تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء

يمكن تقسيم الزوايا إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام طريقة النيوسيس، $وذلك$ باستخدام أدوات أخرى غير المسطرة غير المدرجة والفرجار. يوضح المثال تقسيم أي زاوية $θ > 3π / 4 إلى$ ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام مسطرة طولها يساوي نصف قطر الدائرة، مما ينتج عنه زاوية مقسمة إلى ثلاثة أجزاء $متساوية$ $φ = θ / 3 .$

تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء هو إنشاء زاوية تساوي ثلث زاوية معينة، باستخدام أداتين فقط: مسطرة غير مدرجة وفرجار . وهي مسألة كلاسيكية في الرياضيات اليونانية القديمة ، تعتمد على المسطرة والفرجار .

في عام 1837، أثبت بيير وانتزل أن المسألة، كما هي مطروحة، مستحيلة الحل لأي زاوية. ومع ذلك، يمكن تقسيم بعض الزوايا الخاصة إلى ثلاثة أجزاء متساوية: على سبيل المثال، من السهل تقسيم الزاوية القائمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية .

من الممكن تقسيم أي زاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام أدوات أخرى غير المسطرة والفرجار. على سبيل المثال، تتضمن طريقة "النيوسيس" ، المعروفة لدى الإغريق القدماء، تحريك وتدوير مسطرة مُدرَّجة في آنٍ واحد، وهو ما لا يمكن تحقيقه باستخدام الأدوات الأصلية. وقد طوّر علماء الرياضيات تقنيات أخرى على مرّ القرون.

نظرًا لبساطة تعريفها، وصعوبة إثبات عدم حلها، تُعدّ مسألة تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء موضوعًا متكررًا لمحاولات حلها من قِبل هواة غير متمرسين في الرياضيات. غالبًا ما تنطوي هذه "الحلول" على تفسيرات خاطئة للقواعد، أو تكون ببساطة غير صحيحة. ^{[ 1 ]}

الخلفية وبيان المشكلة

تنصيف الزاوية باستخدام الفرجار والمسطرة. يُستخدم الفرجار لرسم قوس مركزه رأس الزاوية، ثم قوسان متساويان في الطول مركزهما نقطة تقاطع القوس الأول مع ضلعي الزاوية؛ ثم تُستخدم المسطرة لرسم خط يمر بنقطتي تقاطع القوسين الأخيرين، مما يقسم الزاوية إلى نصفين بشكل دقيق. — لقد تم حل مسألة تنصيف الزوايا العشوائية منذ زمن طويل.

باستخدام مسطرة غير مدرجة وفرجار فقط ، وجد علماء الرياضيات اليونانيون وسائل لتقسيم خط إلى مجموعة عشوائية من القطع المتساوية، ورسم خطوط متوازية ، وتنصيف الزوايا ، وإنشاء العديد من المضلعات ، وإنشاء مربعات تساوي أو تساوي ضعف مساحة مضلع معين.

ثلاث مسائل عجزنا عن حلها، وهي تحديدًا: تثليث الزاوية، ومضاعفة المكعب ، وتربيع الدائرة . وتُكتب مسألة تثليث الزاوية على النحو التالي:

قم بإنشاء زاوية تساوي ثلث زاوية معينة عشوائية (أو قسّمها إلى ثلاث زوايا متساوية)، باستخدام أداتين فقط:

مسطرة غير مُعلَّمة، و
بوصلة.

إثبات الاستحالة

المساطر . المساطر المعروضة عليها علامات، أما المسطرة المثالية فهي غير مُعلّمة.

نشر بيير وانتزل برهانًا على استحالة تقسيم زاوية عشوائية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام الطرق الكلاسيكية في عام 1837. ^{[ 2 ]} يستخدم برهان وانتزل، الذي أعيدت صياغته بمصطلحات حديثة، مفهوم امتدادات الحقول ، وهو موضوع يُدمج عادةً مع نظرية غالوا . مع ذلك، نشر وانتزل هذه النتائج قبل إيفاريست غالوا (الذي لم يُنشر عمله، الذي كُتب عام 1830، حتى عام 1846)، ولم يستخدم المفاهيم التي قدمها غالوا. ^{[ 3 ]}

تُكافئ مسألة إنشاء زاوية قياسها $θ$ إنشاء قطعتين مستقيمتين بحيث تكون نسبة طوليهما $cos θ$ . ويمكن الانتقال من حل إحدى هاتين المسألتين إلى حل الأخرى باستخدام الفرجار والمسطرة. وتُعطي صيغة الزاوية الثلاثية تعبيرًا يربط $بين$ جيب تمام الزاوية الأصلية وتثليثها: $cos θ$ = $4$ cos $3$ $θ$ $/$ $3$ $-$ $3$ $cos$ $θ$ $/$ $3$ $.$

وبناءً على ذلك، فإنه عند إعطاء قطعة مستقيمة ذات طول وحدة واحدة، فإن مسألة تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية تُكافئ إنشاء قطعة مستقيمة طولها جذر معادلة تكعيبية . هذا التكافؤ يُحوّل المسألة الهندسية الأصلية إلى مسألة جبرية بحتة.

كل عدد نسبي قابل للإنشاء. كل عدد غير نسبي قابل للإنشاء في خطوة واحدة من أعداد معينة هو جذر لكثير حدود من الدرجة الثانية بمعاملات في الحقل الناتج عن هذه الأعداد. بالتالي، أي عدد قابل للإنشاء بتسلسل من الخطوات هو جذر لكثير حدود أدنى درجته قوة من قوى العدد اثنين . الزاوية $π$ $/$ $3$ راديان (60 درجة ، تُكتب 60°) قابلة للإنشاء . يُبين البرهان التالي أنه من المستحيل إنشاء زاوية $قياسها$ $20°. هذا يعني أن زاوية قياسها$ 60° لا يمكن تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية، وبالتالي لا يمكن تقسيم أي زاوية أخرى إلى ثلاثة أجزاء متساوية.

لنرمز إلى مجموعة الأعداد النسبية بالرمز $Q.$ إذا أمكن تقسيم الزاوية 60° إلى ثلاثة أجزاء متساوية، فإن درجة متعددة الحدود الدنيا لـ $cos 20°$ على $Q$ ستكون قوة للعدد اثنين. الآن، لنفترض $أن$ $x = cos 20°$ $.$ لاحظ أن $cos 60°$ = $cos π / 3 =$ $1/2$ $.$ إذن ، باستخدام صيغة الزاوية الثلاثية $،$ $cos$ $π$ $/$ $3$ $=$ $4x³$ $-$ $3x$ $،$ وبالتالي $4x³$ $-$ $3x$ $=$ $1/2$ $.$ $ومن$ ثم $،$ $8x³$ $-$ $6x$ $-$ $1$ $=$ $0.$ لنُعرّف $p$ $($ $t$ $)$ $على$ أنها $متعددة$ $الحدود$ $p$ $($ $t$ $)$ $=$ $8t³$ $-$ $6t$ $-$ $1$ $.$

بما أن $x = cos 20°$ هو جذر للمعادلة $p (t)$ ، فإن الحد الأدنى لكثير الحدود لـ $cos 20°$ $هو$ عامل من عوامل $p (t)$ . ولأن $p (t)$ من الدرجة الثالثة، فإذا كانت قابلة للاختزال على $Q،$ $فإن$ لها جذرًا نسبيًا $.$ وبحسب نظرية الجذر النسبي $،$ يجب أن يكون هذا الجذر $\pm1، أو \pm$ $1/2$ $،$ $أو$ $\pm$ $1/4$ $،$ $أو$ ± $1/8$ $،$ $ولكن$ لا يوجد جذر من بين هذه القيم. لذلك، $فإن$ p $(t) غير$ قابلة للاختزال على $Q ، وبالتالي$ $فإن$ الحد الأدنى لكثير الحدود لـ $cos$ $20°$ من الدرجة $الثالثة$ .

لذا لا يمكن تقسيم زاوية قياسها $60 درجة إلى ثلاثة أجزاء متساوية.$

الزوايا التي يمكن تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية

مع ذلك، يمكن تقسيم بعض الزوايا إلى ثلاثة أجزاء متساوية. على سبيل المثال، لأي زاوية قابلة للإنشاء $θ$ ، يمكن تقسيم زاوية قياسها $3θ إلى$ $ثلاثة أجزاء متساوية بسهولة عن طريق تجاهل الزاوية المعطاة وإنشاء زاوية قياسها θ مباشرةً. وهناك زوايا غير قابلة للإنشاء ولكنها قابلة للتقسيم إلى ثلاثة أجزاء متساوية (على الرغم من أن ثلث الزاوية نفسه غير قابل للإنشاء). على سبيل المثال، 3π/7$ $هي$ $إحدى$ هذه $الزوايا$ $:$ $خمس$ زوايا $قياس$ $كل$ $منها$ 3π / $7$ $تتحد$ $لتكوين$ $زاوية$ $قياسها$ $15π$ / $7$ $،$ $وهي$ $دائرة$ كاملة بالإضافة إلى $الزاوية$ $المطلوبة$ $π$ $/$ $7$ $.$

بالنسبة لعدد صحيح موجب $N ،$ $تكون$ الزاوية التي قياسها $2π$ $/$ $N$ قابلة للتقسيم إلى ثلاثة أجزاء متساوية $إذا$ $وفقط$ إذا كان $3$ لا يقسم $N.$ ^[⁴^]^[⁵^] في المقابل، $تكون الزاوية$ $2π$ $/$ $N$ $قابلة$ للإنشاء إذا وفقط إذا كان $N$ قوة للعدد $2$ أو حاصل ضرب قوة للعدد $2$ في حاصل ضرب عدد أولي واحد أو أكثر من أعداد $فيرما$ المختلفة .

التوصيف الجبري

مرة أخرى ، نرمز إلى مجموعة الأعداد النسبية بالرمز $Q.$

النظرية : يمكن تقسيم زاوية قياسها $θ$ إلى ثلاثة أجزاء إذا وفقط إذا كان $q (t) = 4 t 3 - 3 t - cos(θ)$ قابلاً للاختزال على امتداد الحقل $Q (cos(θ))$ .

البرهان هو تعميم مباشر نسبياً للبرهان المذكور أعلاه بأن الزاوية $60 درجة$ لا يمكن تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية . ^[⁶^]

أجزاء أخرى

لأي عدد صحيح غير صفري $N، يمكن تقسيم زاوية قياسها 2π/N$ $راديان$ إلى n $جزءًا متساويًا باستخدام$ $المسطرة$ والفرجار إذا وفقط إذا كان $n$ إما قوة للعدد $2$ أو قوة للعدد $2$ مضروبة في حاصل ضرب عدد أولي واحد أو أكثر من أعداد فيرما المختلفة، لا يقسم أي منها $N.$ في حالة التثليث (حيث $n = 3$ ، وهو عدد أولي من أعداد فيرما)، يصبح هذا الشرط هو الشرط المذكور أعلاه بأن $N$ لا يقبل القسمة على $3.$ ^{[ 5 ]}

طرق أخرى

يمكن حل المشكلة العامة المتمثلة في تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء باستخدام أدوات إضافية، وبالتالي الخروج عن الإطار اليوناني الأصلي للفرجار والمسطرة.

طُرحت العديد من الطرق غير الصحيحة لتقسيم الزاوية العامة إلى ثلاثة أجزاء متساوية. بعض هذه الطرق تُقدّم تقريبات معقولة، بينما يستخدم البعض الآخر (بعضها مذكور أدناه) أدوات غير مسموح بها في المسألة الكلاسيكية. وقد فصّل عالم الرياضيات أندروود دادلي بعض هذه المحاولات الفاشلة في كتابه " المقسّمات الثلاثية" . ^{[ 1 ]}

التقريب عن طريق التنصيفات المتتالية

يمكن تقريب عملية التثليث بتكرار طريقة الفرجار ^{والمسطرة}المستخدمة^لتقسيم^{الزاوية} إلى نصفين . ويمكن استخدام المتسلسلة الهندسية 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... أو 1/3 = 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ... كأساس للتقسيم إلى نصفين . ويمكن الحصول على تقريب بأي درجة من الدقة في عدد محدود من الخطوات . [ 7 ]

استخدام فن الأوريغامي

يمكن إنجاز عملية التثليث، مثل العديد من العمليات التي يستحيل إجراؤها باستخدام المسطرة والفرجار، بسهولة عن طريق طي الورق، أو فن الأوريغامي . ويمكن لمسلمات هوزيتا (أنواع عمليات الطي) أن تُنشئ امتدادات تكعيبية (جذور تكعيبية) بأطوال معينة، بينما لا يمكن للمسطرة والفرجار أن تُنشئ إلا امتدادات تربيعية (جذور تربيعية).

استخدام وصلة

توجد عدة وصلات بسيطة يمكن استخدامها لصنع أداة لتثليث الزوايا، بما في ذلك أداة كيمب لتثليث الزوايا ومروحة وصلات سيلفستر أو جهاز قياس الزوايا المتساوية. ^{[ 8 ]}

باستخدام مسطرة مثلثة قائمة الزاوية

في عام 1932، نشر لودفيج بيبرباخ في Journal für die reine und angewandte Mathematik عمله Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen . ^{[ 9 ]} وجاء فيه (ترجمة حرة):

" كما هو معروف... يمكن إرجاع كل بناء مكعب إلى تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء وإلى ضرب المكعب، أي استخراج الجذر الثالث. كل ما علي فعله هو توضيح كيفية حل هاتين المسألتين الكلاسيكيتين باستخدام خطاف الزاوية القائمة. "

تبدأ عملية الإنشاء برسم دائرة تمر برأس الزاوية المراد تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء $(P) ، ويكون مركزها النقطة$ $A$ على أحد أضلاع هذه الزاوية، وتكون $النقطة B$ هي نقطة تقاطعها الثانية مع الضلع. ثم تتقاطع دائرة أخرى مركزها النقطة $P$ ولها نفس نصف القطر مع الخط الواصل بين الضلعين $A$ و $O.$

الآن، يُوضع المسطرة المثلثية القائمة على الرسم بالطريقة التالية: يمر أحد ضلعي الزاوية القائمة بالنقطة $O$ ؛ ويُوضع رأس الزاوية القائمة عند النقطة $S$ على الخط $PC$ بحيث يكون الضلع الثاني للمسطرة مماسًا للدائرة التي مركزها $A عند النقطة$ $E.$ وبالتالي، تُقسّم الزاوية الأصلية إلى ثلاثة أجزاء متساوية بواسطة الخط $PE$ ، والخط $PD$ العمودي على $الخط SE$ والمار بالنقطة $P.$ يمكن رسم هذا الخط إما باستخدام المسطرة المثلثية القائمة مرة أخرى، أو باستخدام المسطرة والفرجار التقليديين . وباستخدام طريقة رسم مماثلة، يمكن تحسين موقع النقطة E $،$ بالاعتماد على كونها نقطة تقاطع الخط $SE$ مع عموده المار بالنقطة $A.$

البرهان: يجب إثبات تساوي الزوايا. ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}$ و ${\widehat {BPE}}={\widehat {EPD}}.$ الخطوط الثلاثة $OS$ و $PD$ و $AE$ متوازية. ولأن القطعتين المستقيمتين $OP$ و $PA$ متساويتان، فإن هذه الخطوط المتوازية الثلاثة تحدد قطعتين مستقيمتين متساويتين على كل قاطعين متجاورين، وبالأخص على عمودهما المشترك $SE$ . وبالتالي، فإن $SD$ $' = D' E ،$ حيث $D'$ هي نقطة تقاطع الخطين $PD$ و $SE$ . ومن ثم، فإن $المثلثين$ $القائمين$ PD $'S و$ PD'E $متطابقان$ ، وبالتالي $فإن$ ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},$ المساواة الأولى المطلوبة. من جهة أخرى، المثلث $PAE$ متساوي الساقين ، لأن جميع أنصاف أقطار الدائرة متساوية؛ وهذا يعني أن ${\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.$ أحدهم لديه أيضًا ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$ بما أن هاتين الزاويتين هما زاويتان متبادلتان لقاطع لخطين متوازيين، فإن هذا يثبت المساواة الثانية المطلوبة، وبالتالي صحة الإنشاء.

مع منحنى مساعد

التثليث باستخدام اللولب الأرخميدسي
التثليث باستخدام جهاز ماكلورين ثلاثي الأقسام

توجد منحنيات معينة تُسمى منحنيات التثليث ، والتي يمكن استخدامها لتثليث أي زاوية إذا رُسمت على المستوى باستخدام طرق أخرى. ^{[ 10 ]} ومن الأمثلة على ذلك منحنى التثليث لكولين ماكلورين ، المعطى في الإحداثيات الديكارتية بالمعادلة الضمنية التالية:

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),

واللولب الأرخميدسي . في الواقع، يمكن استخدام اللولب لتقسيم الزاوية إلى أي عدد من الأجزاء المتساوية. وقد وصف أرخميدس كيفية تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام اللولب الأرخميدسي في كتابه "عن اللوالب" حوالي عام 225 قبل الميلاد.

باستخدام مسطرة مدرجة

هناك طريقة أخرى لتقسيم زاوية عشوائية إلى ثلاثة أجزاء بخطوة "صغيرة" خارج الإطار اليوناني، وهي استخدام مسطرة ذات علامتين تفصل بينهما مسافة محددة. أما الطريقة التالية، فهي من ابتكار أرخميدس ، وتُسمى طريقة نيوسيس ، أي أنها تستخدم أدوات أخرى غير المسطرة غير المُدرجة . تُظهر الرسوم البيانية التي نستخدمها هذه الطريقة للزاوية الحادة، ولكنها في الواقع تُجدي نفعًا مع أي زاوية تصل إلى 180 درجة.

يتطلب هذا ثلاث حقائق من الهندسة (على اليمين):

أي مجموعة كاملة من الزوايا على خط مستقيم مجموعها يساوي 180 درجة.
مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة ، و
أي ضلعين متساويين في مثلث متساوي الساقين سيلتقيان بالضلع الثالث بنفس الزاوية .

ليكن $l$ الخط الأفقي في الرسم التوضيحي المجاور. الزاوية $a$ (يسار النقطة $B$ ) هي موضوع عملية التثليث. أولًا، نرسم نقطة $A على$ شعاع الزاوية ، على بُعد وحدة واحدة من $B.$ ثم نرسم دائرة نصف قطرها $AB$ . بعد ذلك، نستخدم علامات المسطرة: نضع علامة على $A$ والأخرى على $B.$ مع إبقاء المسطرة (دون العلامة) ملامسة لـ $A$ ، نحرك المسطرة ونديرها حتى تصبح إحدى العلامتين على الدائرة والأخرى على الخط $l$ . نُسمي العلامة على الدائرة $C$ والعلامة على الخط $D.$ هذا يضمن أن $CD = AB$ . نرسم نصف قطر $BC$ لتوضيح أن القطع المستقيمة $AB$ و $BC$ و $CD$ متساوية الطول. الآن، المثلثان $ABC$ و $BCD$ متساويا الساقين ، وبالتالي (بحسب الحقيقة 3 أعلاه) لكل منهما زاويتان متساويتان.

الفرضية : إذا كان $AD$ خطًا مستقيمًا، وكانت $AB$ و $BC$ و $CD$ جميعها متساوية في الطول،

الخلاصة : الزاوية $ب = أ / 3 . $

دليل :

من الحقيقة رقم 1 أعلاه، $e+c=180$ °.
بالنظر إلى المثلث BCD ، من الحقيقة 2) $e+2b=180$ °.
من المعادلتين الأخيرتين، $c=2b$ .
لذلك، $a=c+b=2b+b=3b$ .

وبذلك يتم إثبات النظرية .

مرة أخرى، تجاوز هذا البناء إطار البناءات المسموح بها باستخدام مسطرة محددة.

بخيط

نشر توماس هاتشيسون مقالاً في مجلة " معلم الرياضيات " ^{[ 11 ]} استخدم فيه خيطاً بدلاً من الفرجار والمسطرة. يمكن استخدام الخيط كمسطرة (بشده) أو كفرجار (بتحديد نقطة معينة ونقطة أخرى)، كما يمكن لفه حول أسطوانة، وهو ما يُعدّ مفتاح حل هاتشيسون.

قام هاتشيسون بإنشاء أسطوانة من الزاوية المراد تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية، وذلك برسم قوس يمر عبر الزاوية، ثم إكماله كدائرة، ومن تلك الدائرة أنشأ أسطوانة رُسم عليها، على سبيل المثال، مثلث متساوي الأضلاع (زاوية قياسها 360 درجة مقسمة إلى ثلاثة أجزاء). ثم تم "إسقاط" هذا المثلث على الزاوية المراد تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية، باستخدام برهان بسيط على تشابه المثلثات.

باستخدام "فأس توماهوك"

فأس توماهوك يقسم زاوية إلى ثلاثة أجزاء. يتكون الفأس من الخطوط السميكة ونصف الدائرة المظللة.

" الفأس " شكل هندسي يتكون من نصف دائرة وقطعتين مستقيمتين متعامدتين، بحيث يكون طول القطعة الأقصر مساويًا لنصف قطر الدائرة. يتم تقسيم الشكل إلى ثلاثة أجزاء متساوية عن طريق إسناد طرف القطعة الأقصر على أحد شعاعي الدائرة، وحافة الدائرة على الشعاع الآخر، بحيث يتقاطع "المقبض" (القطعة الأطول) مع رأس الزاوية؛ ويمتد خط التقسيم بين الرأس ومركز نصف الدائرة.

مع أن صنع فأس توماهوك ممكن باستخدام الفرجار والمسطرة، إلا أنه لا يمكن عمومًا صنعه بأي وضعية مطلوبة. لذا، فإن طريقة الصنع المذكورة أعلاه لا تتعارض مع عدم إمكانية تقسيم الزوايا إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام المسطرة والفرجار فقط.

بما أن الفأس يمكن استخدامه كمثلث قائم الزاوية ، فإنه يمكن استخدامه أيضًا لتقسيم الزوايا إلى ثلاثة أجزاء بالطريقة الموضحة في § باستخدام مسطرة مثلثة قائمة الزاوية .

تُنتج طريقة "التوماهوك" نفس التأثير الهندسي لطريقة طي الورق: المسافة بين مركز الدائرة وطرف القطعة الأقصر تساوي ضعف نصف القطر، مما يضمن ملامسة الزاوية. وهي تُعادل أيضًا استخدام مسطرة "L" المعمارية ( مسطرة النجار ).

بوصلات مترابطة

يمكن تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام جهاز هو في الأساس نسخة رباعية الشعب من البوصلة، مع وصلات بين الشعب مصممة للحفاظ على تساوي الزوايا الثلاث بين الشعب المتجاورة. ^{[ 12 ]}

استخدامات تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء

رسم متحرك لبنية نيوسيس لمضلع سباعي الأضلاع بنصف قطر دائرة محيطة ${\overline {OA}}=6$ ، استنادًا إلى أندرو إم. جليسون ، باستخدام تقسيم الزاوية الثلاثي بواسطة أداة توماهوك ^{[ 13 ]}^{: ص 186}

{\displaystyle {\overline {OA}}=6} — رسم متحرك لبنية نيوسيس لمضلع سباعي الأضلاع بنصف قطر دائرة محيطة ${\overline {OA}}=6$ ، استنادًا إلى أندرو إم. جليسون ، باستخدام تقسيم الزاوية الثلاثي بواسطة أداة توماهوك ^{[ 13 ]}^{: ص 186}

يمكن حل معادلة تكعيبية ذات معاملات حقيقية هندسيًا باستخدام الفرجار والمسطرة ومنصف الزاوية إذا وفقط إذا كان لها ثلاثة جذور حقيقية . ^[¹³^]^:^{نظرية 1}

يمكن إنشاء مضلع منتظم ذي n ضلعًا باستخدام المسطرة والفرجار ومنصف الزاوية إذا وفقط إذا $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ حيث r، s، k _≥ 0 وحيث pᵢ أعداد أولية مختلفة أكبر من 3 على الصورة $2^{t}3^{u}+1$ (أي أعداد بيربونت الأولية الأكبر من 3). ^{[ 13 ]}^{: نظرية 2}

انظر أيضاً

مراجع

1 2 دادلي، أندروود (1994)، المقسمات الثلاثية ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-88385-514-0(نُشرت في الأصل عام 1987 بعنوان "ميزانية التثليث ")
^ وانتزل ل. (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" [ التحقيقات في وسائل معرفة ما إذا كان يمكن حل مشكلة الهندسة باستخدام المسطرة والبوصلة ] (PDF) . مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 1 (باللغة الفرنسية). 2 : 366 – 372 – طريق نومدام .
↑ للاطلاع على الأساس التاريخي لبرهان وانتزل في العمل السابق لروفيني وآبل، وتوقيته بالنسبة لغالوا، انظر سمورينسكي، كريغ (2007)، تاريخ الرياضيات: ملحق ، سبرينغر، ص 130، ISBN 9780387754802.
↑ ماكهيل، ديزموند. "إنشاء الزوايا الصحيحة"، المجلة الرياضية 66، يونيو 1982، 144-145.
1 2 ماكلين، ك. روبن (يوليو 2008). " تقسيم الزوايا إلى ثلاثة أجزاء باستخدام المسطرة والفرجار" . المجلة الرياضية . 92 : 320-323 . doi : 10.1017/S0025557200183317 . S2CID 126351853. انظر أيضًا التعليقات على هذه المقالة في المجلد 93، مارس 2009، ص 156.
↑ ستيوارت، إيان (1989).نظرية غالواتشابمان وهول، الرياضيات. ص. 58. ISBN 978-0-412-34550-0.
↑ جيم لوي (2003) [1997]. "تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء" . مؤرشف من الأصل في 25 فبراير 2012. تم الاطلاع عليه في 30 مارس 2012 .
↑ ييتس، روبرت سي (1942). مسألة التثليث (ملف PDF) . المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات. الصفحات 39-42 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2022-10-09.
^ لودفيج بيبرباخ (1932) “Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen”، مجلة für die reine und angewandte Mathematik ، H. Hasse und L. Schlesinger، Band 167 Berlin، p. 142-146 نسخة على الإنترنت (GDZ) . تم الاسترجاع في 2 يونيو 2017.
↑ جيم لوي "تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء" . مؤرشف من الأصل في 4 نوفمبر 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 نوفمبر 2013 .
↑ هاتشيسون، توماس و. (مايو 2001). "تقسيم أي زاوية إلى أي عدد من الأجزاء المتساوية". معلم الرياضيات . 94 (5): 400-405 . doi : 10.5951/MT.94.5.0400 .
↑ إسحاق، روفوس، "ورقتان رياضيتان بدون كلمات"، مجلة الرياضيات 48، 1975، ص 198. أعيد طبعه في مجلة الرياضيات 78، أبريل 2005، ص 111.
1 2 3 غليسون، أندرو ماتي (مارس 1988). "تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء، والمضلع السباعي، والمضلع ذو الثلاثة عشر ضلعًا" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 95 (3): 185-194 . doi : 10.2307/2323624 . JSTOR 2323624. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 5 نوفمبر 2014.

للمزيد من القراءة

كورانت، ريتشارد، هربرت روبنز، إيان ستيوارت، ما هي الرياضيات؟: مدخل تمهيدي للأفكار والأساليب ، مطبعة جامعة أكسفورد، الولايات المتحدة الأمريكية، 1996. ISBN 978-0-19-510519-3.
دادلي، أندروود. (1983). "ماذا تفعل عندما يظهر المثلث الثلاثي؟". مجلة الذكاء الرياضي. 5 (1): 20-25. سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك. رابط

روابط خارجية

موقع ماث وورلد
المسائل الهندسية في العصور القديمة، بما في ذلك تقسيم الزوايا إلى ثلاثة أجزاء متساوية
بعض التاريخ
حلقة واحدة من بناء المسطرة المحددة
وذكر آخر أرخميدس
مقال طويل يتضمن العديد من التقريبات ويعني الخروج عن الإطار اليوناني
موقع هندسي

وسائل أخرى للتقسيم الثلاثي

تقسيم الزاوية التقريبي إلى ثلاثة أجزاء كرسوم متحركة، أقصى خطأ في الزاوية ≈ ±4E-8°
تقسيم ثلاثي باستخدام ( أرشيف 25-10-2009) ليماكون باسكال ؛ انظر أيضًا Trisectrix
تقسيم ثلاثي عبر حلزون أرخميدس
تقسيم ثلاثي عبر محارة نيكوميدس
موقع sciencenews.org حول استخدام فن طي الورق (الأوريغامي).
التثليث الزائدي وطيف المضلعات المنتظمة

[trisectors-1] 1 2 دادلي، أندروود (1994)، المقسمات الثلاثية ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-88385-514-0(نُشرت في الأصل عام 1987 بعنوان "ميزانية التثليث ")

[2] وانتزل ل. (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" [ التحقيقات في وسائل معرفة ما إذا كان يمكن حل مشكلة الهندسة باستخدام المسطرة والبوصلة ] (PDF) . مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 1 (باللغة الفرنسية). 2 : 366 – 372 – طريق نومدام .

[3] للاطلاع على الأساس التاريخي لبرهان وانتزل في العمل السابق لروفيني وآبل، وتوقيته بالنسبة لغالوا، انظر سمورينسكي، كريغ (2007)، تاريخ الرياضيات: ملحق ، سبرينغر، ص 130، ISBN 9780387754802.

[4] ماكهيل، ديزموند. "إنشاء الزوايا الصحيحة"، المجلة الرياضية 66، يونيو 1982، 144-145.

[McLean-5] 1 2 ماكلين، ك. روبن (يوليو 2008). " تقسيم الزوايا إلى ثلاثة أجزاء باستخدام المسطرة والفرجار" . المجلة الرياضية . 92 : 320-323 . doi : 10.1017/S0025557200183317 . S2CID 126351853. انظر أيضًا التعليقات على هذه المقالة في المجلد 93، مارس 2009، ص 156.

[Stewart-6] ستيوارت، إيان (1989).نظرية غالواتشابمان وهول، الرياضيات. ص. 58. ISBN 978-0-412-34550-0.

[7] جيم لوي (2003) [1997]. "تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء" . مؤرشف من الأصل في 25 فبراير 2012. تم الاطلاع عليه في 30 مارس 2012 .

[8] ييتس، روبرت سي (1942). مسألة التثليث (ملف PDF) . المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات. الصفحات 39-42 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2022-10-09.

[Ludwig_Bieberbach-9] لودفيج بيبرباخ (1932) “Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen”، مجلة für die reine und angewandte Mathematik ، H. Hasse und L. Schlesinger، Band 167 Berlin، p. 142-146 نسخة على الإنترنت (GDZ) . تم الاسترجاع في 2 يونيو 2017.

[10] جيم لوي "تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء" . مؤرشف من الأصل في 4 نوفمبر 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 نوفمبر 2013 .

[11] هاتشيسون، توماس و. (مايو 2001). "تقسيم أي زاوية إلى أي عدد من الأجزاء المتساوية". معلم الرياضيات . 94 (5): 400-405 . doi : 10.5951/MT.94.5.0400 .

[12] إسحاق، روفوس، "ورقتان رياضيتان بدون كلمات"، مجلة الرياضيات 48، 1975، ص 198. أعيد طبعه في مجلة الرياضيات 78، أبريل 2005، ص 111.

[Gleason-13] 1 2 3 غليسون، أندرو ماتي (مارس 1988). "تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء، والمضلع السباعي، والمضلع ذو الثلاثة عشر ضلعًا" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 95 (3): 185-194 . doi : 10.2307/2323624 . JSTOR 2323624. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 5 نوفمبر 2014.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[

[

[

والمسطرة

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗