مضلع

في الهندسة ، المضلع ( / ˈpɒlɪɡɒn / ) هو شكل مستوٍ يتكون من قطع مستقيمة متصلة لتشكيل سلسلة مضلعة مغلقة . ​

تسمى أجزاء السلسلة المضلعة المغلقة حوافها أو أضلاعها . النقاط التي يلتقي عندها ضلعان هي رؤوس أو زوايا المضلع . المضلع ذو n ضلع هو مضلع ذو n ضلع؛ على سبيل المثال، المثلث هو مضلع ثلاثي الأضلاع.

المضلع البسيط هو المضلع الذي لا يتقاطع مع نفسه. وبصورة أكثر دقة، فإن التقاطعات الوحيدة المسموح بها بين قطع الخطوط التي تشكل المضلع هي نقاط النهاية المشتركة لقطع متتالية في سلسلة المضلعات. المضلع البسيط هو حدود منطقة من المستوى تسمى مضلعًا صلبًا . الجزء الداخلي من المضلع الصلب هو جسمه ، والمعروف أيضًا باسم منطقة مضلعة أو مساحة مضلعة . في السياقات التي يهتم فيها المرء فقط بالمضلعات البسيطة والصلبة، قد يشير المضلع فقط إلى مضلع بسيط أو إلى مضلع صلب.

قد تتقاطع سلسلة مضلعة مع نفسها، مما يؤدي إلى إنشاء مضلعات نجمية ومضلعات أخرى متقاطعة ذاتيًا . تعتبر بعض المصادر أيضًا السلاسل المضلعة المغلقة في الفضاء الإقليدي نوعًا من المضلعات ( مضلع مائل )، حتى عندما لا تقع السلسلة في مستوى واحد.

المضلع هو مثال ثنائي الأبعاد لمتعدد السطوح الأكثر عمومية في أي عدد من الأبعاد. هناك العديد من التعميمات الأخرى للمضلعات المحددة لأغراض مختلفة.

اشتُقت كلمة مضلع من الصفة اليونانية πολύς ( polús ) "كثير"، "كثير" وγωνία ( gōnía ) "زاوية". وقد اقترح البعض أن γόνυ ( gónu ) "ركبة" قد تكون أصل كلمة gon . ^[1]

يتم تصنيف المضلعات بشكل أساسي حسب عدد الأضلاع.

يمكن أن تتميز المضلعات من خلال نوع تحدبها أو عدم تحدبها:

• محدب : أي خط مرسوم عبر المضلع (وليس مماسًا لحافة أو زاوية) يلتقي بحدوده مرتين بالضبط. ونتيجة لذلك، تكون جميع زواياه الداخلية أقل من 180 درجة. وعلى نحو مكافئ، فإن أي قطعة مستقيمة ذات نقاط نهاية على الحدود تمر فقط عبر نقاط داخلية بين نقاط النهاية. وهذا الشرط صحيح بالنسبة للمضلعات في أي هندسة، وليس فقط الإقليدية. ^[2]
• غير محدب: قد نجد خطًا يلتقي بحدوده أكثر من مرتين. وعلى نحو مماثل، يوجد خط مستقيم بين نقطتين حدوديتين يمر خارج المضلع.
• بسيط : حدود المضلع لا تتقاطع مع بعضها البعض. كل المضلعات المحدبة بسيطة.
• مقعر : غير محدب وبسيط. يوجد به على الأقل زاوية داخلية واحدة أكبر من 180 درجة.
• على شكل نجمة : يمكن رؤية الجزء الداخلي بالكامل من نقطة واحدة على الأقل، دون عبور أي حافة. ​​يجب أن يكون المضلع بسيطًا، وقد يكون محدبًا أو مقعرًا. جميع المضلعات المحدبة على شكل نجمة.
• متقاطع ذاتيًا : يتقاطع حدود المضلع مع نفسه. يُستخدم مصطلح معقد أحيانًا على النقيض من بسيط ، ولكن هذا الاستخدام قد يؤدي إلى الخلط بينه وبين فكرة المضلع المعقد باعتباره مضلعًا موجودًا في المستوى هيلبرت المعقد المكون من بعدين معقدين .
• مضلع نجمي : مضلع يتقاطع مع نفسه بطريقة منتظمة. لا يمكن للمضلع أن يكون على شكل نجمة ونجمة في نفس الوقت.

• متساوي الزوايا : جميع زوايا الزوايا متساوية.
• متساوي الأضلاع : جميع الأضلاع لها نفس الطول.
• منتظم : متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا.
• دائرية : جميع الزوايا تقع على دائرة واحدة تسمى الدائرة المحيطة .
• مماسي : جميع الأضلاع مماسة لدائرة محاطة .
• متوازي الأضلاع أو متعدٍ للرؤوس : كل الزوايا تقع في نفس مدار التماثل . المضلع أيضًا دائري ومتساوي الزوايا.
• متساوي الأضلاع أو متعدٍ على الحافة : كل الأضلاع تقع ضمن نفس مدار التماثل . المضلع متساوي الأضلاع ومماس أيضًا.

يمكن تعريف خاصية الانتظام بطرق أخرى: يكون المضلع منتظمًا إذا وفقط إذا كان متساوي الأضلاع ومتساوي الأضلاع، أو على نحو مكافئ يكون دوريًا ومتساوي الأضلاع. يسمى المضلع المنتظم غير المحدب مضلعًا نجميًا منتظمًا .

• مستطيل الشكل : تلتقي أضلاع المضلع بزاوية قائمة، أي أن جميع زواياه الداخلية تساوي 90 أو 270 درجة.
• رتيب بالنسبة إلى خط معين L : كل خط عمودي على L يتقاطع مع المضلع مرتين على الأكثر.

يتم افتراض الهندسة الإقليدية في جميع أنحاء.

يحتوي أي مضلع على عدد من الزوايا يساوي عدد أضلاعه. ولكل زاوية عدة زوايا. وأهم زاويتين هما:

• الزاوية الداخلية - مجموع الزوايا الداخلية لضلع بسيط عدد أضلاعه n هو ( n − 2) × π راديان أو ( n − 2) × 180 درجة . وذلك لأن أي ضلع بسيط عدد أضلاعه n (له n ضلع) يمكن اعتباره مكونًا من ( n − 2) مثلث، كل منها له مجموع زوايا π راديان أو 180 درجة. قياس أي زاوية داخلية لضلع منتظم محدب عدد أضلاعه n هوراديان أودرجات. تمت دراسة الزوايا الداخلية لمضلعات النجوم المنتظمة لأول مرة بواسطة بوينسو، في نفس الورقة التي وصف فيها متعددات السطوح النجمية المنتظمة الأربعة : بالنسبة للضلع المنتظم( ضلع p بكثافة مركزية q )، تكون كل زاوية داخليةراديان أودرجات. ^[3]${\displaystyle \left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi }$${\displaystyle 180-{\tfrac {360}{n}}}$${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$${\displaystyle {\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}}$${\displaystyle {\tfrac {180(p-2q)}{p}}}$
• الزاوية الخارجية - الزاوية الخارجية هي الزاوية التكميلية للزاوية الداخلية. عند التتبع حول مضلع محدب عدد أضلاعه n ، تكون الزاوية "المقلوبة" عند الزاوية هي الزاوية الخارجية أو الخارجية. عند التتبع حول المضلع بالكامل، يكون هناك دورة كاملة ، لذا يجب أن يكون مجموع الزوايا الخارجية 360 درجة. يمكن تعميم هذه الحجة على المضلعات البسيطة المقعرة، إذا تم طرح الزوايا الخارجية التي تدور في الاتجاه المعاكس من إجمالي الزوايا المستديرة. عند التتبع حول مضلع عدد أضلاعه n بشكل عام، يمكن أن يكون مجموع الزوايا الخارجية (إجمالي مقدار الدوران عند الرؤوس) أي عدد صحيح مضاعف d لـ 360 درجة، على سبيل المثال 720 درجة لخماسي الأضلاع و0 درجة لثمانية زاويّة أو متوازي أضلاع معاكس ، حيث d هي كثافة أو عدد دورات المضلع.

في هذا القسم، نأخذ رؤوس المضلع قيد النظر في الاعتبار بالترتيب. وللتيسير في بعض الصيغ، سيتم أيضًا استخدام الصيغة ( x _n , y _n ) = ( x ₀ , y ₀ ) .${\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$

إذا كان المضلع غير متقاطع ذاتيًا (أي بسيط )، فإن المنطقة الموقعة هي

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{حيث ​​}}x_{n}=x_{0}{\text{ و }}y_{n}=y_{0},}$

أو باستخدام المحددات

${\displaystyle 16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},}$

أين هي المسافة التربيعية بين و ^{[4] [5]}${\displaystyle Q_{i,j}}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle (x_{j},y_{j}).}$

تعتمد المساحة الموقعة على ترتيب الرؤوس واتجاه المستوى . عادةً ما يتم تحديد الاتجاه الإيجابي من خلال الدوران (عكس اتجاه عقارب الساعة) الذي يربط المحور السيني الموجب بالمحور الصادي الموجب . إذا تم ترتيب الرؤوس عكس اتجاه عقارب الساعة (أي وفقًا للاتجاه الإيجابي)، تكون المساحة الموقعة موجبة؛ وإلا فهي سالبة. في كلتا الحالتين، تكون صيغة المساحة صحيحة بالقيمة المطلقة . يُطلق على هذا عادةً صيغة رباط الحذاء أو صيغة المساح . ^[6]

يمكن أيضًا حساب مساحة مضلع بسيط A إذا كانت أطوال الأضلاع، a ₁ ، a ₂ ، ... ، a _n والزوايا الخارجية ، θ ₁ ، θ ₂ ، ... ، θ _n معروفة، من:

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}}$

تم وصف الصيغة بواسطة Lopshits في عام 1963. ^[7]

إذا كان من الممكن رسم المضلع على شبكة متساوية المسافات بحيث تكون جميع رؤوسه نقاط شبكة، فإن نظرية بيك تعطي صيغة بسيطة لمساحة المضلع بناءً على عدد نقاط الشبكة الداخلية والحدودية: العدد الأول زائد نصف العدد الثاني، ناقص 1.

في كل مضلع له محيط p ومساحة A ، تكون المتباينة متساوية المحيط صحيحة . ^[8]${\displaystyle p^{2}>4\pi A}$

بالنسبة لأي مضلعين بسيطين متساويين في المساحة، فإن نظرية بولياي-جيرفين تؤكد أنه يمكن قطع المضلع الأول إلى قطع مضلعة يمكن إعادة تجميعها لتشكيل المضلع الثاني.

لا تحدد أطوال أضلاع المضلع مساحته بشكل عام. ^[9] ومع ذلك، إذا كان المضلع بسيطًا ودوريًا، فإن الأضلاع تحدد المساحة. ^[10] من بين جميع المضلعات ذات أطوال الأضلاع المحددة، فإن المضلع ذو المساحة الأكبر يكون دوريًا. من بين جميع المضلعات ذات المحيط المحدد، فإن المضلع ذو المساحة الأكبر يكون منتظمًا (وبالتالي دوريًا). ^[11]

تنطبق العديد من الصيغ المتخصصة على مساحات المضلعات المنتظمة .

يتم تحديد مساحة المضلع المنتظم من حيث نصف قطر الدائرة المحيطة به r ومحيطه p بواسطة

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.}$

يُطلق على هذا نصف القطر أيضًا اسم نصف قطره ويُمثل عادةً بـ .

يمكن التعبير عن مساحة مضلع منتظم مكون من n ضلع من حيث نصف قطر الدائرة المحيطة به R مثلثيًا على النحو التالي: ^{[12] [13]}

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}}$

يمكن أيضًا التعبير عن مساحة مضلع منتظم مكون من n ضلع محصور داخل دائرة نصف قطرها وحدة، مع ضلع s وزاوية داخلية، مثلثيًا على النحو التالي:${\displaystyle \alpha ,}$

${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi}{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha}{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha}{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha}{n-2}}.}$

يمكن تعريف مساحة المضلع المتقاطع ذاتيًا بطريقتين مختلفتين، مما يعطي إجابات مختلفة:

• باستخدام صيغ المضلعات البسيطة، نسمح بأن يتم ضرب مساحة مناطق معينة داخل المضلع بعامل نسميه كثافة المنطقة . على سبيل المثال، تبلغ كثافة الخماسي المركزي المحدب في وسط النجمة الخماسية 2. أما المنطقتان المثلثيتان في الشكل الرباعي المتقاطع (مثل الشكل 8) فلهما كثافة معاكسة، وإضافة مساحتيهما معًا يمكن أن يعطي مساحة إجمالية تساوي صفرًا للشكل بالكامل. ^[14]
• بالنظر إلى المناطق المغلقة كمجموعات من النقاط، يمكننا إيجاد مساحة مجموعة النقاط المغلقة. وهذا يتوافق مع مساحة المستوى الذي يغطيه المضلع أو مساحة مضلع واحد أو أكثر بسيط له نفس مخطط المضلع المتقاطع ذاتيًا. في حالة الشكل الرباعي المتقاطع، يتم التعامل معه باعتباره مثلثين بسيطين. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

باستخدام نفس الاتفاقية لإحداثيات الرأس كما في القسم السابق، فإن إحداثيات مركز ثقل مضلع بسيط صلب هي

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}$

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}$

في هذه الصيغ، يجب استخدام القيمة الموقعة للمساحة .${\displaystyle A}$

بالنسبة للمثلثات ( n = 3 )، تكون مراكز ثقل الرؤوس والشكل الصلب هي نفسها، ولكن بشكل عام، هذا ليس صحيحًا بالنسبة لـ n > 3. مركز ثقل مجموعة رؤوس المضلع الذي يحتوي على n رأسًا له إحداثيات

${\displaystyle c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},}$

${\displaystyle c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.}$

تم تعميم فكرة المضلع بطرق مختلفة. ومن بين أهمها:

• المضلع الكروي هو دائرة من أقواس الدوائر العظمى (الأضلاع) والرؤوس على سطح الكرة. وهو يسمح بوجود المضلع ذي الأضلاع المزدوجة، وهو مضلع له ضلعان فقط وزاويتان، وهو أمر مستحيل في المستوى المسطح. تلعب المضلعات الكروية دورًا مهمًا في رسم الخرائط وفي بناء وايتوف للمتعددات السطوح المنتظمة .
• لا يقع المضلع المائل في مستوى مستوٍ، بل يتعرج في ثلاثة أبعاد (أو أكثر). تعد مضلعات بتري للمتعددات السطوح المنتظمة أمثلة معروفة.
• المضلع ذو القمة هو عبارة عن سلسلة لا نهائية من الأضلاع والزوايا، وهي ليست مغلقة ولكن ليس لها نهايات لأنها تمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين.
• الشكل المائل هو عبارة عن سلسلة لا نهائية من الأضلاع والزوايا التي لا تقع في مستوى مستو.
• المضلع ذو الثقوب هو مضلع مستو متصل بمساحة أو متصل بشكل متعدد وله حدود خارجية واحدة وحدود داخلية واحدة أو أكثر (ثقوب).
• المضلع المركب هو تكوين مشابه للمضلع العادي، والذي يوجد في المستوى المعقد المكون من بعدين حقيقيين وبعدين تخيليين .
• المضلع المجرد هو مجموعة جبرية مرتبة جزئيًا تمثل العناصر المختلفة (الأضلاع والرؤوس وما إلى ذلك) واتصالها. ويقال إن المضلع الهندسي الحقيقي هو تحقيق للمضلع المجرد المرتبط به. واعتمادًا على التعيين، يمكن تحقيق جميع التعميمات الموضحة هنا.
• متعدد السطوح هو جسم ثلاثي الأبعاد محاط بأوجه متعددة الأضلاع مسطحة، على غرار متعدد الأضلاع في بعدين. تسمى الأشكال المقابلة في أربعة أبعاد أو أكثر متعددات السطوح . ^[15] (في اتفاقيات أخرى، تُستخدم كلمتا متعدد السطوح ومتعدد السطوح في أي بُعد، مع التمييز بين الاثنين بأن متعدد السطوح محدد بالضرورة. ^[16] )

كلمة مضلع تأتي من اللاتينية المتأخرة polygōnum (اسم)، من اليونانية πολύγωνον ( polygōnon/polugōnon )، اسم محايد لـ πολύγωνος ( polygōnos/polugōnos ، الصفة المذكرة)، وتعني "متعدد الزوايا". يتم تسمية المضلعات الفردية (وأحيانًا تصنيفها) وفقًا لعدد الأضلاع، بدمج بادئة عددية مشتقة من اليونانية مع اللاحقة -gon ، على سبيل المثال، pentagon ، وdodecagon . المثلث ، والرباعي، والتسعة أضلاع هي استثناءات.

بخلاف العشرات (10 أضلاع) والاثني عشر (12 ضلعًا)، يستخدم علماء الرياضيات عمومًا التدوين العددي، على سبيل المثال 17 ضلعًا و257 ضلعًا. ^[17]

توجد استثناءات لعدد الأضلاع التي يمكن التعبير عنها بسهولة في شكل لفظي (على سبيل المثال 20 و30)، أو يستخدمها غير المتخصصين في الرياضيات. كما أن بعض المضلعات الخاصة لها أسماء خاصة بها؛ على سبيل المثال، يُعرف النجم الخماسي المنتظم أيضًا باسم النجمة الخماسية .

أسماء المضلعات وخصائصها المتنوعة

اسم	الجوانب	ملكيات
أحادي اللون	1	لا يتم التعرف عليه عمومًا باعتباره مضلعًا، [18] على الرغم من أن بعض التخصصات مثل نظرية الرسم البياني تستخدم المصطلح أحيانًا. [19]
ديجون	2	لا يتم التعرف عليه عمومًا كمضلع في المستوى الإقليدي، على الرغم من أنه يمكن أن يوجد كمضلع كروي . [20]
مثلث (أو مثلث الشكل)	3	أبسط مضلع يمكن أن يوجد في المستوى الإقليدي. يمكن تقسيم المستوى إلى بلاط.
رباعي الأضلاع (أو رباعي الأضلاع)	4	أبسط مضلع يمكن أن يتقاطع مع نفسه؛ أبسط مضلع يمكن أن يكون مقعرًا؛ أبسط مضلع يمكن أن يكون غير دائري. يمكنه تبليط المستوى.
البنتاغون	5	[21] أبسط مضلع يمكن أن يوجد كنجم منتظم. يُعرف خماسي النجمة باسم النجمة الخماسية أو النجمة الخماسية.
مسدس	6	[21] يمكن تبليط الطائرة.
سباعي (أو مِسْعَائِي)	7	[21] أبسط مضلع بحيث لا يمكن إنشاء الشكل المنتظم باستخدام الفرجار والمسطرة . ومع ذلك، يمكن إنشاؤه باستخدام بناء نيوسيس .
مثمن	8	[21]
تسعة أضلاع (أو تسعة أضلاع)	9	[21] "نوناجون" عبارة عن مزيج من اللاتينية [ novem = 9] واليونانية؛ "enneagon" هي كلمة يونانية بحتة.
عشري	10	[21]
مثلث الشكل (أو مثلث غير مضلع)	11	[21] أبسط مضلع بحيث لا يمكن إنشاء الشكل المنتظم باستخدام الفرجار والمسطرة ومربع الزوايا . ومع ذلك، يمكن إنشاؤه باستخدام النيوسيس. [22]
اثني عشري (أو اثني عشري)	12	[21]
ثلاثي عشر الأضلاع (أو ثلاثي عشر الأضلاع)	13	[21]
رباعي الأضلاع (أو رباعي الأضلاع)	14	[21]
خماسي الأضلاع (أو خماسي الأضلاع)	15	[21]
سداسي الأضلاع (أو سداسي الأضلاع)	16	[21]
سباعي الأضلاع (أو سباعي الأضلاع)	17	مضلع قابل للإنشاء [17]
ثماني الأضلاع (أو ثماني الأضلاع)	18	[21]
إينايديكاجون (أو إينايديكاجون)	19	[21]
عشريني	20	[21]
إيكوزيتريجون (أو إيكوسيسيكايتريجون)	23	أبسط مضلع بحيث لا يمكن إنشاء الشكل المنتظم باستخدام نيوسيس . [23] [22]
إيكوسيتراجون (أو إيكوسيسيكايتراجون)	24	[21]
إيكوسيبنتاجون (أو إيكوسيسيكايبنتاجون)	25	أبسط مضلع بحيث لا يُعرف ما إذا كان من الممكن إنشاء الشكل المنتظم باستخدام نيوسيس أم لا. [23] [22]
ثلاثي الضلع	30	[21]
رباعي الجوانب (أو رباعي الجوانب)	40	[21] [24]
خماسي الأضلاع (أو خماسي الأضلاع)	50	[21] [24]
سداسي الأضلاع (أو سداسي الأضلاع)	60	[21] [24]
العدوى السباعية (أو العدوى السباعية)	70	[21] [24]
مثمن الأضلاع (أو مثمن الأضلاع)	80	[21] [24]
إينياكونتاجون (أو إينياكونتاجون)	90	[21] [24]
هيكتوغون (أو هيكاتونتاغون) [25]	100	[21]
257-غون	257	مضلع قابل للإنشاء [17]
شيليجون	1000	وقد استخدم الفلاسفة بما في ذلك رينيه ديكارت ، [26] وإيمانويل كانط ، [27] وديفيد هيوم ، [28] الألفيغون كمثال في المناقشات.
ميرياجون	10000	تُستخدم كمثال في بعض المناقشات الفلسفية، على سبيل المثال في تأملات ديكارت في الفلسفة الأولى
65537-جون	65,537	مضلع قابل للإنشاء [17]
ميجاجون [29] [30] [31]	1,000,000	كما هو الحال مع مثال رينيه ديكارت للأشيلياجون، تم استخدام المضلع ذو المليون ضلع كتوضيح لمفهوم محدد جيدًا لا يمكن تصوره. [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] كما يتم استخدام الميجاجون كتوضيح لتقارب المضلعات المنتظمة إلى دائرة. [39]
أبيروجون	∞	مضلع متدهور له عدد لا نهائي من الأضلاع.

لإنشاء اسم مضلع به أكثر من 20 ضلعًا وأقل من 100 ضلع، اجمع بين البادئات على النحو التالي. ^[21] ينطبق مصطلح "كاي" على المضلعات التي يبلغ عددها 13 ضلعًا أو أكثر وقد استخدمه كيبلر ، وأوصى به جون إتش كونواي لتوضيح أرقام البادئة المتسلسلة في تسمية متعددات السطوح شبه المنتظمة ، ^[25] على الرغم من أن جميع المصادر لا تستخدمه.

عشرات		و	تلك		اللاحقة النهائية
		-كاي-	1	-هينا-	-جون
20	icosi- (icosa- عندما يكون وحيدًا)		2	-دي-
30	ترياكونتا- (أو تريكونتا-)		3	-ثلاثي-
40	تيتراكونتا- (أو تيساراكونتا-)		4	-رباعي-
50	خماسي- (أو خماسي-)		5	-بنتا-
60	سداسي الأضلاع (أو سداسي الأضلاع)		6	-سداسي-
70	سباعي كونتا- (أو هيبدوميكونتا-)		7	-سباعي-
80	ثماني الأضلاع (أو أوجدوكونتا)		8	-ثماني-
90	إينياكونت- (أو إينياكونت-)		9	-إنيا-

عُرفت الأشكال المضلعة منذ العصور القديمة. كانت الأشكال المضلعة المنتظمة معروفة لدى الإغريق القدماء، حيث ظهر النجم الخماسي ، وهو شكل غير محدب منتظم ( شكل نجمي )، في وقت مبكر من القرن السابع قبل الميلاد على فوهة بركان من صنع أريستوفانيس ، عُثر عليها في كيري وهي الآن في متحف الكابيتولين . ^{[40] [41]}

أول دراسة منهجية معروفة للمضلعات غير المحدبة بشكل عام أجراها توماس برادواردين في القرن الرابع عشر. ^[42]

في عام 1952، قام جيفري كولين شيبارد بتعميم فكرة المضلعات على المستوى المركب، حيث يكون كل بعد حقيقي مصحوبًا ببعد تخيلي ، لإنشاء مضلعات معقدة . ^[43]

تظهر المضلعات في التكوينات الصخرية، غالبًا على شكل أوجه مسطحة من البلورات ، حيث تعتمد الزوايا بين الجوانب على نوع المعدن الذي تتكون منه البلورة.

يمكن أن تنشأ الأشكال السداسية المنتظمة عندما يتشكل بسبب تبريد الحمم البركانية مناطق من الأعمدة المتراصة بإحكام من البازلت ، والتي يمكن رؤيتها في ممر العمالقة في أيرلندا الشمالية ، أو في كومة الشيطان في كاليفورنيا .

في علم الأحياء ، يكون سطح قرص العسل الشمعي الذي تصنعه النحل عبارة عن مجموعة من الأشكال السداسية ، كما تكون جوانب وقاعدة كل خلية أيضًا متعددة الأضلاع.

يحتاج هذا القسم إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق إضافة مصادر موثوقة في هذا القسم. قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. ( أكتوبر 2018 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في رسومات الكمبيوتر ، المضلع هو عنصر بدائي يستخدم في النمذجة والرسم. يتم تعريفه في قاعدة بيانات تحتوي على مجموعات من الرؤوس (إحداثيات الرؤوس الهندسية ، بالإضافة إلى سمات أخرى للمضلع، مثل اللون والتظليل والملمس)، ومعلومات الاتصال، والمواد. ^{[44] [45]}

يتم تصميم أي سطح على هيئة فسيفساء تسمى شبكة مضلعة . إذا كانت الشبكة المربعة بها n + 1 نقطة (رؤوس) لكل ضلع، فهناك n مربع مربع في الشبكة، أو 2 n مثلث مربع نظرًا لوجود مثلثين في المربع. يوجد ( n + 1) ² / 2( n ² ) رأس لكل مثلث. عندما يكون n كبيرًا، فإن هذا يقترب من النصف. أو، كل رأس داخل الشبكة المربعة يربط أربعة حواف (خطوط).

يقوم نظام التصوير باستدعاء بنية المضلعات المطلوبة لإنشاء المشهد من قاعدة البيانات. يتم نقل هذه البيانات إلى الذاكرة النشطة وأخيرًا إلى نظام العرض (الشاشة، شاشات التلفاز، إلخ) حتى يمكن عرض المشهد. أثناء هذه العملية، يقوم نظام التصوير بإخراج المضلعات في المنظور الصحيح استعدادًا لنقل البيانات المعالجة إلى نظام العرض. على الرغم من أن المضلعات ثنائية الأبعاد، إلا أنها توضع من خلال كمبيوتر النظام في مشهد مرئي في الاتجاه ثلاثي الأبعاد الصحيح.

في الرسوميات الحاسوبية والهندسة الحسابية ، غالبًا ما يكون من الضروري تحديد ما إذا كانت نقطة معينة تقع داخل مضلع بسيط يتم تحديده بواسطة تسلسل من أجزاء الخط. يُطلق على هذا اختبار النقطة في المضلع . ^[46]${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$

• كوكستر، إتش إس إم ؛ متعددات السطوح المنتظمة ، ميثيون وشركاه، 1948 (الطبعة الثالثة، دوفر، 1973).
• كرومويل، ب.؛ متعدد السطوح ، CUP hbk (1997)، pbk. (1999).
• Grünbaum, B.; هل متعددات السطوح لديك هي نفس متعددات السطوح الخاصة بي؟ الهندسة المنفصلة والحاسوبية: كتاب Goodman-Pollack ، تحرير Aronov et al. Springer (2003) ص 461-488. (ملف pdf)

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مضلع". MathWorld .
• ما هي متعددات السطوح؟، مع البادئات الرقمية اليونانية
• المضلعات وأنواع المضلعات وخصائص المضلعات مع رسوم متحركة تفاعلية
• كيفية رسم مضلعات متعامدة أحادية اللون على الشاشات، بقلم هربرت جلارنر
• comp.graphics.algorithms الأسئلة الشائعة، حلول للمسائل الرياضية المتعلقة بحساب المضلعات ثنائية وثلاثية الأبعاد
• مقارنة بين الخوارزميات المختلفة لعمليات بوليان متعدد الأضلاع، ومقارنة القدرات والسرعة والمتانة العددية
• مجموع الزوايا الداخلية للمضلعات: صيغة عامة، توفر تحقيقًا تفاعليًا في Java يوسع صيغة مجموع الزوايا الداخلية للمضلعات المغلقة البسيطة لتشمل المضلعات المتقاطعة (المعقدة)

ف ت هـ متعددات السطوح المنتظمة والمنتظمة الأساسية في أبعاد 2-10
عائلة	أ ن	ب ن	أنا 2 (ص) / د ن	ع 6 / ع 7 / ع 8 / ف 4 / ج 2	ح ن
مضلع منتظم	مثلث	مربع	ب-غون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح المنتظم	رباعي السطوح	ثماني السطوح • مكعب	ديميكيوب		اثني عشر وجهًا • عشرين وجهًا
متعدد الألوان موحد	خماسي	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد السطوح الخماسي الموحد	5-بسيط	5-أورثوبلكس • 5-مكعب	5-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو ستة أوجه	6-بسيط	6-أورثوبلكس • 6-مكعب	6- ديميكوب	1 22 • 2 21
متعدد السطوح الموحد ذو السبعة أوجه	7-بسيط	7-أورثوبلكس • 7-مكعب	7- ديميكوب	1 32 • 2 31 • 3 21
متعدد السطوح الموحد ذو الثمانية	8-بسيط	8-أورثوبلكس • 8-مكعب	8-ديميكوب	1 42 • 2 41 • 4 21
متعدد السطوح الموحد ذو التسعة أوجه	9-بسيط	9-أورثوبلكس • 9-مكعب	9-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو 10 أوجه	10-بسيط	10-أورثوبلكس • 10-مكعب	10-ديميكوب
متعدد السطوح موحد n	ن - بسيط	ن - أورثوبليكس • ن - مكعب	ن - ديميكوبي	1 ك2 • 2 ك1 • ك 21	ن - متعدد السطوح الخماسي
المواضيع: عائلات متعددات السطوح • متعددات السطوح المنتظمة • قائمة متعددات السطوح المنتظمة والمركبات