دالة محدودة

في الرياضيات ، الدالة${\displaystyle f}$معرفة على مجموعة ما${\displaystyle X}$يُطلق على المجموعة التي تحتوي على قيم حقيقية أو مركبة اسم مجموعة محدودة إذا كانت مجموعة قيمها (صورتها ) محدودة . بعبارة أخرى، يوجد عدد حقيقي${\displaystyle M}$بحيث

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$[ ^{1 ]} يقال إن الدالة غير المحدودة ^هي دالة غير محدودة .

لو${\displaystyle f}$له قيمة حقيقية و${\displaystyle f(x)\leq A}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$عندئذٍ يُقال إن الدالة محدودة من الأعلى بواسطة${\displaystyle A}$. لو${\displaystyle f(x)\geq B}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$عندئذٍ يُقال إن الدالة محدودة من الأسفل بواسطة${\displaystyle B}$تكون الدالة ذات القيم الحقيقية محدودة إذا وفقط إذا كانت محدودة من الأعلى والأسفل. ^{[ 1 ]}

تُعدّ المتتالية المحدودة حالة خاصة مهمة ، حيث${\displaystyle X}$يُعتبر هو المجموعة${\displaystyle \mathbb {N} }$من الأعداد الطبيعية . وبالتالي، فهي متتالية${\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$تكون محدودة إذا وُجد عدد حقيقي${\displaystyle M}$بحيث

${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$

لكل عدد طبيعي${\displaystyle n}$تشكل مجموعة جميع المتتاليات المحدودة فضاء المتتاليات${\displaystyle l^{\infty }}$.

يمكن تعميم تعريف التقييد ليشمل الدوال.${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$أخذ القيم في نطاق أوسع${\displaystyle Y}$من خلال اشتراط أن تكون الصورة${\displaystyle f(X)}$هي مجموعة محدودة في${\displaystyle Y}$.

يُعدّ التقييد المحلي أضعف من التقييد . قد تكون مجموعة من الدوال المقيدة مقيدة بشكل منتظم .

مؤثر محدود${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ليست دالة محدودة بالمعنى الوارد في تعريف هذه الصفحة (إلا إذا${\displaystyle T=0}$)، لكنها تتمتع بخاصية أضعف تتمثل في الحفاظ على التقييد ؛ مجموعات محدودة${\displaystyle M\subseteq X}$يتم تعيينها إلى مجموعات محدودة${\displaystyle T(M)\subseteq Y}$يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل أي دالة .${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$يُتيح ذلك مفهوم المجموعة المحدودة. ويمكن أيضاً تحديد محدودية المجموعة من خلال النظر إلى الرسم البياني.

• دالة الجيب​${\displaystyle \sin$ :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } محدود لأن${\displaystyle |\sin(x)|\leq 1}$للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$[ ^{1 ] [ 2 ]​}
• الوظيفة${\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)^{-1}}$، معرفة لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle x}$باستثناء -1 و1، فإنّها غير محدودة.${\displaystyle x}$عندما تقترب قيمة هذه الدالة من -1 أو 1، تزداد قيمتها المطلقة. ويمكن جعل هذه الدالة محدودة إذا تم حصر نطاقها، على سبيل المثال،${\displaystyle [2,\infty )}$أو${\displaystyle (-\infty ,-2]}$.
• الوظيفة${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$، معرفة لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle x}$، محدودة ، لأن${\textstyle |f(x)|\leq 1}$للجميع${\displaystyle x}$.
• الدالة المثلثية العكسية arctangent تُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle y=\arctan(x)}$أو${\displaystyle x=\tan(y)}$تتزايد لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle x}$ومحاطة بـ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$الراديان ^{[ 3 ]}
• بحسب نظرية التقييد ، فإن كل دالة متصلة على فترة مغلقة، مثل${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$، محدودة. ^{[ 4 ]} بشكل عام، أي دالة متصلة من فضاء مضغوط إلى فضاء متري تكون محدودة.
• جميع الدوال ذات القيم المركبة${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$تكون الأعداد الكاملة إما غير محدودة أو ثابتة نتيجة لنظرية ليوفيل . ^{[ 5 ]} وعلى وجه الخصوص، فإن الأعداد المركبة${\displaystyle \sin$ يجب أن يكون المتجه :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} غير محدود لأنه كامل.
• الوظيفة${\displaystyle f}$والتي تأخذ القيمة 0 لـ${\displaystyle x}$عدد نسبي و1 لـ${\displaystyle x}$العدد غير النسبي (انظر دالة ديريشليه ) محدود . وبالتالي، لا يشترط أن تكون الدالة "لطيفة" لتكون محدودة. مجموعة جميع الدوال المحدودة المعرفة على${\displaystyle [0,1]}$إنها أكبر بكثير من مجموعة الدوال المتصلة على تلك الفترة. علاوة على ذلك، لا يشترط أن تكون الدوال المتصلة محدودة؛ على سبيل المثال، الدوال${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$و${\displaystyle h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle g(x,y):=x+y}$و${\displaystyle h(x,y):={\frac {1}{x+y}}}$كلاهما متصلان، لكن لا توجد دالة محدودة. ^{[ 6 ]} (مع ذلك، يجب أن تكون الدالة المتصلة محدودة إذا كان مجالها مغلقًا ومحدودًا. ^{[ 6 ]} )

• مجموعة محدودة
• دعم مضغوط
• رجل محلي محدود
• رجل ذو زي موحد