنظر في تماثلات المساحات الزائدية. على سبيل المثال، في البعد 2، تسمح التماثلات SO ⁺ (1، 2) ≅ PSL(2، R ) ≅ PSU(1، 1) بتفسير نموذج نصف المستوى العلوي على أنه الحاصل SL(2، R )/SO(2) ونموذج قرص بوانكاريه على أنه الحاصل SU(1، 1)/U(1) . في كلتا الحالتين، تعمل مجموعات التماثل عن طريق التحويلات الخطية الكسرية، حيث أن كلتا المجموعتين هما مثبتات الحفاظ على الاتجاه في PGL(2، C ) للمساحات الفرعية الخاصة بكرة ريمان. لا يأخذ تحويل كايلي نموذجًا واحدًا من المستوى الزائدي إلى الآخر فحسب، بل يحقق أيضًا تماثل مجموعات التماثل على أنه اقتران في مجموعة أكبر. في البعد 3، يتم التعرف على الفعل الخطي الكسري لـ PGL(2, C ) على كرة ريمان بالفعل على الحدود المطابقة للفضاء الزائدي 3 الناتج عن التماثل O ⁺ (1, 3) ≅ PGL(2, C ) . وهذا يسمح بدراسة تماثلات الفضاء الزائدي 3 من خلال النظر في الخصائص الطيفية للمصفوفات المعقدة التمثيلية. على سبيل المثال، تكون التحويلات المكافئة مترافقة مع الترجمات الصلبة في نموذج نصف الفضاء العلوي، وهي بالضبط تلك التحويلات التي يمكن تمثيلها بواسطة مصفوفات مثلثية علوية أحادية القدرة .

• أ'كامبو، نوربرت وبابادوبولوس، أثاناسي، (2012) ملاحظات حول الهندسة الزائدية ، في: دورة ستراسبورغ الرئيسية في الهندسة، ص. 1-182، محاضرات IRMA في الرياضيات والفيزياء النظرية، المجلد. 18، زيورخ: الجمعية الأوروبية للرياضيات (EMS)، 461 صفحة، SBN ISBN 978-3-03719-105-7 ، DOI 10.4171-105. 
• كوكستر، إتش إس إم ، (1942) الهندسة غير الإقليدية ، مطبعة جامعة تورنتو، تورنتو
• فنشل، فيرنر (1989). الهندسة الأولية في الفضاء الزائدي . دراسات دي جرويتر في الرياضيات. المجلد 11. برلين-نيويورك: والتر دي جرويتر وشركاه.
• الأماكن القريبة : نيلسن، جاكوب (2003). أسموس إل شميدت (محرر). مجموعات متقطعة من متساوي القياس في المستوى الزائدي . دراسات دي جرويتر في الرياضيات. المجلد. 29. برلين: والتر دي جرويتر وشركاه
• Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry ، تحرير وترجمة Athanase Papadopoulos، تراث الرياضيات الأوروبية، المجلد 4. زيورخ: الجمعية الرياضية الأوروبية (EMS). xii، 310 صفحة، ISBN 978-3-03719-087-6 / غلاف ورقي 
• ميلنور، جون دبليو ، (1982) الهندسة الزائدية: أول 150 عامًا ، مجلة الرياضيات الأمريكية (NS) المجلد 6، العدد 1، ص 9-24.
• رينولدز، ويليام ف. (1993) الهندسة الزائدية على القطع الزائد ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 100: 442-455.
• ستيلويل، جون (1996). مصادر الهندسة الزائدية. تاريخ الرياضيات. المجلد 10. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . رقم ISBN 978-0-8218-0529-9. السيد  1402697.
• سامويلز، ديفيد، (مارس 2006) نظرية الحياكة، مجلة ديسكفر، المجلد 27، العدد 3.
• جيمس دبليو أندرسون، الهندسة الزائدية ، سبرينغر 2005، ISBN 1-85233-934-9 
• جيمس دبليو كانون، ويليام جيه فلويد، ريتشارد كينون، ووالتر آر باري (1997) الهندسة الزائدية ، منشورات معهد أبحاث علوم الأرض، المجلد 31.

• برنامج جافا سكريبت مجاني لإنشاء رسومات في نموذج قرص بوانكاريه للهندسة الزائدية جامعة نيو مكسيكو
• "أغنية الهندسة الزائدية" فيديو موسيقي قصير حول أساسيات الهندسة الزائدية متاح على اليوتيوب.
• "هندسة لوباتشيفسكي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "فضاء جاوس-بولياي-لوباتشيفسكي". MathWorld .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الهندسة الزائدية". MathWorld .
• المزيد عن الهندسة الزائدية، بما في ذلك الأفلام والمعادلات للتحويل بين النماذج المختلفة جامعة إلينوي في أوربانا-شامبين
• مخططات فورونوي الزائدية سهلة، فرانك نيلسن
• ستوثرز، ويلسون (2000). "الهندسة الزائدية". maths.gla.ac.uk . جامعة جلاسكو .موقع تعليمي تفاعلي.
• فسيفساءات مستوية زائدية
• نماذج المستوي الزائدي