زاوية

خطين منحنيين عند نقطة واحدة — زاوية خضراء مكونة من شعاعين أحمرين على نظام الإحداثيات الديكارتية

في الهندسة الإقليدية ، الزاوية هي الشكل الذي يتكون من شعاعين ، يُطلق عليهما ضلعي الزاوية، ويشتركان في نقطة نهاية مشتركة تسمى رأس الزاوية. ^[1] تُعرف الزوايا التي تتكون من شعاعين أيضًا باسم الزوايا المستوية لأنها تقع في المستوى الذي يحتوي على الأشعة. تتشكل الزوايا أيضًا من تقاطع مستويين؛ وتسمى هذه الزوايا بالزوايا ثنائية السطوح . قد يحدد المنحنيان المتقاطعان أيضًا زاوية، وهي زاوية الأشعة التي تقع مماسًا للمنحنيين المعنيين عند نقطة تقاطعهما.

يُطلق على مقدار الزاوية اسم القياس الزاوي أو ببساطة "الزاوية". زاوية الدوران هي مقياس يُعرَّف تقليديًا على أنه نسبة طول القوس الدائري إلى نصف قطره ، وقد يكون عددًا سالبًا . في حالة الزاوية الهندسية، يكون القوس متمركزًا عند الرأس ومحددًا بالأضلاع. في حالة الدوران ، يكون القوس متمركزًا عند مركز الدوران ومحددًا بأي نقطة أخرى وصورته بواسطة الدوران.

التاريخ وأصل الكلمة

تأتي كلمة زاوية من الكلمة اللاتينية angulus ، والتي تعني "الزاوية". تشمل الكلمات ذات الصلة الكلمة اليونانية ἀγκύλος ( ankylοs ) والتي تعني "ملتوية، منحنية" والكلمة الإنجليزية " كاحل ". كلاهما مرتبطان بالجذر الهندو أوروبي البدائي *ank- ، والذي يعني "الانحناء" أو "الانحناء". ^[2]

يُعرِّف إقليدس الزاوية المستوية بأنها ميل خطين متقابلين في مستوى ولا يستقيمان بالنسبة لبعضهما البعض. ووفقًا لعالم الميتافيزيقا الأفلاطوني بروكلوس ، يجب أن تكون الزاوية إما صفة أو كمية أو علاقة. استخدم إوديموس الرودسي المفهوم الأول، الزاوية كصفة، والذي اعتبر الزاوية انحرافًا عن خط مستقيم ؛ واستخدم كاربوس الأنطاكي المفهوم الثاني، الزاوية ككمية، والذي اعتبرها الفاصل أو المساحة بين الخطوط المتقاطعة؛ وتبنى إقليدس المفهوم الثالث: الزاوية كعلاقة. ^[3]

تحديد الزوايا

في التعبيرات الرياضية ، من الشائع استخدام الأحرف اليونانية ( α ، β ، γ ، θ ، φ ، . . . ) كمتغيرات تدل على حجم بعض الزوايا ^[4] (عادةً لا يُستخدم الرمز $π$ لهذا الغرض لتجنب الخلط مع الثابت الذي يرمز إليه هذا الرمز ). تُستخدم أيضًا الأحرف الرومانية الصغيرة ( a ، b ، c ، . . . ). في السياقات التي لا يكون فيها هذا مربكًا، يمكن الإشارة إلى الزاوية بالحرف الروماني الكبير الذي يدل على رأسها. راجع الأشكال في هذه المقالة للحصول على أمثلة.

قد تحدد النقاط الثلاث المحددة أيضًا الزوايا في الأشكال الهندسية. على سبيل المثال، الزاوية ذات الرأس A التي تشكلها الأشعة AB وAC (أي الخطوط النصفية من النقطة A عبر النقطتين B وC) يُشار إليها بـ $∠BAC$ أو . في حالة عدم وجود خطر الارتباك، قد يُشار إلى الزاوية أحيانًا برأس واحد فقط (في هذه الحالة، "الزاوية A"). ${\widehat {\rm {BAC}}}$

بطرق أخرى، قد تشير الزاوية التي يشار إليها، على سبيل المثال، $∠BAC$ إلى أي من الزوايا الأربع: الزاوية في اتجاه عقارب الساعة من B إلى C حول A، أو الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من B إلى C حول A، أو الزاوية في اتجاه عقارب الساعة من C إلى B حول A، أو الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من C إلى B حول A، حيث يحدد الاتجاه الذي يتم قياس الزاوية فيه إشارتها (انظر § الزوايا ذات الإشارة ). ومع ذلك، في العديد من المواقف الهندسية، يتضح من السياق أن الزاوية الموجبة التي تقل عن أو تساوي 180 درجة هي المقصودة، وفي هذه الحالات، لا ينشأ أي غموض. بخلاف ذلك، لتجنب الغموض، يمكن اعتماد اتفاقيات محددة بحيث يشير $∠BAC$ ، على سبيل المثال، دائمًا إلى الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة (الموجبة) من B إلى C حول A $و∠CAB$ إلى الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة (الموجبة) من C إلى B حول A.

أنواع

زوايا فردية

هناك بعض المصطلحات الشائعة للزوايا، والتي يكون قياسها دائمًا غير سلبي (انظر § الزوايا الموقعة ):

الزاوية التي تساوي 0 درجة أو غير دائرية تسمى زاوية صفرية . ^[5]
الزاوية الأصغر من الزاوية القائمة (أقل من 90 درجة) تسمى زاوية حادة ^[6] (الحادة تعني " حادة ").
زاوية تساوي1/4دورة ( 90 درجة أو $π$ /2 تسمى الزاوية القائمة ( الراديان ) بالزاوية القائمة . ويقال إن الخطين اللذين يشكلان الزاوية القائمة هما خطان عموديان أو متعامدان أو متعامدان . ^[7]
الزاوية الأكبر من الزاوية القائمة والأصغر من الزاوية المستقيمة (بين 90 درجة و180 درجة) تسمى زاوية منفرجة ^[6] ("منفرجة" تعني "غير حادة").
زاوية تساوي1/2تسمى الدورة (180 درجة أو π راديان) زاوية مستقيمة $.$ [ 5 ^]
الزاوية الأكبر من الزاوية المستقيمة ولكن أقل من دورة واحدة (بين 180 درجة و 360 درجة) تسمى زاوية منعكسة .
الزاوية التي تساوي دورة واحدة (360 درجة أو 2 $π$ راديان) تسمى زاوية كاملة ، أو زاوية تامة ، أو زاوية مستديرة ، أو محيط .
الزاوية التي ليست مضاعفات للزاوية القائمة تسمى زاوية مائلة .

تظهر الأسماء والفواصل ووحدات القياس في الجدول أدناه:

وحدة	فاصلة
اسم	زاوية صفرية	زاوية حادة	زاوية قائمة	زاوية منفرجة	زاوية مستقيمة	زاوية الانعكاس	بيريجون
دور	0 دورة	(0, ⁠1/4) دور	⁠1/4⁠ دور	( ⁠1/4⁠ , ⁠1/2) دور	⁠1/2⁠ دور	( ⁠1/2⁠ , 1) بدوره	دورة واحدة
راديان	0 راد	(0, ⁠1/2⁠ $π$ ) راد	⁠1/2⁠ $π$ راد	( ⁠1/2⁠ $π$ , $π$ ) راد	$π$ راد	( $π$ , 2 $π$ ) راديان	2π $راد$
درجة	0°	(0, 90)°	90 درجة	(90, 180)°	180 درجة	(180, 360)°	360 درجة
جون	0 ^جرام	(0, 100) ^جرام	100 ^جرام	(100، 200) ^جرام	200 ^جرام	(200، 400) ^جرام	400 ^جرام

عمودي ومجاورأزواج الزوايا

عندما يتقاطع خطان مستقيمان عند نقطة ما، تتكون أربع زوايا. وتُسمى هذه الزوايا في أزواج وفقًا لموقعها بالنسبة لبعضها البعض.

زوج من الزوايا المتقابلة، التي تتكون من خطين مستقيمين متقاطعين يشكلان شكلًا يشبه حرف "X"، تسمى زوايا رأسية أو زوايا متقابلة أو زوايا متقابلة رأسيًا . يتم اختصارها إلى vert. opp. ∠s . ^[8]

تسمى مساواة الزوايا المتقابلة رأسياً بنظرية الزاوية الرأسية . وقد نسب يوديموس الرودسي الدليل إلى طاليس الملطي . ^[9]^[10] وقد أظهر الاقتراح أنه بما أن كلاً من الزاويتين الرأسيتين مكملتان لكلا الزاويتين المتجاورتين، فإن الزاويتين الرأسيتين متساويتان في القياس. ووفقًا لملاحظة تاريخية، ^[10] عندما زار طاليس مصر، لاحظ أنه كلما رسم المصريون خطين متقاطعين، فإنهم يقيسون الزوايا الرأسية للتأكد من أنها متساوية. وخلص طاليس إلى أنه يمكن للمرء أن يثبت أن جميع الزوايا الرأسية متساوية إذا قبل بعض المفاهيم العامة مثل:
- جميع الزوايا المستقيمة متساوية.
- المتساويات المضافة إلى المتساويات تصبح متساوية.
- المتساويات المطروحة من المتساويات تصبح متساوية.
عندما تشكل زاويتان متجاورتان خطًا مستقيمًا، تكونان متكاملتين. لذلك، إذا افترضنا أن قياس الزاوية A يساوي x ، فإن قياس الزاوية C سيكون 180° − x . وبالمثل، فإن قياس الزاوية D سيكون 180° − x . كل من الزاوية C والزاوية D لها قياس يساوي 180° − x ومتطابقتان . نظرًا لأن الزاوية B مكملة لكل من الزاويتين C و D ، فيمكن استخدام أي من قياسات هذه الزوايا لتحديد قياس الزاوية B. باستخدام قياس الزاوية C أو الزاوية D ، نجد أن قياس الزاوية B هو 180° − (180° − x ) = 180° − 180° + x = x . لذلك، كل من الزاوية A والزاوية B لها قياس يساوي x ومتساويتان في القياس.

الزاويتان A و B متجاورتان.
الزوايا المتجاورة ، والتي غالبًا ما يتم اختصارها إلى adj. ∠s ، هي زوايا تشترك في رأس وحافة مشتركين ولكنها لا تشترك في أي نقاط داخلية. بعبارة أخرى، فهي زوايا متجاورة أو متجاورة، تشترك في "ذراع". الزوايا المتجاورة التي يبلغ مجموعها زاوية قائمة أو زاوية مستقيمة أو زاوية كاملة هي زوايا خاصة وتسمى على التوالي زوايا تكميلية ومكملة وزاوية توضيحية (انظر § دمج أزواج الزوايا أدناه).

الخط المستعرض هو خط يتقاطع مع زوج من الخطوط (المتوازية غالبًا) ويرتبط بزوايا خارجية وزوايا داخلية وزوايا خارجية متبادلة وزوايا داخلية متبادلة وزوايا متناظرة وزوايا داخلية متتالية . ^[11]

دمج أزواج الزوايا

تنص فرضية جمع الزاوية على أنه إذا كانت B في الجزء الداخلي من الزاوية AOC، فإن

$m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC}$

أي أن قياس الزاوية AOC هو مجموع قياس الزاوية AOB وقياس الزاوية BOC.

تتضمن الأزواج الثلاثة الخاصة للزوايا مجموع الزوايا:

الزوايا التكميلية هي أزواج الزوايا التي مجموع قياساتها يساوي زاوية قائمة واحدة (1/4دورة 90 درجة أو $π$ /2⁠ راديان). ^[12] إذا كانت الزاويتان المتكاملتان متجاورتين، فإن ضلعيهما غير المشتركين يشكلان زاوية قائمة. في الهندسة الإقليدية، تكون الزاويتان الحادتان في المثلث القائم متكاملتين لأن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة، والزاوية القائمة تشكل 90 درجة.

الصفة المكملة مشتقة من الكلمة اللاتينية supplementum ، وهي مرتبطة بالفعل complere ، أي "ملء". يتم "ملء" الزاوية الحادة بمكملها لتكوين زاوية قائمة.

يُطلق على الفرق بين الزاوية والزاوية القائمة مكمل الزاوية. ^[13]

إذا كانت الزاويتان A و B متكاملتين، فإن العلاقات التالية صحيحة: ${\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}$

( ظل الزاوية يساوي ظل الزاوية المكملة لها، وقاطعها يساوي قاطع التمام للزاوية المكملة لها.)

تشير البادئة " co- " في أسماء بعض النسب المثلثية إلى كلمة "مكملة".

الزاويتان (أ) و (ب) هما زاويتان متكاملتان .
زاويتان مجموعهما يشكلان زاوية مستقيمة (1/2تسمى الزوايا التكميلية ( 180 درجة أو $π راديان)$ ^[14] .

إذا كانت الزاويتان المتكاملتان متجاورتين (أي لهما رأس مشترك وضلع واحد فقط)، فإن أضلاعهما غير المشتركة تشكل خطًا مستقيمًا . تسمى هذه الزوايا زوجًا خطيًا من الزوايا . ^[15] ومع ذلك، لا يجب أن تكون الزوايا التكميلية على نفس الخط ويمكن فصلها في الفضاء. على سبيل المثال، الزوايا المتجاورة في متوازي الأضلاع تكون متكاملة، والزوايا المتقابلة في شكل رباعي أضلاع دائري (تقع جميع رؤوسه على دائرة واحدة) تكون متكاملة.

إذا كانت النقطة P خارجية لدائرة مركزها O، وإذا كانت الخطوط المماسّة من P تلامس الدائرة عند النقطتين T وQ، فإن ∠TPQ و∠TOQ متكاملتان.

جيب الزاويتين المتكاملتين متساويان. جيب التمام والظل (ما لم يكن غير محدد) متساويان في المقدار ولكن لهما إشارات متعاكسة.

في الهندسة الإقليدية، أي مجموع زاويتين في مثلث يكون مكملاً للزاوية الثالثة لأن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو زاوية مستقيمة.

الزاويتان AOB وCOD مترافقتان حيث تشكلان زاوية كاملة. مع الأخذ في الاعتبار المقدار، 45° + 315° = 360°.
الزاويتان اللتان يبلغ مجموعهما زاوية كاملة (دورة واحدة، أو 360 درجة، أو 2 $π$ راديان) تسمى زاويتين إضافيتين أو زاويتين مترافقتين . ^[16]

الفرق بين الزاوية والزاوية الكاملة يسمى مثال الزاوية أو اقتران الزاوية.

الزوايا المرتبطة بالمضلع

الزاوية التي تشكل جزءًا من مضلع بسيط تسمى زاوية داخلية إذا كانت تقع داخل ذلك المضلع البسيط. يحتوي المضلع المقعر البسيط على زاوية داخلية واحدة على الأقل، وهي زاوية منعكسة.
في الهندسة الإقليدية ، مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث يساوي π $راديان$ ، أو 180 درجة، أو1/2دورة ؛ مجموع قياسات الزوايا الداخلية لشكل رباعي محدب بسيط يساوي 2 $π$ راديان، أو 360 درجة، أو دورة واحدة. بشكل عام، مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع محدب بسيط به n ضلع يساوي ( n − 2) $π$ راديان، أو ( n − 2)180 درجة، أو ( n − 2)2 زاوية قائمة، أو ( n − 2)1/2⁠ دوره.
الزاوية المكملة للزاوية الداخلية تسمى زاوية خارجية ؛ أي أن الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية تشكلان زوجًا خطيًا من الزوايا. توجد زاويتان خارجيتان عند كل رأس من رؤوس المضلع، يتم تحديد كل منهما عن طريق تمديد أحد جانبي المضلع اللذين يلتقيان عند الرأس؛ هاتان الزاويتان عموديتان وبالتالي تكونان متساويتين. تقيس الزاوية الخارجية مقدار الدوران الذي يجب على المرء القيام به عند الرأس لتتبع المضلع. ^[17] إذا كانت الزاوية الداخلية المقابلة زاوية منعكسة، فيجب اعتبار الزاوية الخارجية سالبة . حتى في المضلع غير البسيط، قد يكون من الممكن تحديد الزاوية الخارجية. ومع ذلك ، سيتعين على المرء اختيار اتجاه المستوى (أو السطح ) لتحديد علامة قياس الزاوية الخارجية.
في الهندسة الإقليدية، مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب بسيط، إذا افترضنا وجود زاويتين خارجيتين فقط عند كل رأس، سيكون دورة كاملة (360 درجة). يمكن تسمية الزاوية الخارجية هنا بالزاوية الخارجية التكميلية . تُستخدم الزوايا الخارجية عادةً في برامج Logo Turtle عند رسم مضلعات منتظمة.
في المثلث ، يكون منصفا الزاويتين الخارجيتين ومنصف الزاوية الداخلية الأخرى متزامنين (يلتقيان في نقطة واحدة). ^[18]^{: 149}
في المثلث، ثلاث نقاط تقاطع، كل منها منصف زاوية خارجية مع الضلع الممتد المقابل ، تكون متوازية في خط مستقيم . ^[18]^{: 149}
في المثلث، ثلاث نقاط تقاطع، اثنتان بين منصف الزاوية الداخلية والضلع المقابل، والثالثة بين منصف الزاوية الخارجية الأخرى والضلع المقابل الممتد تكون على خط مستقيم. ^[18]^{: 149}
يستخدم بعض المؤلفين اسم الزاوية الخارجية لمضلع بسيط ليعني الزاوية الخارجية ( وليس المكملة!) للزاوية الداخلية. ^[19] وهذا يتعارض مع الاستخدام المذكور أعلاه.

الزوايا المرتبطة بالمستوى

الزاوية بين مستويين (مثل وجهين متجاورين لمتعدد السطوح ) تسمى زاوية ثنائية السطوح . ^[13] ويمكن تعريفها بأنها الزاوية الحادة بين خطين عموديين على المستويين.
الزاوية بين المستوى والخط المستقيم المتقاطع تساوي تسعين درجة ناقص الزاوية بين الخط المتقاطع والخط الذي يمر بنقطة التقاطع ويكون عموديًا على المستوى.

قياس الزوايا

عادة ما يتسم حجم الزاوية الهندسية بحجم أصغر دوران يربط أحد الأشعة بالآخر. ويقال إن الزوايا التي لها نفس الحجم متطابقة أو متساوية في القياس .

في بعض السياقات، مثل تحديد نقطة على دائرة أو وصف اتجاه جسم في بعدين بالنسبة لاتجاه مرجعي، تكون الزوايا التي تختلف بمضاعف دقيق لدورة كاملة متكافئة فعليًا. في سياقات أخرى، مثل تحديد نقطة على منحنى حلزوني أو وصف الدوران التراكمي لجسم في بعدين بالنسبة لاتجاه مرجعي، لا تكون الزوايا التي تختلف بمضاعف غير صفري لدورة كاملة متكافئة.

لقياس زاوية θ ، يتم رسم قوس دائري مركزه رأس الزاوية، على سبيل المثال، باستخدام زوج من الفرجار . نسبة طول القوس s إلى نصف قطر الدائرة r هي عدد الراديان في الزاوية: ^[20] تقليديًا، في الرياضيات والنظام الدولي للوحدات ، يتم التعامل مع الراديان على أنه يساوي الوحدة عديمة الأبعاد 1، وبالتالي يتم حذفها عادةً. $\theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} .$

يمكن بعد ذلك الحصول على الزاوية المعبر عنها بوحدة زاوية أخرى عن طريق ضرب الزاوية بثابت تحويل مناسب من النموذجك/2π $$ حيث k هو مقياس الدورة الكاملة معبرًا عنها بالوحدة المختارة (على سبيل المثال، k = 360° للدرجات أو 400 غراد للدرجات ) :

$\theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.$

قيمة $θ$ المحددة بهذا الشكل لا تعتمد على حجم الدائرة: إذا تغير طول نصف القطر، فإن طول القوس يتغير بنفس النسبة، وبالتالي تظل النسبة s / r دون تغيير. ^{[ملاحظة 1]}

الوحدات

على مر التاريخ، تم قياس الزوايا بوحدات مختلفة . تُعرف هذه الوحدات بالوحدات الزاوية ، حيث تعد الدرجة ( °) والراديان ( rad) والغراديان ( grad) أكثر الوحدات المعاصرة، على الرغم من استخدام العديد من الوحدات الأخرى عبر التاريخ . ^[22] يتم تعريف معظم وحدات القياس الزاوي بحيث تكون الدورة الواحدة (أي الزاوية التي يحيط بها محيط الدائرة في مركزها) مساوية لـ n وحدة، لبعض الأعداد الصحيحة n . الاستثناءان هما الراديان (ومضاعفاته العشرية) وجزء القطر.

في النظام الدولي للكميات ، تُعرَّف الزاوية بأنها كمية بلا أبعاد، وعلى وجه الخصوص، وحدة الراديان هي وحدة بلا أبعاد. تؤثر هذه الاتفاقية على كيفية التعامل مع الزوايا في التحليل البعدي .

يوضح الجدول التالي بعض الوحدات المستخدمة لتمثيل الزوايا.

اسم	الرقم في دورة واحدة	بالدرجات	وصف
راديان	$2π $	≈57°17′	يتم تحديد الراديان من خلال محيط الدائرة الذي يساوي طوله نصف قطر الدائرة ( n = 2 $π$ = 6.283...). إنها الزاوية التي يحددها قوس الدائرة الذي له نفس طول نصف قطر الدائرة. رمز الراديان هو rad . دورة واحدة هي 2 $π$ راديان، والراديان الواحد هو ⁠180 درجة/ $π$ ⁠ ، أو حوالي 57.2958 درجة. غالبًا، وخاصة في النصوص الرياضية، يُفترض أن الراديان الواحد يساوي واحدًا، مما يؤدي إلى حذف وحدة الراديان . يُستخدم الراديان في جميع الأعمال الرياضية تقريبًا بما يتجاوز الهندسة البسيطة والعملية، على سبيل المثال، بسبب الخصائص الممتعة و"الطبيعية" التي تعرضها الدوال المثلثية عندما تكون حججها بالراديان. الراديان هو وحدة القياس الزاوي (المشتقة) في النظام الدولي للوحدات .
درجة	360	1°	الدرجة ، التي يُشار إليها بدائرة صغيرة علوية (°)، هي 1/360 من دورة، لذا فإن الدورة الواحدة تساوي 360 درجة. إحدى مزايا هذه الوحدة الفرعية الستينية القديمة هي أن العديد من الزوايا الشائعة في الهندسة البسيطة تُقاس كعدد صحيح من الدرجات. يمكن كتابة كسور الدرجة بالتدوين العشري العادي (على سبيل المثال، 3.5 درجة لثلاث درجات ونصف)، ولكن الوحدات الفرعية الستينية "الدقيقة" و"الثانية" لنظام "الدرجة-الدقيقة-الثانية" (سنناقشها لاحقًا) تُستخدم أيضًا، وخاصةً للإحداثيات الجغرافية وفي علم الفلك والباليستيات ( n = 360) .
دقيقة قوسية	21,600	0°1′	دقيقة القوس (أو MOA ، أو arcminute ، أو مجرد دقيقة ) هي1/60من الدرجة =1/21,600دورة . يتم الإشارة إليها برمز أولي واحد (′). على سبيل المثال، 3° 30′ تساوي 3 × 60 + 30 = 210 دقيقة أو 3 +30/60= 3.5 درجة. في بعض الأحيان يتم استخدام تنسيق مختلط مع الكسور العشرية، على سبيل المثال، 3° 5.72′ = 3 +5.72/60درجات. تم تعريف الميل البحري تاريخيًا بأنه دقيقة قوسية على طول دائرة كبيرة من الأرض. ( ن = 21600).
ثانية قوسية	1,296,000	0°0′1″	الثانية من القوس (أو ثانية القوس ، أو الثانية فقط ) هي1/60دقيقة من القوس و1/3600من الدرجة ( n = 1,296,000). يتم الإشارة إليه بعلامة أولية مزدوجة (″). على سبيل المثال، 3° 7′ 30″ يساوي 3 + ⁠7/60+30/3600درجات ، أو 3.125 درجة. الثانية القوسية هي الزاوية المستخدمة لقياس فرسخ فلكي
خريج	400	0°54′	يُطلق على الخط المستقيم أيضًا اسم الدرجة أو الدرجات أو المضلع . وهو وحدة عشرية من الربع. الزاوية القائمة هي 100 درجة. تم تعريف الكيلومتر تاريخيًا على أنه سنتي غراد من القوس على طول خط الزوال للأرض، وبالتالي فإن الكيلومتر هو التناظر العشري للميل البحري الستيني ( ن = 400). يستخدم الخط المستقيم في الغالب في التثليث والمسح القاري .
دور	1	360 درجة	الدوران هو الزاوية التي يحيط بها محيط الدائرة عند مركزها. وتساوي الدورة 2 $π$ أو 𝜏 (تاو) راديان .
زاوية الساعة	24	15 درجة	زاوية الساعة الفلكية هي1/24⁠ الدوران. ونظرًا لأن هذا النظام قابل لقياس الأجسام التي تدور مرة واحدة في اليوم (مثل الموضع النسبي للنجوم)، فإن الوحدات الفرعية الستينية تسمى دقيقة من الزمن وثانية من الزمن . وهي مختلفة عن دقائق وثوان القوس، وهي أكبر منها بخمس عشرة مرة. 1 ساعة = 15 درجة = ⁠ $π$ /12راد =1/6رباعي =1/24دورة = 16+2/3خريج .
(البوصلة) نقطة	32	11.25 درجة	النقطة أو الريح المستخدمة في الملاحة هي1/32من دورة واحدة . 1 نقطة =1/8الزاوية القائمة = 11.25 درجة = 12.5 درجة. كل نقطة مقسمة إلى أربع نقاط ربعية، لذا فإن الدورة الواحدة تساوي 128 درجة .
ميليراديان	$2000 بي$	≈0.057 درجة	يتم تعريف الملي راديان الحقيقي على أنه جزء من ألف من الراديان، مما يعني أن دوران دورة واحدة يساوي بالضبط 2000π مراد (أو ما يقرب من 6283.185 مراد). يتم معايرة جميع مشاهد النطاق للأسلحة النارية تقريبًا وفقًا لهذا التعريف. بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام ثلاثة تعريفات أخرى ذات صلة للمدفعية والملاحة، والتي غالبًا ما تسمى "ميل"، والتي تساوي تقريبًا ميلي راديان. بموجب هذه التعريفات الثلاثة الأخرى، تشكل الدورة الواحدة 6000 أو 6300 أو 6400 ميل بالضبط، وتمتد على مدى من 0.05625 إلى 0.06 درجة (3.375 إلى 3.6 دقيقة). وبالمقارنة، فإن الملي راديان يساوي تقريبًا 0.05729578 درجة (3.43775 دقيقة). يتم تعريف " ميل الناتو " الواحد على أنه ⁠1/6400من دورة واحدة. تمامًا كما هو الحال مع الملي راديان، فإن كل تعريف آخر يقترب من الخاصية المفيدة للملي راديان وهي الامتدادات الفرعية، أي أن قيمة الملي راديان واحد تساوي تقريبًا الزاوية التي يحيط بها عرض 1 متر كما يُرى من مسافة 1 كم (2π $$ /6400= 0.0009817 ... ≈1/1000) .
درجة ثنائية	256	1°33'45"	الدرجة الثنائية ، والمعروفة أيضًا باسم الراديان الثنائي أو براد أو القياس الزاوي الثنائي (BAM) . ^[23] تُستخدم الدرجة الثنائية في الحوسبة بحيث يمكن تمثيل الزاوية بكفاءة في بايت واحد (وإن كان بدقة محدودة). قد تستند مقاييس الزاوية الأخرى المستخدمة في الحوسبة إلى تقسيم دورة كاملة إلى 2 ⁿ أجزاء متساوية لقيم أخرى لـ n . ^[24] إنه1/256⁠ من دورة. ^[23]
$π$ راديان	2	180 درجة	يتم تنفيذ مضاعفات وحدة π راديان (MUL π ) في الآلة الحاسبة $العلمية$ RPN WP $43S$ . [ 25 ] ^انظر أيضًا: العمليات الموصى بها في IEEE 754
الربع	4	90 درجة	ربع واحد هو ⁠1/4⁠ الدوران والمعروف أيضًا باسم الزاوية القائمة . الربع هو الوحدة في عناصر إقليدس . في اللغة الألمانية، تم استخدام الرمز ^{∟ للإشارة إلى الربع. 1 رباعي = 90 درجة =}⁠ $π$ /2راد =1/4دورة = 100 درجة.
آلة السدس	6	60 درجة	كان السدس هو الوحدة التي استخدمها البابليون ، [ ^26]^[27] الدرجة ودقيقة القوس وثانية القوس هي وحدات فرعية ستينية للوحدة البابلية. من السهل إنشاؤها باستخدام المسطرة والبوصلة. إنها زاوية المثلث المتساوي الأضلاع أو ⁠1/6دورة . 1 وحدة بابلية = 60 درجة = $π$ /3 راد ≈ 1.047197551 راد.
سداسي الزوايا	60	6°	السداسي الزوايا هو وحدة استخدمها إراتوستينس . وهو يساوي 6 درجات، لذا تم تقسيم الدورة بأكملها إلى 60 سداسي الزوايا.
بيتشوس	144 إلى 180	2° إلى ⁠2+1/2°	كان البيشو وحدة بابلية تساوي حوالي 2 درجة أو ⁠2+1/2° .
جزء القطر	≈376.991	≈0.95493 درجة	الجزء القطر (يستخدم أحيانًا في الرياضيات الإسلامية) هو1/60⁠ راديان. "جزء القطر" الواحد يساوي تقريبًا 0.95493 درجة. يوجد حوالي 376.991 جزء قطر لكل دورة.
زام	224	≈1.607 درجة	وفي الجزيرة العربية القديمة كان الدور يقسم إلى 32 أخناماً، وكل أخنام يقسم إلى 7 زمات بحيث يكون الدور 224 زماً.

التحليل البعدي

يمكن تعريف الزاوية المستوية على أنها $θ = s / r$ ، حيث $θ$ هي الزاوية المائلة بالراديان، $وs$ هو طول القوس الدائري، و $r$ هو نصف القطر. يتوافق راديان النظام الدولي للوحدات مع زاوية حيث $s = r$ ، وبالتالي فإن $1 راديان النظام الدولي للوحدات = 1 م/م$ = 1. ^[28] ومع ذلك، يجب استخدام $الراديان فقط للتعبير عن الزوايا، وليس للتعبير عن نسب الأطوال بشكل عام.$ ^[29] يعطي حساب مماثل باستخدام مساحة القطاع الدائري $θ = 2 A / r 2$ راديان النظام الدولي للوحدات 1 على أنه 1 م ² /م ² = 1. ^[30] والحقيقة الأساسية هي أن راديان النظام الدولي للوحدات هو وحدة بلا أبعاد تساوي 1. في النظام الدولي للوحدات 2019، تم تعريف راديان النظام الدولي للوحدات وفقًا لذلك على أنه 1 راد = 1 . ^[31] إنها ممارسة راسخة في الرياضيات وفي جميع مجالات العلوم للاستفادة من $rad = 1.$ [ ^32]^[33]

يكتب جياكومو براندو "إن الوضع الحالي للأمور يؤدي حتماً إلى ظهور شبحي واختفاء الراديان في التحليل البعدي للمعادلات الفيزيائية". ^[34] على سبيل المثال، فإن الجسم المعلق بخيط من بكرة سيرتفع أو ينخفض بمقدار $y = rθ$ سنتيمتر، حيث $r$ هو نصف قطر البكرة بالسنتيمتر و $θ$ هي الزاوية التي تدور بها البكرة بالراديان. عند ضرب $r$ في $θ$ لا تظهر وحدة الراديان في النتيجة. وبالمثل في صيغة السرعة الزاوية لعجلة دوارة، $ω = v / r$ ، يظهر الراديان بوحدات $ω$ ولكن ليس على الجانب الأيمن. ^[35] يسمي أنتوني فرينش هذه الظاهرة "مشكلة دائمة في تدريس الميكانيكا". ^[36] يقول أوبرهوفر أن النصيحة النموذجية بتجاهل الراديان أثناء التحليل البعدي وإضافة أو إزالة الراديان بالوحدات وفقًا للاتفاقية والمعرفة السياقية "غير مرضية من الناحية التربوية". ^[37]

في عام 1993، حددت لجنة القياس التابعة للجمعية الأمريكية لمدرسي الفيزياء أن الراديان يجب أن يظهر صراحةً في الكميات فقط عندما يتم الحصول على قيم عددية مختلفة عند استخدام مقاييس زاوية أخرى، مثل كميات قياس الزاوية (راديان)، والسرعة الزاوية (راديان/ثانية)، والتسارع الزاوي (راديان/ثانية ² )، وصلابة الالتواء (نيوتن⋅متر/راديان)، وليس في كميات عزم الدوران (نيوتن⋅متر) والزخم الزاوي (كجم⋅متر ² /ثانية). ^[38]

قدم ما لا يقل عن اثني عشر عالمًا بين عامي 1936 و2022 مقترحات لمعاملة الراديان كوحدة أساسية للقياس لكمية أساسية (وبُعد) "للزاوية المستوية". ^[39]^[40]^[41] تحدد مراجعة كوينسي للمقترحات فئتين من المقترحات. يغير الخيار الأول وحدة نصف القطر إلى أمتار لكل راديان، لكن هذا غير متوافق مع التحليل البعدي لمساحة الدائرة ، $π r 2$ . الخيار الآخر هو إدخال ثابت بعدي. وفقًا لكوينسي، فإن هذا النهج "صارم منطقيًا" مقارنة بالنظام الدولي للوحدات، لكنه يتطلب "تعديل العديد من المعادلات الرياضية والفيزيائية المألوفة". ^[42] إن الثابت البعدي للزاوية "غريب نوعًا ما" ومن المرجح أن تمنع صعوبة تعديل المعادلات لإضافة الثابت البعدي الاستخدام الواسع النطاق. ^[41]

على وجه الخصوص ، حدد كوينسي اقتراح تورينس لإدخال ثابت $η$ يساوي 1 راديان معكوس (1 راد ⁻¹ ) بطريقة مماثلة لإدخال الثابت ε _0.^[42]^[أ] مع هذا التغيير، يتم تعديل صيغة الزاوية المحيطة بمركز الدائرة، $s = rθ$ ، لتصبح $s = ηrθ$ ، وتصبح سلسلة تايلور لجيب الزاوية $θ$ : ^[41]^[43] حيث هي الزاوية بالراديان. الدالة ذات الحرف الكبير Sin $هي$ الدالة "الكاملة" التي تأخذ وسيطة ذات بعد زاوية وهي مستقلة عن الوحدات المعبر عنها، ^[43] بينما $sin$ هي الدالة التقليدية على الأعداد البحتة والتي تفترض أن وسيطتها هي عدد بلا أبعاد بالراديان. ^[44] يمكن الإشارة إلى الرمز ذو الحرف الكبير إذا كان من الواضح أن الشكل الكامل هو المقصود. ^[41]^[45] $\operatorname {Sin} \theta =\sin \ x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,$ $x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}$ $\operatorname {خطيئة}$ $\sin$

يمكن اعتبار النظام الدولي للوحدات الحالي بالنسبة لهذا الإطار نظامًا طبيعيًا للوحدات حيث يُفترض أن المعادلة $η = 1 صحيحة، أو على نحو مماثل،$ 1 راديان = 1. تسمح اتفاقية الراديان هذه بحذف $η$ في الصيغ الرياضية. ^[46]

قد يكون تعريف الراديان كوحدة أساسية مفيدًا للبرمجيات، حيث يكون عيب المعادلات الأطول ضئيلًا. ^[47] على سبيل المثال، تحدد مكتبة وحدات Boost وحدات الزاوية بأبعاد plane_angle، ^[48] وبالمثل يعتبر نظام وحدات Mathematica الزوايا ذات بعد زاوية. ^[49]^[50]

الزوايا الموقعة

من المفيد في كثير من الأحيان فرض اتفاقية تسمح للقيم الزاوية الإيجابية والسلبية بتمثيل التوجهات و/أو الدورانات في اتجاهات أو "إحساس" متعاكسين بالنسبة لبعض المراجع.

في نظام إحداثيات ديكارتية ثنائية الأبعاد ، يتم تعريف الزاوية عادةً بجانبيها، مع وجود رأسها عند الأصل. يكون الجانب الأولي على المحور السيني الموجب ، بينما يتم تعريف الجانب الآخر أو الجانب النهائي من خلال القياس من الجانب الأولي بالراديان أو الدرجات أو الدورات، حيث تمثل الزوايا الموجبة الدوران نحو المحور الصادي الموجب والزوايا السالبة تمثل الدوران نحو المحور الصادي السالب . عندما يتم تمثيل الإحداثيات الديكارتية بالموضع القياسي ، والذي يتم تحديده بواسطة المحور السيني إلى اليمين والمحور الصادي إلى الأعلى، تكون الدورات الموجبة عكس اتجاه عقارب الساعة ، والدورات السالبة تكون في اتجاه عقارب الساعة .

في العديد من السياقات، تكون الزاوية − θ مكافئة فعليًا لزاوية "دورة كاملة ناقص θ ". على سبيل المثال، يكون الاتجاه الذي يتم تمثيله على أنه −45° مساويًا فعليًا لاتجاه محدد على أنه 360° − 45° أو 315°. وعلى الرغم من أن الموضع النهائي هو نفسه، فإن الدوران الفيزيائي (الحركة) بمقدار −45° ليس هو نفسه الدوران بمقدار 315° (على سبيل المثال، فإن دوران شخص يحمل مكنسة يستريح على أرضية متربة سيترك آثارًا مختلفة بصريًا للمناطق المكنسة على الأرض).

في الهندسة ثلاثية الأبعاد، لا يوجد معنى مطلق لعبارة "عقارب الساعة" و"عكس عقارب الساعة"، لذا يجب تعريف اتجاه الزوايا الموجبة والسلبية من حيث الاتجاه ، والذي يتم تحديده عادةً بواسطة متجه عمودي يمر عبر رأس الزاوية وعمودي على المستوى الذي تقع فيه أشعة الزاوية.

في الملاحة ، يتم قياس المحامل أو السمت بالنسبة إلى الشمال. وفقًا للاتفاقية، عند النظر إليها من أعلى، تكون زوايا المحامل موجبة في اتجاه عقارب الساعة، لذا فإن المحامل التي تبلغ 45 درجة تتوافق مع اتجاه الشمال الشرقي. لا تُستخدم المحامل السالبة في الملاحة، لذا فإن الاتجاه نحو الشمال الغربي يتوافق مع اتجاه 315 درجة.

الزوايا المتساوية

يقال عن الزوايا التي لها نفس القياس (أي نفس المقدار) أنها متساوية أو متطابقة . يتم تعريف الزاوية من خلال قياسها ولا تعتمد على أطوال أضلاع الزاوية (على سبيل المثال، جميع الزوايا القائمة متساوية في القياس).
الزاويتان اللتان تشتركان في ضلعين طرفيين، ولكن تختلفان في الحجم بمضاعف صحيح للدورة، تسمى زاويتين متطابقتين .
الزاوية المرجعية (والتي تسمى أحيانًا الزاوية ذات الصلة ) لأي زاوية θ في الوضع القياسي هي الزاوية الحادة الموجبة بين الجانب النهائي لـ θ والمحور x (موجب أو سالب). ^[51]^{[52] إجرائيًا، يمكن تحديد مقدار الزاوية المرجعية لزاوية معينة عن طريق أخذ}معامل مقدار الزاوية1/2⁠ دورة، 180 درجة، أو $π$ راديان، ثم التوقف إذا كانت الزاوية حادة، وإلا فأخذ الزاوية التكميلية، 180 درجة ناقص المقدار المخفض. على سبيل المثال، الزاوية 30 درجة هي بالفعل زاوية مرجعية، والزاوية 150 درجة لها أيضًا زاوية مرجعية 30 درجة (180 درجة − 150 درجة). تتوافق الزوايا 210 درجة و510 درجة مع زاوية مرجعية 30 درجة أيضًا (210 درجة mod 180 درجة = 30 درجة، 510 درجة mod 180 درجة = 150 درجة التي تكون زاويتها التكميلية 30 درجة).

الكميات ذات الصلة

بالنسبة لوحدة زاوية، من الطبيعي أن تنطبق فرضية جمع الزوايا . تتضمن بعض الكميات المتعلقة بالزوايا حيث لا تنطبق فرضية جمع الزوايا ما يلي:

المنحدر أو التدرج يساوي ظل الزاوية؛ وغالبًا ما يتم التعبير عن التدرج كنسبة مئوية. بالنسبة للقيم الصغيرة جدًا (أقل من 5%)، يكون ميل الخط مساويًا تقريبًا للقياس بالراديان لزاويته مع الاتجاه الأفقي.
يُعرَّف الفارق بين خطين في الهندسة النسبية بأنه مربع جيب الزاوية بين الخطين. ونظرًا لأن جيب الزاوية وجيب الزاوية التكميلية لها متساويان، فإن أي زاوية دوران تربط أحد الخطين بالآخر تؤدي إلى نفس القيمة للفارق بين الخطين.
على الرغم من ندرة القيام بذلك، فمن الممكن الإبلاغ عن النتائج المباشرة للوظائف المثلثية ، مثل جيب الزاوية.

الزوايا بين المنحنيات

الزاوية بين خط ومنحنى ( زاوية مختلطة) أو بين منحنيين متقاطعين (زاوية منحنية) تُعرَّف بأنها الزاوية بين المماسين عند نقطة التقاطع. وقد أُطلقت أسماء مختلفة (نادرًا ما تُستخدم الآن، إن كانت تُستخدم على الإطلاق) على حالات معينة: - amphicyrtic (باليونانية ἀμφί ، على كلا الجانبين، κυρτός، محدبة) أو cissoidal (باليونانية κισσός، لبلاب)، محدبة الوجهين؛ xystroidal أو sistroidal (باليونانية ξυστρίς، أداة للكشط)، مقعرة محدبة؛ amphicoelic (باليونانية κοίλη، مجوفة) أو angulus lunularis ، مقعرة الوجهين. ^[53]

زوايا التنصف والتثليث

كان علماء الرياضيات اليونانيون القدماء يعرفون كيفية تقسيم الزاوية (تقسيمها إلى زاويتين متساويتين في القياس) باستخدام الفرجار والمسطرة فقط ، لكنهم لم يتمكنوا من تقسيم زوايا معينة إلى ثلاثة أجزاء. وفي عام 1837، أظهر بيير وانتزل أنه لا يمكن إجراء هذا البناء لمعظم الزوايا.

حاصل الضرب النقطي والتعميمات

في الفضاء الإقليدي ، الزاوية θ بين متجهين إقليديين u و v مرتبطة بحاصل ضربهما النقطي وأطوالهما بالصيغة

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.$

توفر هذه الصيغة طريقة سهلة لإيجاد الزاوية بين مستويين (أو سطحين منحنيين) من متجهاتهما الطبيعية وبين الخطوط المائلة من معادلات متجهاتهما.

المنتج الداخلي

لتحديد الزوايا في فضاء حاصل ضرب داخلي حقيقي مجرد ، نستبدل حاصل الضرب الإقليدي النقطي ( · ) بالحاصل الداخلي ، أي $\langle \cdot ,\cdot \rangle$

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right \|.$

في فضاء حاصل داخلي معقد ، قد يعطي تعبير جيب التمام أعلاه قيمًا غير حقيقية، لذا يتم استبداله بـ

$\operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\ left\|\mathbf {v} \right\|.$

أو، بشكل أكثر شيوعًا، باستخدام القيمة المطلقة، مع

$\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\| \left\|\mathbf {v} \right\|.$

يتجاهل التعريف الأخير اتجاه المتجهات. وبالتالي فهو يصف الزاوية بين الفضاءات الفرعية أحادية البعد والممتدة بواسطة المتجهات وبالتالي . $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {v}$

الزوايا بين الفراغات الجزئية

تعريف الزاوية بين الفضاءات الفرعية أحادية البعد والمعطى بواسطة $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$

$\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|$

في فضاء هيلبرت يمكن توسيعه إلى فضاءات جزئية ذات أبعاد محدودة. مع وجود فضاءين جزئيين ، مع ، يؤدي هذا إلى تعريف الزوايا التي تسمى الزوايا الأساسية أو الزوايا الرئيسية بين الفضاءات الجزئية. ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {W}}$ $\dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l$ $k$

الزوايا في الهندسة الريمانية

في الهندسة الريمانية ، يستخدم الموتر المتري لتحديد الزاوية بين مماسين . حيث U و V هما متجهان مماسان و g _ij هما مكونات الموتر المتري G ،

$\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.$

الزاوية الزائدية

الزاوية الزائدية هي وسيطة لدالة زائدية تمامًا كما أن الزاوية الدائرية هي وسيطة لدالة دائرية . يمكن تصور المقارنة بحجم فتحات القطاع الزائدي والقطاع الدائري نظرًا لأن مساحات هذه القطاعات تتوافق مع مقادير الزوايا في كل حالة. ^[54] على عكس الزاوية الدائرية، فإن الزاوية الزائدية غير محدودة. عندما يُنظر إلى الدوال الدائرية والزائدية على أنها سلسلة لا نهائية في وسيطة الزاوية الخاصة بها، فإن الدوال الدائرية هي مجرد أشكال متسلسلة متناوبة للدوال الزائدية. وقد وصف ليونهارد أويلر هذه المقارنة بين السلسلتين المقابلة لدوال الزوايا في مقدمة لتحليل اللانهائي (1748).

الزوايا في الجغرافيا والفلك

في الجغرافيا ، يمكن تحديد موقع أي نقطة على الأرض باستخدام نظام إحداثيات جغرافية . يحدد هذا النظام خطوط العرض والطول لأي موقع من حيث الزوايا المرسومة في مركز الأرض، باستخدام خط الاستواء و(عادةً) خط الطول غرينتش كمراجع.

في علم الفلك ، يمكن تحديد نقطة معينة على الكرة السماوية (أي الموضع الظاهري لجسم فلكي) باستخدام أي من أنظمة الإحداثيات الفلكية العديدة ، حيث تختلف المراجع وفقًا للنظام المعين. يقيس علماء الفلك المسافة الزاوية بين نجمين من خلال تخيل خطين يمران عبر مركز الأرض ، يتقاطع كل منهما مع أحد النجمين. يمكن قياس الزاوية بين هذين الخطين والمسافة الزاوية بين النجمين.

في كل من الجغرافيا وعلم الفلك، يمكن تحديد اتجاه الرؤية من حيث الزاوية الرأسية مثل الارتفاع / الارتفاع بالنسبة للأفق وكذلك السمت بالنسبة للشمال .

يقيس علماء الفلك أيضًا الحجم الظاهري للأجسام كقطر زاوي . على سبيل المثال، يبلغ القطر الزاوي للقمر المكتمل حوالي 0.5 درجة عند رؤيته من الأرض. يمكننا أن نقول "يبلغ قطر القمر زاوية نصف درجة". يمكن لصيغة الزاوية الصغيرة تحويل مثل هذا القياس الزاوي إلى نسبة المسافة/الحجم.

وتشمل التقريبات الفلكية الأخرى ما يلي:

0.5 درجة هو القطر التقريبي للشمس والقمر كما يُرى من الأرض.
1° هو العرض التقريبي للإصبع الصغير عند طول الذراع.
10° هو العرض التقريبي للقبضة المغلقة عند طول الذراع.
20 درجة هو العرض التقريبي لطول اليد عند طول الذراع.

تعتمد هذه القياسات على كل موضوع على حدة، ويجب التعامل مع ما ورد أعلاه على أنه مجرد تقديرات تقريبية .

في علم الفلك، يتم قياس المطلع المستقيم والانحراف عادةً بوحدات زاوية، يتم التعبير عنها من حيث الوقت، على أساس يوم مكون من 24 ساعة .

وحدة	رمز	درجات	راديان	المنعطفات	آخر
ساعة	ح	15 درجة	$π$ ⁄ 12 راد	1 ⁄ 24 دورة
دقيقة	م	0°15′	$π$ ⁄ 720 راد	1 ⁄ 1,440 دورة	1 ⁄ 60 ساعة
ثانية	س	0°0′15″	$π$ ⁄ 43200 راد	1 ⁄ 86,400 دورة	1 ⁄ 60 دقيقة

انظر أيضا

ملحوظات

^ ومع ذلك، يتطلب هذا النهج إثباتًا إضافيًا بأن قياس الزاوية لا يتغير مع تغيير نصف القطر $r$ ، بالإضافة إلى مسألة "وحدات القياس المختارة". النهج الأكثر سلاسة هو قياس الزاوية بطول قوس الدائرة الوحدوية المقابل. هنا يمكن اختيار "الوحدة" لتكون بلا أبعاد بمعنى أنها الرقم الحقيقي 1 المرتبط بالقطعة الوحدوية على الخط الحقيقي. انظر رادوسلاف م. ديميتريتش، على سبيل المثال. ^[21]

^ تتضمن المقترحات الأخرى الاختصار "rad" (Brinsmade 1936)، والترميز (Romain 1962)، والثوابت ם (Brownstein 1997)، ◁ (Lévy-Leblond 1998)، k (Foster 2010)، θ _C (Quincey 2021)، و (Mohr et al. 2022). $\langle \theta \rangle$ ${\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}$

مراجع

^ سيدوروف 2001
^ سلوكوم 2007
^ تشيشولم 1911؛ ^ هايبرغ 1908، ص 177-178
^ أبوغانتوس 2010، ص 18.
^ ab Moser 1971، ص 41.
^ أ ب جودفري وسيدونز 1919، ص. 9.
^ موزر 1971، ص 71.
^ وونغ وونغ 2009، ص 161 – 163
^ إقليدس . العناصر .الاقتراح الأول: 13.
^ ab Shute, Shirk & Porter 1960، ص 25-27.
^ جاكوبس 1974، ص 255.
^ "الزوايا التكميلية". www.mathsisfun.com . تم الاسترجاع في 2020-08-17 .
^ من تشيشولم 1911
^ "الزوايا التكميلية". www.mathsisfun.com . تم الاسترجاع في 2020-08-17 .
^ جاكوبس 1974، ص 97.
^ ويليس، كلارنس أديسون (1922). الهندسة المستوية. ابن بلاكيستون. ص 8.
^ هندرسون وتيمينا 2005، ص. 104.
^ abc جونسون، روجر أ. الهندسة الإقليدية المتقدمة ، منشورات دوفر، 2007.
^ D. Zwillinger, ed. (1995), CRC Standard Mathematical Tables and Formulae , بوكا راتون، فلوريدا: CRC Press، ص 270كما ورد في Weisstein, Eric W. "Exterior Angle". MathWorld .
^ المكتب الدولي للأوزان والمقاييس (20 مايو 2019)، النظام الدولي للوحدات (SI) (PDF) (الطبعة التاسعة)، ISBN 978-92-822-2272-0, تم أرشفته من الأصل في 18 أكتوبر 2021
^ ديميتريتش، رادوسلاف م. (2012). "حول الزوايا وقياس الزوايا" (PDF) . تدريس الرياضيات . XV (2): 133–140. مؤرشف (PDF) من الأصل في 2019-01-17 . تم الاسترجاع في 2019-08-06 .
^ "وحدة الزاوية". TheFreeDictionary.com . تم الاسترجاع في 2020-08-31 .
^ ab "دليل مبرمج ooPIC - الفصل 15: URCP". دليل ooPIC والمواصفات الفنية - مُجمِّع ooPIC الإصدار 6.0 . Savage Innovations, LLC. 2007 [1997]. مؤرشف من الأصل في 2008-06-28 . تم الاسترجاع في 2019-08-05 .
^ Hargreaves, Shawn [باللغة البولندية] . "Angles, integers, and modulo arithmetic". blogs.msdn.com. مؤرشف من الأصل في 2019-06-30 . تم الاسترجاع في 2019-08-05 .
^ بونين، والتر (2016-01-11). "RE: WP-32S in 2016؟". متحف HP . مؤرشف من الأصل في 2019-08-06 . تم الاسترجاع في 2019-08-05 .
^ جينز، جيمس هوبود (1947). نمو العلوم الفيزيائية. أرشيف CUP. ص 7.
^ مورناجان، فرانسيس دومينيك (1946). الهندسة التحليلية . ص 2.
^ المكتب الدولي للأوزان والمقاييس 2019، ص 151: "الراديان الواحد يتوافق مع الزاوية التي يكون فيها $s = r$ "
^ المكتب الدولي للأوزان والمقاييس 2019، ص 151.
^ كوينسي 2016، ص 844: "كما أشير إليه في موهر وفيليبس 2015، يمكن تعريف الراديان من حيث المساحة A للقطاع ( $A = ⁠ 1 / 2 ⁠ θ r 2$ )، وفي هذه الحالة يكون لها الوحدات m² ⋅m⁻² ."
^ المكتب الدولي للأوزان والمقاييس 2019، ص 151: "الراديان الواحد يتوافق مع الزاوية التي يكون فيها $s = r$ ، وبالتالي فإن $1 راديان = 1.$ "
^ المكتب الدولي للأوزان والمقاييس 2019، ص 137.
^ بريدجمان، بيرسي ويليامز (1922). التحليل البعدي. نيو هافن: مطبعة جامعة ييل. السعة الزاوية للتأرجح [...] لا أبعاد.
^ براندو، جياكومو (أغسطس 2020). "وحدة طيفية". فيزياء الطبيعة . 16 (8): 888. رمز Bibcode : 2020NatPh..16..888P. doi : 10.1038/s41567-020-0997-3 . S2CID 225445454.
^ ليونارد، ويليام ج. (1999). عقول في الفيزياء: مواضيع متقدمة في الميكانيكا. كيندال هانت. ص 262. ISBN 978-0-7872-5412-4.
^ French, Anthony P. (مايو 1992). "ماذا يحدث لـ "الراديان"؟ (تعليق)". The Physics Teacher . 30 (5): 260–261. doi :10.1119/1.2343535.
^ Oberhofer, ES (مارس 1992). "ماذا يحدث لـ "الراديان"؟". مدرس الفيزياء . 30 (3): 170–171. Bibcode :1992PhTea..30..170O. doi :10.1119/1.2343500.
^ Aubrecht, Gordon J.; French, Anthony P.; Iona, Mario; Welch, Daniel W. (فبراير 1993). "الراديان—تلك الوحدة المزعجة". The Physics Teacher . 31 (2): 84–87. Bibcode :1993PhTea..31...84A. doi :10.1119/1.2343667.
^ Brinsmade 1936؛ Romain 1962؛ Eder 1982؛ Torrens 1986؛ Brownstein 1997؛ Lévy-Leblond 1998؛ Foster 2010؛ Mills 2016؛ Quincey 2021؛ Leonard 2021؛ Mohr et al. 2022
^ موهر وفيليبس 2015.
^ abcd Quincey, Paul; Brown, Richard JC (1 June 2016). "Implications of adoption plane angle as a base amount in the SI". Metrologia . 53 (3): 998–1002. arXiv : 1604.02373 . Bibcode :2016Metro..53..998Q. doi :10.1088/0026-1394/53/3/998. S2CID 119294905.
^ بواسطة كوينسي 2016.
^ بواسطة تورينس 1986.
^ موهر وآخرون. 2022، ص 6.
^ موهر وآخرون. 2022، ص 8-9.
^ كوينسي 2021.
^ كوينسي، بول؛ براون، ريتشارد جيه سي (1 أغسطس 2017). "نهج أكثر وضوحًا لتحديد أنظمة الوحدات". مترولوجيا . 54 (4): 454-460. arXiv : 1705.03765 . Bibcode :2017Metro..54..454Q. doi :10.1088/1681-7575/aa7160. S2CID 119418270.
^ Schabel, Matthias C.; Watanabe, Steven. "Boost.Units FAQ – 1.79.0". www.boost.org . تم الاسترجاع في 5 مايو 2022 . يتم التعامل مع الزوايا كوحدات
^ موهر وآخرون. 2022، ص 3.
^ "UnityDimensions—Wolfram Language Documentation". reference.wolfram.com . تم الاسترجاع في 1 يوليو 2022 .
^ "Mathwords: Reference Angle". www.mathwords.com . مؤرشف من الأصل في 23 أكتوبر 2017 . تم الاسترجاع 26 أبريل 2018 .
^ McKeague, Charles P. (2008). Trigonometry (الطبعة السادسة). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ص. 110. ISBN 978-0495382607.
^ تشيشولم 1911؛ هايبرغ 1908، ص. 178
^ روبرت بالدوين هايوارد (1892) جبر المتجهات المستوية وعلم المثلثات، الفصل السادس

فهرس

أبوغانتوس، تشارلز هـ. (2010)، دورة أولى في الهندسة المستوية الإقليدية في المدرسة الثانوية، دار النشر العالمية، رقم ISBN 978-1-59942-822-2
برينسميد، جيه بي (ديسمبر 1936). "الزوايا المستوية والصلبة. قيمتها التربوية عند تقديمها صراحة". المجلة الأمريكية للفيزياء . 4 (4): 175-179. رمز Bibcode : 1936AmJPh...4..175B. doi : 10.1119/1.1999110.
براونشتاين، كيه آر (يوليو 1997). "الزوايا - دعونا نتعامل معها بشكل مباشر". المجلة الأمريكية للفيزياء . 65 (7): 605-614. رمز المرجع : 1997AmJPh..65..605B. doi : 10.1119/1.18616 .
إيدر، دبليو إي (يناير 1982). "وجهة نظر حول كمية "الزاوية المستوية"". مترولوجيا . 18 (1): 1–12. بيب كود :1982Metro..18....1E. دوى :10.1088/0026-1394/18/1/002. S2CID 250750831.
فوستر، ماركوس ب (1 ديسمبر 2010). "السنوات الخمسون القادمة من النظام الدولي للوحدات: مراجعة للفرص المتاحة لعصر العلوم الإلكترونية". مترولوجيا . 47 (6): R41–R51. doi :10.1088/0026-1394/47/6/R01. S2CID 117711734.
جودفري، تشارلز؛ سيدونز، أ.و (1919)، الهندسة الأولية: العملية والنظرية (الطبعة الثالثة)، مطبعة جامعة كامبريدج
هندرسون، ديفيد دبليو؛ تايمينا، داينا (2005)، تجربة الهندسة / الإقليدية وغير الإقليدية مع التاريخ (الطبعة الثالثة)، بيرسون برنتيس هول، ص. 104، رقم ISBN 978-0-13-143748-7
هيبرج، يوهان لودفيج (1908)، هيث، تي إل (محرر)، إقليدس، الكتب الثلاثة عشر لعناصر إقليدس، المجلد 1، كامبريدج : مطبعة جامعة كامبريدج.
جاكوبس، هارولد ر. (1974)، الهندسة ، دبليو إتش فريمان، ص 97، 255، رقم ISBN 978-0-7167-0456-0
ليونارد، بي بي (1 أكتوبر 2021). "اقتراح للمعالجة المتسقة الأبعاد للزاوية والزاوية الصلبة بواسطة النظام الدولي للوحدات (SI)". مترولوجيا . 58 (5): 052001. رمز Bibcode : 2021Metro..58e2001L. doi : 10.1088/1681-7575/abe0fc. S2CID 234036217.
ليفي-ليبلوند، جان-مارك (سبتمبر 1998). "الزوايا ذات الأبعاد والثوابت العالمية". المجلة الأمريكية للفيزياء . 66 (9): 814-815. رمز المرجع : 1998AmJPh..66..814L. doi : 10.1119/1.18964.
ميلز، إيان (1 يونيو 2016). "حول وحدات الراديان والدورة لزاوية المستوى الكمي". مترولوجيا . 53 (3): 991-997. رمز Bibcode : 2016Metro..53..991M. doi : 10.1088/0026-1394/53/3/991. S2CID 126032642.
موهر، بيتر جيه؛ فيليبس، ويليام دي (1 فبراير 2015). "الوحدات عديمة الأبعاد في النظام الدولي للوحدات". مترولوجيا . 52 (1): 40-47. arXiv : 1409.2794 . Bibcode :2015Metro..52...40M. doi : 10.1088/0026-1394/52/1/40 .
موهر، بيتر جيه؛ شيرلي، إريك إل؛ فيليبس، ويليام دي؛ تروت، مايكل (23 يونيو 2022). "حول أبعاد الزوايا ووحداتها". مترولوجيا . 59 (5): 053001. arXiv : 2203.12392 . Bibcode : 2022Metro..59e3001M. doi : 10.1088/1681-7575/ac7bc2 .
موسر، جيمس م. (1971)، الهندسة الأولية الحديثة، برنتيس هول
كوينسي، بول (1 أبريل 2016). "مجموعة الخيارات للتعامل مع الزاوية المستوية والزاوية الصلبة ضمن نظام الوحدات". Metrologia . 53 (2): 840–845. Bibcode :2016Metro..53..840Q. doi :10.1088/0026-1394/53/2/840. S2CID 125438811.
كوينسي، بول (1 أكتوبر 2021). "الزوايا في النظام الدولي للوحدات: اقتراح مفصل لحل المشكلة". Metrologia . 58 (5): 053002. arXiv : 2108.05704 . Bibcode : 2021Metro..58e3002Q. doi : 10.1088/1681-7575/ac023f. S2CID 236547235.
رومان، جاك إي. (يوليو 1962). "الزاوية ككمية أساسية رابعة". مجلة أبحاث المكتب الوطني للمعايير القسم ب . 66 ب (3): 97. doi : 10.6028/jres.066B.012 .
سيدوروف، ل. أ. (2001) [1994]، "الزاوية"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS
سلوكوم، جوناثان (2007)، معجم هندو-أوروبي أولي — بيانات برنامج بوكورني PIE، قسم الأبحاث بجامعة تكساس: مركز أبحاث اللغويات ، مؤرشف من الأصل في 27 يونيو 2010 ، تم استرجاعه في 2 فبراير 2010
شوت، ويليام جيه؛ شيرك، ويليام دبليو؛ بورتر، جورج إف (1960)، الهندسة المستوية والصلبة ، شركة الكتب الأمريكية، ص 25-27
تورينس، إيه بي (1 يناير 1986). "حول الزوايا والكميات الزاوية". مترولوجيا . 22 (1): 1-7. رمز Bibcode :1986Metro..22....1T. doi :10.1088/0026-1394/22/1/002. S2CID 250801509.
وونغ، تاك-واه؛ وونغ، مينغ-سيم (2009)، "الزوايا في الخطوط المتقاطعة والمتوازية"، نيو سينتشري ماثيماتيكس ، المجلد 1ب (طبعة واحدة)، هونج كونج: مطبعة جامعة أكسفورد، ص 161-163، رقم ISBN 978-0-19-800177-5

تتضمن هذه المقالة نصًا من منشور أصبح الآن في المجال العام : Chisholm, Hugh , ed. (1911), "Angle", Encyclopædia Britannica , vol. 2 (11th ed.), Cambridge University Press, p. 14

روابط خارجية

"الزاوية" ، الموسوعة البريطانية ، المجلد 2 (الطبعة التاسعة)، 1878، ص 29-30

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[22] ومع ذلك، يتطلب هذا النهج إثباتًا إضافيًا بأن قياس الزاوية لا يتغير مع تغيير نصف القطر $r$ ، بالإضافة إلى مسألة "وحدات القياس المختارة". النهج الأكثر سلاسة هو قياس الزاوية بطول قوس الدائرة الوحدوية المقابل. هنا يمكن اختيار "الوحدة" لتكون بلا أبعاد بمعنى أنها الرقم الحقيقي 1 المرتبط بالقطعة الوحدوية على الخط الحقيقي. انظر رادوسلاف م. ديميتريتش، على سبيل المثال. ^[21]

[44] تتضمن المقترحات الأخرى الاختصار "rad" (Brinsmade 1936)، والترميز (Romain 1962)، والثوابت ם (Brownstein 1997)، ◁ (Lévy-Leblond 1998)، k (Foster 2010)، θ _C (Quincey 2021)، و (Mohr et al. 2022). $\langle \theta \rangle$ ${\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}$

[1] سيدوروف 2001

[2] سلوكوم 2007

[3] تشيشولم 1911؛ ^ هايبرغ 1908، ص 177-178

[FOOTNOTEAboughantous201018-4] أبوغانتوس 2010، ص 18.

[FOOTNOTEMoser197141-5] Moser 1971، ص 41.

[FOOTNOTEGodfreySiddons19199-6] أ ب جودفري وسيدونز 1919، ص. 9.

[FOOTNOTEMoser197171-7] موزر 1971، ص 71.

[tb-8] وونغ وونغ 2009، ص 161 – 163

[9] إقليدس . العناصر .الاقتراح الأول: 13.

[FOOTNOTEShuteShirkPorter196025–27-10] Shute, Shirk & Porter 1960، ص 25-27.

[FOOTNOTEJacobs1974255-11] جاكوبس 1974، ص 255.

[12] "الزوايا التكميلية". www.mathsisfun.com . تم الاسترجاع في 2020-08-17 .

[Chisholm_1911-13] من تشيشولم 1911

[14] "الزوايا التكميلية". www.mathsisfun.com . تم الاسترجاع في 2020-08-17 .

[FOOTNOTEJacobs197497-15] جاكوبس 1974، ص 97.

[16] ويليس، كلارنس أديسون (1922). الهندسة المستوية. ابن بلاكيستون. ص 8.

[FOOTNOTEHendersonTaimina2005104-17] هندرسون وتيمينا 2005، ص. 104.

[Johnson-18] جونسون، روجر أ. الهندسة الإقليدية المتقدمة ، منشورات دوفر، 2007.

[19] D. Zwillinger, ed. (1995), CRC Standard Mathematical Tables and Formulae , بوكا راتون، فلوريدا: CRC Press، ص 270كما ورد في Weisstein, Eric W. "Exterior Angle". MathWorld .

[SIBrochure9thEd-20] المكتب الدولي للأوزان والمقاييس (20 مايو 2019)، النظام الدولي للوحدات (SI) (PDF) (الطبعة التاسعة)، ISBN 978-92-822-2272-0, تم أرشفته من الأصل في 18 أكتوبر 2021

[Dimitric_2012-21] ديميتريتش، رادوسلاف م. (2012). "حول الزوايا وقياس الزوايا" (PDF) . تدريس الرياضيات . XV (2): 133–140. مؤرشف (PDF) من الأصل في 2019-01-17 . تم الاسترجاع في 2019-08-06 .

[23] "وحدة الزاوية". TheFreeDictionary.com . تم الاسترجاع في 2020-08-31 .

[ooPIC-24] "دليل مبرمج ooPIC - الفصل 15: URCP". دليل ooPIC والمواصفات الفنية - مُجمِّع ooPIC الإصدار 6.0 . Savage Innovations, LLC. 2007 [1997]. مؤرشف من الأصل في 2008-06-28 . تم الاسترجاع في 2019-08-05 .

[Hargreaves_2010-25] Hargreaves, Shawn [باللغة البولندية] . "Angles, integers, and modulo arithmetic". blogs.msdn.com. مؤرشف من الأصل في 2019-06-30 . تم الاسترجاع في 2019-08-05 .

[Bonin_2016-26] بونين، والتر (2016-01-11). "RE: WP-32S in 2016؟". متحف HP . مؤرشف من الأصل في 2019-08-06 . تم الاسترجاع في 2019-08-05 .

[Jeans_1947-27] جينز، جيمس هوبود (1947). نمو العلوم الفيزيائية. أرشيف CUP. ص 7.

[Murnaghan_1946-28] مورناجان، فرانسيس دومينيك (1946). الهندسة التحليلية . ص 2.

[29] المكتب الدولي للأوزان والمقاييس 2019، ص 151: "الراديان الواحد يتوافق مع الزاوية التي يكون فيها $s = r$ "

[FOOTNOTEInternational_Bureau_of_Weights_and_Measures2019151-30] المكتب الدولي للأوزان والمقاييس 2019، ص 151.

[31] كوينسي 2016، ص 844: "كما أشير إليه في موهر وفيليبس 2015، يمكن تعريف الراديان من حيث المساحة A للقطاع ( $A = ⁠ 1 / 2 ⁠ θ r 2$ )، وفي هذه الحالة يكون لها الوحدات m² ⋅m⁻² ."

[32] المكتب الدولي للأوزان والمقاييس 2019، ص 151: "الراديان الواحد يتوافق مع الزاوية التي يكون فيها $s = r$ ، وبالتالي فإن $1 راديان = 1.$ "

[FOOTNOTEInternational_Bureau_of_Weights_and_Measures2019137-33] المكتب الدولي للأوزان والمقاييس 2019، ص 137.

[34] بريدجمان، بيرسي ويليامز (1922). التحليل البعدي. نيو هافن: مطبعة جامعة ييل. السعة الزاوية للتأرجح [...] لا أبعاد.

[35] براندو، جياكومو (أغسطس 2020). "وحدة طيفية". فيزياء الطبيعة . 16 (8): 888. رمز Bibcode : 2020NatPh..16..888P. doi : 10.1038/s41567-020-0997-3 . S2CID 225445454.

[36] ليونارد، ويليام ج. (1999). عقول في الفيزياء: مواضيع متقدمة في الميكانيكا. كيندال هانت. ص 262. ISBN 978-0-7872-5412-4.

[37] French, Anthony P. (مايو 1992). "ماذا يحدث لـ "الراديان"؟ (تعليق)". The Physics Teacher . 30 (5): 260–261. doi :10.1119/1.2343535.

[38] Oberhofer, ES (مارس 1992). "ماذا يحدث لـ "الراديان"؟". مدرس الفيزياء . 30 (3): 170–171. Bibcode :1992PhTea..30..170O. doi :10.1119/1.2343500.

[39] Aubrecht, Gordon J.; French, Anthony P.; Iona, Mario; Welch, Daniel W. (فبراير 1993). "الراديان—تلك الوحدة المزعجة". The Physics Teacher . 31 (2): 84–87. Bibcode :1993PhTea..31...84A. doi :10.1119/1.2343667.

[40] Brinsmade 1936؛ Romain 1962؛ Eder 1982؛ Torrens 1986؛ Brownstein 1997؛ Lévy-Leblond 1998؛ Foster 2010؛ Mills 2016؛ Quincey 2021؛ Leonard 2021؛ Mohr et al. 2022

[FOOTNOTEMohrPhillips2015-41] موهر وفيليبس 2015.

[Radian_Quincey-42] Quincey, Paul; Brown, Richard JC (1 June 2016). "Implications of adoption plane angle as a base amount in the SI". Metrologia . 53 (3): 998–1002. arXiv : 1604.02373 . Bibcode :2016Metro..53..998Q. doi :10.1088/0026-1394/53/3/998. S2CID 119294905.

[FOOTNOTEQuincey2016-43] بواسطة كوينسي 2016.

[FOOTNOTETorrens1986-45] بواسطة تورينس 1986.

[FOOTNOTEMohrShirleyPhillipsTrott20226-46] موهر وآخرون. 2022، ص 6.

[FOOTNOTEMohrShirleyPhillipsTrott20228–9-47] موهر وآخرون. 2022، ص 8-9.

[FOOTNOTEQuincey2021-48] كوينسي 2021.

[49] كوينسي، بول؛ براون، ريتشارد جيه سي (1 أغسطس 2017). "نهج أكثر وضوحًا لتحديد أنظمة الوحدات". مترولوجيا . 54 (4): 454-460. arXiv : 1705.03765 . Bibcode :2017Metro..54..454Q. doi :10.1088/1681-7575/aa7160. S2CID 119418270.

[50] Schabel, Matthias C.; Watanabe, Steven. "Boost.Units FAQ – 1.79.0". www.boost.org . تم الاسترجاع في 5 مايو 2022 . يتم التعامل مع الزوايا كوحدات

[FOOTNOTEMohrShirleyPhillipsTrott20223-51] موهر وآخرون. 2022، ص 3.

[52] "UnityDimensions—Wolfram Language Documentation". reference.wolfram.com . تم الاسترجاع في 1 يوليو 2022 .

[53] "Mathwords: Reference Angle". www.mathwords.com . مؤرشف من الأصل في 23 أكتوبر 2017 . تم الاسترجاع 26 أبريل 2018 .

[54] McKeague, Charles P. (2008). Trigonometry (الطبعة السادسة). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ص. 110. ISBN 978-0495382607.

[55] تشيشولم 1911؛ هايبرغ 1908، ص. 178

[56] روبرت بالدوين هايوارد (1892) جبر المتجهات المستوية وعلم المثلثات، الفصل السادس

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗