نظرية القيمة المتطرفة

لنفترض الدالة${\displaystyle f}$لا يوجد حد أعلى على الفترة${\displaystyle [a,b]}$اختر تسلسلًا${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$بحيث${\displaystyle x_{n}\in [a,b]}$و${\displaystyle f(x_{n})>n}$. لأن${\displaystyle [a,b]}$إذا كانت محدودة، فإن نظرية بولزانو-ويرستراس تشير إلى وجود متتالية جزئية متقاربة.${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ل${\displaystyle ({x_{n}})}$. نرمز إلى نهايتها بـ${\displaystyle x}$. مثل${\displaystyle [a,b]}$مغلق، يحتوي على${\displaystyle x}$. لأن${\displaystyle f}$متصل عند${\displaystyle x}$نعلم أن${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})}$يتقارب إلى عدد حقيقي${\displaystyle f(x)}$(مثل${\displaystyle f}$متصلة بالتتابع عند${\displaystyle x}$). لكن${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})>n_{k}\geq k}$لكل${\displaystyle k}$وهذا يعني أن${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})}$يتباعد إلى${\displaystyle +\infty }$وهذا تناقض. لذلك،${\displaystyle f}$يحدها من الأعلى${\displaystyle [a,b]}$. ∎ 

ضع في اعتبارك المجموعة${\displaystyle B}$من النقاط${\displaystyle p}$في${\displaystyle [a,b]}$بحيث${\displaystyle f(x)}$يحدها${\displaystyle [a,p]}$نلاحظ أن${\displaystyle a}$إحدى هذه النقاط، لأن${\displaystyle f(x)}$يحدها${\displaystyle [a,a]}$بالقيمة${\displaystyle f(a)}$. لو${\displaystyle e>a}$ثم هناك نقطة أخرى، ثم جميع النقاط بينهما${\displaystyle a}$و${\displaystyle e}$وينتمي أيضًا إلى${\displaystyle B}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle B}$هي فترة مغلقة من طرفها الأيسر بواسطة${\displaystyle a}$.

الآن${\displaystyle f}$وهي متصلة على اليمين عند${\displaystyle a}$وبالتالي يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle |f(x)-f(a)|<1}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle [a,a+\delta ]}$. هكذا${\displaystyle f}$يحدها${\displaystyle f(a)-1}$و${\displaystyle f(a)+1}$في الفترة${\displaystyle [a,a+\delta ]}$بحيث تنتمي جميع هذه النقاط إلى${\displaystyle B}$.

حتى الآن، نعلم أن${\displaystyle B}$هي فترة ذات طول غير صفري، مغلقة من طرفها الأيسر بواسطة${\displaystyle a}$.

التالي،${\displaystyle B}$يحدها من الأعلى${\displaystyle b}$وبالتالي، فإن المجموعة${\displaystyle B}$له الأفضلية في${\displaystyle [a,b]}$لنسميها${\displaystyle s}$. من الطول غير الصفري لـ${\displaystyle B}$يمكننا أن نستنتج ذلك${\displaystyle s>a}$.

يفترض${\displaystyle s<b}$. الآن${\displaystyle f}$متصل عند${\displaystyle s}$وبالتالي يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle |f(x)-f(s)|<1}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$لهذا السبب.${\displaystyle f}$محدودة على هذه الفترة. لكن هذا يترتب على تفوق${\displaystyle s}$أن هناك نقطة تنتمي إلى${\displaystyle B}$،${\displaystyle e}$لنقل، وهو أكبر من${\displaystyle s-\delta /2}$. هكذا${\displaystyle f}$يحدها${\displaystyle [a,e]}$والتي تتداخل${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$لهذا السبب.${\displaystyle f}$يحدها${\displaystyle [a,s+\delta ]}$لكن هذا يتناقض مع سيادة${\displaystyle s}$.

لذلك يجب أن يكون لدينا${\displaystyle s=b}$. الآن${\displaystyle f}$وهي متصلة على اليسار عند${\displaystyle s}$وبالتالي يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle |f(x)-f(s)|<1}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle [s-\delta ,s]}$لهذا السبب.${\displaystyle f}$محدودة على هذه الفترة. لكن هذا يترتب على تفوق${\displaystyle s}$أن هناك نقطة تنتمي إلى${\displaystyle B}$،${\displaystyle e}$لنقل، وهو أكبر من${\displaystyle s-\delta /2}$. هكذا${\displaystyle f}$يحدها${\displaystyle [a,e]}$والتي تتداخل${\displaystyle [s-\delta ,s]}$لهذا السبب.${\displaystyle f}$يحدها${\displaystyle [a,s]}$. ∎  

بحسب نظرية التقييد، فإن الدالة f محدودة من الأعلى، وبالتالي، وفقًا لاكتمال ديديكيند للأعداد الحقيقية، يوجد حد أعلى أصغر (قيمة عليا) M للدالة f . يلزم إيجاد نقطة d في الفترة [ a , b ] بحيث يكون M = f ( d ). ليكن n عددًا طبيعيًا. بما أن M هو الحد الأعلى الأصغر ، فإن M − 1/ n ليس حدًا أعلى للدالة f . لذلك، توجد _نقطة d _n في الفترة [ a , b ] بحيث يكون M − 1/ n < f ( d_{_n} ). هذا يُعرّف متتالية { d_{_n} }. بما أن M حد أعلى للدالة f ، فإن M − 1/ n < f ( d _{_n} ) ≤ M لجميع قيم n . بالتالي، تتقارب المتتالية { f ( d_{_n} )} إلى M.

تنصّ نظرية بولزانو -فايرشتراس _على وجود متتالية جزئية { f ( dnk ₎ } تتقارب إلى قيمة ما d ، وبما أن الفترة [ _a , b ] مغلقة، فإن d تنتمي إلى [ a , b ]. ولأن f متصلة عند d _{، فإن} المتتالية { f ( dnk )} تتقارب إلى f ( d ). لكن { f ( dnk ₎ } متتالية جزئية من { f ( dn )} تتقارب إلى M ، لذا M = f ( d ). بالتالي، تصل _f إلى قيمتها العليا M عند d . 

المجموعة { y ∈ R  : y = f ( x ) لبعض x ∈ [ a , b ]} هي مجموعة محدودة. لذا، يوجد حدها الأعلى الأدنى وفقًا لخاصية الحد الأعلى الأدنى للأعداد الحقيقية. ليكن M = sup( f ( x ))  على [ a , b ] . إذا لم توجد نقطة x على [ a , b ] بحيث f ( x ) = M ، فإن f ( x ) < M على [ a , b ]. بالتالي، فإن 1/( M − f ( x )) دالة متصلة على [ a , b ].     

مع ذلك، لكل عدد موجب ε ، يوجد دائمًا x في الفترة [ a , b ] بحيث يكون M − f ( x ) < ε لأن M هو الحد الأعلى الأدنى. وبالتالي، 1/( M − f ( x )) > 1/ ε ، مما يعني أن 1/( M − f ( x )) غير محدودة. وبما أن كل دالة متصلة على الفترة [ a , b ] محدودة، فإن هذا يناقض الاستنتاج بأن 1/( M − f ( x )) كانت متصلة على الفترة [ a , b ]. لذلك، لا بد من وجود نقطة x في الفترة [ a , b ] بحيث يكون f ( x ) = M.     

في سياق حساب التفاضل والتكامل غير القياسي ، ليكن N عددًا فائقًا غير منتهٍ . للفترة [0, 1] امتداد طبيعي للأعداد الفائقة الحقيقية. لننظر في تقسيمها إلى N فترات جزئية متساوية الطول ( 1/ N) ، بنقاط تقسيم xᵢ = _i / N حيث i "تتراوح" من 0 إلى N. يمكن أيضًا تمديد الدالة ƒ بشكل طبيعي إلى دالة ƒ * معرفة على الأعداد الفائقة الحقيقية بين 0 و1. لاحظ أنه في السياق القياسي (عندما تكون N محدودة)، يمكن دائمًا اختيار نقطة ذات قيمة قصوى للدالة ƒ من بين N +1 نقطة xᵢ _، بالاستقراء. وبالتالي، وفقًا لمبدأ النقل ، يوجد عدد فائق صحيح i ≤ ₀ بحيث 0 ≤ i _≤ N و     ${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$لكل i  =  0،  ...، N. لنعتبر النقطة الحقيقية  $${\displaystyle c=\mathbf {st} (x_{i_{0}})}$$ حيث st هي دالة الجزء القياسية . تقع أي نقطة حقيقية x في فترة فرعية مناسبة من التقسيم، وهي:${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$بحيث يكون st ( xi ) ₌ x . بتطبيق st على المتباينة ${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$، نحصل${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))\geq \mathbf {st} (f^{*}(x_{i}))}$. من خلال استمرارية ƒ لدينا

${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))=f(\mathbf {st} (x_{i_{0}}))=f(c)}$.

وبالتالي، فإن ƒ ( c )  ≥ ƒ ( x )، لكل قيمة حقيقية x ، مما يثبت أن c هي القيمة العظمى لـ ƒ . ^{[ 5 ]} ∎

بحسب نظرية التقييد،${\displaystyle f(x)}$يحدها من الأعلى${\displaystyle [a,b]}$وبحسب خاصية اكتمال الأعداد الحقيقية، فإن لها قيمة عليا في${\displaystyle [a,b]}$لنسميها${\displaystyle M}$، أو${\displaystyle M[a,b]}$من الواضح أن تقييد${\displaystyle f}$إلى الفترة الفرعية${\displaystyle [a,x]}$أين${\displaystyle x\leq b}$له سيادة${\displaystyle M[a,x]}$وهو أقل من أو يساوي${\displaystyle M}$وذلك${\displaystyle M[a,x]}$ارتفاع من${\displaystyle f(a)}$ل${\displaystyle M}$مثل${\displaystyle x}$ارتفاع من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle b}$.

لو${\displaystyle f(a)=M}$وبذلك نكون قد انتهينا. لنفترض إذن أن${\displaystyle f(a)<M}$ودع${\displaystyle d=M-f(a)}$ضع في اعتبارك المجموعة${\displaystyle L}$من النقاط${\displaystyle x}$في${\displaystyle [a,b]}$بحيث${\displaystyle M[a,x]<M}$.

بوضوح ${\displaystyle a\in L}$ علاوة على ذلك إذا${\displaystyle e>a}$وهذه نقطة أخرى في${\displaystyle L}$ثم جميع النقاط الواقعة بينهما${\displaystyle a}$و${\displaystyle e}$وينتمي أيضًا إلى${\displaystyle L}$لأن${\displaystyle M[a,x]}$هي دالة متزايدة بشكل رتيب. لذا، فهي دالة متزايدة بشكل رتيب.${\displaystyle L}$هي فترة غير فارغة، مغلقة من طرفها الأيسر بواسطة${\displaystyle a}$.

الآن${\displaystyle f}$وهي متصلة على اليمين عند${\displaystyle a}$وبالتالي يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle |f(x)-f(a)|<d/2}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle [a,a+\delta ]}$. هكذا${\displaystyle f}$أقل من${\displaystyle M-d/2}$في الفترة${\displaystyle [a,a+\delta ]}$بحيث تنتمي جميع هذه النقاط إلى${\displaystyle L}$.

التالي،${\displaystyle L}$يحدها من الأعلى${\displaystyle b}$وبالتالي له الأفضلية في${\displaystyle [a,b]}$لنسميها${\displaystyle s}$يتضح مما سبق أن${\displaystyle s>a}$سنبين ذلك${\displaystyle s}$هي النقطة التي نبحث عنها، أي النقطة التي${\displaystyle f}$يبلغ ذروته، أو بعبارة أخرى${\displaystyle f(s)=M}$.

لنفترض العكس، أي${\displaystyle f(s)<M}$. يترك${\displaystyle d=M-f(s)}$ولننظر في الحالتين التاليتين:

1. ${\displaystyle s<b}$. مثل  ${\displaystyle f}$متصل عند${\displaystyle s}$، يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$وهذا يعني أن${\displaystyle f}$أقل من${\displaystyle M-d/2}$في الفترة${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$لكن ذلك يترتب على سيادة${\displaystyle s}$أن هناك نقطة ما،${\displaystyle e}$على سبيل المثال، ينتمي إلى${\displaystyle L}$وهو أكبر من${\displaystyle s-\delta }$بحسب تعريف${\displaystyle L}$،${\displaystyle M[a,e]<M}$. يترك ${\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]}$ثم للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle [a,e]}$،${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$أخذ${\displaystyle d_{2}}$أن يكون الحد الأدنى من${\displaystyle d/2}$و${\displaystyle d_{1}}$لدينا${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle [a,s+\delta ]}$.
   لذلك${\displaystyle M[a,s+\delta ]<M}$لهذا السبب.${\displaystyle s+\delta \in L}$لكن هذا يتناقض مع سيادة${\displaystyle s}$وبذلك يكتمل البرهان.
2. ${\displaystyle s=b}$. مثل  ${\displaystyle f}$وهي متصلة على اليسار عند${\displaystyle s}$، يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle [s-\delta ,s]}$وهذا يعني أن${\displaystyle f}$أقل من${\displaystyle M-d/2}$في الفترة${\displaystyle [s-\delta ,s]}$لكن ذلك يترتب على سيادة${\displaystyle s}$أن هناك نقطة ما،${\displaystyle e}$على سبيل المثال، ينتمي إلى${\displaystyle L}$وهو أكبر من${\displaystyle s-\delta }$بحسب تعريف${\displaystyle L}$،${\displaystyle M[a,e]<M}$. يترك ${\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]}$ثم للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle [a,e]}$،${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$أخذ${\displaystyle d_{2}}$أن يكون الحد الأدنى من${\displaystyle d/2}$و${\displaystyle d_{1}}$لدينا${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle [a,b]}$وهذا يتناقض مع سيادة${\displaystyle M}$وبذلك يكتمل البرهان. ∎