دالة خطية متعددة القطع

في الرياضيات ، الدالة الخطية المجزأة أو المجزأة هي دالة ذات قيم حقيقية لمتغير حقيقي، ويتكون رسمها البياني من قطع مستقيمة . ^{[ 1 ]}

الدالة الخطية القطعية هي دالة معرفة على فترة (قد تكون غير محدودة) من الأعداد الحقيقية ، بحيث توجد مجموعة من الفترات التي تكون فيها الدالة خطية تآلفية . (وبالتالي، فإن مصطلح "خطية قطعية" يُعرَّف في الواقع بأنه " خطية قطعية "). إذا كان مجال الدالة مضغوطًا ، فلا بد من وجود مجموعة منتهية من هذه الفترات؛ أما إذا لم يكن المجال مضغوطًا، فقد يُشترط أن يكون منتهيًا أو منتهيًا محليًا في الأعداد الحقيقية.

الدالة المعرفة بواسطة

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-x-3&{\text{إذا كان }}x\leq -3\\x+3&{\text{إذا كان }}-3<x<0\\-2x+3&{\text{إذا كان }}0\leq x<3\\0.5x-4.5&{\text{إذا كان }}x\geq 3\end{cases}}}$

هي دالة خطية متعددة القطع تتكون من أربعة أجزاء. يظهر رسم هذه الدالة على اليمين. بما أن رسم الدالة الأفينية (*) هو خط مستقيم ، فإن رسم الدالة الخطية متعددة القطع يتكون من قطع مستقيمة وأشعة . تُسمى قيم x (في المثال أعلاه -3، 0، و3) التي يتغير عندها الميل عادةً بنقاط الانقطاع، أو نقاط التغير، أو القيم الحدية ، أو العقد. وكما هو الحال في العديد من التطبيقات، فإن هذه الدالة متصلة أيضًا. رسم الدالة الخطية المتصلة متعددة القطع على فترة مغلقة هو سلسلة مضلعية .

(*) الدالة الخطية تحقق بحسب التعريف${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$وبالتالي على وجه الخصوص${\displaystyle f(0)=0}$الدوال التي يكون رسمها البياني خطًا مستقيمًا هي دوال تآلفية وليست خطية .

توجد أمثلة أخرى للدوال الخطية المجزأة:

• القيمة المطلقة ^{[ 2 ]}
• وظيفة سن المنشار
• دالة الأرضية
• الدالة المتدرجة ، هي دالة تتكون من دوال فرعية ثابتة، ولذلك تسمى أيضًا دالة ثابتة جزئيًا
  • وظيفة عربة الشحن ،
  • دالة هيفسايد المتدرجة ^{[ 2 ]}
  • دالة الإشارة
• الدالة المثلثية

يمكن إيجاد تقريب لمنحنى معروف عن طريق أخذ عينات من المنحنى وإجراء استيفاء خطي بين النقاط. وقد نُشرت خوارزمية لحساب أهم النقاط مع مراعاة هامش خطأ محدد. ^{[ 3 ]}

إذا كانت التقسيمات، ومن ثم نقاط الانقطاع، معروفة مسبقًا، فيمكن إجراء الانحدار الخطي بشكل مستقل على هذه التقسيمات. ومع ذلك، لا يتم الحفاظ على الاستمرارية في هذه الحالة، كما لا يوجد نموذج مرجعي فريد للبيانات المرصودة. وقد تم اشتقاق خوارزمية مستقرة لهذه الحالة. ^{[ 4 ]}

إذا لم تكن التقسيمات معروفة، فيمكن استخدام مجموع مربعات البواقي لاختيار نقاط الفصل المثلى. ^{[ 5 ]} ومع ذلك، يمكن الحصول على حساب فعال وتقدير مشترك لجميع معلمات النموذج (بما في ذلك نقاط الفصل) من خلال إجراء تكراري ^{[ 6 ]} مُطبق حاليًا في الحزمة segmented^{[ 7 ]} للغة R.

يتعلم نوع من أنواع تعلم شجرة القرار يسمى أشجار النموذج الدوال الخطية المجزأة. ^{[ 8 ]}

يُعدّ مفهوم الدالة الخطية القطعية مفهومًا ذا دلالة في سياقاتٍ عديدة. يمكن تعريف الدوال الخطية القطعية على الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ، أو بشكلٍ أعمّ على أي فضاء متجهي أو فضاء تآلفي ، وكذلك على المشعبات الخطية القطعية والمجمعات التبسيطية (انظر الخريطة التبسيطية ). في كل حالة، قد تكون الدالة حقيقية القيمة، أو قد تأخذ قيمًا من فضاء متجهي، أو فضاء تآلفي، أو مشعب خطي قطعي، أو مجمع تبسيطي. (في هذه السياقات، لا يقتصر مصطلح "خطي" على التحويلات الخطية فحسب ، بل يشمل الدوال الخطية التآلفية الأكثر عمومية ).

في الأبعاد الأعلى من واحد، من الشائع اشتراط أن يكون مجال كل جزء مضلعًا أو متعدد السطوح . وهذا يضمن أن يكون رسم الدالة مكونًا من أجزاء مضلعة أو متعددة السطوح.

تقوم الدوال التكعيبية بتعميم الدوال الخطية القطعية إلى كثيرات الحدود من الدرجة الأعلى، والتي يتم تعميمها بدورها بواسطة الدوال الملساء القطعية والقابلة للتفاضل القطعي.

تشمل الفئات الفرعية المهمة للدوال الخطية القطعية الدوال الخطية القطعية المتصلة والدوال الخطية القطعية المحدبة . بشكل عام، لكل دالة خطية قطعية متصلة ذات بُعد n${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$، هناك

${\displaystyle \Pi \in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1}))}$

بحيث

${\displaystyle f({\vec {x}})=\min _{\Sigma \in \Pi }\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.}$^{[ 9 ]}

لو${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة محدبة ومتصلة، فإن هناك

${\displaystyle \Sigma \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1})}$

بحيث

${\displaystyle f({\vec {x}})=\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.}$

في مجال الزراعة، يتم استخدام تحليل الانحدار القطعي للبيانات المقاسة للكشف عن النطاق الذي تؤثر فيه عوامل النمو على المحصول والنطاق الذي لا يكون فيه المحصول حساسًا للتغيرات في هذه العوامل.

تُظهر الصورة على اليسار أن المحصول ينخفض ​​عند مستويات المياه الجوفية الضحلة ، بينما لا يتأثر عند مستويات المياه الجوفية العميقة (أكثر من 7 دسم). تم إنشاء الرسم البياني باستخدام طريقة المربعات الصغرى لإيجاد القطعتين اللتين تُمثلان أفضل تطابق .

يُظهر الرسم البياني على اليمين أن غلة المحاصيل تتحمل ملوحة التربة حتى 8 ديسي سيمنز/متر (ECe هي الموصلية الكهربائية لمستخلص عينة تربة مشبعة)، بينما ينخفض ​​إنتاج المحاصيل بعد تجاوز هذه القيمة. تم إنشاء الرسم البياني باستخدام طريقة الانحدار الجزئي لإيجاد أطول نطاق "بدون تأثير"، أي حيث يكون الخط أفقيًا. لا يشترط أن يلتقي الجزآن في نفس النقطة. تم استخدام طريقة المربعات الصغرى فقط للجزء الثاني.

• الاستيفاء الخطي
• الاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية
• الهندسة الاستوائية
• سلسلة متعددة الأضلاع

• آبس، ب.، لونغ، ن.، وريس، ر. (2014). الضرائب الخطية المثلى على الدخل . مجلة نظرية الاقتصاد العام ، 16 (4)، 523-545.