نصف القطر

في الهندسة الكلاسيكية ، ^نصف قطر الدائرة أو الكرة ( الجمع : أنصاف أقطار أو أنصاف أقطار ) هو أي من قطع الخطوط المستقيمة الممتدة من مركزها إلى محيطها ، وفي الاستخدام الأكثر حداثة، هو أيضًا طولها. يأتي الاسم من الكلمة اللاتينية radius ، والتي تعني شعاعًا ولكنها أيضًا تعني سلك عجلة عربة. ^[2] الاختصار النموذجي واسم المتغير الرياضي لنصف القطر هو R أو r . بالتوسع، يتم تعريف القطر D على أنه ضعف نصف القطر: ^[3]

${\displaystyle d\doteq 2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}.}$

إذا لم يكن للجسم مركز، فقد يشير المصطلح إلى نصف قطره المحيط ، أو نصف قطر دائرته المحددة أو الكرة المحددة . وفي كلتا الحالتين، قد يكون نصف القطر أكبر من نصف القطر، والذي يُعرَّف عادةً بأنه أقصى مسافة بين أي نقطتين من الشكل. عادةً ما يكون نصف قطر الشكل الهندسي هو نصف قطر أكبر دائرة أو كرة يحتويها. نصف القطر الداخلي للحلقة أو الأنبوب أو أي جسم مجوف آخر هو نصف قطر تجويفه.

بالنسبة للمضلعات المنتظمة ، يكون نصف القطر هو نفس نصف القطر المحيط بها. ^[4] يُطلق على نصف القطر الداخلي للمضلع المنتظم أيضًا اسم apothem . في نظرية الرسم البياني ، نصف قطر الرسم البياني هو الحد الأدنى لجميع الرؤوس u من الحد الأقصى للمسافة من u إلى أي رأس آخر من الرسم البياني. ^[5]

نصف قطر الدائرة ذات المحيط ( المحيط ) C هو

${\displaystyle r={\frac {C}{2\pi }}.}$

بالنسبة للعديد من الأشكال الهندسية، يكون لنصف القطر علاقة محددة جيدًا مع مقاييس أخرى للشكل.

نصف قطر الدائرة التي مساحتها A هو

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}.}$

نصف قطر الدائرة التي تمر عبر النقاط الثلاث غير المستقيمة P ₁ و P ₂ و P ₃ يعطى بواسطة

${\displaystyle r={\frac {|{\vec {OP_{1}}}-{\vec {OP_{3}}}|}{2\sin \theta }},}$

حيث θ هي الزاوية ∠ P ₁ P ₂ P _3. تستخدم هذه الصيغة قانون الجيب . إذا تم تحديد النقاط الثلاث بواسطة إحداثياتها ( x ₁ ، y ₁ ) ، ( x ₂ ، y ₂ ) ، و ( x ₃ ، y ₃ ) ، فيمكن التعبير عن نصف القطر على النحو التالي:

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {{\bigl (}(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}{\bigr )}{\bigl (}(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}{\bigr )}{\bigl (}(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}{\bigr )}}}{2{\bigl |}x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}{\bigr |}}}.}$

ن	ر ن
3	0.577 350...
4	0.707 106...
5	0.850 650...
6	1
7	1.152 382...
8	1.306 562...
9	1.461 902...
10	1.618 033...

نصف قطر r لمضلع منتظم به n ضلع بطول s يعطى بالمعادلة r = R _n s ، حيث يتم إعطاء قيم R _n للقيم الصغيرة لـ n في الجدول. إذا كانت s = 1 فإن هذه القيم هي أيضًا أقطار المضلع المنتظم المقابل. ${\displaystyle R_{n}=1\left/\left(2\sin {\frac {\pi }{n}}\right)\right..}$

نصف قطر مكعب فائق الأبعاد d ذو ضلع s هو

${\displaystyle r={\frac {s}{2}}{\sqrt {d}}.}$

نظام الإحداثيات القطبية هو نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد حيث يتم تحديد كل نقطة على المستوى من خلال المسافة من نقطة ثابتة وزاوية من اتجاه ثابت.

النقطة الثابتة (المماثلة لأصل النظام الديكارتي ) تسمى القطب ، والشعاع من القطب في الاتجاه الثابت هو المحور القطبي . المسافة من القطب تسمى الإحداثيات الشعاعية أو نصف القطر ، والزاوية هي الإحداثيات الزاوية أو الزاوية القطبية أو السمت . [ 6 ^]

في نظام الإحداثيات الأسطوانية، يوجد محور مرجعي مختار ومستوى مرجعي مختار عمودي على هذا المحور. أصل النظام هو النقطة التي يمكن عندها إعطاء جميع الإحداثيات الثلاثة على أنها صفر. هذا هو التقاطع بين المستوى المرجعي والمحور.

يُطلق على المحور اسم المحور الأسطواني أو المحور الطولي ، لتمييزه عن المحور القطبي ، وهو الشعاع الذي يقع في المستوى المرجعي، بدءًا من الأصل ويشير إلى اتجاه المرجع.

يمكن تسمية المسافة من المحور بالمسافة الشعاعية أو نصف القطر ، بينما يُشار إلى الإحداثيات الزاوية أحيانًا باسم الموضع الزاوي أو السمت . يُطلق على نصف القطر والسمت معًا اسم الإحداثيات القطبية ، حيث يتوافقان مع نظام إحداثيات قطبية ثنائي الأبعاد في المستوى الذي يمر عبر النقطة، بالتوازي مع المستوى المرجعي. يمكن تسمية الإحداثي الثالث بالارتفاع أو الارتفاع ( إذا تم اعتبار المستوى المرجعي أفقيًا)، أو الموضع الطولي ، ^[7] أو الموضع المحوري . ^[8]

في نظام إحداثيات كروي، يصف نصف القطر المسافة بين نقطة وأصل ثابت. ويمكن تحديد موقعه أيضًا من خلال الزاوية القطبية المقاسة بين الاتجاه الشعاعي واتجاه سمت ثابت، وزاوية السمت، وهي الزاوية بين الإسقاط العمودي للاتجاه الشعاعي على مستوى مرجعي يمر عبر الأصل ويكون عموديًا على السمت، واتجاه مرجعي ثابت في ذلك المستوى.