راديان

يُحدد المكتب الدولي للأوزان والمقاييس ^{[ 6 ]} والمنظمة الدولية للتوحيد القياسي ^{[ 7 ]} رمز الراديان بالرمز rad . ومن الرموز البديلة التي كانت مستخدمة عام 1909: ^c (حرف c مرفوع، اختصارًا لـ "القياس الدائري")، والحرف r، أو ^{R مرفوع [ 8 ]،} إلا أن هذه الرموز نادرة الاستخدام، إذ قد تُشتبه برمز الدرجة (°) أو نصف القطر (r). لذا، تُكتب زاوية 1.2 راديان اليوم على النحو التالي: 1.2  rad؛ وتشمل الرموز القديمة: 1.2 r  ، و1.2 ^rad ، و1.2 ^c ، و1.2 ^R.

في الكتابة الرياضية، غالباً ما يُحذف الرمز "راديان". عند تحديد زاوية ما في غياب أي رمز، يُفترض استخدام الراديان، وعند استخدام الدرجات، تُستخدم علامة الدرجة ° .

يمكن تعريف الزاوية المستوية على النحو التالي: θ = s / r ، حيث θ هي مقدار الزاوية المقابلة لها بالراديان، وs هو طول القوس الدائري، و r هو نصف القطر. الراديان الواحد يُقابل الزاوية التي يكون عندها s = r ، وبالتالي 1 راديان = 1  م/م = 1. [ ^{9 ] مع} ذلك، يُستخدم الراديان فقط للتعبير عن الزوايا، وليس للتعبير عن نسب الأطوال بشكل عام. ^{[ 10 ]} وبحساب مماثل باستخدام مساحة القطاع الدائري θ = 2 أ / r² ^، نحصل على 1 راديان على النحو التالي: 1 ^م²  / م² ⁼ 1. ^{[ 11 ]} والحقيقة الأساسية هي أن الراديان وحدة لا بُعدية تساوي 1. في النظام الدولي للوحدات SI 2019، يُعرَّف الراديان وفقًا لذلك على النحو التالي: 1 راديان = 1 . ^{[ 12 ]} من الممارسات الراسخة في الرياضيات وفي جميع مجالات العلوم استخدام rad = 1. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

يكتب جياكومو براندو: "يؤدي الوضع الراهن حتمًا إلى ظهور واختفاء الراديان بشكلٍ غامض في التحليل البُعدي للمعادلات الفيزيائية". ^{[ 15 ]} على سبيل المثال، يرتفع أو ينخفض ​​جسم مُعلق بخيط من بكرة بمقدار y = rθ سنتيمترًا، حيث r هو مقدار نصف قطر البكرة بالسنتيمتر، و θ هو مقدار الزاوية التي تدور بها البكرة بالراديان. عند ضرب r في θ ، لا يظهر الراديان في الناتج، ولا السنتيمتر أيضًا، لأن كلا العاملين كميتان (عددان). وبالمثل، في صيغة السرعة الزاوية لعجلة دوارة، ω = v / r ، يظهر الراديان في وحدات ω ولكنه لا يظهر في الطرف الأيمن. ^{[ 16 ]} يصف أنتوني فرينش هذه الظاهرة بأنها "مشكلة مُزمنة في تدريس الميكانيكا". ^{[ 17 ]} يقول أوبرهوفر إن النصيحة الشائعة بتجاهل الراديان أثناء التحليل البُعدي وإضافة أو إزالة الراديان في الوحدات وفقًا للعرف والمعرفة السياقية "غير مُرضية من الناحية التربوية". ^{[ 18 ]}

في عام 1993، حددت لجنة القياسات التابعة للجمعية الأمريكية لمعلمي الفيزياء أن الراديان يجب أن يظهر صراحةً في الكميات فقط عندما يتم الحصول على قيم عددية مختلفة عند استخدام قياسات زاوية أخرى، كما هو الحال في كميات قياس الزاوية (راديان)، والسرعة الزاوية (راديان/ثانية)، والتسارع الزاوي (راديان/ثانية² ⁾ ، وصلابة الالتواء (نيوتن.متر/راديان)، وليس في كميات عزم الدوران (نيوتن.متر) والزخم الزاوي (كجم.متر² ^/ ثانية). ^{[ 19 ]}

قدّم ما لا يقل عن اثني عشر عالماً بين عامي 1936 و2022 مقترحاتٍ لاعتماد الراديان كوحدة قياس أساسية لكمية (وبُعد) أساسية تُعرف بـ"الزاوية المستوية". ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} ويُبيّن استعراض كوينسي للمقترحات فئتين منها. الخيار الأول هو تغيير وحدة نصف القطر إلى متر لكل راديان، لكن هذا يتعارض مع التحليل البُعدي لمساحة الدائرة ، πr² ^. أما الخيار الآخر فهو إدخال ثابت بُعدي. ووفقاً لكوينسي، فإن هذا النهج "دقيق منطقياً" مقارنةً بالنظام الدولي للوحدات، ولكنه يتطلب "تعديل العديد من المعادلات الرياضية والفيزيائية المألوفة". ^{[ 23 ]} ويُعدّ الثابت البُعدي للزاوية "غريباً نوعاً ما"، ومن المرجح أن تُعيق صعوبة تعديل المعادلات لإضافة هذا الثابت البُعدي استخدامه على نطاق واسع. ^{[ 22 ]}

على وجه الخصوص ، يُشير كوينسي إلى اقتراح تورينز بإدخال ثابت η يساوي 1 راديان معكوس (1  راديان⁻¹ ) بطريقة مشابهة لإدخال الثابت ε₀ _. ^{[ 23 ] [ أ ] مع هذا التغيير ،} يتم تعديل صيغة الزاوية المركزية للدائرة، s = rθ ، لتصبح s = ηrθ ، وتصبح متسلسلة تايلور لجيب الزاوية θ كما يلي: ^{[ 22 ] [ 24 ]}$${\displaystyle \operatorname {Sin} \theta =\sin \ x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$ أين${\displaystyle x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}}$الزاوية مُقاسة بالراديان. دالة الجيب (Sin) المكتوبة بحرف كبير هي الدالة "الكاملة" التي تأخذ وسيطًا بوحدة الزاوية، وهي مستقلة عن الوحدات المُعبر عنها، ^{[ 24 ]} بينما دالة الجيب التقليدية (sin) هي الدالة التقليدية على الأعداد المجردة التي تفترض أن وسيطها عدد بلا أبعاد مُقاس بالراديان. ^{[ 25 ]} الرمز المكتوب بحرف كبير${\displaystyle \operatorname {Sin} }$يمكن الإشارة إلى${\displaystyle \sin }$إذا كان من الواضح أن المقصود هو الشكل الكامل. ^{[ 22 ] [ 26 ]}

يمكن اعتبار النظام الدولي للوحدات الحالي، في هذا الإطار، نظام وحدات طبيعيًا حيث يُفترض أن المعادلة η = 1 صحيحة، أو بالمثل، 1 راديان = 1. يسمح هذا الاصطلاح الرادياني بحذف η من الصيغ الرياضية. ^{[ 27 ]}

قد يكون تعريف الراديان كوحدة أساسية مفيدًا للبرمجيات، حيث يكون تأثير المعادلات الطويلة ضئيلاً. ^{[ 28 ]} على سبيل المثال، تُعرّف مكتبة وحدات Boostplane_angle وحدات الزاوية ببعد، ^{[ 29 ]} وبالمثل ، يعتبر نظام وحدات Mathematica أن للزوايا بُعدًا زاويًا. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

كما ذكرنا، الراديان الواحد يساوي ⁠${\displaystyle {180^{\circ }}/{\pi }}$لذا ، لتحويل القياس من الراديان إلى الدرجات، اضرب في${\displaystyle {180^{\circ }}/{\pi }}$⁠ . $${\displaystyle {\text{الزاوية بالدرجات}}={\text{الزاوية بالراديان}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$$

على سبيل المثال:

• ${\displaystyle 1{\text{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }}$(التسلسل A072097 في OEIS )
• ${\displaystyle 2.5{\text{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\text{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }}$

وعلى العكس، لتحويل القياس من الدرجات إلى الراديان، اضرب في${\displaystyle {\pi }/{180}{\text{ rad}}}$. $${\displaystyle {\text{angle in radians}}={\text{angle in degrees}}\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}}$$

على سبيل المثال:

• ${\displaystyle 1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}\approx 0.0175{\text{ rad}}}$(التسلسل A019685 في OEIS )
• ${\displaystyle 23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}\approx 0.4014{\text{ rad}}}$

يمكن تحويل الراديان إلى دورات (الدورة الواحدة هي الزاوية المقابلة لدورة كاملة) عن طريق قسمة عدد الراديان على 2π .

دورة واحدة تعادل زاوية${\displaystyle 2\pi }$الراديان، الذي يساوي دورة واحدة ، إلى 400 غراديان (400 غون أو 400 ^غ ). للتحويل من الراديان إلى الغراديان، اضرب في ${\displaystyle 200^{\text{g}}/\pi }$ولتحويل الإحداثيات من الغراديان إلى الراديان، اضرب في${\displaystyle \pi /200{\text{ rad}}}$. على سبيل المثال،

• ${\displaystyle 1.2{\text{ rad}}=1.2\cdot {\frac {200^{\text{g}}}{\pi }}\approx 76.3944^{\text{g}}}$
• ${\displaystyle 50^{\text{g}}=50\cdot {\frac {\pi }{200}}{\text{ rad}}\approx 0.7854{\text{ rad}}}$

في حساب التفاضل والتكامل ومعظم فروع الرياضيات الأخرى باستثناء الهندسة التطبيقية ، تُقاس الزوايا بالراديان. وذلك لأن الراديان يتمتع بطابع رياضي طبيعي يؤدي إلى صياغة أكثر أناقة لبعض النتائج المهمة.

يمكن التعبير عن نتائج التحليل الذي يتضمن الدوال المثلثية بأسلوب أنيق عندما تُعبّر وسائط هذه الدوال بالراديان. على سبيل المثال، يؤدي استخدام الراديان إلى صيغة النهاية البسيطة.$${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,}$$ وهو أساس العديد من المتطابقات الأخرى في الرياضيات، بما في ذلك $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.}$$

بسبب هذه الخصائص وغيرها، تظهر الدوال المثلثية في حلول المسائل الرياضية التي لا ترتبط بشكل واضح بالمعاني الهندسية لهذه الدوال (على سبيل المثال، حلول المعادلة التفاضلية ⁠${\displaystyle {\tfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-y}$، تقييم التكامل${\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}}$وهكذا ). في جميع هذه الحالات، من المناسب أن يتم التعامل مع وسائط الدوال كأعداد (بدون أبعاد) - دون أي إشارة إلى الزوايا.

تتميز الدوال المثلثية للزوايا أيضًا بمتسلسلات بسيطة وأنيقة عند استخدام الراديان. على سبيل المثال، عندما تكون x هي الزاوية معبرًا عنها بالراديان، تصبح متسلسلة تايلور لـ sin x  كما يلي: $${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$$

إذا كانت y هي الزاوية x ولكن معبر عنها بالدرجات، أي y = πx / 180 ، فإن المتسلسلة ستحتوي على عوامل معقدة تتضمن قوى π /180 : $${\displaystyle \sin y={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$$

وبالمثل، إذا كانت الزوايا حاضرة، فإن العلاقات الرياضية المهمة بين دالتي الجيب وجيب التمام والدالة الأسية (انظر، على سبيل المثال، صيغة أويلر ) يمكن صياغتها بأسلوب أنيق عندما تكون وسائط الدوال زوايا مُعبر عنها بالراديان (وإلا ستكون معقدة). وبشكل أعم، في نظرية الأعداد المركبة، تكون وسائط هذه الدوال أعدادًا (بلا أبعاد، وربما مركبة) دون أي إشارة إلى الزوايا الفيزيائية على الإطلاق.

يُستخدم الراديان على نطاق واسع في الفيزياء عند الحاجة إلى قياسات الزوايا. على سبيل المثال، تُعبّر السرعة الزاوية عادةً بوحدة الراديان لكل ثانية (راد/ث). دورة واحدة في الثانية الواحدة تُعادل 2π راديان في الثانية.

وبالمثل، فإن الوحدة المستخدمة للتسارع الزاوي غالباً ما تكون راديان لكل ثانية في الثانية (راد/ثانية ² ).

لأغراض التحليل البُعدي ، فإن وحدات السرعة الزاوية والتسارع الزاوي هي s ⁻¹ و s ⁻² على التوالي.

وبالمثل، يمكن التعبير عن فرق زاوية الطور بين موجتين باستخدام الراديان كوحدة قياس. على سبيل المثال، إذا كان فرق زاوية الطور بين موجتين يساوي ( ن × ٢π ) راديان، حيث ن عدد صحيح، فإنهما تُعتبران متوافقتين في الطور ، بينما إذا كان فرق زاوية الطور بين موجتين يساوي ( ن × ٢π + π ) راديان، حيث ن عدد صحيح، فإنهما تُعتبران متعاكستين في الطور.

تُستخدم وحدة الراديان المقلوب أو الراديان العكسي (rad ⁻¹ ) في الوحدات المشتقة مثل المتر لكل راديان ( للطول الموجي الزاوي ) أو نيوتن متر لكل راديان (للصلابة الالتوائية).

تُستخدم البادئات المترية للمضاعفات الجزئية مع الراديان. الميلي راديان (mrad) هو جزء من ألف من الراديان (0.001  rad)، أي 1 rad = 10³ ^mrad . يوجد 2π × 1000 ميلي راديان (≈ 6283.185 mrad  ) في الدائرة. لذا، فإن الميلي راديان أقل بقليل من 1/6283 من الزاوية التي تُقابلها دائرة كاملة. تُستخدم وحدة قياس الزاوية هذه للدائرة بشكل شائع من قِبل مُصنّعي المناظير التلسكوبية الذين يستخدمون تحديد المدى (الستاديامتري) في الشبكات . كما يُقاس تباعد أشعة الليزر عادةً بالميلي راديان.

الميل الزاوي هو تقريب للميلي راديان تستخدمه منظمة حلف شمال الأطلسي (الناتو) وغيرها من المنظمات العسكرية في الرماية وتحديد الأهداف . يمثل كل ميل زاوي 1/6400 من الدائرة، وهو أصغر من الميلي راديان بنسبة 15 / 8 % أو 1.875%. بالنسبة للزوايا الصغيرة الشائعة في تحديد الأهداف، تفوق سهولة استخدام الرقم 6400 في الحسابات الأخطاء الرياضية الطفيفة التي قد يُسببها. في الماضي، استخدمت أنظمة مدفعية أخرى تقريبات مختلفة لـ 1 / 2000π ؛ على سبيل المثال، استخدمت السويد 1/6300 ستريك ، واستخدم الاتحاد السوفيتي 1/6000 . وبما أن نظام الميلي راديان في الناتو يعتمد على الميلي راديان، فإنه يغطي تقريبًا 1 متر على مدى 1000 متر (عند هذه الزوايا الصغيرة، يكون الانحناء ضئيلاً).  

تُعدّ البادئات الأصغر من "ملي" مفيدة في قياس الزوايا الصغيرة للغاية. الميكروراديان (μrad)10 ⁻⁶  rad ) والنانوراديان (nrad,^{تُستخدم وحدات قياس الزاوية (} 10⁻⁹  راديان ) في علم الفلك، ويمكن استخدامها أيضًا لقياس جودة شعاع الليزر ذي التباعد المنخفض للغاية. أما وحدة قياس الزاوية الأكثر شيوعًا فهي الثانية القوسية ، والتي تساوي π /648000 راد ( حوالي 4.8481 ميكروراديان).

استُخدمت فكرة قياس الزوايا بطول القوس من قِبل علماء الرياضيات منذ وقت مبكر. فعلى سبيل المثال، استخدم الكاشي (حوالي عام 1400) ما يُسمى بأجزاء القطر كوحدات قياس، حيث كان جزء القطر الواحد يساوي 1/60 راديان . كما استخدموا أيضًا وحدات فرعية ستينية لجزء القطر. ^{[ 32 ]} وفي عام 1672 ، تحدث نيوتن عن "الكمية الزاوية للحركة الدائرية للجسم"، لكنه استخدمها فقط كمقياس نسبي لتطوير خوارزمية فلكية. ^{[ 33 ]}

يُنسب مفهوم قياس الزاوية بالراديان عادةً إلى روجر كوتس ، الذي توفي عام 1716. وبحلول عام 1722، جمع ابن عمه روبرت سميث كتابات كوتس الرياضية ونشرها في كتاب بعنوان " هارمونيا مينسوراروم" . ^{[ 34 ]} وفي فصل من التعليقات التحريرية، قدّم سميث ما يُرجّح أنه أول حساب منشور للراديان الواحد بالدرجات، مستشهداً بملاحظة لكوتس لم تصل إلينا. وصف سميث الراديان بكل شيء عدا اسمه - "هذا الرقم يساوي 180 درجة، وهو نصف قطر الدائرة ، أي 1 أس 3.141592653589" -، وأقرّ بطبيعته كوحدة قياس زاوية. ^{[ 35 ] [ 36 ]}

في عام ١٧٦٥، اعتمد ليونارد أويلر الراديان ضمنيًا كوحدة للزاوية. ^{[ ٣٣ ]} وبالتحديد، عرّف أويلر السرعة الزاوية بأنها "السرعة الزاوية في الحركة الدورانية هي سرعة تلك النقطة التي تبعد مسافة عن محور الدوران بمقدار واحد". ^{[ ٣٧ ]} ويُرجّح أن أويلر كان أول من اعتمد هذا الاصطلاح، المعروف باصطلاح الراديان، والذي يُعطي الصيغة البسيطة للسرعة الزاوية ω = v / r . وكما نوقش في قسم  التحليل البُعدي ، فقد تم اعتماد اصطلاح الراديان على نطاق واسع، بينما تتطلب الصيغ المتسقة بُعديًا إدخال ثابت بُعدي، على سبيل المثال ω = v / ( ηr ) . ^{[ ٢٧ ]}

قبل شيوع مصطلح الراديان ، كانت هذه الوحدة تُعرف عادةً باسم "القياس الدائري للزاوية". ^{[ 38 ]} ظهر مصطلح الراديان لأول مرة في المطبوعات بتاريخ 5 يونيو 1873، في أسئلة امتحانات وضعها جيمس طومسون (شقيق اللورد كلفن ) في كلية كوينز ، بلفاست . وكان قد استخدم المصطلح في وقت مبكر من عام 1871، بينما في عام 1869، تردد توماس موير ، الذي كان يعمل آنذاك في جامعة سانت أندروز ، بين مصطلحات "راد" و "شعاعي" و "راديان" . وفي عام 1874، وبعد التشاور مع جيمس طومسون، اعتمد موير مصطلح "راديان" . ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]} لم يُعتمد اسم "راديان" عالميًا لبعض الوقت بعد ذلك. فكتاب "علم المثلثات المدرسي" للونغمانز كان لا يزال يُطلق على الراديان اسم " القياس الدائري " عند نشره عام 1890. ^{[ 42 ]}

في عام ١٨٩٣، كتب ألكسندر ماكفارلين : "إن الحجة التحليلية الحقيقية للنسب الدائرية ليست نسبة القوس إلى نصف القطر، بل نسبة ضعف مساحة القطاع إلى مربع نصف القطر." ^{[ ٤٣ ]} ومع ذلك، سُحبت الورقة من وقائع المؤتمر الرياضي المنشورة الذي عُقد بالتزامن مع المعرض الكولومبي العالمي في شيكاغو (كما هو مذكور في الصفحة ١٦٧)، ونُشرت بشكل خاص في كتابه " أوراق في تحليل الفضاء " (١٨٩٤). وقد توصل ماكفارلين إلى هذه الفكرة، أو نسب المساحات، أثناء دراسته لأساس الزاوية الزائدية التي تُعرَّف بشكل مماثل. ^{[ ٤٤ ]}

كما كتب بول كوينسي وآخرون: "لطالما كان وضع الزوايا ضمن النظام الدولي للوحدات (SI) مصدرًا للجدل والالتباس." ^{[ 45 ]} في عام 1960، أنشأ المؤتمر العام للأوزان والمقاييس (CGPM) النظام الدولي للوحدات، وصُنِّف الراديان كوحدة تكميلية إلى جانب الستراديان . واعتُبرت هذه الفئة الخاصة رسميًا "إما وحدات أساسية أو وحدات مشتقة"، نظرًا لعدم تمكن المؤتمر العام للأوزان والمقاييس من التوصل إلى قرار بشأن ما إذا كان الراديان وحدة أساسية أم وحدة مشتقة. ^{[ 46 ]} ويكتب ريتشارد نيلسون: "أثار هذا الغموض [في تصنيف الوحدات التكميلية] نقاشًا حادًا حول تفسيرها الصحيح." ^{[ 47 ]} في مايو 1980، نظرت اللجنة الاستشارية للوحدات (CCU) في اقتراح لجعل الراديان وحدة أساسية في النظام الدولي للوحدات (SI)، باستخدام ثابت _α₀ = 1 راديان ، ^{[ 48 ] [ 27 ]} لكنها رفضته لتجنب إحداث تغيير جذري في الممارسة الحالية. ^{[ 27 ]}

في أكتوبر 1980، قرر المجلس العام للأوزان والمقاييس (CGPM) أن الوحدات التكميلية هي وحدات مشتقة لا بُعدية، يسمح المجلس باستخدامها أو عدم استخدامها في تعابير الوحدات المشتقة من النظام الدولي للوحدات (SI)، ^{[ 47 ]} وذلك استنادًا إلى أنه "لا يوجد شكل رسمي متماسك ومناسب في الوقت نفسه، ويمكن فيه اعتبار كل من الزاوية المستوية والزاوية المجسمة كميات أساسية"، وأن "إمكانية التعامل مع الراديان والستراديان كوحدات أساسية في النظام الدولي للوحدات تُخلّ بالتماسك الداخلي للنظام الدولي للوحدات القائم على سبع وحدات أساسية فقط". ^{[ 49 ]} وفي عام 1995، ألغى المجلس العام للأوزان والمقاييس فئة الوحدات التكميلية، وعرّف الراديان والستراديان بأنهما "وحدات مشتقة لا بُعدية، يجوز استخدام أسمائها ورموزها، ولكن ليس بالضرورة، في تعابير الوحدات المشتقة الأخرى من النظام الدولي للوحدات، حسبما يقتضيه الأمر". ^{[ 50 ]} انتقد ميخائيل كالينين، في كتاباته عام 2019، قرار اللجنة العامة للميزانية العامة لعام 1980 ووصفه بأنه "لا أساس له من الصحة"، وقال إن قرار اللجنة العامة للميزانية العامة لعام 1995 استخدم حججًا متضاربة وأدخل "العديد من التناقضات والاختلافات في صياغة النظام الأساسي". ^{[ 51 ]}

في اجتماع لجنة وحدات القياس المركزية (CCU) لعام 2013، قدّم بيتر مور عرضًا حول التناقضات المزعومة الناجمة عن تعريف الراديان كوحدة لا بُعدية بدلًا من كونه وحدة أساسية. صرّح رئيس اللجنة، إيان إم. ميلز، بأن هذه "مشكلة عويصة"، وتم تشكيل فريق عمل اللجنة المعني بالزوايا والكميات اللا بُعدية في النظام الدولي للوحدات (SI) . ^{[ 52 ]} اجتمعت اللجنة في عام 2021، لكنها لم تتوصل إلى توافق في الآراء. جادل عدد قليل من الأعضاء بقوة بضرورة اعتبار الراديان وحدة أساسية، لكن الأغلبية رأت أن الوضع الراهن مقبول أو أن التغيير سيُسبب مشاكل أكثر مما سيحل. شُكّلت مجموعة عمل "لمراجعة الاستخدام التاريخي للوحدات التكميلية في النظام الدولي للوحدات والنظر في جدوى إعادة إدخالها"، من بين أنشطة أخرى. ^{[ 53 ] [ 54 ]}