مجموعة محدودة

في التحليل الرياضي والمجالات ذات الصلة ، تُسمى المجموعة محدودة إذا كانت جميع نقاطها تقع ضمن مسافة معينة من بعضها البعض. وعلى العكس، تُسمى المجموعة غير المحدودة غير محدودة . ولا معنى لكلمة "محدود" في فضاء طوبولوجي عام بدون مقياس مُقابل .

الحدود مفهوم متميز؛ على سبيل المثال، الدائرة (لا ينبغي الخلط بينها وبين القرص ) في حد ذاتها هي مجموعة محدودة بلا حدود، بينما نصف المستوى غير محدود ولكنه له حدود.

ليست المجموعة المحدودة بالضرورة مجموعة مغلقة ^، والعكس صحيح. على سبيل المثال، المجموعة الجزئية S من الفضاء ^{الحقيقي} ثنائي الأبعاد R² والمقيدة بمنحنيين مكافئين x² + 1 و x² - 1 معرفين في نظام إحداثيات ديكارتية، ^تكون مغلقة بواسطة المنحنيين ولكنها غير محدودة (أي غير محدودة).

تُسمى مجموعة S من الأعداد الحقيقية محدودة من الأعلى إذا وُجد عدد حقيقي k (ليس بالضرورة أن يكون ضمن S ) بحيث يكون k ≥ s لجميع قيم s في S. يُسمى العدد k حدًا أعلى لـ S. وبالمثل، يُعرَّف مصطلحا " محدود من الأسفل" و "حد أدنى" .

تكون المجموعة S محدودة إذا كان لها حدّان، علوي وسفلي. لذا، تكون مجموعة الأعداد الحقيقية محدودة إذا كانت محتواة في فترة محدودة .

تكون المجموعة الجزئية S من الفضاء المتري ( M , d ) محدودة إذا وُجد r > 0 بحيث يكون لكل s و t في S ، يكون d ( s , t ) < r . ويكون الفضاء المتري ( M , d ) فضاءً متريًا محدودًا (أو d مقياسًا محدودًا ) إذا كانت M محدودة كمجموعة جزئية من نفسها.

• التقييد الكلي يستلزم التقييد. بالنسبة للمجموعات الجزئية من R ^n، يكون الاثنان متكافئين.
• تكون المساحة المترية متراصة إذا وفقط إذا كانت كاملة ومحدودة تمامًا.
• تكون المجموعة الجزئية من الفضاء الإقليدي Rⁿ متراصة إذا وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة. ويُطلق على هذا أيضًا اسم ^نظرية هاين-بوريل .

في الفضاءات المتجهة الطوبولوجية ، يوجد تعريف مختلف للمجموعات المحدودة يُسمى أحيانًا محدودية فون نيومان . إذا كانت طوبولوجيا الفضاء المتجه الطوبولوجي مُستحثة بواسطة مقياس متجانس ، كما هو الحال في المقياس المُستحث بواسطة معيار الفضاءات المتجهة المعيارية ، فإن التعريفين يتطابقان.

تكون مجموعة الأعداد الحقيقية محدودة إذا وفقط إذا كان لها حد أعلى وحد أدنى. ويمكن تعميم هذا التعريف ليشمل المجموعات الجزئية لأي مجموعة مرتبة جزئيًا . تجدر الإشارة إلى أن هذا المفهوم الأعم للتقييد لا يتوافق مع مفهوم "الحجم".

تُسمى المجموعة الجزئية S من المجموعة المرتبة جزئيًا P محدودة من الأعلى إذا وُجد عنصر k في P بحيث يكون k ≥ s لكل s في S. يُسمى العنصر k حدًا أعلى لـ S. ويُعرّف مفهوما الحد الأدنى والحد الأعلى بشكل مماثل. (انظر أيضًا الحدود العليا والسفلى ).

تُسمى المجموعة الجزئية S من المجموعة المرتبة جزئيًا P مجموعة محدودة إذا كان لها حد أعلى وحد أدنى، أو بصورة مكافئة، إذا كانت محتواة في فترة ما . لاحظ أن هذه ليست خاصية للمجموعة S فحسب، بل هي أيضًا إحدى خصائص المجموعة S كمجموعة جزئية من P.

المجموعة المرتبة جزئيًا المحدودة P (أي، بحد ذاتها، وليس كمجموعة جزئية) هي مجموعة تحتوي على أصغر عنصر وأكبر عنصر . تجدر الإشارة إلى أن مفهوم التقييد هذا لا علاقة له بالحجم المحدود، وأن المجموعة الجزئية S من مجموعة مرتبة جزئيًا محدودة P، والتي يكون ترتيبها هو تقييد الترتيب على P، ليست بالضرورة مجموعة مرتبة جزئيًا محدودة.

تكون المجموعة الجزئية S من R ⁿ محدودة بالنسبة للمسافة الإقليدية إذا وفقط إذا كانت محدودة كمجموعة جزئية من R ⁿ بترتيب الضرب . ومع ذلك، قد تكون S محدودة كمجموعة جزئية من R ⁿ بترتيب المعجم ، ولكن ليس بالنسبة للمسافة الإقليدية.

يُقال إن فئة الأعداد الترتيبية غير محدودة، أو متتابعة ، عندما يكون هناك دائمًا عنصر من الفئة أكبر من أي عدد ترتيبي مُعطى. وبالتالي، في هذه الحالة، لا تعني كلمة "غير محدودة" أنها غير محدودة بحد ذاتها، بل تعني أنها غير محدودة كفئة فرعية من فئة جميع الأعداد الترتيبية.

• المجال المحدود
• دالة محدودة
• رجل محلي محدود
• نظرية النظام
• محدد بالكامل

• بارتل، روبرت ج .؛ شيربرت، دونالد ر. (1982). مقدمة في التحليل الحقيقي . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-05944-7.
• ريختماير، روبرت د. (1978). مبادئ الفيزياء الرياضية المتقدمة . نيويورك: سبرينغر. ISBN 0-387-08873-3.