دالة محدبة

في الرياضيات ، تسمى الدالة ذات القيمة الحقيقية محدبة إذا كان الخط المستقيم بين أي نقطتين متميزتين على رسم الدالة يقع أعلى أو على الرسم البياني بين النقطتين. وعلى نحو مكافئ، تكون الدالة محدبة إذا كان خطها المنقوش (مجموعة النقاط على أو أعلى رسم الدالة) عبارة عن مجموعة محدبة . وبعبارات بسيطة، يكون رسم الدالة المحدبة على شكل كوب (أو خط مستقيم مثل الدالة الخطية)، بينما يكون رسم الدالة المقعرة على شكل غطاء . ${\displaystyle \cup }$${\displaystyle \cap }$

تكون الدالة القابلة للاشتقاق مرتين لمتغير واحد محدبة إذا وفقط إذا كانت مشتقتها الثانية غير سالبة على مجالها بالكامل . ^[1] تشمل الأمثلة المعروفة للدوال المحدبة لمتغير واحد دالة خطية (حيث هو عدد حقيقي )، ودالة تربيعية ( كعدد حقيقي غير سالب) ودالة أسية ( كعدد حقيقي غير سالب). ${\displaystyle f(x)=cx}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle cx^{2}}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle ce^{x}}$${\displaystyle c}$

تلعب الدوال المحدبة دورًا مهمًا في العديد من مجالات الرياضيات. وهي مهمة بشكل خاص في دراسة مشكلات التحسين حيث تتميز بعدد من الخصائص الملائمة. على سبيل المثال، لا تحتوي الدالة المحدبة تمامًا على مجموعة مفتوحة على أكثر من حد أدنى واحد . حتى في المساحات ذات الأبعاد اللانهائية، وفي ظل فرضيات إضافية مناسبة، تستمر الدوال المحدبة في تلبية مثل هذه الخصائص ونتيجة لذلك، فهي الدوال الأكثر فهمًا في حساب المتغيرات . في نظرية الاحتمالات ، تكون الدالة المحدبة المطبقة على القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي محدودة دائمًا من الأعلى بالقيمة المتوقعة للدالة المحدبة للمتغير العشوائي. يمكن استخدام هذه النتيجة، المعروفة باسم متباينة جينسن ، لاستنتاج متباينات مثل متباينة المتوسط ​​الحسابي والهندسي ومتباينة هولدر .

ليكن مجموعة محدبة من فضاء متجه حقيقي وليكن دالة. ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

ثم يُسمى محدبًا إذا وفقط إذا تحقق أي من الشروط المكافئة التالية: ${\displaystyle f}$

1. بالنسبة للكل والجميع : يمثل الجانب الأيمن الخط المستقيم بين و في الرسم البياني لـ كدالة للزيادة من إلى أو النقصان من إلى تكتسح هذا الخط. وبالمثل، تمثل وسيطة الدالة في الجانب الأيسر الخط المستقيم بين و في أو المحور - للرسم البياني لـ لذا، يتطلب هذا الشرط أن يكون الخط المستقيم بين أي زوج من النقاط على منحنى أعلى أو يلتقي بالرسم البياني. ^[2]${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$$${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$${\displaystyle \left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)}$${\displaystyle \left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t;}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$
2. بالنسبة للكل و الكل بحيث : الفرق بين هذا الشرط الثاني فيما يتعلق بالشرط الأول أعلاه هو أن هذا الشرط لا يتضمن نقاط التقاطع (على سبيل المثال، و ) بين الخط المستقيم المار عبر زوج من النقاط على منحنى (يمثل الخط المستقيم الجانب الأيمن من هذا الشرط) ومنحنى الشرط الأول يتضمن نقاط التقاطع كما يصبح أو عند أو أو في الواقع، لا يلزم اعتبار نقاط التقاطع في شرط محدب باستخدام لأن و صحيحان دائمًا (لذا ليس من المفيد أن يكونا جزءًا من شرط). ${\displaystyle 0<t<1}$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$$${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$${\displaystyle \left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)}$${\displaystyle \left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f;}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{1}\right)}$${\displaystyle f\left(x_{2}\right)\leq f\left(x_{2}\right)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle 1,}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}.}$$${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{1}\right)}$${\displaystyle f\left(x_{2}\right)\leq f\left(x_{2}\right)}$

العبارة الثانية التي تميز الدوال المحدبة التي يتم تقييمها في الخط الحقيقي هي أيضًا العبارة المستخدمة لتحديد الدوال المحدبة التي يتم تقييمها في الخط الحقيقي الممتد حيث يُسمح لمثل هذه الدالة بأخذ قيمة. لا يتم استخدام العبارة الأولى لأنها تسمح بأخذ أو كقيمة، وفي هذه الحالة، إذا أو على التوالي، فإن then ستكون غير معرفة (لأن الضرب و غير معرفة). المجموع غير معرف أيضًا، لذا يُسمح عادةً لدالة محدبة ممتدة ذات قيمة حقيقية بأخذ واحد فقط من و كقيمة. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \pm \infty }$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=\pm \infty }$${\displaystyle f\left(x_{2}\right)=\pm \infty ,}$${\displaystyle tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$${\displaystyle 0\cdot \infty }$${\displaystyle 0\cdot (-\infty )}$${\displaystyle -\infty +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$

يمكن أيضًا تعديل العبارة الثانية للحصول على تعريف التحدب الصارم ، حيث يتم الحصول على الأخير عن طريق الاستبدال بالمتباينة الصارمة. صراحةً، تسمى الخريطة محدبة تمامًا إذا وفقط إذا كان لجميع الأعداد الحقيقية وجميعها بحيث : ${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \,<.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0<t<1}$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$$${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)<tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$

الدالة المحدبة تمامًا هي دالة يكون فيها الخط المستقيم بين أي زوج من النقاط على المنحنى أعلى المنحنى باستثناء نقاط التقاطع بين الخط المستقيم والمنحنى. مثال على دالة محدبة ولكنها ليست محدبة تمامًا هي . هذه الدالة ليست محدبة تمامًا لأن أي نقطتين تشتركان في إحداثي x سيكون بينهما خط مستقيم، بينما أي نقطتين لا تشتركان في إحداثي x سيكون لهما قيمة دالة أكبر من النقطتين بينهما. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y}$

يقال أن الدالة مقعرة (أو مقعرة تمامًا ) إذا كان ( مضروبًا في -1) محدبًا (أو محدبًا تمامًا). ${\displaystyle f}$${\displaystyle -f}$${\displaystyle f}$

غالبًا ما يُشار إلى مصطلح محدب باسم محدب لأسفل أو مقعر لأعلى ، وغالبًا ما يُشار إلى مصطلح مقعر باسم مقعر لأسفل أو محدب لأعلى . ^{[3] [4] [5]} إذا تم استخدام مصطلح "محدب" بدون كلمة رئيسية "أعلى" أو "أسفل"، فإنه يشير بدقة إلى رسم بياني على شكل كوب . على سبيل المثال، تشير متباينة جينسن إلى متباينة تتضمن دالة محدبة أو محدبة (أسفل). ^[6]${\displaystyle \cup }$

تتمتع العديد من خصائص الدوال المحدبة بنفس الصيغة البسيطة للدوال ذات المتغيرات المتعددة كما هو الحال بالنسبة للدوال ذات المتغير الواحد. انظر أدناه خصائص حالة المتغيرات المتعددة، حيث إن بعضها غير مدرج للدوال ذات المتغير الواحد.

• افترض أن دالة لمتغير حقيقي واحد محدد على فاصل، ودع (لاحظ أن هو ميل الخط الأرجواني في الرسم الأول؛ تكون الدالة متماثلة في المتوسطات التي لا تتغير بالتبادل و ). تكون محدبة إذا وفقط إذا كانت غير متناقصة بشكل رتيب في لكل ثابت (أو العكس). إن توصيف التحدب هذا مفيد للغاية لإثبات النتائج التالية.${\displaystyle f}$$${\displaystyle R(x_{1},x_{2})={\f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}$$${\displaystyle R(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (x_{1},x_{2}),}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle x_{1},}$${\displaystyle x_{2}}$
• تكون الدالة المحدبة لمتغير حقيقي واحد محدد على فترة مفتوحة متصلة على تقبل المشتقات اليسرى واليمنى ، وهي غير متناقصة بشكل رتيب . بالإضافة إلى ذلك، تكون المشتقة اليسرى متصلة يسارًا والمشتقة اليمنى متصلة يمينًا. ونتيجة لذلك، تكون قابلة للاشتقاق في جميع النقاط ولكن في أقصى عدد يمكن عده ، ومع ذلك يمكن أن تكون المجموعة التي لا يمكن الاشتقاق عليها كثيفة. إذا كانت مغلقة، فقد تفشل في أن تكون متصلة عند نقاط النهاية لـ (يتم عرض مثال في قسم الأمثلة).${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$
• تكون الدالة القابلة للاشتقاق لمتغير واحد محدبة على فترة إذا وفقط إذا كانت مشتقتها غير متناقصة بشكل رتيب على تلك الفترة. إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق ومحدبة، فإنها تكون قابلة للاشتقاق بشكل مستمر أيضًا .
• تكون الدالة القابلة للاشتقاق لمتغير واحد محدبة على فترة إذا وفقط إذا كان رسمها البياني يقع فوق جميع مماساتها : [ ^{7] : 69} لجميع وفي الفترة.$${\displaystyle f(x)\geq f(y)+f'(y)(x-y)}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• تكون الدالة القابلة للاشتقاق مرتين لمتغير واحد محدبة على فاصل إذا وفقط إذا كانت مشتقتها الثانية غير سالبة هناك؛ وهذا يعطي اختبارًا عمليًا للتحدب. بصريًا، تنحني الدالة المحدبة القابلة للاشتقاق مرتين لأعلى، دون أي انحناءات في الاتجاه الآخر ( نقاط الانعطاف ). إذا كانت مشتقتها الثانية موجبة عند جميع النقاط، فإن الدالة تكون محدبة تمامًا، ولكن العكس لا ينطبق. على سبيل المثال، المشتقة الثانية لـ هي ، والتي تساوي صفرًا لـ ولكن محدبة تمامًا. ${\displaystyle f(x)=x^{4}}$${\displaystyle f''(x)=12x^{2}}$${\displaystyle x=0,}$${\displaystyle x^{4}}$
  • هذه الخاصية والخاصية أعلاه من حيث "... مشتقتها غير متناقصة رتيبة..." ليست متساوية لأنه إذا كانت غير سلبية على فاصل فإنها تكون غير متناقصة رتيبة على بينما عكسها ليس صحيحًا، على سبيل المثال، تكون غير متناقصة رتيبة على بينما مشتقتها غير محددة في بعض النقاط على .${\displaystyle f''}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f''}$${\displaystyle X}$
• إذا كانت دالة محدبة لمتغير حقيقي واحد، و ، فإنها تكون زائدة على الأعداد الحقيقية الموجبة ، أي للأعداد الحقيقية الموجبة و .${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)\leq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a+b)\geq f(a)+f(b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• تكون الدالة محدبة عند منتصف الفاصلة إذا كان هذا الشرط أضعف قليلاً من التحدب. على سبيل المثال، تكون دالة ليبيج القابلة للقياس ذات القيمة الحقيقية والتي تكون محدبة عند منتصف الفاصلة محدبة: هذه نظرية سيربينسكي . ^[8] وعلى وجه الخصوص، تكون الدالة المستمرة التي تكون محدبة عند منتصف الفاصلة محدبة.${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in C}$ $${\displaystyle f\!\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}.}$$

• إن الدالة التي تكون محدبة بشكل هامشي في كل متغير فردي لا تكون بالضرورة محدبة (بشكل مشترك). على سبيل المثال، تكون الدالة خطية بشكل هامشي ، وبالتالي محدبة بشكل هامشي، في كل متغير، ولكنها ليست محدبة (بشكل مشترك).${\displaystyle f(x,y)=xy}$
• تكون الدالة المقدرة بالأعداد الحقيقية الممتدة محدبة إذا وفقط إذا كان رسمها التوضيحي عبارة عن مجموعة محدبة.${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ $${\displaystyle \{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}}$$
• تكون الدالة القابلة للاشتقاق المعرفة على مجال محدب محدبة إذا وفقط إذا كانت تنطبق على كل ما في المجال.${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\geq f(y)+\nabla f(y)^{T}\cdot (x-y)}$${\displaystyle x,y}$
• تكون الدالة القابلة للاشتقاق مرتين لعدة متغيرات محدبة على مجموعة محدبة إذا وفقط إذا كانت مصفوفة هيسيان للمشتقات الجزئية الثانية الخاصة بها شبه محددة موجبة على الجزء الداخلي من المجموعة المحدبة.
• بالنسبة للدالة المحدبة، فإن المجموعات الفرعية و مع هي مجموعات محدبة. تسمى الدالة التي تلبي هذه الخاصية دالة شبه محدبة وقد تفشل في أن تكون دالة محدبة.${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \{x:f(x)<a\}}$${\displaystyle \{x:f(x)\leq a\}}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• وبالتالي، فإن مجموعة المصغرات العالمية للدالة المحدبة هي مجموعة محدبة: - محدبة.${\displaystyle f}$${\displaystyle {\operatorname {argmin} }\,f}$
• أي حد أدنى محلي لدالة محدبة هو أيضًا حد أدنى عالمي . سيكون للدالة المحدبة تمامًا حد أدنى عالمي واحد على الأكثر. ^[9]
• تنطبق متباينة جينسن على كل دالة محدبة . إذا كان متغيرًا عشوائيًا يأخذ قيمًا في مجال فإن حيث يشير إلى التوقع الرياضي . في الواقع، الدوال المحدبة هي بالضبط تلك التي تلبي فرضية متباينة جينسن .${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {E} (f(X))\geq f(\operatorname {E} (X)),}$${\displaystyle \operatorname {E} }$
• يجب أن تكون الدالة المتجانسة من الدرجة الأولى المكونة من متغيرين موجبين و (أي دالة تحقق جميع القيم الحقيقية الموجبة ) والتي تكون محدبة في متغير واحد محدبة في المتغير الآخر. ^[10]${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle f(ax,ay)=af(x,y)}$${\displaystyle a,x,y>0}$

• ${\displaystyle -f}$يكون مقعرًا إذا وفقط إذا كان محدبًا.${\displaystyle f}$
• إذا كان أي عدد حقيقي فإنه يكون محدبًا إذا وفقط إذا كان محدبًا.${\displaystyle r}$${\displaystyle r+f}$${\displaystyle f}$
• المبالغ المرجحة غير السلبية:
  • إذا كانت و جميعها محدبة، فإن الأمر نفسه ينطبق على وجه الخصوص، مجموع دالتين محدبتين هو محدب.${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}\geq 0}$${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle w_{1}f_{1}+\cdots +w_{n}f_{n}.}$
  • تمتد هذه الخاصية إلى مبالغ لا نهائية ومتكاملات وقيم متوقعة أيضًا (بشرط وجودها).
• الحد الأقصى على أساس العنصر: ليكن مجموعة من الدوال المحدبة. عندئذ تكون محدبة. مجال هو مجموعة النقاط حيث تكون العبارة منتهية. حالات خاصة مهمة: ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle g(x)=\sup \nolimits _{i\in I}f_{i}(x)}$${\displaystyle g(x)}$
  • إذا كانت الدوال محدبة فإن الأمر كذلك${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle g(x)=\max \left\{f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)\right\}.}$
  • نظرية دانسكين : إذا كانت محدبة في فإنها تكون محدبة في حتى لو لم تكن مجموعة محدبة.${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(x)=\sup \nolimits _{y\in C}f(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$
• تعبير:
  • إذا كانت و دالة محدبة و غير متناقصة على مجال أحادي المتغير، فإن تكون محدبة. على سبيل المثال، إذا كانت محدبة، فإن تكون كذلك لأنها محدبة ومتزايدة بشكل رتيب.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle e^{f(x)}}$${\displaystyle e^{x}}$
  • إذا كانت مقعرة ومحدبة وغير متزايدة على مجال أحادي المتغير، فإنها تكون محدبة.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$
  • التحدب ثابت في الخرائط التآلفية: أي إذا كان محدبًا مع المجال ، فإن الأمر نفسه ينطبق على المجال ، حيث يكون مع المجال${\displaystyle f}$${\displaystyle D_{f}\subseteq \mathbf {R} ^{m}}$${\displaystyle g(x)=f(Ax+b)}$${\displaystyle A\in \mathbf {R} ^{m\times n},b\in \mathbf {R} ^{m}}$${\displaystyle D_{g}\subseteq \mathbf {R} ^{n}.}$
• التقليل: إذا كان محدبًا في ، فإنه يكون محدبًا في بشرط أن تكون مجموعة محدبة وأن${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle g(x)=\inf \nolimits _{y\in C}f(x,y)}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g(x)\neq -\infty .}$
• إذا كان محدبًا، فإن منظوره مع المجال يكون محدبًا.${\displaystyle f}$${\displaystyle g(x,t)=tf\left({\tfrac {x}{t}}\right)}$${\displaystyle \left\{(x,t):{\tfrac {x}{t}}\in \operatorname {Dom} (f),t>0\right\}}$
• ليكن فضاء متجه. محدب ويلبي إذا وفقط إذا لأي وأي أعداد حقيقية غير سالبة تلبي${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbf {R} }$${\displaystyle f(0)\leq 0}$${\displaystyle f(ax+by)\leq af(x)+bf(y)}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a+b\leq 1.}$

يمتد مفهوم التحدب الشديد ويحدد معلمات مفهوم التحدب الصارم. بديهيًا، فإن الدالة شديدة التحدب هي دالة تنمو بنفس سرعة الدالة التربيعية. ^[11] تكون الدالة شديدة التحدب أيضًا محدبة تمامًا، ولكن ليس العكس. إذا كانت الدالة أحادية البعد قابلة للاشتقاق مرتين بشكل مستمر وكان المجال هو الخط الحقيقي، فيمكننا وصفها على النحو التالي: ${\displaystyle f}$

• ${\displaystyle f}$محدب إذا وفقط إذا بالنسبة لجميع${\displaystyle f''(x)\geq 0}$${\displaystyle x.}$
• ${\displaystyle f}$محدب تمامًا إذا كان للجميع (ملاحظة: هذا كافٍ، ولكن ليس ضروريًا).${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle f}$محدب بشدة إذا وفقط إذا بالنسبة لجميع${\displaystyle f''(x)\geq m>0}$${\displaystyle x.}$

على سبيل المثال، لنفترض أن تكون محدبة تمامًا، ونفترض أن هناك سلسلة من النقاط بحيث . على الرغم من أن ، فإن الدالة ليست محدبة بشدة لأن ستصبح صغيرة بشكل تعسفي. ${\displaystyle f}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle f''(x_{n})={\tfrac {1}{n}}}$${\displaystyle f''(x_{n})>0}$${\displaystyle f''(x)}$

بشكل عام، تسمى الدالة القابلة للاشتقاق محدبة بشدة مع معامل إذا كانت المتباينة التالية صحيحة لجميع النقاط في مجالها: ^[12] أو، بشكل عام، حيث يكون أي حاصل ضرب داخلي ، و هو المعيار المقابل . يشير بعض المؤلفين، مثل ^[13] إلى الدوال التي تلبي هذه المتباينة على أنها دوال إهليلجية . ${\displaystyle f}$${\displaystyle m>0}$${\displaystyle x,y}$$${\displaystyle (\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y)\geq m\|x-y\|_{2}^{2}}$$$${\displaystyle \langle \nabla f(x)-\nabla f(y),x-y\rangle \geq m\|x-y\|^{2}}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \|\cdot \|}$

الشرط المكافئ هو التالي: ^[14] $${\displaystyle f(y)\geq f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+{\frac {m}{2}}\|y-x\|_{2}^{2}}$$

ليس من الضروري أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق حتى تكون محدبة بشدة. التعريف الثالث ^[14] للدالة المحدبة بشدة، مع المعلمة هو أنه بالنسبة لجميع الدوال في المجال و${\displaystyle m,}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle t\in [0,1],}$ $${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-{\frac {1}{2}}mt(1-t)\|x-y\|_{2}^{2}}$$

لاحظ أن هذا التعريف يقترب من تعريف التحدب الصارم كما هو وهو مطابق لتعريف الدالة المحدبة عندما وعلى الرغم من ذلك، توجد دوال محدبة تمامًا ولكنها ليست محدبة بقوة لأي منها (انظر المثال أدناه). ${\displaystyle m\to 0,}$${\displaystyle m=0.}$${\displaystyle m>0}$

إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق بشكل مستمر مرتين، فإنها تكون محدبة بشدة مع المعامل إذا وفقط إذا لجميع ما في المجال، حيث تكون المتطابقة و هي مصفوفة هيسان ، ويعني التباين أن تكون شبه محددة موجبة . وهذا يعادل اشتراط أن تكون القيمة الذاتية الدنيا لـ على الأقل لجميع إذا كان المجال هو مجرد خط حقيقي، فإن تكون مجرد مشتقة ثانية وبالتالي يصبح الشرط . إذا كان هذا يعني أن هيسان شبه محدد موجب (أو إذا كان المجال هو خط حقيقي، فهذا يعني أن )، مما يعني أن الدالة محدبة، وربما محدبة تمامًا، ولكن ليست محدبة بشدة. ${\displaystyle f}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)\succeq mI}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \nabla ^{2}f}$${\displaystyle \succeq }$${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)-mI}$${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)}$${\displaystyle f''(x),}$${\displaystyle f''(x)\geq m}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle f''(x)\geq 0}$

بافتراض أن الدالة قابلة للاشتقاق مرتين بشكل مستمر، يمكننا أن نظهر أن الحد الأدنى لـ يعني أنها محدبة بشدة. وباستخدام نظرية تايلور، يوجد مثل هذا: إذن بالافتراض حول القيم الذاتية، وبالتالي نستعيد معادلة التحدب القوية الثانية أعلاه. ${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)}$$${\displaystyle z\in \{tx+(1-t)y:t\in [0,1]\}}$$$${\displaystyle f(y)=f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+{\frac {1}{2}}(y-x)^{T}\nabla ^{2}f(z)(y-x)}$$$${\displaystyle (y-x)^{T}\nabla ^{2}f(z)(y-x)\geq m(y-x)^{T}(y-x)}$$

تكون الدالة محدبة بشدة ذات المعامل m إذا وفقط إذا كانت الدالة محدبة. ${\displaystyle f}$$${\displaystyle x\mapsto f(x)-{\frac {m}{2}}\|x\|^{2}}$$

الدالة القابلة للاشتقاق المستمر مرتين على نطاق مضغوط والتي تحقق جميع الشروط تكون محدبة بشدة. ويتبع إثبات هذه العبارة نظرية القيمة القصوى ، والتي تنص على أن الدالة المستمرة على مجموعة مضغوطة لها حد أقصى وحد أدنى. ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle x\in X}$

بشكل عام، تكون الدوال المحدبة بشدة أسهل في التعامل معها من الدوال المحدبة أو المحدبة تمامًا، لأنها فئة أصغر. ومثل الدوال المحدبة تمامًا، فإن الدوال المحدبة بشدة لها حدود دنيا فريدة على المجموعات المدمجة.

إذا كانت f دالة محدبة بشدة ذات معامل m ، فإن: ^{[15] : Prop.6.1.4}

• لكل عدد حقيقي r ، مجموعة المستويات { x | f ( x ) ≤ r } مضغوطة .
• تحتوي الدالة f على حد أدنى عالمي فريد على R ⁿ .

الدالة المحدبة بشكل موحد، ^{[16] [17]} ذات معامل الانكسار ، هي دالة ، لجميع ما في المجال و تلبي حيث هي دالة غير سالبة وتختفي فقط عند 0. هذا تعميم لمفهوم الدالة المحدبة بشدة؛ من خلال أخذ نستعيد تعريف التحدب الشديد. ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle t\in [0,1],}$$${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-t(1-t)\phi (\|x-y\|)}$$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (\alpha )={\tfrac {m}{2}}\alpha ^{2}}$

ومن الجدير بالذكر أن بعض المؤلفين يشترطون أن يكون معامل التناسب دالة متزايدة، ^[17] ولكن هذا الشرط لا يشترطه جميع المؤلفين. ^[16]${\displaystyle \phi }$

• تحتوي الدالة على ، لذا فإن f هي دالة محدبة. وهي أيضًا محدبة بشدة (وبالتالي محدبة تمامًا أيضًا)، مع ثابت محدب قوي يساوي 2.${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle f''(x)=2>0}$
• تحتوي الدالة على ، لذا فإن f هي دالة محدبة. وهي محدبة تمامًا، على الرغم من أن المشتقة الثانية ليست موجبة تمامًا في جميع النقاط. وهي ليست محدبة بشدة.${\displaystyle f(x)=x^{4}}$${\displaystyle f''(x)=12x^{2}\geq 0}$
• دالة القيمة المطلقة محدبة (كما ينعكس في متباينة المثلث )، على الرغم من أنها لا تحتوي على مشتقة عند النقطة، فهي ليست محدبة تمامًا.${\displaystyle f(x)=|x|}$${\displaystyle x=0.}$
• الوظيفة محدبة .${\displaystyle f(x)=|x|^{p}}$${\displaystyle p\geq 1}$
• الدالة الأسية محدبة. وهي محدبة تمامًا أيضًا، حيث إنها ، لكنها ليست محدبة بشدة لأن المشتقة الثانية يمكن أن تكون قريبة من الصفر بشكل تعسفي. وبشكل عام، تكون الدالة محدبة لوغاريتميًا إذا كانت دالة محدبة. ويُستخدم مصطلح "محدبة للغاية" أحيانًا بدلاً من ذلك. ^[18]${\displaystyle f(x)=e^{x}}$${\displaystyle f''(x)=e^{x}>0}$${\displaystyle g(x)=e^{f(x)}}$${\displaystyle f}$
• الدالة ذات المجال [0,1] المحدد بواسطة for هي محدبة؛ فهي مستمرة على الفترة المفتوحة ولكنها غير مستمرة عند 0 و1.${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)=f(1)=1,f(x)=0}$${\displaystyle 0<x<1}$${\displaystyle (0,1),}$
• تحتوي الدالة على مشتقة ثانية ؛ وبالتالي فهي محدبة في المجموعة حيث ومقعرة في المجموعة حيث${\displaystyle x^{3}}$${\displaystyle 6x}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle x\leq 0.}$
• تتضمن أمثلة الدوال التي تتزايد بشكل رتيب ولكنها ليست محدبة و .${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$${\displaystyle g(x)=\log x}$
• تتضمن أمثلة الدوال المحدبة ولكنها لا تتزايد بشكل رتيب ما يلي و .${\displaystyle h(x)=x^{2}}$${\displaystyle k(x)=-x}$
• الدالة التي تكون أكبر من 0 إذا كانت محدبة على الفترة . تكون مقعرة على الفترة .${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$${\displaystyle f''(x)={\tfrac {2}{x^{3}}}}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle (-\infty ,0)}$
• الدالة ذات ، محدبة على الفترة ومحدبة على الفترة ، ولكنها ليست محدبة على الفترة ، بسبب التفرد عند${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x^{2}}}}$${\displaystyle f(0)=\infty }$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle (-\infty ,0)}$${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$${\displaystyle x=0.}$

• دالة LogSumExp ، والتي تسمى أيضًا دالة softmax، هي دالة محدبة.
• الدالة على مجال المصفوفات المحددة الموجبة محدبة. ^{[7] : 74}${\displaystyle -\log \det(X)}$
• كل تحويل خطي ذو قيمة حقيقية يكون محدبًا ولكن ليس محدبًا تمامًا، لأنه إذا كان خطيًا، فإن . ينطبق هذا البيان أيضًا إذا استبدلنا كلمة "محدب" بكلمة "مقعرة".${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
• كل دالة أفينية ذات قيمة حقيقية ، أي أن كل دالة من النموذج تكون محدبة ومقعرة في نفس الوقت.${\displaystyle f(x)=a^{T}x+b,}$
• كل قاعدة هي دالة محدبة، من خلال متباينة المثلث والتجانس الإيجابي .
• نصف القطر الطيفي لمصفوفة غير سالبة هو دالة محدبة لعناصرها القطرية. ^[19]

• بيرتسيكاس، ديمتري (2003). التحليل المحدب والتحسين . أثينا العلمية.
• بوروين، جوناثان ، ولويس، أدريان. (2000). التحليل المحدب والتحسين غير الخطي. سبرينغر.
• دونوغو، ويليام ف. (1969). التوزيعات وتحويلات فورييه . أكاديميك بريس.
• هيريارت أوروتي، جان بابتيست، ولومارشال، كلود . (2004). أساسيات التحليل المحدب. برلين: سبرينغر.
• Krasnosel'skii MA ، Rutickii Ya.B. (1961). الدوال المحدبة وفضاءات أورليتش . جرونينجن: بي نوردهوف المحدودة.
• لوريتزن، نيلز (2013). التحدب الجامعي . النشر العلمي العالمي.
• لوينبرجر، ديفيد (1984). البرمجة الخطية وغير الخطية . أديسون-ويسلي.
• لوينبرجر، ديفيد (1969). التحسين باستخدام طرق الفضاء المتجهي . وايلي وأولاده.
• روكافيلار، آر تي (1970). التحليل المحدب . برينستون: مطبعة جامعة برينستون.
• تومسون، بريان (1994). الخصائص المتماثلة للوظائف الحقيقية . مطبعة سي آر سي.
• زالينسكو، سي. (2002). التحليل المحدب في فضاءات المتجهات العامة . ريفر إيدج، نيوجيرسي: شركة النشر العلمي العالمية، ص. xx+367. رقم ISBN 981-238-067-1. السيد  1921556.

• "الدالة المحدبة (لمتغير حقيقي)"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• "الدالة المحدبة (لمتغير مركب)"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]