دالة لمتغير حقيقي

في الرياضيات ، الدالة لمتغير حقيقي هي دالة يكون مجالها مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} }$تتميز العديد من الدوال الحقيقية الشائعة بأن مجالها يتضمن فترة ذات محتوى غير فارغ ، وقد تكون متصلة ، أو تتمتع بدرجة من السلاسة ، على فترة واحدة أو أكثر، كل منها ذات محتوى غير فارغ، ضمن المجال. في النصوص القديمة، غالبًا ما تُستخدم نظرية الدوال لمتغير حقيقي كمرادف لما يُعرف الآن بالتحليل الحقيقي .

إن أكثر هذه الدوال التي يتم النظر فيها على نطاق واسع هي الدوال الحقيقية ، وهي الدوال ذات القيم الحقيقية لمتغير حقيقي، أي الدوال لمتغير حقيقي يكون مجالها المقابل هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

ومع ذلك، يمكن أن يكون المجال المقابل لدالة لمتغير حقيقي أي مجموعة. ومع ذلك، يُفترض غالبًا أن له بنية من${\displaystyle \mathbb {R} }$- فضاء متجهي على الأعداد الحقيقية. أي أن المجال المقابل قد يكون فضاءً إقليديًا ، أو متجه إحداثيات ، أو مجموعة مصفوفات الأعداد الحقيقية ذات حجم معين، أو${\displaystyle \mathbb {R} }$- الجبر ، مثل الأعداد المركبة أو الكواترنيونات . البنية${\displaystyle \mathbb {R} }$يُنتج فضاء المتجهات للمجال المقابل بنية من${\displaystyle \mathbb {R} }$فضاء متجهي على الدوال. إذا كان للمجال المقابل بنية من${\displaystyle \mathbb {R} }$في الجبر، ينطبق الأمر نفسه على الدوال.

صورة دالة لمتغير حقيقي هي منحنى في المجال المقابل. في هذا السياق، تُسمى الدالة التي تُعرّف المنحنى معادلة وسيطية للمنحنى.

عندما يكون المجال المقابل لدالة لمتغير حقيقي فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد ، يمكن اعتبار الدالة سلسلة من الدوال الحقيقية. ويُستخدم هذا غالبًا في التطبيقات.

الدالة الحقيقية هي دالة من مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} }$ل${\displaystyle \mathbb {R} ,}$أين${\displaystyle \mathbb {R} }$يشير الرمز كالمعتاد إلى مجموعة الأعداد الحقيقية . أي أن مجال الدالة الحقيقية هو مجموعة جزئية${\displaystyle \mathbb {R} }$، ومجالها المقابل هو${\displaystyle \mathbb {R} .}$من المفترض عمومًا أن المجال يحتوي على فترة ذات طول موجب.

الدالة الحقيقية لمتغير حقيقي هي دالة تأخذ كمدخل عددًا حقيقيًا ، يُرمز إليه عادةً بالمتغير x ، لإنتاج عدد حقيقي آخر، وهو قيمة الدالة، ويُرمز إليه عادةً بـ f ( x ). ولتبسيط الأمر، سنُشير في هذه المقالة إلى الدالة الحقيقية لمتغير حقيقي ببساطة باسم " دالة" . ولتجنب أي لبس، سيتم تحديد أنواع الدوال الأخرى التي قد تظهر بشكل صريح.

تُعرَّف بعض الدوال لجميع القيم الحقيقية للمتغيرات (يُقال إنها مُعرَّفة في كل مكان)، بينما تُعرَّف دوال أخرى فقط إذا كانت قيمة المتغير تقع ضمن مجموعة جزئية X من${\displaystyle \mathbb {R} }$مجال الدالة، الذي يُفترض دائمًا أن يحتوي على فترة ذات طول موجب. بعبارة أخرى، الدالة الحقيقية لمتغير حقيقي هي دالة

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

بحيث يكون مجالها X مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} }$التي تحتوي على فترة ذات طول موجب.

مثال بسيط على دالة في متغير واحد يمكن أن يكون كالتالي:

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} \,:\,x\geq 0\}}$

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

وهو الجذر التربيعي لـ x .

الاستمرارية والحد

حتى النصف الثاني من القرن التاسع عشر، اقتصر اهتمام علماء الرياضيات على الدوال المتصلة . في ذلك الوقت، تم تطوير مفهوم الاتصال لدوال متغير حقيقي واحد أو عدة متغيرات قبل فترة طويلة من التعريف الرسمي للفضاء الطوبولوجي والتحويلات المتصلة بين الفضاءات الطوبولوجية. ولأن الدوال المتصلة لمتغير حقيقي شائعة في الرياضيات، فمن المفيد تعريف هذا المفهوم دون الرجوع إلى المفهوم العام للتحويلات المتصلة بين الفضاءات الطوبولوجية.

لتحديد الاستمرارية، من المفيد النظر في دالة المسافة لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$، وهي دالة معرفة في كل مكان لمتغيرين حقيقيين: ${\displaystyle d(x,y)=|xy|}$

الدالة f متصلة عند نقطة${\displaystyle a}$والذي يكون داخليًا في نطاقه، إذا كان لكل عدد حقيقي موجب ε ، يوجد عدد حقيقي موجب δ بحيث${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$للجميع${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle d(x,a)<\delta .}$بمعنى آخر، يمكن اختيار قيمة δ صغيرة بما يكفي بحيث تكون صورة الفترة ذات نصف القطر δ متمركزة عند f${\displaystyle a}$محصورة في الفترة التي يبلغ طولها 2ε والمتمركزة عند${\displaystyle f(a).}$تكون الدالة متصلة إذا كانت متصلة عند كل نقطة من مجالها.

نهاية دالة حقيقية القيمة لمتغير حقيقي هي كما يلي: ^{[ 1 ]} ليكن a نقطة في الإغلاق الطوبولوجي للمجال X للدالة f . للدالة f نهاية L عندما يؤول x إلى a ، ويرمز لها بـ

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x),}$

إذا تحقق الشرط التالي: لكل عدد حقيقي موجب ε > 0، يوجد عدد حقيقي موجب δ > 0 بحيث

${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

لكل x في المجال بحيث

${\displaystyle d(x,a)<\delta .}$

إذا كانت النهاية موجودة، فهي وحيدة. إذا كانت النقطة a تقع داخل مجال الدالة، فإن النهاية موجودة إذا وفقط إذا كانت الدالة متصلة عند a . في هذه الحالة، لدينا

${\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}f(x).}$

عندما تكون a في حدود مجال f ، وإذا كانت f لها نهاية عند a ، فإن الصيغة الأخيرة تسمح "بتمديد مجال f إلى a عن طريق الاستمرارية" .

يمكن للمرء أن يجمع عدداً من الدوال، كل منها لمتغير حقيقي، على سبيل المثال

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x)\,,\quad y_{2}=f_{2}(x)\,,\ldots ,y_{n}=f_{n}(x)}$

إلى متجه مُعَلم بواسطة x :

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=[f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)]}$

مشتقة المتجه y هي مشتقات المتجهات لـ f _i ( x ) لـ i = 1، 2، ...، n :

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dx}}=\left({\frac {dy_{1}}{dx}},{\frac {dy_{2}}{dx}},\ldots ,{\frac {dy_{n}}{dx}}\right)}$

يمكن أيضًا إجراء تكاملات خطية على طول منحنى فضائي مُعَلم بواسطة x ، مع متجه الموضع r = r ( x )، عن طريق التكامل بالنسبة للمتغير x :

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot {\frac {d\mathbf {r} (x)}{dx}}dx}$

حيث · هو الضرب النقطي ، و x = a و x = b هما نقطتا البداية والنهاية للمنحنى.

لا تُكتب الدالة الضمنية ذات القيم الحقيقية لمتغير حقيقي على الصورة " y = f ( x )". بدلاً من ذلك، يكون التطبيق من الفضاء${\displaystyle \mathbb {R} }$² أس صفر في${\displaystyle \mathbb {R} }$(الصفر العادي 0):

${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} ^{2}\to \{0\}}

و

${\displaystyle \phi (x,y)=0}$

هي معادلة بدلالة المتغيرات. الدوال الضمنية هي طريقة أكثر عمومية لتمثيل الدوال، لأنه إذا:

${\displaystyle y=f(x)}$

عندها يمكننا دائماً تحديد:

${\displaystyle \phi (x,y)=y-f(x)=0}$

لكن العكس ليس ممكناً دائماً، أي أن ليس كل الدوال الضمنية لها شكل هذه المعادلة.

يمكن أن تكون المصفوفة أيضًا دالة لمتغير واحد. على سبيل المثال، مصفوفة الدوران في بُعدين:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

هي دالة مصفوفية لزاوية الدوران حول نقطة الأصل. وبالمثل، في النسبية الخاصة ، مصفوفة تحويل لورنتز للتحويل المعزز الخالص (بدون دورانات):

${\displaystyle \Lambda (\beta )={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

هي دالة لمعامل التعزيز β = v / c ، حيث v هي السرعة النسبية بين إطارات المرجع (متغير مستمر)، و c هي سرعة الضوء ، وهي ثابتة.

بتعميم القسم السابق، يمكن أن يقع ناتج دالة لمتغير حقيقي في فضاء باناخ أو فضاء هيلبرت . في هذه الفضاءات، تُعرَّف عمليات القسمة والضرب والنهايات، لذا تظل مفاهيم مثل المشتقة والتكامل سارية. يحدث هذا بكثرة في ميكانيكا الكم، حيث تُشتق متجهات الحالة أو المؤثرات . ويحدث هذا، على سبيل المثال، في معادلة شرودنغر العامة المعتمدة على الزمن .

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$

حيث يقوم المرء بأخذ مشتقة دالة الموجة، والتي يمكن أن تكون عنصرًا من عدة فضاءات هيلبرت مختلفة.

يمكن تعريف دالة ذات قيم مركبة لمتغير حقيقي عن طريق تخفيف، في تعريف الدوال ذات القيم الحقيقية، تقييد المجال المقابل للأعداد الحقيقية، والسماح بالقيم المركبة .

إذا كانت f ( x ) دالة ذات قيم مركبة، فيمكن تحليلها إلى

و ( x ) = ز ( x ) + ih ( x ) ,

حيث g و h دالتان حقيقيتان. بعبارة أخرى، فإن دراسة الدوال المركبة تختزل بسهولة إلى دراسة أزواج الدوال الحقيقية.

عدد عناصر مجموعة الدوال الحقيقية لمتغير حقيقي،${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}}$، يكون${\displaystyle \beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}}$وهو أكبر بكثير من عدد عناصر المجموعة المتصلة (أي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية). ويمكن التحقق من هذه الحقيقة بسهولة باستخدام الحساب الكمي.

$${\displaystyle \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} (\mathbb {R} )^{\mathrm {card} (\mathbb {R} )}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}\cdot {\mathfrak {c}}}=2^{\mathfrak {c}}.}$$

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle X}$هي مجموعة بحيث${\displaystyle 2\leq \mathrm {card} (X)\leq {\mathfrak {c}}}$ثم عدد عناصر المجموعة${\displaystyle X^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to X\}}$وهو أيضًا${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$، منذ

$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\mathrm {card} (2^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (X^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=2^{\mathfrak {c}}.}$$

ومع ذلك، فإن مجموعة الدوال المتصلة${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f\ \mathrm {continuous} \}}$له عدد عناصر أصغر بكثير، وهو عدد عناصر المتصل.${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$وينتج هذا عن حقيقة أن الدالة المتصلة تتحدد تمامًا بقيمها على مجموعة جزئية كثيفة في مجال الدالة، في هذه الحالة${\displaystyle \mathbb {R} }$^{[ ٢ ]} بالتالي ، فإن عدد عناصر مجموعة الدوال الحقيقية المتصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية لا يزيد عن عدد عناصر مجموعة الدوال الحقيقية على مجموعة الأعداد النسبية. باستخدام الحساب الأصلي:

$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} })=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$$

من ناحية أخرى، بما أن هناك تقابلاً واضحاً بين${\displaystyle \mathbb {R} }$ومجموعة الدوال الثابتة${\displaystyle \{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)\equiv x_{0}\}}$، والتي تشكل مجموعة فرعية من${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$،${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\geq {\mathfrak {c}}}$يجب أن يكون الأمر صحيحًا أيضًا. لذا،${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))={\mathfrak {c}}}$.

• التحليل الحقيقي
• دالة لعدة متغيرات حقيقية
• التحليل المعقد
• دالة لعدة متغيرات مركبة

• إف. آيرز، إي. مندلسون (2009). حساب التفاضل والتكامل . سلسلة شوم الموجزة (  الطبعة الخامسة). ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-150861-2.
• ر. فريدي، م. ر. شبيغل (2010). حساب التفاضل والتكامل المتقدم . سلسلة شوم الموجزة (  الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-162366-7.
• ن. بورباكي (2004). دوال المتغير الحقيقي: النظرية الأولية . سبرينغر. ISBN 354-065-340-6.