الدالة التكعيبية

في الرياضيات ، الدالة التكعيبية هي دالة على الصورة$${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$$مع​${\displaystyle a\neq 0}$أي دالة متعددة الحدود من الدرجة الثالثة. في العديد من المراجع،يُفترض أن تكون المعاملات a و b و c و d أعدادًا حقيقية ، وتُعتبر الدالة إما دالة حقيقية تربط الأعداد الحقيقية بأعداد حقيقية، أو دالة مركبة تربط الأعداد المركبة بأعداد مركبة. في حالات أخرى، قد تكون المعاملات أعدادًا مركبة، وتكون الدالة دالة مركبة يكون مجالها المقابل مجموعة الأعداد المركبة، حتى عندمايقتصر مجالها على الأعداد الحقيقية.

بوضع f ( x ) = 0 ينتج معادلة تكعيبية على الصورة التالية

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$

تُسمى حلول هذه المعادلات جذور الدالة. أما مشتقة الدالة التكعيبية فهي دالة تربيعية .

الدالة التكعيبية ذات المعاملات الحقيقية لها إما جذر حقيقي واحد أو ثلاثة جذور حقيقية ( والتي قد لا تكون متميزة )؛ ^{[ 1 ]} جميع كثيرات الحدود ذات الدرجة الفردية ذات المعاملات الحقيقية لها جذر حقيقي واحد على الأقل.

يحتوي الرسم البياني للدالة التكعيبية دائمًا على نقطة انعطاف واحدة . قد يحتوي على نقطتين حرجتين ، وقيمة صغرى محلية، وقيمة عظمى محلية. بخلاف ذلك، تكون الدالة التكعيبية رتيبة . يكون الرسم البياني للدالة التكعيبية متناظرًا حول نقطة انعطافه؛ أي أنه ثابت تحت دوران نصف دورة حول هذه النقطة. باستثناء التحويل الأفيني ، لا يوجد سوى ثلاثة رسوم بيانية ممكنة للدوال التكعيبية.

تُعد الدوال التكعيبية أساسية للاستيفاء التكعيبي .

النقاط الحرجة للدالة التكعيبية هي نقاطها الثابتة ، أي النقاط التي يكون عندها ميل الدالة صفرًا. ^{[ 2 ]} وبالتالي، فإن النقاط الحرجة للدالة التكعيبية f المعرفة بـ

f ( x ) = ax³ + bx² + ^cx + d ,^​

يحدث ذلك عند قيم x بحيث يكون المشتق

${\displaystyle 3ax^{2}+2bx+c=0}$

نسبة الدالة التكعيبية تساوي صفرًا.

حلول هذه المعادلة هي قيم x للنقاط الحرجة، ويتم الحصول عليها باستخدام الصيغة التربيعية .

${\displaystyle x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.}$

تحدد إشارة المقدار Δ₀ ₌ b² ^- 3ac داخل الجذر التربيعي عدد النقاط الحرجة. إذا كانت موجبة، فهناك نقطتان حرجتان، إحداهما قيمة عظمى محلية والأخرى قيمة صغرى محلية. إذا كان b² - 3ac = 0 ، فهناك نقطة حرجة واحدة فقط، وهي نقطة انعطاف . إذا كان b² - 3ac < 0، فلا توجد نقاط حرجة (حقيقية). في الحالتين الأخيرتين، أي إذا ^كان b² - 3ac غير ^موجب ، تكون الدالة التكعيبية رتيبة تمامًا . انظر الشكل للاطلاع على مثال للحالة Δ₀ _> ⁰ .

نقطة الانعطاف للدالة هي النقطة التي يتغير عندها تقوس تلك الدالة . ^{[ 3 ]} تحدث نقطة الانعطاف عندما تكون المشتقة الثانية${\displaystyle f''(x)=6ax+2b,}$تكون قيمة المشتقة الثالثة صفرًا، بينما تكون قيمتها غير صفرية. وبالتالي، فإن الدالة التكعيبية لها دائمًا نقطة انعطاف واحدة، والتي تحدث عند النقطة .

${\displaystyle x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}}.}$

الرسم البياني للدالة التكعيبية هو منحنى تكعيبي ، على الرغم من أن العديد من المنحنيات التكعيبية ليست رسومًا بيانية للدوال.

على الرغم من أن الدوال التكعيبية تعتمد على أربعة معاملات، إلا أن تمثيلها البياني لا يمكن أن يتخذ إلا أشكالًا قليلة جدًا. في الواقع، يكون التمثيل البياني للدالة التكعيبية دائمًا مشابهًا للتمثيل البياني لدالة من الشكل

${\displaystyle y=x^{3}+px.}$

يمكن بناء هذا التشابه من خلال تركيب إزاحات موازية لمحاور الإحداثيات، وتماثل ( قياس موحد )، وربما انعكاس ( صورة معكوسة ) حول المحور y . ويمكن لتغيير القياس غير الموحد أن يحول الرسم البياني إلى رسم بياني لإحدى الدوال التكعيبية الثلاث.

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}}$

هذا يعني أنه لا يوجد سوى ثلاثة رسوم بيانية للدوال التكعيبية حتى التحويل الأفيني .

يمكن بناء التحويلات الهندسية المذكورة أعلاه بالطريقة التالية، عند البدء بدالة تكعيبية عامة. ${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.}$

أولاً، إذا كانت قيمة a < 0 ، فإن تغيير المتغير x → − x يسمح بافتراض أن a > 0. بعد هذا التغيير في المتغير، يكون الرسم البياني الجديد صورة معكوسة للرسم البياني السابق، بالنسبة للمحور y .

ثم، يُعطي تغيير المتغير x = x ₁ − ⁠ b / 3 a ⁠ دالة على الشكل التالي:

${\displaystyle y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.}$

وهذا يتوافق مع إزاحة موازية للمحور السيني .

يُقابل تغيير المتغير y = y ₁ + q إزاحةً بالنسبة للمحور y ، ويُعطي دالةً على الصورة التالية:

${\displaystyle y_{1}=ax_{1}^{3}+px_{1}.}$

تغيير المتغير${\displaystyle \textstyle x_{1}={\frac {x_{2}}{\sqrt {a}}},y_{1}={\frac {y_{2}}{\sqrt {a}}}}$يتوافق ذلك مع قياس موحد، ويعطي، بعد الضرب بـ${\displaystyle {\sqrt {a}},}$دالة من الشكل

${\displaystyle y_{2}=x_{2}^{3}+px_{2},}$

وهو أبسط شكل يمكن الحصول عليه عن طريق التشابه.

ثم، إذا كانت قيمة p لا تساوي صفرًا ، فإن القياس غير المنتظم${\displaystyle \textstyle x_{2}=x_{3}{\sqrt {|p|}},\quad y_{2}=y_{3}{\sqrt {|p|^{3}}}}$يعطي، بعد القسمة على${\displaystyle \textstyle {\sqrt {|p|^{3}}},}$

${\displaystyle y_{3}=x_{3}^{3}+x_{3}\operatorname {sgn}(p),}$

أين${\displaystyle \operatorname {sgn}(p)}$تأخذ القيمة 1 أو -1، اعتمادًا على إشارة p . إذا عرّفنا${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0,}$ينطبق الشكل الأخير للدالة على جميع الحالات (مع${\displaystyle x_{2}=x_{3}}$و${\displaystyle y_{2}=y_{3}}$).

لدالة تكعيبية من الشكل${\displaystyle y=x^{3}+px,}$وبالتالي، فإن نقطة الانعطاف هي نقطة الأصل. ولأن هذه الدالة فردية ، فإن تمثيلها البياني متناظر حول نقطة الانعطاف، وثابت تحت دوران نصف دورة حولها. وبما أن هذه الخصائص ثابتة بالتشابه ، فإن ما يلي ينطبق على جميع الدوال التكعيبية.

يكون الرسم البياني للدالة التكعيبية متناظرًا بالنسبة لنقطة الانعطاف الخاصة بها، ويكون ثابتًا تحت دوران نصف دورة حول نقطة الانعطاف.

تتقاطع الخطوط المماسية لمنحنى الدالة التكعيبية عند ثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة مع الدالة التكعيبية مرة أخرى عند نقاط تقع على استقامة واحدة. ^{[ 4 ]} ويمكن توضيح ذلك كما يلي.

بما أن هذه الخاصية ثابتة تحت الحركة الصلبة ، يمكن افتراض أن الدالة لها الشكل التالي:

${\displaystyle f(x)=x^{3}+px.}$

إذا كان α عددًا حقيقيًا، فإن المماس لمنحنى الدالة f عند النقطة ( α , f ( α )) هو الخط

{( x , f ( α ) + ( x − α ) f ′( α ) )  : x ∈ R } .

إذن، يمكن الحصول على نقطة التقاطع بين هذا الخط ورسم الدالة f بحل المعادلة f ( x ) = f ( α ) + ( x - α ) f ′( α ) ، أي

${\displaystyle x^{3}+px=\alpha ^{3}+p\alpha +(x-\alpha )(3\alpha ^{2}+p),}$

والتي يمكن إعادة كتابتها

${\displaystyle x^{3}-3\alpha ^{2}x+2\alpha ^{3}=0,}$

وتم تحليلها إلى عواملها

${\displaystyle (x-\alpha )^{2}(x+2\alpha )=0.}$

إذن، يتقاطع المماس مع التكعيب عند

${\displaystyle (-2\alpha ,-8\alpha ^{3}-2p\alpha )=(-2\alpha ,-8f(\alpha )+6p\alpha ).}$

إذن، الدالة التي تربط نقطة ( س ، ص ) على الرسم البياني بالنقطة الأخرى التي يتقاطع عندها المماس مع الرسم البياني هي

${\displaystyle (x,y)\mapsto (-2x,-8y+6px).}$

هذا تحويل خطي يحول النقاط الواقعة على خط مستقيم إلى نقاط تقع على خط مستقيم آخر. وهذا يثبت النتيجة المزعومة.

بالنظر إلى قيم دالة ومشتقتها عند نقطتين، توجد دالة تكعيبية واحدة فقط لها نفس القيم الأربع، والتي تسمى دالة هيرميت التكعيبية .

هناك طريقتان قياسيتان لاستخدام هذه الحقيقة. أولاً، إذا عرف المرء، على سبيل المثال عن طريق القياس الفيزيائي، قيم دالة ومشتقتها عند بعض نقاط أخذ العينات، فيمكنه استكمال الدالة بدالة قابلة للتفاضل باستمرار ، وهي دالة تكعيبية متعددة الأجزاء .

إذا كانت قيمة دالة ما معروفة عند عدة نقاط، فإن الاستيفاء التكعيبي يتمثل في تقريب الدالة بدالة قابلة للتفاضل باستمرار ، وهي دالة تكعيبية مجزأة . وللحصول على استيفاء محدد بشكل فريد، يجب إضافة قيدين آخرين، مثل قيم المشتقات عند نقاط النهاية، أو انعدام الانحناء عند نقاط النهاية.

• "صيغة كاردانو" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• تاريخ المعادلات التربيعية والتكعيبية والرباعية في أرشيف MacTutor .