الجذر التربيعي

في الرياضيات ، الجذر التربيعي للعدد x هو العدد y الذي يحقق${\displaystyle y^{2}=x}$بمعنى آخر، هو عدد y مربعه ( ناتج ضرب العدد في نفسه، أو${\displaystyle y\cdot y}$) هو x . ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، 4 و -4 هما الجذران التربيعيان للعدد 16 لأن${\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}$.

لكل عدد حقيقي غير سالب x جذر تربيعي غير سالب وحيد، يُسمى الجذر التربيعي الرئيسي أو ببساطة الجذر التربيعي (مع أداة تعريف، انظر أدناه)، ويُرمز له بـ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$حيث يُطلق على الرمز √ اسم الجذر ، من بين أسماء أخرى، ^{[ 2 ]} ويُطلق على الخط الموجود فوق العدد اسم الخط الفاصل ^{[ 3 ]} (ويُعتبر أحيانًا جزءًا من رمز الجذر نفسه ^{[ 4 ]} ). على سبيل المثال، للتعبير عن حقيقة أن الجذر التربيعي الرئيسي للعدد 9 هو 3، نكتب${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$يُعرف الحد (أو العدد) الذي يُؤخذ جذره التربيعي باسم " المجذور" . والمجذور هو العدد أو التعبير الموجود أسفل علامة الجذر، وفي هذه الحالة، 9. بالنسبة لـ x غير السالبة ، يمكن أيضًا كتابة الجذر التربيعي الرئيسي باستخدام صيغة الأس ، كما يلي:${\displaystyle x^{1/2}}$.

لكل عدد موجب x جذران تربيعيان:${\displaystyle {\sqrt {x}}}$(وهو أمر إيجابي) و${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$(وهو سالب). يمكن كتابة الجذرين بشكل أكثر اختصارًا باستخدام علامة ±  كما يلي:${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$على الرغم من أن الجذر التربيعي الرئيسي لعدد موجب هو واحد فقط من جذريه التربيعيين، إلا أن مصطلح " الجذر التربيعي " يُستخدم غالبًا للإشارة إلى الجذر التربيعي الرئيسي. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

يمكن مناقشة الجذور التربيعية للأعداد السالبة ضمن إطار الأعداد المركبة . وبشكل أعم، يمكن النظر إلى الجذور التربيعية في أي سياق يُعرَّف فيه مفهوم " المربع " لكائن رياضي. ويشمل ذلك فضاءات الدوال والمصفوفات المربعة ، من بين بنى رياضية أخرى .

تم إنشاء اللوح الطيني YBC 7289 التابع لمجموعة ييل البابلية بين عامي 1800 و1600 قبل الميلاد، ويُظهر  ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$و${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$على التوالي، تُكتب الأعداد 1 و24 و51 و10 و0 و42 و25 و 35 في النظام الستيني على مربع يتقاطع مع قطرين. ^{[ 7 ]} يُقابل العدد (1 و24 و51 و10) في النظام الستيني العدد 1.41421296، وهو صحيح حتى 5 منازل عشرية (1.41421356...).

بردية رايند الرياضية هي نسخة من عام 1650 قبل الميلاد من بردية برلين  السابقة ونصوص أخرى - ربما بردية كاهون - توضح كيف استخرج المصريون الجذور التربيعية بطريقة التناسب العكسي. ^{[ 8 ]}  

في الهند القديمة ، كانت معرفة الجوانب النظرية والتطبيقية للمربع والجذر التربيعي قديمة قدم نصوص سولبا سوترا ، التي يعود تاريخها إلى حوالي 800-500  قبل الميلاد (وربما أقدم من ذلك بكثير). ^{[ 9 ]} ويُقدم كتاب بودايانا سولبا سوترا طريقة لإيجاد تقريبات جيدة جدًا للجذر التربيعي للعددين 2 و3 . ^{[ 10 ]} وقدّم أباستامبا، الذي يعود تاريخه إلى حوالي 600 قبل الميلاد، قيمة دقيقة بشكل لافت للنظر لـ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$وهو صحيح حتى خمسة منازل عشرية كما${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}}$[ ^{11 ] [ 12 ] [ 13 ]} قدم أريابهاتا ، في أريابهاتيا (القسم 2.4)، طريقة لإيجاد الجذر التربيعي للأعداد التي تحتوي على العديد من الأرقام ^.

كان معروفًا لدى الإغريق القدماء أن الجذور التربيعية للأعداد الصحيحة الموجبة التي ليست مربعات كاملة هي دائمًا أعداد غير نسبية : أي أعداد لا يمكن التعبير عنها كنسبة بين عددين صحيحين (أي لا يمكن كتابتها بدقة على النحو التالي:${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$(حيث m و n عددان صحيحان). هذه هي نظرية إقليدس 10، 9 ، والتي يُنسب الفضل فيها على الأرجح إلى ثييتيتوس ، ويعود تاريخها إلى حوالي 380  قبل الميلاد . ^{[ 14 ]} يرتبط اكتشاف الأعداد غير النسبية، بما في ذلك الحالة الخاصة للجذر التربيعي للعدد 2 ، ارتباطًا وثيقًا بالمدرسة الفيثاغورية. ^{[ 15 ] [ 16 ]} على الرغم من أن بعض الروايات تُنسب الاكتشاف إلى هيباسوس ، إلا أن المساهم المحدد لا يزال غير مؤكد بسبب ندرة المصادر الأولية والطبيعة السرية للأخوية. ^{[ 17 ] [ 18 ]} وهو بالضبط طول قطر مربع طول ضلعه 1 .

في كتاب الرياضيات الصيني " كتابات في الحساب" ، الذي كتب بين عامي 202  قبل الميلاد و186  قبل الميلاد خلال أوائل عهد أسرة هان ، يتم تقريب الجذر التربيعي باستخدام طريقة "الفائض والنقص"، والتي تنص على "...جمع الفائض والنقص كمقسوم عليه؛ (أخذ) بسط النقص مضروبًا في مقام الفائض وبسط الفائض مضروبًا في مقام النقص، وجمعها كمقسوم عليه." ^{[ 19 ]}

ابتكر ريجيومونتانوس (1436-1476) رمزًا للجذور التربيعية، مكتوبًا على شكل حرف R مزخرف. كما استُخدم حرف R للدلالة على الجذر التربيعي في كتاب جيرولامو كاردانو " آرس ماجنا" . ^{[ 20 ]}

وفقًا لمؤرخ الرياضيات دي سميث ، فإن طريقة أريابهاتا لإيجاد الجذر التربيعي تم تقديمها لأول مرة في أوروبا بواسطة كاتانيو في عام 1546.

بحسب جيفري أ. أوكس، استخدم العرب حرف الجيم ( ج )، وهو الحرف الأول من كلمة " جذر " (التي تُكتب بأشكال مختلفة مثل jaḏr أو jiḏr أو ǧaḏr أو ǧiḏr ، وتعني "جذر")، حيث كان يُوضع بشكله الأصلي ( جذر ) فوق العدد للدلالة على جذره التربيعي. يشبه حرف الجيم شكل الجذر التربيعي الحالي. ويعود استخدامه إلى أواخر القرن الثاني عشر الميلادي في مؤلفات عالم الرياضيات المغربي ابن الياسمين . ^{[ 21 ]}

تم استخدام الرمز "√" للجذر التربيعي لأول مرة في الطباعة عام 1525، في كتاب كريستوف رودولف " كوس " . ^{[ 22 ]}

دالة الجذر التربيعي الرئيسية${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$(يُشار إليها عادةً باسم "دالة الجذر التربيعي") هي دالة تُحوّل مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة إلى نفسها. من الناحية الهندسية ، تُحوّل دالة الجذر التربيعي مساحة المربع إلى طول ضلعه.

يكون الجذر التربيعي لـ x عددًا نسبيًا إذا وفقط إذا كان x عددًا نسبيًا يمكن تمثيله كنسبة بين مربعين كاملين. (انظر الجذر التربيعي لـ 2 للاطلاع على براهين على أنه عدد غير نسبي، وانظر الجذر التربيعي غير النسبي للاطلاع على برهان على أن هذا العدد غير نسبي لجميع الأعداد الطبيعية غير المربعة). تقوم دالة الجذر التربيعي بتحويل الأعداد النسبية إلى أعداد جبرية ، وهذه الأخيرة هي مجموعة شاملة للأعداد النسبية.

لكل الأعداد الحقيقية x ،$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$(انظر القيمة المطلقة ).

لجميع الأعداد الحقيقية غير السالبة x و y ،$${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$$ و $${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}$$

دالة الجذر التربيعي متصلة لجميع قيم x غير السالبة ، وقابلة للاشتقاق لجميع قيم x الموجبة . إذا رمزنا لدالة الجذر التربيعي بالرمز f ، فإن مشتقتها تُعطى بالصيغة التالية:$${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$$

سلسلة تايلور​${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$تتقارب الدالة حول x = 0 عندما | x | ≤ 1 ، ويتم إعطاؤها بواسطة

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,}$$

يُستخدم الجذر التربيعي لعدد غير سالب في تعريف المعيار الإقليدي ( والمسافة )، وكذلك في تعميمات مثل فضاءات هيلبرت . وهو يُعرّف مفهومًا هامًا للانحراف المعياري يُستخدم في نظرية الاحتمالات والإحصاء . وله استخدام رئيسي في صيغة حلول المعادلات التربيعية . تُعدّ الحقول التربيعية وحلقات الأعداد الصحيحة التربيعية ، القائمة على الجذور التربيعية، مهمة في الجبر ولها استخدامات في الهندسة. وتظهر الجذور التربيعية بكثرة في الصيغ الرياضية الأخرى، وكذلك في العديد من القوانين الفيزيائية .

للعدد الموجب جذران تربيعيان، أحدهما موجب والآخر سالب، وهما متعاكسان . وعند الحديث عن الجذر التربيعي لعدد صحيح موجب، يُقصد عادةً الجذر التربيعي الموجب.

الجذور التربيعية لعدد صحيح هي أعداد صحيحة جبرية - وبشكل أكثر تحديدًا أعداد صحيحة تربيعية .

الجذر التربيعي لعدد صحيح موجب هو حاصل ضرب جذور عوامله الأولية ، لأن الجذر التربيعي لحاصل الضرب هو حاصل ضرب الجذور التربيعية للعوامل. ${\textstyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$لا يلزم سوى جذور الأعداد الأولية التي لها قوة فردية في التحليل إلى عوامل . وبشكل أدق، فإن الجذر التربيعي لتحليل عدد أولي إلى عوامل هو$${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.}$$

كتوسعات عشرية

الجذور التربيعية للأعداد المربعة الكاملة (مثل 0، 1، 4، 9، 16) هي أعداد صحيحة . في جميع الحالات الأخرى، تكون الجذور التربيعية للأعداد الصحيحة الموجبة أعدادًا غير نسبية ، وبالتالي تحتوي على كسور عشرية غير دورية في تمثيلها العشري . ترد في الجدول التالي تقريبات عشرية للجذور التربيعية للأعداد الطبيعية القليلة الأولى.

ن	${\displaystyle {\sqrt {n}},}$تم تقريبها إلى 50 منزلة عشرية
0	0
1	1
2	1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
3	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038
4	2
5	2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152
6	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667
7	2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245
8	2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389
9	3
10	3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521

ككسور مستمرة دورية

توصل جوزيف لويس لاغرانج، حوالي عام ١٧٨٠ ، إلى نتيجة مهمة من خلال دراسة الأعداد غير النسبية ككسور مستمرة بسيطة . فقد وجد لاغرانج أن تمثيل الجذر التربيعي لأي عدد صحيح موجب غير مربع ككسر مستمر هو تمثيل دوري . أي أن نمطًا معينًا من المقامات الجزئية يتكرر إلى ما لا نهاية في الكسر المستمر. وبمعنى ما، تُعد هذه الجذور التربيعية أبسط الأعداد غير النسبية، لأنها تُمثل بنمط متكرر بسيط من الأعداد الصحيحة.

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	= [1; 2, 2, ...]
${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\displaystyle {\sqrt {4}}}$	= [2]
${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {6}}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {7}}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {8}}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {9}}}$	= [3]
${\displaystyle {\sqrt {10}}}$	= [3; 6, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {11}}}$	= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {12}}}$	= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {13}}}$	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {14}}}$	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {15}}}$	= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {16}}}$	= [4]
${\displaystyle {\sqrt {17}}}$	= [4; 8, 8, ...]
${\displaystyle {\sqrt {18}}}$	= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
${\displaystyle {\sqrt {19}}}$	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
${\displaystyle {\sqrt {20}}}$	= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

إنّ رمز الأقواس المربعة المستخدم أعلاه هو اختصار للكسر المستمر. وعند كتابته بالصيغة الجبرية الأكثر وضوحًا، يبدو الكسر المستمر البسيط للجذر التربيعي للعدد 11، [3؛ 3، 6، 3، 6، ...]، كما يلي:$${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}}$$

حيث يتكرر النمط المكون من رقمين {3، 6} مرارًا وتكرارًا في المقامات الجزئية. وبما أن 11 = ^3² + 2 ، فإن ما سبق يطابق أيضًا الكسور المستمرة المعممة التالية :

$${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.}$$

الجذور التربيعية للأعداد الموجبة ليست عمومًا أعدادًا نسبية ، وبالتالي لا يمكن كتابتها كعدد عشري منتهٍ أو دوري. لذلك، فإن أي محاولة لحساب الجذر التربيعي بصيغة عشرية لا تُنتج إلا قيمة تقريبية، مع إمكانية الحصول على سلسلة من التقريبات المتزايدة الدقة.

تحتوي معظم الآلات الحاسبة الجيبية على زر لحساب الجذر التربيعي. كما تُستخدم جداول البيانات الحاسوبية وغيرها من البرامج بشكل متكرر لحساب الجذور التربيعية. عادةً ما تُطبّق الآلات الحاسبة الجيبية إجراءات فعّالة، مثل طريقة نيوتن (غالبًا مع قيمة ابتدائية تساوي 1)، لحساب الجذر التربيعي لعدد حقيقي موجب. ^{[ 23 ] [ 24 ]} عند حساب الجذور التربيعية باستخدام جداول اللوغاريتمات أو المسطرة الحاسبة ، يمكن الاستفادة من المتطابقات.$${\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},}$$ حيث أن ln و log ₁₀ هما اللوغاريتم الطبيعي والأساس 10 .

عن طريق التجربة والخطأ، ^{[ 25 ]} يمكن تربيع تقدير لـ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ثم ارفع أو اخفض التقدير حتى يصل إلى دقة كافية. ومن الحكمة في هذه التقنية استخدام المتطابقة$${\displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}$$ لأنه يسمح بتعديل التقدير x بمقدار c وقياس مربع التعديل من حيث التقدير الأصلي ومربعه.

تُعرف الطريقة التكرارية الأكثر شيوعًا لحساب الجذر التربيعي يدويًا باسم " الطريقة البابلية " أو "طريقة هيرون"، نسبةً إلى الفيلسوف اليوناني هيرون الإسكندري الذي ^عاش في القرن الأول الميلادي ، والذي وصفها لأول مرة. ^{[ 26 ]} تستخدم هذه الطريقة نفس المخطط التكراري الذي تُنتجه طريقة نيوتن-رافسون عند تطبيقها على الدالة y = f ( x ) = x² - a ، مستفيدةً من حقيقة أن ميلها عند أي نقطة هو dy / dx = f ′ ( x ) = 2x ، ولكنها أقدم منها بعدة قرون. ^{[ 27 ]} تقوم الخوارزمية على تكرار عملية حسابية بسيطة ينتج عنها عدد أقرب إلى الجذر التربيعي الحقيقي في كل مرة تُكرر فيها العملية، مع استخدام نتيجتها كمدخل جديد. والدافع وراء ذلك هو أنه إذا كانت قيمة x أكبر من الجذر التربيعي لعدد حقيقي غير سالب a، فإن a / x ستكون أقل من الجذر التربيعي الحقيقي، وبالتالي فإن متوسط ​​هذين العددين يُعد تقريبًا أفضل من أي منهما. مع ذلك، تُظهر متباينة المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي أن هذا المتوسط ​​يُمثل دائمًا تقديرًا مُبالغًا فيه للجذر التربيعي (كما هو مُبين أدناه )، وبالتالي يُمكن استخدامه كتقدير مُبالغ فيه جديد لتكرار العملية، والتي تتقارب نتيجةً لتقارب التقديرات المُبالغ فيها والتقديرات المُنخفضة المُتتالية بعد كل تكرار. لإيجاد قيمة x :

1. ابدأ بقيمة ابتدائية موجبة عشوائية x . كلما اقتربت من الجذر التربيعي لـ a ، قل عدد التكرارات اللازمة لتحقيق الدقة المطلوبة.
2. استبدل x بالمتوسط ​​( x + a / x ) / 2 بين x و a / x .
3. كرر من الخطوة 2، باستخدام هذا المتوسط ​​كقيمة جديدة لـ x .

أي، إذا كان تخمينًا عشوائيًا لـ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$إذا كانت x _{= 0} و x _{= n + 1} = ( x _{= n} + a / x = _n ) / 2 ، فإن كل قيمة لـ x = _n هي تقريب لـ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$أيهما أفضل لقيم n الكبيرة منه لقيم n الصغيرة . إذا كانت قيمة a موجبة، يكون التقارب تربيعيًا ، مما يعني أنه عند الاقتراب من النهاية، يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة تقريبًا في كل تكرار لاحق. أما إذا كانت a = 0 ، فيكون التقارب خطيًا فقط؛ ومع ذلك،${\displaystyle {\sqrt {0}}=0}$لذا في هذه الحالة لا حاجة للتكرار.

استخدام الهوية$${\displaystyle {\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},}$$ يمكن اختزال حساب الجذر التربيعي لعدد موجب إلى حسابه لعدد في النطاق [ 1، 4] . وهذا يُسهّل إيجاد قيمة ابتدائية للطريقة التكرارية قريبة من الجذر التربيعي، والتي يمكن استخدام تقريب متعدد الحدود أو تقريب خطي متقطع لها .

إن التعقيد الزمني لحساب الجذر التربيعي بدقة n خانة يعادل التعقيد الزمني لضرب عددين مكونين من n خانة.

هناك طريقة أخرى مفيدة لحساب الجذر التربيعي وهي خوارزمية الجذر النوني المزاح، والتي يتم تطبيقها على n = 2 .

يختلف اسم دالة الجذر التربيعي من لغة برمجة إلى أخرى، حيث أن sqrt^{[ 28 ]} (غالبًا ما يتم نطقها "squirt" ^{[ 29 ]} ) شائع الاستخدام، ويستخدم في لغة C واللغات المشتقة منها مثل C++ و JavaScript و PHP و Python .

الورقة الأولى من الجذر التربيعي المركب

الورقة الثانية من الجذر التربيعي المركب

باستخدام سطح ريمان للجذر التربيعي، يتضح كيف تتلاءم الورقتان معًا.

مربع أي عدد، سواء كان موجبًا أو سالبًا، هو عدد موجب، ومربع الصفر هو صفر. لذلك، لا يمكن لأي عدد سالب أن يكون له جذر تربيعي حقيقي . مع ذلك، من الممكن التعامل مع مجموعة أشمل من الأعداد، تُسمى الأعداد المركبة ، والتي تحتوي على حلول للجذر التربيعي لعدد سالب. يتم ذلك بإدخال عدد جديد، يُرمز له بـ i (وأحيانًا j ، خاصة في سياق الكهرباء حيث يُمثل i تقليديًا التيار الكهربائي) ويُسمى الوحدة التخيلية ، والتي تُعرَّف بحيث يكون ^i² = -1 . باستخدام هذا الترميز، يمكننا اعتبار i هو الجذر التربيعي لـ -1، ولكن لدينا أيضًا ( -i ) ^² = i² = -1 ^، وبالتالي فإن -i هو أيضًا جذر تربيعي لـ -1. اصطلاحًا، الجذر التربيعي الرئيسي لـ -1 هو i ، أو بشكل أعم، إذا كان x أي عدد غير سالب، فإن الجذر التربيعي الرئيسي لـ -x هو $${\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}$$

الطرف الأيمن (وكذلك معكوسه) هو بالفعل جذر تربيعي لـ − x ، لأن$${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}$$

لكل عدد مركب غير صفري z يوجد عددان w بحيث يكون w ² = z : الجذر التربيعي الرئيسي لـ z (المعرف أدناه) ومعكوسه.

الجذر التربيعي الرئيسي لعدد مركب

لإيجاد تعريف للجذر التربيعي يسمح لنا باختيار قيمة واحدة باستمرار، تسمى القيمة الرئيسية ، نبدأ بملاحظة أن أي عدد مركب${\displaystyle x+iy}$يمكن اعتبارها نقطة في المستوى،${\displaystyle (x,y),}$يتم التعبير عنها باستخدام الإحداثيات الديكارتية . ويمكن إعادة تفسير النقطة نفسها باستخدام الإحداثيات القطبية كزوج${\displaystyle (r,\varphi ),}$أين${\displaystyle r\geq 0}$هي المسافة بين النقطة ونقطة الأصل، و${\displaystyle \varphi }$هي الزاوية التي يصنعها الخط الواصل من نقطة الأصل إلى النقطة مع العدد الحقيقي الموجب (${\displaystyle x}$المحور ). في التحليل المركب، يُكتب موقع هذه النقطة بشكل تقليدي${\displaystyle re^{i\varphi }.}$لو$${\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ مع }}-\pi <\varphi \leq \pi ,}$$ ثمالجذر التربيعي الرئيسي لـ${\displaystyle z}$يُعرَّف على النحو التالي:$${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.}$$ وبالتالي، تُعرَّف دالة الجذر التربيعي الرئيسية باستخدام المحور الحقيقي غير الموجب كقطع فرعي . إذا${\displaystyle z}$هو عدد حقيقي غير سالب (وهذا يحدث إذا وفقط إذا${\displaystyle \varphi =0}$) ثم الجذر التربيعي الرئيسي لـ${\displaystyle z}$يكون${\displaystyle {\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};}$بمعنى آخر، الجذر التربيعي الرئيسي لعدد حقيقي غير سالب هو ببساطة الجذر التربيعي غير السالب المعتاد. من المهم أن${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$لأنه إذا، على سبيل المثال،${\displaystyle z=-2i}$(لذا${\displaystyle \varphi =-\pi /2}$) ثم الجذر التربيعي الرئيسي هو$${\displaystyle {\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i}$$ لكن باستخدام${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2}$بدلاً من ذلك، سينتج الجذر التربيعي الآخر${\displaystyle {\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.}$

دالة الجذر التربيعي الرئيسية هي دالة تحليلية في كل مكان باستثناء مجموعة الأعداد الحقيقية غير الموجبة (فهي غير متصلة حتى على الأعداد الحقيقية السالبة تمامًا ). متسلسلة تايلور المذكورة أعلاه لـ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$يظل هذا صحيحًا بالنسبة للأعداد المركبة${\displaystyle x}$مع${\displaystyle |x|<1.}$

ويمكن التعبير عن ما سبق أيضاً بدلالة الدوال المثلثية :$${\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).}$$

الصيغة الجبرية

عندما يتم التعبير عن العدد باستخدام أجزائه الحقيقية والخيالية، يمكن استخدام الصيغة التالية للجذر التربيعي الرئيسي: ^{[ 30 ] [ 31 ]}

$${\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},}$$

حيث sgn( y ) = 1 إذا كان y ≥ 0 و sgn( y ) = −1 فيما عدا ذلك. ^{[ 32 ]} على وجه الخصوص، يكون للجزء التخيلي من العدد الأصلي والقيمة الأساسية لجذره التربيعي نفس الإشارة. أما الجزء الحقيقي من القيمة الأساسية للجذر التربيعي فهو دائمًا غير سالب.

على سبيل المثال، تُعطى الجذور التربيعية الرئيسية لـ ± i بالصيغة التالية:

$${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.}$$

تعريف الجذر التربيعي لـ${\displaystyle x}$كرقم${\displaystyle y}$بحيث${\displaystyle y^{2}=x}$وقد تم تعميمها بالطريقة التالية.

الجذر التكعيبي لـ${\displaystyle x}$هو رقم${\displaystyle y}$بحيث${\displaystyle y^{3}=x}$ويُشار إليه بـ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}.}$

إذا كان n عددًا صحيحًا أكبر من اثنين، فإن الجذر النوني لـ${\displaystyle x}$هو رقم${\displaystyle y}$بحيث${\displaystyle y^{n}=x}$ويُشار إليه بـ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}.}$

بفرض أي كثيرة حدود p ، فإن جذر p هو عدد y بحيث يكون p ( y ) = 0. على سبيل المثال، الجذور النونية لـ x هي جذور كثيرة الحدود (في y ).${\displaystyle y^{n}-x.}$

تنص نظرية أبيل-روفيني على أنه بشكل عام، لا يمكن التعبير عن جذور متعددة الحدود من الدرجة الخامسة أو أعلى بدلالة الجذور النونية .

إذا كانت A مصفوفة أو مؤثرًا موجبًا تمامًا ، فإنه يوجد مصفوفة أو مؤثر موجب تمامًا واحد فقط ^B بحيث B² = A ؛ عندئذٍ نُعرّف A¹ ^/² = B. عمومًا، قد تحتوي المصفوفات على جذور تربيعية متعددة أو حتى عدد لا نهائي منها. على سبيل المثال، تحتوي مصفوفة الوحدة 2×2 على عدد لا نهائي من الجذور التربيعية، ^{[ 34 ]} على الرغم من أن واحدًا منها فقط موجب تمامًا.

لا يوجد لأكثر من جذرين تربيعيين أي عنصر في مجال تكاملي . وقد تم إثبات عنصر التطابق u² - v² = (u - v)(u + v) باستخدام خاصية التبديل في ^الضرب . إذا كان u و v جذرين تربيعيين لنفس العنصر ، فإن ^u² - v² = 0. ولعدم وجود قواسم صفرية، فإن u ⁼ v أو u + v = 0 ، حيث يعني الأخير أن الجذرين هما معكوسان جمعيان لبعضهما البعض. بعبارة أخرى، إذا وُجد جذر تربيعي ^u للعنصر a ، فإن الجذرين التربيعيين الوحيدين لـ a هما u و -u . والجذر التربيعي الوحيد للصفر في مجال تكاملي هو الصفر نفسه.

في حقل ذي خاصية  ٢، يكون لكل عنصر جذر تربيعي واحد أو لا يكون له جذر تربيعي على الإطلاق، لأن كل عنصر هو معكوسه الجمعي، وبالتالي − u = u . إذا كان الحقل محدودًا وله خاصية  ٢، فإن لكل عنصر جذرًا تربيعيًا وحيدًا. أما في حقل ذي خاصية أخرى، فإن أي عنصر غير صفري إما أن يكون له جذران تربيعيان، كما ذُكر سابقًا، أو لا يكون له جذران تربيعيان.

بفرض عدد أولي فردي p ، ولتكن q = p ^e لعدد صحيح موجب e . يُسمى العنصر غير الصفري في الحقل F _q الذي يحتوي على q عنصرًا باقيًا تربيعيًا إذا كان له جذر تربيعي في F _q . وإلا، فهو ليس باقيًا تربيعيًا. يوجد ( q − 1)/2 باقيًا تربيعيًا و ( q − 1)/2 باقيًا تربيعيًا غير باقٍ؛ ولا يُحتسب الصفر في أي من الفئتين. تُشكل البواقي التربيعية زمرةً تحت الضرب. تُستخدم خصائص البواقي التربيعية على نطاق واسع في نظرية الأعداد .

على عكس المجال التكاملي، فإن الجذر التربيعي في أي حلقة (أحادية) ليس بالضرورة أن يكون وحيدًا حتى الإشارة. على سبيل المثال، في الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$بالنسبة للأعداد الصحيحة modulo 8 (وهو تبديلي، ولكن له قواسم صفرية)، فإن العنصر 1 له أربعة جذور تربيعية مميزة: ±1 و ±3.

مثال آخر هو حلقة الكواترنيونات${\displaystyle \mathbb {H} ,}$وهي مجموعة لا تحتوي على قواسم صفرية، ولكنها ليست تبديلية. هنا، للعنصر -1 عدد لا نهائي من الجذور التربيعية ، بما في ذلك ± i و ± j و ± k . في الواقع، مجموعة الجذور التربيعية للعدد -1 هي بالضبط$${\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.}$$

الجذر التربيعي للصفر إما أن يكون صفرًا أو قاسمًا للصفر. لذا، في الحلقات التي لا يوجد فيها قواسم للصفر، يكون الجذر التربيعي للصفر صفرًا بشكل فريد. مع ذلك، قد تحتوي الحلقات التي يوجد فيها قواسم للصفر على جذور تربيعية متعددة للصفر. على سبيل المثال، في${\displaystyle \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,}$أي مضاعف للعدد n هو جذر تربيعي للصفر.

يُعرَّف الجذر التربيعي لعدد موجب عادةً بأنه طول ضلع مربع مساحته تساوي ذلك العدد. لكن الشكل المربع ليس شرطًا أساسيًا: فإذا كان أحد شكلين مستويين متشابهين في الفضاء الإقليدي مساحته تساوي مساحة الآخر ، فإن نسبة أطوال أضلاعهما تساوي 1 .${\displaystyle {\sqrt {a}}}$.

يمكن إيجاد الجذر التربيعي باستخدام الفرجار والمسطرة. في كتابه "الأصول" ، قدّم إقليدس ( الذي ازدهر في القرن الثالث  قبل الميلاد) طريقة حساب المتوسط ​​الهندسي لكميتين في موضعين مختلفين: القضية الثانية، الفقرة 14 والقضية السادسة، الفقرة 13. بما أن المتوسط ​​الهندسي لـ a و b هو${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$يمكن للمرء أن يبني${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ببساطة عن طريق أخذ b = 1 .

وقد ورد هذا البناء أيضاً في كتاب ديكارت " الهندسة" ، انظر الشكل 2 في الصفحة 2. ومع ذلك، لم يدّعِ ديكارت الأصالة، وكان جمهوره على دراية تامة بإقليدس.

يعتمد برهان إقليدس الثاني في الكتاب السادس على نظرية المثلثات المتشابهة . ليكن AHB قطعة مستقيمة طولها a + b ، حيث AH = a و HB = b . نرسم دائرة قطرها AB، ولتكن C إحدى نقطتي تقاطع الوتر العمودي عند H مع الدائرة، ولنرمز إلى طول CH بالرمز h . باستخدام نظرية طاليس ، وكما في برهان نظرية فيثاغورس باستخدام المثلثات المتشابهة ، فإن المثلث AHC مشابه للمثلث CHB (كما هو الحال مع المثلث ACB، مع أننا لسنا بحاجة إلى ذلك، ولكنه جوهر برهان نظرية فيثاغورس)، بحيث يكون AH:CH مماثلاً لـ HC:HB، أي a / h = h / b ^، ومنه نستنتج بالضرب التبادلي أن h² = ab ، وأخيرًا أن${\displaystyle h={\sqrt {ab}}}$عند تحديد نقطة المنتصف O للقطعة المستقيمة AB ورسم نصف القطر OC الذي طوله ( a + b )/2 ، فمن الواضح أن OC > CH، أي أن${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$(مع المساواة إذا وفقط إذا كان a = b )، وهو متباينة المتوسط ​​الحسابي الهندسي لمتغيرين ، وكما ذكر أعلاه ، فهو أساس الفهم اليوناني القديم لـ "طريقة هيرون".

هناك طريقة أخرى للإنشاء الهندسي تستخدم المثلثات القائمة والاستقراء :${\displaystyle {\sqrt {1}}}$يمكن بناؤها، وبمجرد ذلك${\displaystyle {\sqrt {x}}}$تم بناء المثلث القائم الزاوية ذي الضلعين 1 و${\displaystyle {\sqrt {x}}}$يبلغ طول وتره${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$إن بناء الجذور التربيعية المتتالية بهذه الطريقة ينتج عنه حلزون ثيودوروس الموضح أعلاه.

• دوبين، جوزيف و. (2007). "الرياضيات الصينية 1". في كاتز، فيكتور ج. (محرر). رياضيات مصر وبلاد ما بين النهرين والصين والهند والإسلام . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-11485-9.
• جلفاند، إسرائيل م . شين الكسندر (1993). الجبر (  الطبعة الثالثة). بيركهوسر. ص.  120. ردمك 0-8176-3677-3.
• جوزيف، جورج (2000). قمة الطاووس . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-00659-8.
• سميث، ديفيد (1958). تاريخ الرياضيات . المجلد  2. نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-20430-7.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• سيلين، هيلين (2008)، موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية ، سبرينغر، رمز Bibcode : 2008ehst.book.....S ، ISBN 978-1-4020-4559-2.

• الخوارزميات والتطبيقات والمزيد – صفحة بول هسيه الإلكترونية حول الجذور التربيعية 
• كيفية إيجاد الجذر التربيعي يدويًا
• مقال مميز من الجمعية الأمريكية للرياضيات، بعنوان "حسابات غاليليو" بقلم توني فيليبس – يتضمن قسمًا حول كيفية إيجاد غاليليو للجذور التربيعية