مربع

مربع
شكل رباعي منتظم
يكتب	مضلع منتظم
الحواف والرؤوس​	4
رمز شلايفلي	{4}
مخططات كوكستر-دينكين
مجموعة التماثل	ثنائي السطوح (D 4 )، رتبة 2×4
الزاوية الداخلية ( درجات )	90 درجة
ملكيات	محدب ، دائري ، متساوي الأضلاع ، متساوي الأضلاع ، متساوي الأضلاع
مضلع مزدوج	الذات

في الهندسة الإقليدية ، المربع هو شكل رباعي منتظم ، مما يعني أنه يحتوي على أربعة أضلاع مستقيمة متساوية الطول وأربع زوايا متساوية ( زوايا 90 درجة ، زوايا π/2 راديان، أو زوايا قائمة ). يمكن تعريفه أيضًا على أنه مستطيل به ضلعان متجاوران متساويان في الطول. إنه المضلع المنتظم الوحيد الذي تكون زاويته الداخلية وزاويته المركزية وزاويته الخارجية متساوية (90 درجة). يُشار إلى المربع الذي له رؤوس ABCD بالرمز ABCD . ^[1] ${\displaystyle \square }$

الشكل الرباعي هو مربع إذا وفقط إذا كان أيًا من الآتي: ^{[2] [3]}

• مستطيل به ضلعان متجاوران متساويان
• معين ذو زاوية رأسية قائمة
• معين كل زواياه متساوية
• متوازي أضلاع به زاوية رأس قائمة وضلعان متجاوران متساويان
• شكل رباعي له أربعة أضلاع متساوية وأربع زوايا قائمة
• شكل رباعي حيث تكون أقطاره متساوية، وتكون منصفات عمودية لبعضها البعض (أي، معين ذو أقطار متساوية)
• شكل رباعي محدب له أضلاع متتالية أ ، ب ، ج ، د ومساحته ^{[4] : النتيجة 15}${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).}$

المربع هو حالة خاصة من المعين (ضلعان متساويان، زوايا متقابلة متساوية)، والطائرة الورقية (زوجان من الأضلاع المتساوية المتجاورة)، وشبه المنحرف (زوج واحد من الأضلاع المتقابلة متوازيان)، ومتوازي الأضلاع (جميع الأضلاع المتقابلة متوازية)، والرباعي أو الرباعي (مضلع رباعي الأضلاع)، والمستطيل ( ضلعان متقابلان متساويان، زوايا قائمة)، وبالتالي لديه كل خصائص كل هذه الأشكال، وهي: ^[5]

• جميع الزوايا الداخلية الأربع للمربع متساوية (كل منها 360 درجة / 4 = 90 درجة، وهي زاوية قائمة).
• الزاوية المركزية للمربع تساوي 90 درجة (360 درجة/4).
• الزاوية الخارجية للمربع تساوي 90 درجة.
• قطرا المربع متساويان وينصفان بعضهما البعض، ويلتقيان عند 90 درجة.
• يقسم قطر المربع زاويته الداخلية، مكونًا زاويتين متجاورتين كل منهما 45 درجة.
• كل الأضلاع الأربعة للمربع متساوية.
• الأضلاع المتقابلة للمربع متوازية .

المربع له رمز شليفلي {4}. المربع المقطوع ، t{4}، هو مثمن ، {8}. المربع المتبادل ، h{4}، هو ثنائي الأضلاع ، {2}. المربع هو الحالة n = 2 لعائلات المكعبات الفائقة n و المستطيلات n .

محيط المربع الذي طول أضلاعه الأربعة هو ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle P=4\ell }$

والمنطقة أ هي ​

${\displaystyle A=\ell ^{2}}$^[1]

بما أن أربعة مربعات تساوي ستة عشر، فإن مساحة المربع الذي يبلغ طوله أربعة وعرضه أربعة تساوي محيطه. الشكل الرباعي الوحيد الآخر الذي يتمتع بهذه الخاصية هو المستطيل الذي يبلغ طوله ثلاثة وعرضه ستة.

في العصور الكلاسيكية ، كان يتم وصف القوة الثانية من حيث مساحة المربع، كما في الصيغة أعلاه. وقد أدى هذا إلى استخدام مصطلح المربع ليعني الرفع إلى القوة الثانية.

يمكن أيضًا حساب المساحة باستخدام القطر d وفقًا لـ

${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}.}$

من حيث نصف القطر المحيط R ، مساحة المربع هي

${\displaystyle A=2R^{2};}$

حيث أن مساحة الدائرة هي المربع الذي يملأ الدائرة المحيطة بها . ${\displaystyle \pi R^{2},}$${\displaystyle 2/\pi \تقريبا 0.6366}$

من حيث نصف القطر r ، مساحة المربع هي

${\displaystyle A=4r^{2};}$

ومن ثم فإن مساحة الدائرة المحصورة هي مساحة المربع. ${\displaystyle \pi /4\approx 0.7854}$

نظرًا لأنه مضلع منتظم ، فإن المربع هو الشكل الرباعي الذي يحتوي على أقل محيط ويحيط بمساحة معينة. بشكل ثنائي، المربع هو الشكل الرباعي الذي يحتوي على أكبر مساحة داخل محيط معين. ^[6] في الواقع، إذا كانت A و P هما المساحة والمحيط المحيطين بالشكل الرباعي، فإن المتباينة المتساوية المحيط التالية صحيحة:

${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$

مع المساواة إذا وفقط إذا كان الشكل الرباعي مربعًا.

• أقطار المربع تساوي (حوالي 1.414) مرة طول ضلع المربع. هذه القيمة، المعروفة باسم الجذر التربيعي لـ 2 أو ثابت فيثاغورس، ^[1] كانت أول رقم ثبت أنه غير نسبي .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• يمكن تعريف المربع أيضًا بأنه متوازي أضلاع له قطران متساويان ينصفان الزوايا.
• إذا كان الشكل عبارة عن مستطيل (زوايا قائمة) ومعين (أطوال أضلاعه متساوية)، فإنه يكون مربعًا.
• يحتوي المربع على مساحة أكبر من أي شكل رباعي آخر له نفس المحيط. ^[7]
• البلاط المربع هو أحد البلاطات الثلاثة المنتظمة للمستوى (البلاطان الآخران هما المثلث متساوي الأضلاع والسداسي المنتظم ).
• المربع ينتمي إلى عائلتين من متعددات السطوح في بعدين: المكعب الفائق ومتعدد السطوح المتقاطع . رمز شليفلي للمربع هو {4}.
• المربع هو جسم متماثل إلى حد كبير. يوجد به أربعة خطوط تماثل انعكاسي وله تماثل دوراني من الدرجة 4 (عبر 90 درجة و180 درجة و270 درجة). مجموعة تماثله هي المجموعة ثنائية السطوح  D ₄ .
• يمكن رسم مربع داخل أي مضلع منتظم. المضلع الوحيد الآخر الذي يتمتع بهذه الخاصية هو المثلث متساوي الأضلاع .
• إذا كانت الدائرة المحاطة بالمربع ABCD لها نقاط مماس E على AB ، وF على BC ، وG على CD ، و H على DA ، فعندئذٍ لأي نقطة P على الدائرة المحاطة، ^[8]

${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$

• إذا كانت هي المسافة من نقطة عشوائية في المستوى إلى الرأس i للمربع وكانت هي نصف القطر المحيط بالمربع، فإن ^[9]${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$

• إذا كانت و هي المسافات من نقطة عشوائية في المستوى إلى مركز ثقل المربع ورؤوسه الأربعة على التوالي، فإن ^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$

و

${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$

أين هو نصف قطر محيط المربع؟${\displaystyle R}$

إحداثيات رؤوس المربع ذي الأضلاع الرأسية والأفقية، ومركزها الأصل وطول ضلعها 2 هي (±1، ±1)، بينما يتكون الجزء الداخلي من هذا المربع من جميع النقاط ( x _i ، y _i ) حيث −1 < x _i < 1 و −1 < y _i < 1. المعادلة

${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=1}$

يحدد حدود هذا المربع. تعني هذه المعادلة " x ² أو y ² ، أيهما أكبر، يساوي 1". نصف قطر هذا المربع (نصف قطر الدائرة المرسومة عبر رؤوس المربع) هو نصف قطر المربع، ويساوي ثم يكون للدائرة المحيطة المعادلة ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2.}$

بدلا من ذلك المعادلة

${\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.}$

يمكن أيضًا استخدامها لوصف حدود المربع بإحداثيات المركز ( أ ، ب )، ونصف قطر أفقي أو رأسي r . وبالتالي فإن المربع هو شكل كرة طوبولوجية وفقًا لمقياس المسافة L ₁ .

تُظهر الرسوم المتحركة التالية كيفية إنشاء مربع باستخدام الفرجار والمسطرة . وهذا ممكن لأن 4 = 2 ² ، قوة العدد 2 .

يحتوي المربع على تماثل Dih _{4 ،} والرتبة 8. يوجد مجموعتان فرعيتان ثنائيتا السطوح: Dih ₂ ، Dih ₁ ، و3 مجموعات فرعية دائرية : Z 4 _، Z ₂ ، وZ ₁ .

المربع هو حالة خاصة للعديد من الأشكال الرباعية ذات التناظر المنخفض:

• مستطيل به ضلعان متجاوران متساويان
• شكل رباعي له أربعة أضلاع متساوية وأربع زوايا قائمة
• متوازي أضلاع به زاوية قائمة وضلعان متجاوران متساويان
• معين ذو زاوية قائمة
• معين كل زواياه متساوية
• معين قطريه متساويان

تعبر هذه التماثلات الستة عن 8 تماثلات مميزة على مربع. يصنف جون كونواي هذه التماثلات حسب ترتيب الحرف والمجموعة. ^[11]

تسمح كل مجموعة فرعية من تماثلات الدرجة الواحدة أو أكثر من درجات الحرية للأشكال الرباعية غير المنتظمة . r8 هو التماثل الكامل للمربع، و a1 هو عدم التماثل. d4 هو تماثل المستطيل ، و p4 هو تماثل المعين . هذان الشكلان ثنائيان لبعضهما البعض، ولهما نصف رتبة تماثل المربع. d2 هو تماثل شبه منحرف متساوي الساقين ، و p2 هو تماثل الطائرة الورقية . يحدد g2 هندسة متوازي الأضلاع .

فقط المجموعة الفرعية g4 ليس لها درجات حرية، ولكن يمكن رؤيتها كمربع ذو حواف موجهة .

يحتوي كل مثلث حاد الزاوية على ثلاثة مربعات محاطة (مربعات في داخله بحيث تقع رؤوس المربع الأربعة على أحد أضلاع المثلث، لذا يقع اثنان منها على نفس الضلع وبالتالي يتطابق أحد أضلاع المربع مع جزء من ضلع المثلث). في المثلث القائم الزاوية يتطابق مربعان ويكون لهما رأس عند الزاوية القائمة للمثلث، لذا فإن المثلث القائم الزاوية يحتوي على مربعين محاطين متميزين فقط. يحتوي المثلث المنفرج الزاوية على مربع محاط واحد فقط، ويتطابق أحد أضلاعه مع جزء من أطول ضلع في المثلث.

الجزء من مساحة المثلث الذي يملأه المربع لا يزيد عن 1/2.

تربيع الدائرة ، الذي اقترحه علماء الهندسة القدماء ، هو مشكلة إنشاء مربع بنفس مساحة دائرة معينة ، وذلك باستخدام عدد محدود فقط من الخطوات باستخدام الفرجار والمسطرة .

في عام 1882، ثبت أن المهمة مستحيلة كنتيجة لنظرية ليندمان-فايرشتراس ، والتي تثبت أن باي ( π ) هو عدد متسامي وليس عددًا غير نسبي جبري ؛ أي أنه ليس جذرًا لأي كثيرة حدود ذات معاملات نسبية .

في الهندسة غير الإقليدية، المربعات هي عمومًا مضلعات ذات 4 أضلاع متساوية وزوايا متساوية.

في الهندسة الكروية ، المربع هو مضلع تكون حوافه عبارة عن أقواس دائرية كبيرة ذات مسافات متساوية، وتلتقي بزوايا متساوية. وعلى عكس المربع في الهندسة المستوية، فإن زوايا هذا المربع أكبر من الزاوية القائمة. والمربعات الكروية الأكبر لها زوايا أكبر.

في الهندسة الزائدية ، لا توجد مربعات ذات زوايا قائمة. بل إن المربعات في الهندسة الزائدية لها زوايا أقل من الزوايا القائمة. أما المربعات الزائدية الأكبر حجمًا فلها زوايا أصغر.

أمثلة:

يمكن لمربعين أن يبلطا الكرة بمربعين حول كل رأس وزوايا داخلية مقدارها 180 درجة . يغطي كل مربع نصف كرة بالكامل وتقع رؤوسهما على طول دائرة كبيرة . يُطلق على هذا الشكل ثنائي السطوح المربع الكروي . رمز شليفلي هو {4,2}.

يمكن أن تبلط ستة مربعات الكرة بثلاثة مربعات حول كل رأس وزوايا داخلية مقدارها 120 درجة . وهذا ما يسمى بالمكعب الكروي. رمز شليفلي هو {4,3}.

يمكن للمربعات أن تبلط المستوى الزائدي بخمسة مربعات حول كل رأس، بحيث يكون لكل مربع زاوية داخلية مقدارها 72 درجة. رمز شليفلي هو  {4,5} . في الواقع، لأي n ≥ 5 يوجد بلاط زائدي به n مربع حول كل رأس.

المربع المتقاطع هو أحد أوجه المربع، وهو مضلع متقاطع ذاتيًا يتم إنشاؤه بإزالة حافتين متقابلتين من المربع وإعادة الاتصال بواسطة قطريه. له نصف تماثل المربع، Dih ₂ ، من الدرجة 4. له نفس ترتيب الرؤوس مثل المربع، وهو متعدٍ للرؤوس . يظهر على شكل مثلثين 45-45-90 مع رأس مشترك، لكن التقاطع الهندسي لا يُعتبر رأسًا.

يشبه المربع المتقاطع أحيانًا ربطة عنق على شكل فراشة أو فراشة . ويرتبط المستطيل المتقاطع ، باعتباره أحد أوجه المستطيل، بكلتا الحالتين الخاصتين من الأشكال الرباعية المتقاطعة . ^[12]

يمكن أن يحتوي الجزء الداخلي من المربع المتقاطع على كثافة مضلعة تبلغ ±1 في كل مثلث، اعتمادًا على اتجاه اللف في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة.

المربع والمربع المتقاطع لهما الخصائص التالية بشكل مشترك:

• الأضلاع المتقابلة متساوية في الطول.
• القطران متساويان في الطول.
• يحتوي على خطين من التماثل الانعكاسي والتماثل الدوراني من الدرجة 2 (حتى 180 درجة).

وهو موجود في شكل قمة متعدد السطوح النجمي المنتظم ، وهو رباعي السطوح السداسي .

غالبًا ما يتم رسم الرسم البياني الكامل K ₄ على شكل مربع به جميع الحواف الستة الممكنة المتصلة، وبالتالي يظهر على شكل مربع به قطران مرسومان. يمثل هذا الرسم البياني أيضًا إسقاطًا متعامدًا للرؤوس الأربعة والحواف الستة للمضلع الثلاثي البسيط المنتظم ( رباعي السطوح ).

• مكعب
• نظرية فيثاغورس
• شبكة مربعة
• رقم مربع
• الجذر التربيعي
• تربيع المربع
• دائرة دائرية
• وحدة مربعة

• دورة رسوم متحركة (البناء، المحيط، المساحة)
• تعريف وخصائص المربع باستخدام أداة تفاعلية
• برنامج متحرك يوضح مساحة المربع