مضلع راينهارت

في الهندسة، يُعرف مضلع راينهارت بأنه مضلع محدب تكون فيه المثلثات المتكونة من كل ضلع وأبعد نقطة عن الضلع متطابقة ومتساوية الساقين . تشكل أضلاع هذه المثلثات متساوية الساقين أبعد أزواج من رؤوس المضلع (أقطاره ) ، وتشمل كل رأس من رؤوسه. يمكن إنشاء مضلعات راينهارت من مضلعات رولو معينة ، وهي منحنيات ذات عرض ثابت تتكون من أقواس دائرية ذات نصف قطر ثابت ، وذلك بتقسيم أقواس مضلع رولو إلى قطع مستقيمة متساوية الطول وتقويمها .

يمكن أن يكون عدد أضلاع مضلع راينهارت أي عدد صحيح موجب ليس قوة للعدد اثنين . لأي عدد فردي${\displaystyle n}$، المنتظم${\displaystyle n}$المضلع ذو الشكل -gon هو مضلع راينهارت. يوجد شكل واحد فقط لمضلع راينهارت.${\displaystyle n}$-gon عندما${\displaystyle n}$إما أن يكون عددًا أوليًا أو ضعف عدد أولي، ولكن بالنسبة للقيم الأخرى توجد عدة قيم مختلفة لرينهارت${\displaystyle n}$-gons. صيغة لحساب رينهارت${\displaystyle n}$المضلعات ذات التناظر الدوراني، ولكن العديد من مضلعات راينهارت غير متناظرة.

من بين جميع المضلعات التي${\displaystyle n}$تتميز مضلعات راينهارت، من حيث الشكل، بأكبر محيط ممكن بالنسبة لقطرها، وأكبر عرض ممكن بالنسبة لقطرها، وأكبر عرض ممكن بالنسبة لمحيطها. وقد سُميت نسبةً إلى كارل راينهارت الذي درسها عام 1922. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

مضلع رولو هو شكل محدب ذو أضلاع على شكل أقواس دائرية، كل ضلع متمركز على رأس من رؤوس الشكل، وجميعها لها نفس نصف القطر؛ ومن أمثلته مثلث رولو . إذا أمكن تقسيم أضلاع مضلع رولو إلى أقواس متساوية الطول، فإن استبدال هذه الأقواس بقطع مستقيمة يُشكل مضلع راينهارت. وهو مضلع متساوي الأضلاع (أضلاعه متساوية الطول)، وهو الغلاف المحدب لنهايات الأقواس متساوية الطول، ويُحاط بمضلع رولو. مضلع رولو الأصلي عبارة عن منحنى ذي عرض ثابت ، لكن مضلع راينهارت المُشتق منه ليس كذلك، لأنه ذو أضلاع مستقيمة بدلاً من الأقواس المنحنية. قد تشمل رؤوس مضلع راينهارت رؤوس مضلع رولو الأصلي، بالإضافة إلى نقاط أخرى حيث تم تقسيم أقواس مضلع رولو. ^{[ 3 ]}

لو${\displaystyle n}$إذا كان العدد قوة للعدد اثنين ، فإنه لا يمكن تكوين مضلع راينهارت باستخدام${\displaystyle n}$الجوانب. إذا${\displaystyle n}$إذا كان عددًا فرديًا ، فإن المضلع المنتظم ذو${\displaystyle n}$يُعدّ كل عدد طبيعي من الأضلاع مضلع راينهارت.${\displaystyle n}$هذا ليس قوة للعدد اثنين وله قاسم فردي${\displaystyle d\geq 3}$، ومنها مضلع راينهارت مع${\displaystyle n}$يمكن تشكيل الأضلاع عن طريق تقسيم كل قوس من قوس منتظم${\displaystyle d}$تحويل مضلع رولو ذي الأضلاع إلى${\displaystyle n/d}$أقواس أصغر. لذلك، فإن الأعداد الممكنة لأضلاع مضلعات راينهارت هي الأعداد الصحيحة ، أي الأعداد التي ليست قوى للعدد اثنين. عندما${\displaystyle n}$إذا كان عددًا أوليًا فرديًا ، أو ضعف عدد أولي، فلا يوجد سوى شكل واحد لـ${\displaystyle n}$مضلع راينهارت ذو الأضلاع، ولكن جميع القيم الأخرى لـ${\displaystyle n}$تحتوي على مضلعات راينهارت ذات أشكال متعددة. ^{[ 1 ]}

تشكل أزواج أقطار مضلع راينهارت العديد من المثلثات متساوية الساقين، حيث تكون أضلاع المثلث ذات زاوية رأسية${\displaystyle \pi /n}$ومنها يمكن حساب أبعاد المضلع. إذا كان طول ضلع مضلع راينهارت يساوي 1، فإن محيطه يساوي 1.${\displaystyle n}$قطر المضلع (أطول مسافة بين أي نقطتين من نقاطه) يساوي طول ضلع هذه المثلثات متساوية الساقين.${\displaystyle 1/2\sin(\pi /2n)}$عرض المضلع (أقصر مسافة بين أي خطين متوازيين داعمين ) يساوي ارتفاع هذا المثلث.${\displaystyle 1/2\tan(\pi /2n)}$تُعد هذه المضلعات مثالية من ثلاث نواحٍ: ^{[ 1 ]}

• لديهم أكبر محيط ممكن بين الجميع${\displaystyle n}$المضلعات ذات الأضلاع n مع أقطارها، وأصغر قطر ممكن بينها جميعًا${\displaystyle n}$المضلعات ذات الأضلاع n مع محيطها. ^{[ 1 ]}
• تتميز بأكبر عرض ممكن بين جميع الأنواع${\displaystyle n}$المضلعات ذات الأضلاع n مع أقطارها، وأصغر قطر ممكن بينها جميعًا${\displaystyle n}$المضلعات ذات الأضلاع n مع عرضها. ^{[ 1 ]}
• تتميز بأكبر عرض ممكن بين جميع الأنواع${\displaystyle n}$المضلعات ذات الأضلاع n مع محيطها، وأصغر محيط ممكن بينها جميعًا${\displaystyle n}$المضلعات ذات الأضلاع n مع عرضها. ^{[ 1 ]}

أثبت راينهارت العلاقة بين المحيط والقطر لهذه المضلعات، ^{[ 4 ]} وأُعيد اكتشافها بشكل مستقل عدة مرات. ^{[ 5 ] [ 6 ]} كما أثبت بيزديك وفودور العلاقة بين القطر والعرض في عام 2000؛ وتناول بحثهما أيضًا المضلعات المثلى لهذه المسألة عندما يكون عدد الأضلاع قوةً للعدد اثنين (وهي الحالة التي لا توجد فيها مضلعات راينهارت). ^{[ 7 ]}

ال${\displaystyle n}$مضلعات راينهارت ذات الأضلاع المكونة من${\displaystyle d}$المضلعات المنتظمة من نوع رولو ذات n ضلع متناظرة: يمكن تدويرها بزاوية${\displaystyle 2\pi /d}$للحصول على نفس المضلع. تُسمى مضلعات راينهارت التي تتمتع بهذا النوع من التناظر الدوراني بالمضلعات الدورية ، وتُسمى مضلعات راينهارت التي لا تتمتع بتناظر دوراني بالمضلعات المتفرقة .${\displaystyle n}$إذا كان العدد شبه أولي (ناتج ضرب عددين أوليين )، أو ناتج ضرب قوة للعدد اثنين بقوة عدد أولي فردي ، فإن جميع${\displaystyle n}$المضلعات الرينهارتية ذات الأضلاع n دورية. في الحالات المتبقية، عندما${\displaystyle n}$يحتوي على عاملين أوليين فرديين مختلفين على الأقل وليس شبه أولي، كما توجد مضلعات راينهارت متفرقة. ^{[ 2 ]}

لكل${\displaystyle n}$، هناك عدد محدود فقط من الأنواع المتميزة${\displaystyle n}$مضلعات راينهارت ذات n ضلعًا. ^{[ 3 ]} إذا${\displaystyle p}$هو أصغر عامل أولي لـ${\displaystyle n}$ثم عدد الأنواع المتميزة${\displaystyle n}$المضلعات الدورية من نوع راينهارت ذات الأضلاع هي $${\displaystyle {\frac {p2^{n/p}}{4n}}{\bigl (}1+o(1){\bigr )},}$$ حيث${\displaystyle o(1)}$يستخدم هذا المصطلح رمز O صغيرًا . ومع ذلك، فإن عدد مضلعات راينهارت المتفرقة أقل وضوحًا، وبالنسبة لمعظم قيم${\displaystyle n}$يهيمن على العدد الإجمالي لمضلعات راينهارت المضلعات المتفرقة. ^{[ 2 ]}

عدد${\displaystyle n}$المضلعات الدورية لراينهارت ذات الأضلاع ^{[ 1 ]} (التسلسل A374832 في OEIS ) :

${\displaystyle n}$:	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
الشخص:	1	0	1	1	1	0	2	1	1	2	1	1	5	0	1	5	1	2	10	1	1	12

عدد${\displaystyle n}$المضلعات المتفرقة ذات الأضلاع - ^{[ 1 ]} (التسلسل A373695 في OEIS ) :

${\displaystyle n}$:	30	42	45	60	63	66	70	75	78	84
الشخص:	3	9	144	4392	1308	93	27	153660	315	161028

• أكبر مضلع صغير ، المضلعات التي تزيد مساحتها إلى أقصى حد ممكن بالنسبة لقطرها