هرم مربع

للهرم المربع خمسة رؤوس، وثمانية أضلاع، وخمسة أوجه. أحد أوجهه، ويُسمى قاعدة الهرم، مربع ؛ أما الأوجه الأربعة الأخرى فهي مثلثات . ^{[ 2 ]} أربعة من الأضلاع تُشكل المربع بوصل رؤوسه الأربعة. تُعرف الأضلاع الأربعة الأخرى بالأضلاع الجانبية للهرم؛ وتلتقي عند الرأس الخامس، ويُسمى القمة . ^{[ 3 ]} إذا كانت قمة الهرم تقع على خط عمودي من مركز المربع، يصبح الهرم المربع هرمًا قائمًا، وتكون أوجهه المثلثية الأربعة مثلثات متساوية الساقين . وإلا، فإن للهرم وجهين مثلثيين أو أكثر غير متساويي الساقين. ^{[ 4 ]}

الارتفاع المائل${\displaystyle s}$يُعرَّف ارتفاع الهرم المربع القائم بأنه ارتفاع أحد مثلثاته متساوية الساقين. ويمكن الحصول عليه باستخدام نظرية فيثاغورس . $${\displaystyle s={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}},}$$ أين${\displaystyle l}$يمثل طول قاعدة المثلث، وهو أيضاً أحد أضلاع المربع، و${\displaystyle b}$هو طول ساقي المثلث، وهما الحافتان الجانبيتان للهرم. ^{[ 5 ]} الارتفاع${\displaystyle h}$يمكن الحصول على هرم مربع قائم بنفس الطريقة، مع استبدال صيغة الارتفاع المائل مما يعطي: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle h={\sqrt {s^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}.}$$مساحة سطح المجسم متعدد السطوح هي مجموع مساحات أوجهه.${\displaystyle A}$يمكن التعبير عن هرم قائم مربع الشكل على النحو التالي:${\displaystyle A=4T+S}$، أين${\displaystyle T}$و${\displaystyle S}$تمثل مساحتا أحد مثلثاته وقاعدته على التوالي. مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته في ضلعه، بينما مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه. وهذا يعطينا التعبير التالي: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle A=4\left({\frac {1}{2}}ls\right)+l^{2}=2ls+l^{2}.}$$ بشكل عام، الحجم${\displaystyle V}$مساحة الهرم تساوي ثلث مساحة قاعدته مضروبة في ارتفاعه. ^{[ 8 ]} ويمكن التعبير عنها بصيغة الهرم المربع كما يلي: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}l^{2}h.}$$

اكتشف العديد من علماء الرياضيات في العصور القديمة صيغة حساب حجم الهرم المربع. ففي بردية موسكو الرياضية ، أظهر علماء الرياضيات المصريون معرفتهم بصيغة حساب حجم الهرم المربع الناقص ، مما يشير إلى معرفتهم بحجم الهرم المربع أيضًا، ولكن كيفية اشتقاق هذه الصيغة غير معروفة. وإلى جانب اكتشاف حجم الهرم المربع، يمكن إيجاد مسألة إيجاد ميل وارتفاع الهرم المربع في بردية رايند الرياضية . ^{[ 10 ]} كما درس علماء الرياضيات البابليون حجم المخروط الناقص، لكنهم قدموا صيغة غير صحيحة لحسابه. ^{[ 11 ]} واكتشف عالم الرياضيات الصيني ليو هوي أيضًا حجم الهرم المربع عن طريق تقسيم مجسم مستطيل إلى أجزاء. ^{[ 12 ]}

مثل الأهرامات القائمة الأخرى ذات المضلع المنتظم كقاعدة، يتمتع الهرم المربع القائم بتناظر هرمي ، وهو تناظر المجموعة الدورية.${\displaystyle C_{4\mathrm {v} }}$يظل الهرم ثابتًا عند دورانه بمقدار دورة كاملة، أو دورتين كاملتين، أو ثلاثة أرباع دورة كاملة حول محور تناظره ، وهو الخط الواصل بين قمة الهرم ومركز قاعدته؛ كما أنه متناظر انعكاسيًا بالنسبة لأي مستوى عمودي يمر بمنصف القاعدة. ^{[ 1 ]} ويمكن تمثيله بمخطط العجلة.${\displaystyle W_{4}}$بمعنى أن هيكله يمكن تفسيره على أنه مربع تتصل رؤوسه الأربعة برأس في المركز يُسمى الرأس الشامل . ^{[ 13 ]} وهو ثنائي ذاتي ، أي أن متعدد السطوح الثنائي له هو الهرم المربع نفسه. ^{[ 14 ]}

إذا كانت جميع أضلاع المثلثات متساوية الطول، فإن المثلثات الأربعة متساوية الأضلاع ، وتكون جميع أوجه الهرم مضلعات منتظمة . ^{[ 15 ]} الزوايا الثنائية بين الأوجه المثلثية المتجاورة هي${\textstyle \arccos(-{\frac {1}{3}})\approx 109.47^{\circ }}$والمساحة بين القاعدة وكل وجه مثلثي تساوي نصف ذلك،${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$[ ^{1 ]} يُطلق على المجسم المحدب الذي تكون جميع أوجهه مضلعات منتظمة اسم مجسم جونسون . ومن بينها الهرم المربع، الذي يُعد أول مجسم جونسون ^.${\displaystyle J_{1}}$[ ^{16 ]​}

لأن جميع حوافها متساوية في الطول (أي،${\displaystyle b=l}$ويمكن اشتقاق ميلها وارتفاعها ومساحة سطحها وحجمها عن طريق استبدال صيغ الهرم القائم: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}s={\frac {\sqrt {3}}{2}}l\approx 0.866l,&\qquad h={\frac {1}{\sqrt {2}}}l\approx 0.707l,\\A=(1+{\sqrt {3}})l^{2}\approx 2.732l^{2},&\qquad V={\frac {\sqrt {2}}{6}}l^{3}\approx 0.236l^{3}.\end{aligned}}}$$

الهرم المربع متساوي الأضلاع هو متعدد السطوح أساسي . وهذا يعني أنه لا يمكن فصله بمستوى لإنشاء متعددي سطوح محدبين صغيرين ذوي أوجه منتظمة. ^{[ 18 ]}