مثلث كبلر

مثلث كبلر هو مثلث قائم الزاوية خاص، أطوال أضلاعه متتابعة هندسية . نسبة هذه المتتابعة هي${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$أين${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$هي النسبة الذهبية ، ويمكن كتابة المتتالية على النحو التالي:${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$أو ما يقارب${\displaystyle 1:1.272:1.618}$. المربعات الموجودة على حواف هذا المثلث لها مساحات تتبع متتالية هندسية أخرى،${\displaystyle 1:\varphi$ :\varphi ^{2}} . تُعرّف تعريفات بديلة لنفس المثلث من حيث المتوسطات الفيثاغورية الثلاثة لعددين، أو من خلالالدائرة الداخلية للمثلثات متساوية الساقين .

سُمّي هذا المثلث نسبةً إلى يوهانس كيبلر ، ولكنه موجود في مصادر أقدم. ورغم أن بعض المصادر تزعم أن أهرامات مصر القديمة كانت مبنية على نسب مثلث كيبلر، إلا أن معظم الباحثين يعتقدون أن النسبة الذهبية لم تكن معروفة في الرياضيات والعمارة المصرية.

سُمّي مثلث كيبلر نسبةً إلى عالم الرياضيات والفلك الألماني يوهانس كيبلر (1571-1630)، الذي كتب عن هذا الشكل في رسالة عام 1597. ^{[ 1 ]} وقد كان مفهومان يُمكن استخدامهما لتحليل هذا المثلث، وهما نظرية فيثاغورس والنسبة الذهبية، محل اهتمام كيبلر، كما كتب في موضع آخر:

تزخر الهندسة بكنزين عظيمين: الأول هو نظرية فيثاغورس، والثاني هو تقسيم الخط المستقيم إلى نسبتين: النسبة القصوى والنسبة المتوسطة. يمكن تشبيه الأولى بكتلة من الذهب، والثانية بجوهرة ثمينة. ^{[ 2 ]}

مع ذلك، لم يكن كبلر أول من وصف هذا المثلث. ^{[ 3 ]} فقد نسبه كبلر نفسه إلى "أستاذ موسيقى يُدعى ماجيروس". ^{[ 1 ]} ويظهر المثلث نفسه سابقًا في كتاب رياضيات عربي ، هو كتاب القياس لأبي بكر، المعروف من ترجمة جيرارد الكريموني إلى اللاتينية في القرن الثاني عشر، ^{[ 3 ] [ 4 ]} وفي كتاب "ممارسة الهندسة" لفيبوناتشي ( المنشور بين عامي 1220 و1221)، الذي عرّفه بطريقة مشابهة لكبلر. ^{[ 3 ] [ 5 ]} وقبل كبلر بقليل، كتب بيدرو نونيس عنه عام 1567، ومن المرجح أنه كان شائعًا في مخطوطات أواخر العصور الوسطى وعصر النهضة. ^{[ 3 ]} كما أُعيد اكتشافه بشكل مستقل عدة مرات، بعد كبلر. ^{[ 1 ]}

بحسب بعض المؤلفين، فإن "الهرم الذهبي" ذو المقطع العرضي على شكل مثلث كبلر مزدوج يصف بدقة تصميم الأهرامات المصرية، كالهرم الأكبر في الجيزة ؛ وأحد مصادر هذه النظرية هو قراءة خاطئة لهيرودوت في القرن التاسع عشر من قِبل عالم الأهرامات جون تايلور. ^{[ 6 ] [ 7 ]} وقد طُرحت العديد من نظريات التناسب الأخرى للهرم نفسه، غير مرتبطة بمثلث كبلر. ^{[ 1 ] [ 6 ] [ 8 ]} ولأن هذه النظريات المختلفة متشابهة جدًا في القيم العددية التي تُعطيها، وبسبب عدم دقة القياس، الناجمة جزئيًا عن تدمير السطح الخارجي للهرم، يصعب حسم هذه النظريات بالاعتماد على الأدلة المادية وحدها. ^{[ 6 ] [ 9 ]} وقد يكون تطابق النسب مع مثلث كبلر مجرد مصادفة عددية: فبحسب الباحثين الذين درسوا هذه العلاقة، من المرجح أن المصريين القدماء لم يكونوا على دراية بالنسبة الذهبية أو لم يستخدموها في الرياضيات أو العمارة. ^{[ 1 ] [ 8 ] [ 10 ] [ 11 ]} بدلاً من ذلك، يمكن شرح نسب الهرم بشكل كافٍ باستخدام النسب الصحيحة، استنادًا إلى مثلث قائم الزاوية أضلاعه 11 و 14. ^{[ 1 ] [ 6 ]}

استخدم روجر هيرتز-فيشلر اسم "مثلث كيبلر" لهذا الشكل، استناداً إلى رسالة كيبلر عام 1597، في وقت مبكر من عام 1979. ^{[ 7 ]} وهناك اسم آخر لنفس المثلث، استخدمه ماتيلا غيكا في كتابه الصادر عام 1946 عن النسبة الذهبية، بعنوان " هندسة الفن والحياة "، وهو "مثلث برايس"، نسبةً إلى عالم الأهرامات دبليو إيه برايس. ^{[ 12 ]}

يتميز مثلث كبلر بخصائص فريدة، فهو مثلث قائم الزاوية، وأطوال أضلاعه تتزايد بشكل هندسي، أو بعبارة أخرى، مربعات أضلاعه تتزايد بشكل هندسي. نسبة تزايد أطوال الأضلاع هي${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$، أين${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$هي النسبة الذهبية ، ويمكن كتابة المتتالية على النحو التالي:${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$أو تقريبًا 1  : 1.272  : 1.618. مساحات المربعات على حواف هذا المثلث تتبع متوالية هندسية أخرى.${\displaystyle 1:\varphi$ :\varphi ^{2}} . إن حقيقة أن المثلث بهذه النسب هو مثلث قائم الزاوية تتبع من حقيقة أنه بالنسبة لأطوال الأضلاع المربعة بهذه النسب، فإن متعددة الحدود المحددة للنسبة الذهبية هي نفسها الصيغة التي تقدمها نظرية فيثاغورس لأطوال الأضلاع المربعة للمثلث القائم الزاوية: $${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1.}$$ لأن هذه المعادلة صحيحة بالنسبة للنسبة الذهبية، فإن هذه الأطوال الثلاثة تخضع لنظرية فيثاغورس، وتشكل مثلثًا قائم الزاوية. وعلى العكس، في أي مثلث قائم الزاوية تكون مربعات أطوال أضلاعه متتابعة هندسية بأي نسبة${\displaystyle \rho }$تشير نظرية فيثاغورس إلى أن هذه النسبة تخضع للمتطابقة${\displaystyle \rho ^{2}=\rho +1}$لذلك، يجب أن تكون النسبة هي الحل الموجب الوحيد لهذه المعادلة، وهي النسبة الذهبية، ويجب أن يكون المثلث مثلث كبلر. ^{[ 1 ]}

أطوال الحواف الثلاثة${\displaystyle 1}$،${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$و${\displaystyle \varphi }$تمثل هذه القيم المتوسط ​​التوافقي ، والمتوسط ​​الهندسي ، والمتوسط ​​الحسابي ، على التوالي، للعددين${\displaystyle \varphi \pm 1}$[ ^{13 ] [ 14 ] دُرست هذه الطرق الثلاث لدمج عددين في الرياضيات اليونانية القديمة ،} وتُسمى المتوسطات الفيثاغورية . ^{[ 15 ]} وبالمقابل، يمكن اعتبار هذا تعريفًا بديلًا لمثلث كبلر: فهو مثلث قائم الزاوية أطوال أضلاعه هي المتوسطات الفيثاغورية الثلاثة لعددين. المثلثات الوحيدة التي ينطبق عليها هذا التعريف هي مثلثات كبلر. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

ثمة طريقة ثالثة مكافئة لتعريف هذا المثلث، وهي مشتقة من مسألة تعظيم نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلثات متساوية الساقين . فمن بين جميع المثلثات متساوية الساقين ذات طول ثابت للضلعين المتساويين، ولكن بطول قاعدة متغير، يتشكل المثلث ذو أكبر نصف قطر داخلي من نسختين من مثلث كبلر، معكوستين حول ضلعيهما الأطول. ولذلك، يمكن تعريف مثلث كبلر بأنه المثلث القائم الزاوية الذي، من بين جميع المثلثات القائمة الزاوية ذات الوتر نفسه، يشكل مع انعكاسه المثلث متساوي الساقين ذي أكبر نصف قطر داخلي. ^{[ 16 ]} كما يشكل الانعكاس نفسه مثلثًا متساوي الساقين، يحتوي، لمحيط معين، على أكبر نصف دائرة ممكنة . ^{[ 17 ]}

إذا كان طول الضلع الأقصر في مثلث كبلر هو${\displaystyle s}$أما الجوانب الأخرى فسيكون لها أطوال${\displaystyle s{\sqrt {\varphi }}}$و${\displaystyle s\varphi }$يمكن حساب المساحة باستخدام الصيغة القياسية لمساحة المثلثات القائمة (نصف حاصل ضرب الضلعين القصيرين) كما يلي:${\displaystyle {\tfrac {s^{2}}{2}}{\sqrt {\varphi }}}$جيب تمام الزاوية الأكبر من الزاويتين غير القائمتين هو نسبة الضلع المجاور (الضلع الأقصر من الضلعين) إلى الوتر.${\displaystyle \varphi }$ومن ثم يتبين أن الزاويتين غير القائمتين هما ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \theta =\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }}$$ و $${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }.}$$

لاحظ جيرزي كوتشيك أن الزاوية الأكبر من هاتين الزاويتين هي أيضًا الزاوية التي تشكلها مراكز ثلاثيات الدوائر المتتالية في متتالية كوكسيتر لوكسودرومية للدوائر المماسية . ^{[ 18 ]}

• المثلث المتوسط ، هو مثلث تشكل مربعات أطوال أضلاعه متتالية حسابية، بما في ذلك المثلث القائم الزاوية بأطوال أضلاعه.${\displaystyle 1:{\sqrt {2}}:{\sqrt {3}}}$
• المثلث الذهبي ، هو مثلث متساوي الساقين تكون نسبة طول قاعدته إلى طول ضلعه هي النسبة الذهبية.