باي

جزء من سلسلة مقالات حول
الثابت الرياضي π
3.1415926535897932384626433...
Uses
Area of a circle Circumference Use in other formulae
Properties
Irrationality Transcendence
Value
Less than 22/7 Approximations Madhava's correction term Memorization
People
Archimedes Liu Hui Zu Chongzhi Aryabhata Madhava Jamshīd al-Kāshī Ludolph van Ceulen François Viète Seki Takakazu Takebe Kenko William Jones John Machin William Shanks Srinivasa Ramanujan John Wrench Chudnovsky brothers Yasumasa Kanada
History
Chronology A History of Pi
In culture
Indiana pi bill Pi Day
Related topics
Squaring the circle Basel problem Six nines in π Other topics related to π
v t e

العدد π ( / p aɪ / ؛ يُكتب " باي ") هو ثابت رياضي يمثل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها ، أي ما يعادل تقريبًا 3.14159. يظهر العدد π في العديد من الصيغ في الرياضيات والفيزياء . وهو عدد غير نسبي ، مما يعني أنه لا يمكن التعبير عنه تمامًا كنسبة بين عددين صحيحين، على الرغم من استخدام الكسور مثل عادةً لتقريبه . وبالتالي، فإن تمثيله العشري لا ينتهي أبدًا، ولا يدخل في نمط متكرر بشكل دائم . وهو عدد متسام ، مما يعني أنه لا يمكن أن يكون حلاً لمعادلة تتضمن فقط مبالغ محدودة وحاصلات وقوى وأعداد صحيحة. يشير تجاوز π إلى أنه من المستحيل حل التحدي القديم المتمثل في تربيع الدائرة بفرجار ومستقيم . يبدو أن الأرقام العشرية لـ π موزعة عشوائيًا ، ^[أ] ولكن لم يتم العثور على دليل على هذا التخمين .${\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}$

لمدة آلاف السنين، حاول علماء الرياضيات توسيع فهمهم لـ π ، أحيانًا عن طريق حساب قيمته بدرجة عالية من الدقة. تطلبت الحضارات القديمة، بما في ذلك المصريون والبابليون ، تقريبًا دقيقة إلى حد ما لـ π للحسابات العملية. حوالي عام 250  قبل الميلاد، ابتكر عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس خوارزمية لتقريب π بدقة تعسفية. في القرن الخامس الميلادي، قرب علماء الرياضيات الصينيون π إلى سبعة أرقام، بينما أجرى علماء الرياضيات الهنود تقريبًا من خمسة أرقام، وكلاهما باستخدام تقنيات هندسية. تم اكتشاف أول صيغة حسابية لـ π ، بناءً على سلسلة لا نهائية ، بعد ألف عام. ^{[1] [2]} أقدم استخدام معروف للحرف اليوناني π لتمثيل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها كان من قبل عالم الرياضيات الويلزي ويليام جونز في عام 1706. ^[3]

سرعان ما أدى اختراع حساب التفاضل والتكامل إلى حساب مئات الأرقام من π ، وهو ما يكفي لجميع العمليات الحسابية العلمية العملية. ومع ذلك، في القرنين العشرين والحادي والعشرين، اتبع علماء الرياضيات وعلماء الكمبيوتر مناهج جديدة، عندما اقترنت بالقوة الحسابية المتزايدة، وسعت التمثيل العشري لـ π إلى تريليونات عديدة من الأرقام. ^{[4] [5]} تستمد هذه الحسابات دوافعها من تطوير خوارزميات فعالة لحساب السلاسل الرقمية، فضلاً عن السعي البشري لتحطيم الأرقام القياسية. ^{[6] [7]} كما تم استخدام العمليات الحسابية المكثفة المعنية لاختبار أجهزة الكمبيوتر العملاقة بالإضافة إلى اختبار إجهاد أجهزة الكمبيوتر الاستهلاكية.

نظرًا لأن تعريفه يتعلق بالدائرة، فإن π موجود في العديد من الصيغ في علم المثلثات والهندسة ، وخاصة تلك المتعلقة بالدوائر والقطع الناقص والمجالات. كما يوجد أيضًا في صيغ من مواضيع أخرى في العلوم، مثل علم الكونيات ، والكسور ، والديناميكا الحرارية ، والميكانيكا ، والكهرومغناطيسية . كما يظهر أيضًا في مجالات لا علاقة لها بالهندسة، مثل نظرية الأعداد والإحصاء ، وفي التحليل الرياضي الحديث يمكن تعريفه دون أي إشارة إلى الهندسة. إن انتشار π يجعله أحد أكثر الثوابت الرياضية شهرة داخل وخارج العلوم. وقد نُشرت العديد من الكتب المخصصة لـ π ، وغالبًا ما تؤدي الحسابات القياسية لأرقام π إلى عناوين الأخبار.

الرمز الذي يستخدمه علماء الرياضيات لتمثيل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها هو الحرف اليوناني الصغير π ، والذي يُكتب أحيانًا على هيئة pi. ^[8] وفي اللغة الإنجليزية، يُنطق π على هيئة "pie" ( / p aɪ / PY ). ^[9] وفي الاستخدام الرياضي، يتم تمييز الحرف الصغير π عن نظيره المكبّر Π ، والذي يدل على حاصل ضرب تسلسل ، على غرار الطريقة التي يشير بها Σ إلى المجموع .

تمت مناقشة اختيار الرمز π في قسم اعتماد الرمز π.

يتم تعريف π بشكل عام على أنه نسبة محيط الدائرة C إلى قطرها d : [ 10 ^] $${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$$

النسبة ثابتة، بغض النظر عن حجم الدائرة. على سبيل المثال، إذا كان قطر الدائرة ضعف قطر دائرة أخرى، فسيكون محيطها أيضًا ضعف محيطها، مع الحفاظ على النسبة . يستخدم هذا التعريف لـ π ضمناً الهندسة المسطحة (الإقليدية) ؛ على الرغم من أنه يمكن توسيع مفهوم الدائرة إلى أي هندسة منحنية (غير إقليدية) ، فإن هذه الدوائر الجديدة لن تلبي الصيغة . ^[10]${\textstyle {\frac {C}{d}}}$${\textstyle {\frac {C}{d}}}$${\textstyle \pi ={\frac {C}{d}}}$

هنا، محيط الدائرة هو طول القوس حول محيط الدائرة، وهي كمية يمكن تعريفها رسميًا بشكل مستقل عن الهندسة باستخدام الحدود - وهو مفهوم في حساب التفاضل والتكامل . ^[11] على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يحسب مباشرة طول قوس النصف العلوي من دائرة الوحدة، المعطى بالإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلة ، على أنه التكامل : ^[12]${\textstyle x^{2}+y^{2}=1}$ $${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$$

تم اقتراح تكامل مثل هذا باعتباره تعريفًا لـ π بواسطة كارل ويرستراس ، الذي عرفه مباشرة باعتباره تكاملًا في عام 1841. ^[ب]

لم يعد التكامل مستخدمًا بشكل شائع في التعريف التحليلي الأول لأنه، كما يوضح Remmert 2012، فإن حساب التفاضل والتكامل يسبق عادةً حساب التكامل في المناهج الجامعية، لذلك من المرغوب فيه أن يكون لدينا تعريف لـ π لا يعتمد على الأخير. أحد هذه التعريفات، بسبب ريتشارد بالتزر ^[14] وشاعه إدموند لاندو ، ^[15] هو ما يلي: π هو ضعف أصغر رقم موجب تساوي عنده دالة جيب التمام 0. ^{[10] [12] [16]} π هو أيضًا أصغر رقم موجب تساوي عنده دالة الجيب صفرًا، والفرق بين الأصفار المتتالية لدالة الجيب. يمكن تعريف جيب التمام والجيب بشكل مستقل عن الهندسة كمتسلسلة قوى ، ^[17] أو كحل لمعادلة تفاضلية . ^[16]

وبنفس الروح، يمكن تعريف π باستخدام خصائص الأس المركب ، exp z ، للمتغير المركب z . ومثل جيب التمام، يمكن تعريف الأس المركب بإحدى الطرق العديدة. وبالتالي فإن مجموعة الأعداد المركبة التي يكون فيها exp z مساويًا لواحد هي متوالية حسابية (تخيلية) من الشكل: ويوجد عدد حقيقي موجب فريد π بهذه الخاصية. ^{[12] [18]}$${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}}$$

هناك اختلاف في نفس الفكرة، باستخدام المفاهيم الرياضية المتطورة في الطوبولوجيا والجبر ، وهو النظرية التالية: ^[19] يوجد تماثل مستمر فريد ( حتى التماثل الذاتي ) من المجموعة R / Z للأعداد الحقيقية تحت الجمع modulo الأعداد الصحيحة ( مجموعة الدائرة ) ، إلى المجموعة الضربية للأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة واحد. ثم يتم تعريف الرقم π على أنه نصف مقدار المشتق لهذا التماثل. ^[20]

π هو عدد غير نسبي ، مما يعني أنه لا يمكن كتابته كنسبة بين عددين صحيحين . الكسور مثل ⁠22/7و ⁠​355/113تُستخدم عادةً لتقريب π ، ولكن لا يمكن لأي كسر عادي (نسبة الأعداد الصحيحة) أن يكون قيمته الدقيقة. ^[21] ولأن π غير نسبي، فإنه يحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام في تمثيله العشري ، ولا يستقر في نمط متكرر بلا حدود من الأرقام. هناك العديد من الأدلة على أن π غير نسبي ؛ فهي تتطلب عمومًا حساب التفاضل والتكامل وتعتمد على أسلوب الاختزال إلى الحد الأقصى . الدرجة التييمكن بها تقريب π بالأعداد النسبية (تسمى مقياس اللاعقلانية ) ليست معروفة بدقة؛ فقد أثبتت التقديرات أن مقياس اللاعقلانية أكبر أو على الأقل يساوي مقياس e ولكنه أصغر من مقياس أعداد ليوفيل . ^[22]

لا تحتوي أرقام π على نمط واضح وقد اجتازت اختبارات العشوائية الإحصائية ، بما في ذلك اختبارات الطبيعية ؛ يُطلق على عدد بطول لا نهائي اسم طبيعي عندما تظهر جميع التسلسلات الممكنة للأرقام (بأي طول معين) بشكل متساوٍ. لم يتم إثبات أو دحض التخمين القائل بأن π طبيعي . [ 23 ^]

منذ ظهور أجهزة الكمبيوتر، أصبح عدد كبير من أرقام π متاحًا لإجراء التحليل الإحصائي عليها. أجرى ياسوماسا كانادا تحليلات إحصائية مفصلة على الأرقام العشرية لـ π ، ووجدها متسقة مع الطبيعية؛ على سبيل المثال، خضعت ترددات الأرقام العشرة من 0 إلى 9 لاختبارات الدلالة الإحصائية ، ولم يتم العثور على دليل على وجود نمط. ^[24] تحتوي أي تسلسل عشوائي من الأرقام على تسلسلات فرعية طويلة بشكل تعسفي تبدو غير عشوائية، وفقًا لنظرية القرد اللانهائي . وبالتالي، نظرًا لأن تسلسل أرقام π يجتاز الاختبارات الإحصائية للعشوائية، فإنه يحتوي على بعض تسلسلات الأرقام التي قد تبدو غير عشوائية، مثل تسلسل من ستة أرقام 9 متتالية تبدأ في المكان العشري 762 من التمثيل العشري لـ π . ^[25] يُطلق عليها أيضًا "نقطة فاينمان" في الفولكلور الرياضي ، نسبةً إلى ريتشارد فاينمان ، على الرغم من عدم وجود صلة معروفة بفينمان.

بالإضافة إلى كونه غير نسبي، فإن π هو أيضًا عدد متسامي ، مما يعني أنه ليس الحل لأي معادلة حدودية غير ثابتة ذات معاملات نسبية ، مثل . ^{[26] [ج]}${\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$

إن تجاوز π له نتيجتان مهمتان: أولاً، لا يمكن التعبير عن π باستخدام أي تركيبة محدودة من الأعداد النسبية والجذور التربيعية أو الجذور ذات العدد n (مثل أو ). ثانيًا، نظرًا لأنه لا يمكن إنشاء أي عدد متسامٍ باستخدام الفرجار والمسطرة ، فمن غير الممكن " تربيع الدائرة ". بعبارة أخرى، من المستحيل إنشاء مربع مساحته تساوي تمامًا مساحة دائرة معينة باستخدام الفرجار والمسطرة وحدهما. ^[27] كان تربيع الدائرة أحد أهم مشاكل الهندسة في العصور القديمة الكلاسيكية . ^[28] حاول علماء الرياضيات الهواة في العصر الحديث أحيانًا تربيع الدائرة وادعاء النجاح - على الرغم من حقيقة أنه مستحيل رياضيًا. ^{[29] [30]}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}}$${\displaystyle {\sqrt {10}}}$

كعدد غير نسبي، لا يمكن تمثيل π ككسر عادي . ولكن يمكن تمثيل كل عدد، بما في ذلك π ، بسلسلة لا نهائية من الكسور المتداخلة، والتي تسمى كسرًا مستمرًا : $${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$$

يؤدي قطع الكسر المستمر عند أي نقطة إلى تقريب نسبي لـ π ؛ أول أربعة منها هي 3 ،22/7⁠ , ⁠333/106⁠ ، و ⁠355/113⁠ . هذه الأرقام هي من بين التقريبات التاريخية الأكثر شهرة والأكثر استخدامًا للثابت. كل تقريب يتم إنشاؤه بهذه الطريقة هو أفضل تقريب نسبي؛ أي أن كل منها أقرب إلى π من أي كسر آخر بنفس المقام أو أصغر منه. ^[31] ولأن π متسامي، فهو بحكم التعريف ليس جبريًا وبالتالي لا يمكن أن يكون غير نسبي تربيعي . لذلك،لا يمكن أن يكون لـ π كسر مستمر دوري . على الرغم من أن الكسر المستمر البسيط لـ π (الموضح أعلاه) لا يُظهر أيضًا أي نمط واضح آخر، ^{[32] [33]} فإن العديد من الكسور المستمرة المعممة تفعل ذلك، مثل: ^[34] $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

يعود الفضل في منتصف هذه المعادلات إلى عالم الرياضيات ويليام بروانكر في منتصف القرن السابع عشر ، انظر § صيغة بروانكر .

تتضمن بعض تقريبات باي ما يلي :

• الأعداد الصحيحة : 3
• الكسور : تشمل الكسور التقريبية (بترتيب تصاعدي من حيث الدقة )22/7⁠ , ⁠333/106⁠ , ⁠355/113⁠ , ⁠52163/16604⁠ , ⁠103993/33102⁠ , ⁠104348/33215⁠ ، و ⁠245850922/78256779⁠ . ^[31] (القائمة هي مصطلحات مختارة من OEIS : A063674 و OEIS : A063673 .)
• الأرقام : أول 50 رقمًا عشريًا هي 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... ^[35] (انظر OEIS : A000796 )

الأرقام في أنظمة الأعداد الأخرى

• أول 48 رقمًا ثنائيًا ( القاعدة 2) (تسمى بتات ) هي 11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011... (انظر OEIS : A004601 )
• الأرقام الستة والثلاثون الأولى في النظام الثلاثي (القاعدة 3) هي 10.010 211 012 222 010 211 002 111 110 221 222 220... (انظر OEIS : A004602 )
• الأرقام العشرين الأولى في النظام السداسي عشر (القاعدة 16) هي 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319... ^[36] (انظر OEIS : A062964 )
• الأرقام الخمسة الأولى من النظام الستيني (القاعدة 60) هي 3؛8،29،44،0،47 ^[37] (انظر OEIS : A060707 )

يمكن التعبير عن أي عدد مركب ، لنقل z ، باستخدام زوج من الأعداد الحقيقية . في نظام الإحداثيات القطبية ، يتم استخدام رقم واحد ( نصف القطر أو r ) لتمثيل مسافة z من أصل المستوى المركب ، والآخر (الزاوية أو φ ) الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة من الخط الحقيقي الموجب: ^[38] حيث i هي الوحدة التخيلية التي تحقق . يمكن ربط الظهور المتكرر لـ π في التحليل المركب بسلوك الدالة الأسية للمتغير المركب، الموصوفة بصيغة أويلر : ^[39] حيث الثابت e هو قاعدة اللوغاريتم الطبيعي . تنشئ هذه الصيغة تطابقًا بين القوى التخيلية لـ e والنقط الموجودة على دائرة الوحدة التي مركزها أصل المستوى المركب. يؤدي الإعداد في صيغة أويلر إلى متطابقة أويلر ، المشهورة في الرياضيات بسبب احتوائها على خمسة ثوابت رياضية مهمة: ^{[39] [40]}$${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$$${\displaystyle i^{2}=-1}$ $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$$${\displaystyle \varphi =\pi }$ $${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$$

هناك n أعداد مركبة مختلفة z تحقق الشرط ، وتسمى " الجذور n للوحدة " ^[41] وتعطى بالصيغة: ${\displaystyle z^{n}=1}$$${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$$

كانت التقريبات الأكثر شهرة لتأريخ π قبل العصر المشترك دقيقة إلى حد منزلتين عشريتين؛ وقد تحسن هذا في الرياضيات الصينية على وجه الخصوص بحلول منتصف الألفية الأولى، إلى دقة سبعة منازل عشرية. بعد ذلك، لم يتم تحقيق أي تقدم آخر حتى أواخر العصور الوسطى.

تم العثور على أقدم التقريبات المكتوبة لـ π في بابل ومصر، وكلاهما في حدود واحد بالمائة من القيمة الحقيقية. في بابل، يوجد لوح طيني يرجع تاريخه إلى 1900-1600 قبل الميلاد يحتوي على بيان هندسي يعامل π ضمناً على أنه ⁠25/8⁠  = 3.125. ^[42] في مصر، تحتوي بردية ريند ، التي يرجع تاريخها إلى حوالي عام 1650 قبل الميلاد ولكنها منسوخة من وثيقة يرجع تاريخها إلى عام 1850 قبل الميلاد، على صيغة لمساحة الدائرة تعامل π على أنها . ^{[33] [42]} على الرغم من أن بعض علماء الأهرامات قد افترضوا أن الهرم الأكبر في الجيزة قد بُني بنسب تتعلق بـ π ، إلا أن هذه النظرية لا يقبلها العلماء على نطاق واسع. ^[43] في شولبا سوترا للرياضيات الهندية ، والتي يرجع تاريخها إلى تقليد شفوي من الألفية الأولى أو الثانية قبل الميلاد، يتم تقديم تقريبات تم تفسيرها بشكل مختلف على أنها 3.08831 أو 3.08833 أو 3.004 أو 3 أو 3.125 تقريبًا. ^[44]${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}\approx 3.16}$

كانت أول خوارزمية مسجلة لحساب قيمة π بدقة عبارة عن نهج هندسي باستخدام مضلعات، ابتكرها عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس حوالي عام 250 قبل الميلاد ، وذلك بتنفيذ طريقة الاستنفاد . ^[45] سيطرت هذه الخوارزمية المتعددة الأضلاع لأكثر من 1000 عام، ونتيجة لذلك يُشار أحيانًا إلى π بثابت أرخميدس. ^[46] حسب أرخميدس الحدود العليا والسفلى لـ π عن طريق رسم مسدس منتظم داخل وخارج الدائرة، ومضاعفة عدد الأضلاع على التوالي حتى وصل إلى مضلع منتظم مكون من 96 ضلعًا. من خلال حساب محيطات هذه المضلعات، أثبت أن223/71< π <​​22/7(أي 3.1408 < π < 3.1429 ). ^[47] الحد الأعلى لأرخميدس لـ22/7ربما أدى ذلك إلى اعتقاد شائع على نطاق واسع بأن π يساوي22/7⁠ . ^[48] حوالي عام 150 بعد الميلاد، أعطى العالم اليوناني الروماني بطليموس ، في كتابه الماجستي ، قيمة لـ π تبلغ 3.1416، والتي ربما حصل عليها من أرخميدس أو من أبولونيوس البرغاوي . ^{[49] [50]} وصل علماء الرياضيات الذين يستخدمون الخوارزميات المتعددة الأضلاع إلى 39 رقمًا من π في عام 1630، وهو رقم قياسي لم يُكسر إلا في عام 1699 عندما تم استخدام السلاسل اللانهائية للوصول إلى 71 رقمًا. ^[51]

في الصين القديمة ، شملت قيم π 3.1547 (حوالي 1 م)، (100 م، تقريبًا 3.1623)، و${\displaystyle {\sqrt {10}}}$142/45( القرن الثالث، حوالي 3.1556). ^[52] حوالي عام 265 بعد الميلاد،ابتكرعالم الرياضيات ليو هوي من مملكة وي خوارزمية تكرارية تعتمد على مضلع واستخدمها مع مضلع مكون من 3072 ضلعًا للحصول على قيمة π تساوي 3.1416. ^{[53] [54]} اخترع ليو لاحقًا طريقة أسرع لحساب π وحصل على قيمة 3.14 مع مضلع مكون من 96 ضلعًا، من خلال الاستفادة من حقيقة أن الاختلافات في مساحة المضلعات المتعاقبة تشكل سلسلة هندسية بعامل 4. ^[53] حسب عالم الرياضيات الصيني زو تشونغ تشي ، حوالي عام 480 م، ذلكواقترح التقريباتو، والتي أطلق عليها ميلو ("نسبة قريبة") ويويلو ("نسبة تقريبية") على التوالي، باستخدام خوارزمية ليو هوي المطبقة على مضلع مكون من 12288 ضلعًا. مع قيمة صحيحة لأرقامها العشرية السبعة الأولى، ظلت هذه القيمة هي التقريب الأكثر دقة لـ π المتاح لمدة 800 عام تالية. ^[55]${\displaystyle 3.1415926<\pi <3.1415927}$${\textstyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159292035...}$${\textstyle \pi \approx {\frac {22}{7}}=3.142857142857...}$

استخدم عالم الفلك الهندي أريابهاتا قيمة 3.1416 في كتابه آريابهاتيا (499 م). ^{[56] حسب} فيبوناتشي في حوالي عام  1220 القيمة 3.1418 باستخدام طريقة متعددة الأضلاع، مستقلة عن أرخميدس. ^[57] يبدو أن المؤلف الإيطالي دانتي استخدم القيمة . ^[57]${\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}$

أنتج عالم الفلك الفارسي جمشيد الكاشي تسعة أرقام ستينية ، أي ما يعادل تقريبًا 16 رقمًا عشريًا، في عام 1424، باستخدام مضلع ذي أضلاع، ^{[58] [59]} والذي ظل الرقم القياسي العالمي لمدة 180 عامًا تقريبًا. ^[60] حقق عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت في عام 1579 تسعة أرقام بمضلع ذي أضلاع. ^[60] وصل عالم الرياضيات الفلمنكي أدريان فان رومين إلى 15 رقمًا عشريًا في عام 1593. ^[60] في عام 1596، وصل عالم الرياضيات الهولندي لودولف فان سيولين إلى 20 رقمًا، وهو رقم قياسي زاده لاحقًا إلى 35 رقمًا (نتيجة لذلك، أُطلق على π اسم "الرقم اللودولفي" في ألمانيا حتى أوائل القرن العشرين). ^[61] وصل العالم الهولندي ويليبورد سنيليوس إلى 34 رقمًا في عام 1621، ^[62] ووصل عالم الفلك النمساوي كريستوف جرينبرجر إلى 38 رقمًا في عام 1630 باستخدام 10 ⁴⁰ ضلعًا. ^{[63] تمكن} كريستيان هويجنز من الوصول إلى 10 منازل عشرية في عام 1654 باستخدام طريقة مختلفة قليلاً تعادل استقراء ريتشاردسون . ^{[64] [65]}${\textstyle 3\times 2^{28}}$${\textstyle 3\times 2^{17}}$

لقد أحدث تطوير تقنيات المتسلسلات اللانهائية ثورة في حساب π في القرنين السادس عشر والسابع عشر. المتسلسلات اللانهائية هي مجموع حدود متتالية لا نهائية . سمحت المتسلسلات اللانهائية لعلماء الرياضيات بحساب π بدقة أكبر بكثير من أرخميدس وغيره ممن استخدموا تقنيات هندسية. ^[66] على الرغم من استغلال المتسلسلات اللانهائية لـ π بشكل ملحوظ من قبل علماء الرياضيات الأوروبيين مثل جيمس جريجوري وجوتفريد فيلهلم لايبنتز ، إلا أن النهج ظهر أيضًا في مدرسة كيرالا في وقت ما في القرن الرابع عشر أو الخامس عشر. ^{[67] [68]} حوالي عام 1500 بعد الميلاد، تم وضع وصف مكتوب لسلسلة لا نهائية يمكن استخدامها لحساب π في الآية السنسكريتية في Tantrasamgraha بواسطة Nilakantha Somayaji . ^[67] يتم تقديم السلسلة بدون دليل، ولكن يتم تقديم البراهين في عمل لاحق، Yuktibhāṣā ، من حوالي عام 1530 بعد الميلاد. تم وصف العديد من السلاسل اللانهائية، بما في ذلك سلسلة الجيب (التي ينسبها نيلاكانثا إلى مادهافا من سانجاماجراما )، وجيب التمام، والظل الزاوي والتي يشار إليها أحيانًا الآن باسم سلسلة مادهافا . تسمى سلسلة الظل الزاوي أحيانًا سلسلة جريجوري أو سلسلة جريجوري-ليبنيز. ^[67] استخدم مادهافا سلسلة لا نهائية لتقدير π إلى 11 رقمًا حوالي عام 1400. ^[69]

في عام 1593، نشر فرانسوا فييت ما يعرف الآن باسم صيغة فييت ، وهو حاصل لا نهائي (بدلاً من مجموع لا نهائي ، والذي يستخدم عادةً في حسابات π ): ^{[70] [71] [72]} $${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$$

في عام 1655، نشر جون واليس ما يعرف الآن باسم حاصل واليس ، وهو أيضًا حاصل لا نهائي: ^[70] $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots }$$

في ستينيات القرن السابع عشر، اكتشف العالم الإنجليزي إسحاق نيوتن وعالم الرياضيات الألماني جوتفريد فيلهلم لايبنتز حساب التفاضل والتكامل ، مما أدى إلى تطوير العديد من المتسلسلات اللانهائية لتقريب π . استخدم نيوتن نفسه سلسلة قوس الجيب لحساب تقريب مكون من 15 رقمًا لـ π في عام 1665 أو 1666، وكتب، "أشعر بالخجل من إخبارك بعدد الأرقام التي أجريت هذه الحسابات عليها، حيث لم يكن لدي أي عمل آخر في ذلك الوقت". ^[73]

في عام 1671، اكتشف جيمس جريجوري ، وبشكل مستقل لايبنتز في عام 1673، توسع سلسلة تايلور للظل العكسي : ^{[67] [74] [75]} $${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$$

هذه السلسلة، والتي تسمى أحيانًا سلسلة جريجوري-لايبنتز ، تساوي عند تقييمها بـ . ^[75] ولكن بالنسبة لـ ، فإنها تتقارب ببطء غير عملي (أي تقترب من الإجابة تدريجيًا جدًا)، وتستغرق حوالي عشرة أضعاف عدد الحدود لحساب كل رقم إضافي. ^[76]${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle z=1}$

في عام 1699، استخدم عالم الرياضيات الإنجليزي أبراهام شارب سلسلة جريجوري-ليبنيز لحساب π إلى 71 رقمًا، محطمًا الرقم القياسي السابق البالغ 39 رقمًا، والذي تم تسجيله باستخدام خوارزمية متعددة الأضلاع. ^[77]${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$

في عام 1706، استخدم جون ماشين سلسلة جريجوري-ليبنيز لإنتاج خوارزمية تتقارب بشكل أسرع بكثير: ^{[3] [78] [79]} $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$

وصل ماشين إلى 100 رقم من π بهذه الصيغة. ^[80] ابتكر علماء رياضيات آخرون متغيرات، تُعرف الآن باسم صيغ شبيهة بماشين ، والتي استُخدمت لتعيين العديد من السجلات المتعاقبة لحساب أرقام π . ^{[81] [80]}

قام إسحاق نيوتن بتسريع تقارب سلسلة جريجوري-لايبنتز في عام 1684 (في عمل غير منشور؛ اكتشف آخرون بشكل مستقل النتيجة): ^[82]

${\displaystyle \arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots }$

قام ليونهارد أويلر بترويج هذه السلسلة في كتابه المدرسي عن حساب التفاضل والتكامل عام 1755، واستخدمها لاحقًا مع صيغ شبيهة بصيغ ماشين، بما في ذلك تلك التي حسب بها 20 رقمًا من π في ساعة واحدة. ^[83]${\textstyle {\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{79}},}$

ظلت الصيغ التي تشبه الماكينات هي الطريقة الأكثر شهرة لحساب π حتى عصر أجهزة الكمبيوتر، واستُخدمت لتسجيل الأرقام القياسية لمدة 250 عامًا، وبلغت ذروتها في تقريب مكون من 620 رقمًا في عام 1946 بواسطة دانييل فيرجسون - أفضل تقريب تم تحقيقه بدون مساعدة جهاز حسابي. ^[84]

في عام 1844، سجل زاكارياس ديسي رقمًا قياسيًا ، حيث استخدم صيغة شبيهة بصيغة ماشين لحساب 200 جزء عشري من π في رأسه بناءً على طلب عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس . ^[85]

في عام 1853، قام عالم الرياضيات البريطاني ويليام شانكس بحساب π إلى 607 أرقام، لكنه ارتكب خطأ في الرقم 528، مما جعل جميع الأرقام اللاحقة غير صحيحة. وعلى الرغم من أنه حسب 100 رقم إضافي في عام 1873، مما جعل المجموع 707، إلا أن خطأه السابق جعل جميع الأرقام الجديدة غير صحيحة أيضًا. ^[86]

تتقارب بعض السلاسل اللانهائية لـ π بشكل أسرع من غيرها. إذا تم اختيار سلسلتين لانهائيتين لـ π ، فسيستخدم علماء الرياضيات عمومًا السلسلة التي تتقارب بشكل أسرع لأن التقارب الأسرع يقلل من مقدار الحساب المطلوب لحساب π إلى أي دقة معينة. ^[87] سلسلة لا نهائية بسيطة لـ π هي سلسلة جريجوري-ليبنيز : ^[88] $${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }$$

مع إضافة الحدود الفردية لهذه السلسلة اللانهائية إلى المجموع، يقترب المجموع تدريجيًا من π ، ويمكنه - مع عدد كافٍ من الحدود - أن يقترب من π بقدر ما هو مرغوب. ومع ذلك، فإنه يتقارب ببطء شديد - بعد 500000 حد، فإنه ينتج خمسة أرقام عشرية صحيحة فقط من π . ^[89]

سلسلة لا نهائية لـ π (نشرها نيلاكانثا في القرن الخامس عشر) تتقارب بسرعة أكبر من سلسلة جريجوري-لايبنتز هي: ^{[90] [91]} $${\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }$$

الجدول التالي يقارن معدلات التقارب لهاتين السلسلتين:

سلسلة لا نهائية لـ π	بعد الفصل الدراسي الأول	بعد الفصل الدراسي الثاني	بعد الفصل الدراسي الثالث	بعد الفصل الدراسي الرابع	بعد الفصل الدراسي الخامس	يتقارب إلى:
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}+\cdots }$	4.0000	2.6666 ...	3.4666 ...	2.8952 ...	3.3396 ...	π = 3.1415 ...
${\displaystyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-\cdots }$	3.0000	3.1666 ...	3.1333 ...	3.1452 ...	3.1396 ...

بعد خمسة حدود، يكون مجموع سلسلة جريجوري-ليبنيز ضمن 0.2 من القيمة الصحيحة لـ π ، بينما يكون مجموع سلسلة نيلاكانثا ضمن 0.002 من القيمة الصحيحة. تتقارب سلسلة نيلاكانثا بشكل أسرع وتكون أكثر فائدة لحساب أرقام π . تشمل السلاسل التي تتقارب بشكل أسرع سلسلة ماشين وسلسلة تشودنوفسكي ، حيث تنتج الأخيرة 14 رقمًا عشريًا صحيحًا لكل حد. ^[87]

لم تكن كل التطورات الرياضية المتعلقة بـ π تهدف إلى زيادة دقة التقريبات. عندما حل أويلر مشكلة بازل في عام 1735، بإيجاد القيمة الدقيقة لمجموع المربعات المعكوسة، أسس ارتباطًا بين π والأعداد الأولية التي ساهمت لاحقًا في تطوير ودراسة دالة زيتا لريمان : ^[92]

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$$

أثبت العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1768 أن π غير نسبي ، أي أنه لا يساوي حاصل قسمة أي عددين صحيحين. ^{[21] استغل} إثبات لامبرت تمثيل الكسر المستمر لدالة الظل. ^[93] أثبت عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجيندر في عام 1794 أن π ² غير نسبي أيضًا. في عام 1882، أثبت عالم الرياضيات الألماني فرديناند فون ليندمان أن π متسامي ، ^[94] مؤكدًا تخمينًا قدمه كل من ليجيندر وأويلر. ^{[95] [96]} يذكر هاردي ورايت أن "البراهين تم تعديلها وتبسيطها بعد ذلك من قبل هيلبرت وهورويتز وكتاب آخرين". ^[97]

في أقدم الاستخدامات، استُخدم الحرف اليوناني π للإشارة إلى نصف محيط الدائرة ( semiperipheria باللاتينية) ^[8] وتم دمجه بنسب مع δ ( للقطر أو نصف القطر) أو ρ (لنصف القطر ) لتشكيل ثوابت الدائرة. ^{[98] [ 99] [100] [101]} (قبل ذلك، استخدم علماء الرياضيات أحيانًا أحرفًا مثل c أو p بدلاً من ذلك. ^[102] ) أول استخدام مسجل هو " " لأوتريد ، للتعبير عن نسبة المحيط والقطر في إصدارات 1647 وما بعدها من Clavis Mathematicae . ^{[103] [102]} وبالمثل استخدم بارو " " لتمثيل الثابت 3.14... ، ^[104] بينما استخدم جريجوري بدلاً من ذلك " " لتمثيل 6.28...  . ^{[105] [100]}${\displaystyle \delta .\pi }$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$

أقدم استخدام معروف للحرف اليوناني π وحده لتمثيل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها كان من قبل عالم الرياضيات الويلزي ويليام جونز في عمله عام 1706 Synopsis Palmariorum Matheseos ؛ أو، مقدمة جديدة للرياضيات . ^{[3] [106]} يظهر الحرف اليوناني في الصفحة 243 في عبارة " المحيط ( π )"، المحسوب لدائرة بنصف قطر واحد. ومع ذلك، يكتب جونز أن معادلاته لـ π هي من "القلم الجاهز للسيد جون ماشين العبقري حقًا "، مما أدى إلى تكهنات بأن ماشين ربما استخدم الحرف اليوناني قبل جونز. ^[102] لم يتم تبني تدوين جونز على الفور من قبل علماء الرياضيات الآخرين، حيث لا يزال تدوين الكسور مستخدمًا حتى وقت متأخر من عام 1767. ^{[98] [107]}${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$

بدأ أويلر في استخدام الشكل أحادي الحرف بدءًا من مقالته التي نشرت عام 1727 بعنوان شرح خصائص الهواء ، على الرغم من أنه استخدم π = 6.28... ، وهي نسبة المحيط إلى نصف القطر، في هذا وبعض الكتابات اللاحقة. ^{[108] [109]} استخدم أويلر لأول مرة π = 3.14... في عمله ميكانيكا عام 1736 ، ^[110] واستمر في عمله الذي قرأه على نطاق واسع عام 1748 بعنوان مقدمة في تحليل اللانهائي (كتب: "من أجل الإيجاز سنكتب هذا الرقم على هيئة π ؛ وبالتالي فإن π يساوي نصف محيط دائرة نصف قطرها 1 "). ^[111] نظرًا لأن أويلر كان يتواصل بشكل كبير مع علماء الرياضيات الآخرين في أوروبا، فقد انتشر استخدام الحرف اليوناني بسرعة، وتم تبني الممارسة عالميًا بعد ذلك في العالم الغربي ، ^[102] على الرغم من أن التعريف لا يزال يتراوح بين 3.14... و 6.28... حتى عام 1761. ^[112]

لقد أحدث تطوير أجهزة الكمبيوتر في منتصف القرن العشرين ثورة أخرى في البحث عن أرقام π . حيث وصل الرياضيان جون رينش وليفي سميث إلى 1120 رقمًا في عام 1949 باستخدام آلة حاسبة مكتبية. ^[113] باستخدام سلسلة لا نهائية من الظل العكسي (arctan)، حقق فريق بقيادة جورج رايتويزنر وجون فون نيومان في نفس العام 2037 رقمًا بحساب استغرق 70 ساعة من وقت الكمبيوتر على كمبيوتر ENIAC . ^{[114] [115]} تم كسر الرقم القياسي، الذي يعتمد دائمًا على سلسلة arctan، بشكل متكرر (3089 رقمًا في عام 1955، ^[116] 7480 رقمًا في عام 1957؛ 10000 رقم في عام 1958؛ 100000 رقم في عام 1961) حتى تم الوصول إلى مليون رقم في عام 1973. ^[114]

وقد أدى تطوران إضافيان حوالي عام 1980 مرة أخرى إلى تسريع القدرة على حساب π . أولاً، اكتشاف خوارزميات تكرارية جديدة لحساب π ، والتي كانت أسرع بكثير من المتسلسلة اللانهائية؛ وثانيًا، اختراع خوارزميات الضرب السريع التي يمكنها ضرب أعداد كبيرة بسرعة كبيرة. ^[117] تعد مثل هذه الخوارزميات مهمة بشكل خاص في حسابات π الحديثة لأن معظم وقت الكمبيوتر مخصص للضرب. ^[118] وهي تشمل خوارزمية كاراتسوبا ، وضرب توم كوك ، وطرق تعتمد على تحويل فورييه . ^[119]

نُشرت الخوارزميات التكرارية بشكل مستقل في عامي 1975-1976 بواسطة الفيزيائي يوجين سالامين والعالم ريتشارد برينت . ^[120] تتجنب هذه الخوارزميات الاعتماد على المتسلسلات اللانهائية. تكرر الخوارزمية التكرارية عملية حسابية معينة، وتستخدم كل تكرار مخرجات الخطوات السابقة كمدخلات لها، وتنتج نتيجة في كل خطوة تتقارب مع القيمة المطلوبة. تم اختراع هذا النهج بالفعل قبل أكثر من 160 عامًا بواسطة كارل فريدريش جاوس ، فيما يسمى الآن بطريقة المتوسط ​​الحسابي الهندسي (طريقة AGM) أو خوارزمية جاوس ليجيندر . ^[120] كما عدلها سالامين وبرينت، يشار إليها أيضًا باسم خوارزمية برنت سالامين.

تم استخدام الخوارزميات التكرارية على نطاق واسع بعد عام 1980 لأنها أسرع من خوارزميات السلسلة اللانهائية: في حين أن السلسلة اللانهائية تزيد عادةً من عدد الأرقام الصحيحة بشكل إضافي في مصطلحات متتالية، فإن الخوارزميات التكرارية تضاعف عمومًا عدد الأرقام الصحيحة في كل خطوة. على سبيل المثال، تضاعف خوارزمية برنت-سلامين عدد الأرقام في كل تكرار. في عام 1984، أنتج الأخوان جون وبيتر بوروين خوارزمية تكرارية تضاعف عدد الأرقام في كل خطوة أربع مرات؛ وفي عام 1987، خوارزمية تزيد عدد الأرقام خمس مرات في كل خطوة. ^[121] تم استخدام الأساليب التكرارية من قبل عالم الرياضيات الياباني ياسوماسا كانادا لتسجيل عدة أرقام قياسية لحساب π بين عامي 1995 و2002. ^[122] يأتي هذا التقارب السريع بثمن: تتطلب الخوارزميات التكرارية ذاكرة أكبر بكثير من السلسلة اللانهائية. ^[122]

بالنسبة لمعظم الحسابات العددية التي تتضمن π ، توفر حفنة من الأرقام دقة كافية. وفقًا لجورج أرندت وكريستوف هاينيل، فإن تسعة وثلاثين رقمًا كافية لإجراء معظم الحسابات الكونية ، لأن هذه هي الدقة اللازمة لحساب محيط الكون المرئي بدقة ذرة واحدة. مع مراعاة الأرقام الإضافية اللازمة للتعويض عن أخطاء التقريب الحسابي ، يخلص أرندت إلى أن بضع مئات من الأرقام ستكون كافية لأي تطبيق علمي. على الرغم من ذلك، فقد عمل الناس بجد لحساب π إلى آلاف وملايين الأرقام. ^[123] يمكن أن يُعزى هذا الجهد جزئيًا إلى الإكراه البشري على تحطيم الأرقام القياسية، وغالبًا ما تتصدر مثل هذه الإنجازات مع π عناوين الأخبار في جميع أنحاء العالم. ^{[124] [125]} كما أن لها فوائد عملية، مثل اختبار أجهزة الكمبيوتر العملاقة ، واختبار خوارزميات التحليل العددي (بما في ذلك خوارزميات الضرب عالية الدقة )؛ وفي الرياضيات البحتة نفسها، توفير البيانات لتقييم عشوائية أرقام π . ^[126]

لا تستخدم حاسبات π الحديثة الخوارزميات التكرارية حصريًا. تم اكتشاف سلسلة لا نهائية جديدة في الثمانينيات والتسعينيات من القرن العشرين والتي كانت سريعة مثل الخوارزميات التكرارية، ولكنها أبسط وأقل كثافة في الذاكرة. ^[122] تم توقع الخوارزميات التكرارية السريعة في عام 1914، عندما نشر عالم الرياضيات الهندي سرينيفاسا رامانوجان العشرات من الصيغ الجديدة المبتكرة لـ π ، والتي تتميز بأناقتها وعمقها الرياضي وتقاربها السريع. ^[127] إحدى صيغه، المستندة إلى معادلات معيارية ، هي $${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.}$$

تتقارب هذه السلسلة بشكل أسرع بكثير من معظم سلاسل الظل الزاوي، بما في ذلك صيغة ماشين. ^{[128] كان} بيل جوسبر أول من استخدمها للتقدم في حساب π ، حيث سجل رقمًا قياسيًا بلغ 17 مليون رقم في عام 1985. [ ^129] سبقت صيغ رامانوجان الخوارزميات الحديثة التي طورها الأخوان بوروين ( جوناثان وبيتر ) والأخوان تشودنوفسكي . ^[130] صيغة تشودنوفسكي التي طورت في عام 1987 هي $${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!\,k!^{3}(-640320)^{3k}}}.}$$

إنه ينتج حوالي 14 رقمًا من π لكل مصطلح ^{[131] وقد تم استخدامه في العديد من حسابات} π القياسية ، بما في ذلك أول من تجاوز 1 مليار (10 ⁹ ) رقمًا في عام 1989 بواسطة الأخوين تشودنوفسكي، و10 تريليونات (10 ¹³ ) رقمًا في عام 2011 بواسطة ألكسندر يي وشيجيرو كوندو، ^[132] و100 تريليون رقم بواسطة إيما هاروكا إيواو في عام 2022. ^[133] للحصول على صيغ مماثلة، انظر أيضًا سلسلة رامانوجان-ساتو .

في عام 2006، استخدم عالم الرياضيات سيمون بلوف خوارزمية العلاقة الصحيحة PSLQ ^[134] لتوليد العديد من الصيغ الجديدة لـ π ، والتي تتوافق مع القالب التالي: حيث q هو e ^π (ثابت جيلفوند)، و k هو عدد فردي ، و a و b و c هي أعداد نسبية معينة حسبها بلوف. ^[135]$${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}$$

يمكن استخدام طرق مونت كارلو ، التي تقيم نتائج التجارب العشوائية المتعددة، لإنشاء تقريبات لـ π . ^[136] إبرة بوفون هي إحدى هذه التقنيات: إذا سقطت إبرة بطول ℓ n مرة على سطح رسمت عليه خطوط متوازية بمسافة t وحدة، وإذا توقفت x من هذه المرات عند عبور خط ( x  > 0)، فيمكن للمرء أن يقرب π بناءً على العد: ^[137] $${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.}$$

طريقة مونت كارلو أخرى لحساب π هي رسم دائرة محصورة في مربع، ووضع نقاط عشوائيًا في المربع. ستكون نسبة النقاط داخل الدائرة إلى العدد الإجمالي للنقاط مساوية تقريبًا لـ π/4 . ^[138]

طريقة أخرى لحساب π باستخدام الاحتمالية هي البدء بسير عشوائي ، يتم إنشاؤه بواسطة سلسلة من رميات العملة (العادلة): متغيرات عشوائية مستقلة X _k بحيث يكون X _k ∈ {−1,1} باحتمالات متساوية. السير العشوائي المرتبط هو أنه، لكل n ، يتم رسم W _n من توزيع ثنائي مُزاح ومُقاس . مع تغير n ، يحدد W _n عملية عشوائية (منفصلة) . ثم يمكن حساب π بواسطة ^[139]$${\displaystyle W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$$ $${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.}$$

هذه الطريقة مونت كارلو مستقلة عن أي علاقة بالدوائر، وهي نتيجة لنظرية الحد المركزي ، والتي تمت مناقشتها أدناه.

إن طرق مونت كارلو هذه لتقريب π بطيئة للغاية مقارنة بالطرق الأخرى، ولا تقدم أي معلومات حول العدد الدقيق للأرقام التي تم الحصول عليها. وبالتالي، لا تُستخدم أبدًا لتقريب π عندما تكون السرعة أو الدقة مطلوبة. ^[140]

تم اكتشاف خوارزميتين في عام 1995 فتحتا آفاقًا جديدة للبحث في π . يطلق عليهما اسم خوارزميات الصنبور لأنها، مثل الماء المتساقط من الصنبور ، تنتج أرقامًا مفردة من π لا يتم إعادة استخدامها بعد حسابها. ^{[141] [142]} وهذا على النقيض من الخوارزميات المتسلسلة اللانهائية أو الخوارزميات التكرارية، والتي تحتفظ بجميع الأرقام الوسيطة وتستخدمها حتى يتم إنتاج النتيجة النهائية. ^[141]

قام علماء الرياضيات ستان واجون وستانلي رابينوفيتز بإنتاج خوارزمية صنبور بسيطة في عام 1995. ^{[142] [143] [144]} سرعتها قابلة للمقارنة بخوارزميات الظل الزاوي، ولكنها ليست بنفس سرعة الخوارزميات التكرارية. ^[143]

تم اكتشاف خوارزمية صنبور أخرى، وهي خوارزمية استخراج أرقام BBP ، في عام 1995 بواسطة Simon Plouffe: ^{[145] [146]} $${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$$

هذه الصيغة، على عكس غيرها من الصيغ التي سبقتها، يمكنها إنتاج أي رقم سداسي عشري فردي من π دون حساب جميع الأرقام السابقة. ^[145] يمكن استخراج أرقام ثنائية فردية من أرقام سداسية عشرية فردية، ويمكن استخراج أرقام ثماني من رقم أو رقمين سداسي عشريين. أحد التطبيقات المهمة لخوارزميات استخراج الأرقام هو التحقق من صحة الادعاءات الجديدة لحسابات π للسجل : بعد المطالبة بسجل جديد، يتم تحويل النتيجة العشرية إلى سداسية عشرية، ثم يتم استخدام خوارزمية استخراج الأرقام لحساب العديد من الأرقام السداسية عشرية المختارة عشوائيًا بالقرب من النهاية؛ إذا تطابقت، فهذا يوفر مقياسًا للثقة في صحة الحساب بالكامل. ^[132]

بين عامي 1998 و2000، استخدم مشروع الحوسبة الموزعة PiHex صيغة بيلارد (تعديل لخوارزمية BBP) لحساب البت الرباعي المليار (10 ¹⁵ ) من π ، والذي تبين أنه يساوي 0. ^[147] في سبتمبر 2010، استخدم موظف في شركة ياهو! تطبيق Hadoop الخاص بالشركة على ألف جهاز كمبيوتر على مدار فترة 23 يومًا لحساب 256 بت من π عند البت الرباعي المليار (2×10 ¹⁵ )، والذي صادف أيضًا أنه يساوي صفرًا. ^[148]

في عام 2022، وجد بلوف خوارزمية ذات قاعدة 10 لحساب أرقام π . ^[149]

نظرًا لأن π وثيق الصلة بالدائرة، فقد تم العثور عليه في العديد من الصيغ من مجالات الهندسة وعلم المثلثات، وخاصة تلك المتعلقة بالدوائر أو الكرات أو القطع الناقص. كما تتضمن فروع أخرى من العلوم، مثل الإحصاء والفيزياء وتحليل فورييه ونظرية الأعداد، π أيضًا في بعض صيغها المهمة.

يظهر π في صيغ المساحات وأحجام الأشكال الهندسية القائمة على الدوائر، مثل القطع الناقص ، والكرات ، والمخاريط ، والحلقات . فيما يلي بعض الصيغ الأكثر شيوعًا التي تتضمن π . ^[150]

• محيط الدائرة التي نصف قطرها r هو 2πr .
• مساحة الدائرة التي نصف قطرها r هي π r ² .
• مساحة القطع الناقص الذي له نصف المحور الرئيسي أ ونصف المحور الثانوي ب هي π ab .
• حجم الكرة التي نصف قطرها r هو4/3⁠ π r ³ .
• مساحة سطح الكرة التي نصف قطرها r هي 4π r ² .

بعض الصيغ المذكورة أعلاه هي حالات خاصة لحجم الكرة ذات الأبعاد n ومساحة سطح حدودها، الكرة ذات الأبعاد ( n −1) ، الموضحة أدناه.

بصرف النظر عن الدوائر، هناك منحنيات أخرى بعرض ثابت . وفقًا لنظرية باربييه ، فإن كل منحنى بعرض ثابت له محيط π مضروبًا في عرضه. مثلث رولو (المكون من تقاطع ثلاث دوائر مع أضلاع مثلث متساوي الأضلاع كأقطار لها) له أصغر مساحة ممكنة لعرضه والدائرة هي الأكبر. توجد أيضًا منحنيات جبرية ناعمة وغير دائرية بعرض ثابت. ^[151]

عادةً ما يكون للتكاملات المحددة التي تصف محيط أو مساحة أو حجم الأشكال الناتجة عن الدوائر قيم تتضمن π . على سبيل المثال، التكامل الذي يحدد نصف مساحة دائرة نصف قطرها واحد يُعطى بالصيغة التالية: ^[152] $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$$

في هذا التكامل، تمثل الدالة الارتفاع على المحور - لنصف الدائرة ( الجذر التربيعي هو نتيجة لنظرية فيثاغورس )، ويحسب التكامل المساحة الموجودة أسفل نصف الدائرة. ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$${\displaystyle x}$

إن وجود مثل هذه التكاملات يجعل π فترة جبرية . ^[153]

تعتمد الدوال المثلثية على الزوايا، ويستخدم علماء الرياضيات عمومًا الراديان كوحدات قياس. يلعب π دورًا مهمًا في الزوايا المقاسة بالراديان، والتي يتم تعريفها بحيث تمتد الدائرة الكاملة على زاوية 2 π  راديان. قياس الزاوية 180 درجة يساوي π راديان، و 1 درجة = π / 180 راديان . ^[154]

تحتوي الدوال المثلثية الشائعة على فترات مضاعفات π ؛ على سبيل المثال، الجيب وجيب التمام لهما فترة 2 π ، ^[155] لذا لأي زاوية θ وأي عدد صحيح k ، ^[155] $${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ and }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}$$

إن العديد من ظهورات π في صيغ الرياضيات والعلوم لها علاقة بعلاقتها الوثيقة بالهندسة. ومع ذلك، فإن π تظهر أيضًا في العديد من المواقف الطبيعية التي لا علاقة لها على ما يبدو بالهندسة.

في العديد من التطبيقات، تلعب دورًا مميزًا كقيمة ذاتية . على سبيل المثال، يمكن نمذجة وتر مهتز مثالي كرسم بياني لدالة f على الفاصل الزمني الوحدوي [0، 1] ، مع نهايات ثابتة f (0) = f (1) = 0. أنماط اهتزاز الوتر هي حلول للمعادلة التفاضلية ، أو . وبالتالي فإن λ هي قيمة ذاتية لمشغل المشتقة الثانية ، وهي مقيدة بنظرية ستورم-ليوفيل لتأخذ قيمًا معينة محددة فقط. يجب أن تكون موجبة، لأن المشغل سلبي محدد ، لذلك من المناسب كتابة λ = ν ² ، حيث ν > 0 يسمى رقم الموجة . ثم f ( x ) = sin( π x ) تلبي الشروط الحدودية والمعادلة التفاضلية مع ν = π . ^[156]${\displaystyle f''(x)+\lambda f(x)=0}$${\displaystyle f''(t)=-\lambda f(x)}$ ${\displaystyle f\mapsto f''}$

القيمة π هي في الواقع أصغر قيمة لرقم الموجة، وهي مرتبطة بالوضع الأساسي لاهتزاز الوتر. إحدى الطرق لإظهار ذلك هي تقدير الطاقة ، التي تلبي متباينة Wirtinger : ^[157] بالنسبة للدالة التي f (0) = f (1) = 0 و f ، f ′ كلاهما قابل للتكامل التربيعي ، لدينا: مع المساواة على وجه التحديد عندما تكون f مضاعفًا لـ sin(π x ) . هنا يظهر π ثابتًا مثاليًا في متباينة Wirtinger، ويترتب على ذلك أنه أصغر رقم موجة، باستخدام التوصيف المتغير للقيمة الذاتية. ونتيجة لذلك، فإن π هي أصغر قيمة مفردة لمشغل المشتق على فضاء الدوال على [0، 1] التي تتلاشى عند كلتا النقطتين النهائيتين ( فضاء سوبوليف ). ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}$$ ${\displaystyle H_{0}^{1}[0,1]}$

يظهر الرقم π في مشاكل القيم الذاتية المماثلة في التحليل ذي الأبعاد الأعلى. وكما ذكر أعلاه، يمكن وصفه من خلال دوره كأفضل ثابت في المتباينة المتساوية المحيط : المنطقة A المحاطة بمنحنى جوردان المستوي للمحيط P تلبي المتباينة ويتم تحقيق المساواة بوضوح للدائرة، لأنه في هذه الحالة A = π r ² و P = 2π r . ^[159]$${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}$$

في النهاية، كنتيجة للتباين المتساوي المحيط، يظهر π في الثابت الأمثل للتباين الحرج سوبوليف في أبعاد n ، مما يميز بالتالي دور π في العديد من الظواهر الفيزيائية أيضًا، على سبيل المثال تلك الخاصة بنظرية الإمكانات الكلاسيكية . ^{[160] [161] [162]} في بعدين، يكون التباين الحرج سوبوليف لـ f دالة سلسة ذات دعم مضغوط في R ² ، هو منحدر f ، و و يشيران على التوالي إلى المعيار L ² و L ^1. التباين سوبوليف مكافئ للتباين الحرج المحيط (في أي بُعد)، بنفس أفضل الثوابت. $${\displaystyle 2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}}$$${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle \|f\|_{2}}$${\displaystyle \|\nabla f\|_{1}}$

تُعمم متباينة فيرتنجر أيضًا على متباينات بوانكاريه ذات الأبعاد الأعلى التي توفر أفضل الثوابت لطاقة دي ريتشليه لغشاء ذي أبعاد n . على وجه التحديد، π هو أعظم ثابت بحيث يكون لجميع المجموعات الفرعية المحدبة G من R ⁿ بقطر 1، والدوال القابلة للتكامل التربيعي u على G بمتوسط ​​صفر. ^[163] تمامًا كما أن متباينة فيرتنجر هي الشكل المتغير لمشكلة القيمة الذاتية لدي ريتشليه في بُعد واحد، فإن متباينة بوانكاريه هي الشكل المتغير لمشكلة القيمة الذاتية لنيومان ، في أي بُعد. $${\displaystyle \pi \leq {\frac {\left(\int _{G}|\nabla u|^{2}\right)^{1/2}}{\left(\int _{G}|u|^{2}\right)^{1/2}}}}$$

يظهر الثابت π أيضًا كمعامل طيفي حرج في تحويل فورييه . هذا هو التحويل التكاملي ، الذي يأخذ دالة قابلة للتكامل ذات قيمة معقدة f على الخط الحقيقي إلى الدالة المحددة على النحو التالي: $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}$$

على الرغم من وجود عدة اتفاقيات مختلفة لتحويل فورييه ومعكوسه، فإن أي اتفاقية من هذا القبيل يجب أن تتضمن π في مكان ما . ومع ذلك، فإن التعريف أعلاه هو التعريف الأكثر شيوعًا، حيث يعطي عاملًا وحدويًا فريدًا على L ² وهو أيضًا تماثل جبر لـ L ¹ إلى L ^∞ . ^[164]

يحتوي مبدأ عدم اليقين لهايزنبيرج أيضًا على الرقم π . يعطي مبدأ عدم اليقين حدًا أدنى حادًا للمدى الذي يمكن عنده تحديد موضع دالة في كل من الفضاء والتردد: وفقًا لاتفاقياتنا لتحويل فورييه، $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.}$$

تتم مناقشة النتيجة الفيزيائية، حول عدم اليقين في الملاحظات المتزامنة للموضع والزخم لنظام ميكانيكي كمي ، أدناه. إن ظهور π في صيغ تحليل فورييه هو في النهاية نتيجة لنظرية ستون-فون نيومان ، التي تؤكد تفرد تمثيل شرودنجر لمجموعة هايزنبيرج . ^[165]

تستخدم مجالات الاحتمالات والإحصاء بشكل متكرر التوزيع الطبيعي كنموذج بسيط للظواهر المعقدة؛ على سبيل المثال، يفترض العلماء عمومًا أن الخطأ الرصدي في معظم التجارب يتبع توزيعًا طبيعيًا. [ ^166] تحتوي الدالة الجاوسية ، وهي دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي بمتوسط ​​μ وانحراف معياري σ ، بشكل طبيعي على π : ^[167] $${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$$

يجعل عامل المساحة الموجودة أسفل الرسم البياني لـ f مساوية لواحد، كما هو مطلوب لتوزيع الاحتمالات. ويتبع هذا تغيير المتغيرات في التكامل الغاوسي : ^[167] الذي ينص على أن المساحة الموجودة أسفل منحنى الجرس الأساسي في الشكل تساوي الجذر التربيعي لـ π . ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }}}$$

تشرح نظرية الحد المركزي الدور المركزي للتوزيعات الطبيعية، وبالتالي π ، في الاحتمالات والإحصاء. ترتبط هذه النظرية في النهاية بالوصف الطيفي لـ π كقيمة ذاتية مرتبطة بمبدأ عدم اليقين لهايزنبيرج، وحقيقة أن المساواة تنطبق على مبدأ عدم اليقين فقط للدالة الغوسية. ^[168] وعلى نحو مكافئ، π هو الثابت الوحيد الذي يجعل التوزيع الطبيعي الغاوسي e ^{−π x 2} مساويًا لتحويل فورييه الخاص به. ^[169] في الواقع، وفقًا لهو (1980)، فإن "العمل كله" المتمثل في إثبات النظريات الأساسية لتحليل فورييه ينحصر في التكامل الغاوسي. ^[165]

يظهر الثابت π في صيغة جاوس-بونيه التي تربط الهندسة التفاضلية للأسطح بطوبولوجيتها . على وجه التحديد، إذا كان السطح المضغوط Σ له انحناء جاوس K ، فحيث χ (Σ) هي خاصية أويلر ، وهي عدد صحيح. ^[170] مثال على ذلك هو مساحة سطح كرة S ذات انحناء 1 (بحيث يكون نصف قطر انحنائها ، الذي يتطابق مع نصف قطرها، هو أيضًا 1.) يمكن حساب خاصية أويلر للكرة من مجموعات التماثل الخاصة بها وتبين أنها تساوي اثنين. وبالتالي، لدينا إعادة إنتاج لصيغة مساحة سطح كرة نصف قطرها 1. $${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )}$$$${\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi }$$

يظهر الثابت في العديد من الصيغ التكاملية الأخرى في الطوبولوجيا، وخاصة تلك التي تنطوي على فئات مميزة عبر تماثل تشيرن-ويل . ^[171]

أحد الأدوات الرئيسية في التحليل المركب هو تكامل محيط الدالة على منحنى جوردان الموجه إيجابيًا ( القابل للتصحيح ) γ . تنص إحدى أشكال صيغة تكامل كوشي على أنه إذا كانت النقطة z ₀ داخلية لـ γ ، فإن ^[172] $${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.}$$

على الرغم من أن المنحنى γ ليس دائرة، وبالتالي ليس له أي اتصال واضح بالثابت π ، فإن الدليل القياسي لهذه النتيجة يستخدم نظرية موريرا ، والتي تعني أن التكامل ثابت تحت تماثل المنحنى، بحيث يمكن تشويهه إلى دائرة ثم دمجه صراحةً في إحداثيات قطبية. وبشكل عام، من الصحيح أنه إذا كان المنحنى المغلق القابل للتصحيح γ لا يحتوي على z ₀ ، فإن التكامل أعلاه يكون 2π i مضروبًا في رقم لف المنحنى.

الشكل العام لصيغة تكامل كوشي يؤسس العلاقة بين قيم الدالة التحليلية المعقدة f ( z ) على منحنى جوردان γ وقيمة f ( z ) عند أي نقطة داخلية z ₀ من γ : ^[173] بشرط أن تكون f ( z ) تحليلية في المنطقة المحاطة بـ γ وتمتد باستمرار إلى γ . صيغة تكامل كوشي هي حالة خاصة من نظرية البقايا ، حيث إذا كانت g ( z ) دالة متشابكة المنطقة المحاطة بـ γ ومتصلة في جوار γ ، فإن مجموع البقايا عند أقطاب g ( z ) . $${\displaystyle \oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})}$$$${\displaystyle \oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})}$$

الثابت π موجود في كل مكان في حساب المتجهات ونظرية الجهد ، على سبيل المثال في قانون كولومب ، ^[174] وقانون جاوس ، ومعادلات ماكسويل ، وحتى معادلات مجال أينشتاين . ^{[175] [176]} ربما يكون أبسط مثال على ذلك هو الجهد النيوتوني ثنائي الأبعاد ، والذي يمثل جهد مصدر نقطي عند الأصل، والذي يحتوي مجاله المرتبط على تدفق خارجي مقداره وحدة من خلال أي سطح مغلق أملس وموجه يحيط بالمصدر: عامل ضروري لضمان أن هو الحل الأساسي لمعادلة بواسون في : ^[177] حيث هي دالة دلتا ديراك . $${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |.}$$${\displaystyle 1/2\pi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle \Delta \Phi =\delta }$$${\displaystyle \delta }$

في الأبعاد الأعلى، توجد عوامل π بسبب التطبيع بواسطة الحجم ذي البعد n للكرة الوحدوية n . على سبيل المثال، في الأبعاد الثلاثة، تكون الإمكانات النيوتونية هي: ^[177] والتي تحتوي على الحجم ثنائي الأبعاد (أي المساحة) للكرة الوحدوية ثنائية الأبعاد في المقام. $${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )=-{\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} |}},}$$

الدالة العاملية هي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى n . وتمتد دالة جاما بمفهوم العاملية (المحددة عادة للأعداد الصحيحة غير السالبة فقط) إلى جميع الأعداد المركبة، باستثناء الأعداد الصحيحة الحقيقية السالبة، مع المطابقة . وعندما يتم تقييم دالة جاما عند نصف الأعداد الصحيحة، فإن النتيجة تحتوي على π . على سبيل المثال، و . ^[178]${\displaystyle n!}$${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$${\textstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}$

يتم تعريف دالة جاما من خلال تطوير حاصل فايرشتراس الخاص بها : ^[179] حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني . عند تقييمه عند z = 1/2 ومربعًا، يتم تقليل المعادلة Γ(1/2) ² = π إلى صيغة حاصل واليس. ترتبط دالة جاما أيضًا بدالة زيتا لريمان وهويات المحدد الوظيفي ، حيث يلعب الثابت π دورًا مهمًا. $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}}}$$

تُستخدم دالة جاما لحساب الحجم V _n ( r ) للكرة ذات الأبعاد n ونصف قطرها r في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ، ومساحة السطح S _{n −1} ( r ) لحدودها، الكرة ذات الأبعاد ( n −1) : ^[180] $${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},}$$ $${\displaystyle S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n-1}.}$$

علاوة على ذلك، يتبع من المعادلة الوظيفية أن $${\displaystyle 2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.}$$

يمكن استخدام دالة جاما لإنشاء تقريب بسيط لدالة العامل n ! بالنسبة لقيمة n الكبيرة : والتي تُعرف بتقريب ستيرلنغ . ^[181] وعلى نحو مكافئ، ${\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.}$$

كتطبيق هندسي لتقريب ستيرلينج، دع Δ _n تشير إلى المجسم القياسي في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ، و ( n  + 1)Δ _n تشير إلى المجسم الذي تم تكبير جميع أضلاعه بعامل n  + 1. ثم $${\displaystyle \operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.}$$

تخمين إيرهارت للحجم هو أن هذا هو الحد الأعلى (الأمثل) لحجم الجسم المحدب الذي يحتوي على نقطة شبكية واحدة فقط . ^[182]

تُستخدم دالة زيتا لريمان ζ ( s ) في العديد من مجالات الرياضيات. وعند تقييمها عند s = 2، يمكن كتابتها على النحو التالي: $${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }$$

كان إيجاد حل بسيط لهذه السلسلة اللانهائية مشكلة شهيرة في الرياضيات تسمى مشكلة بازل . حلها ليونارد أويلر في عام 1735 عندما أظهر أنها تساوي π ² / 6. [ ^92] تؤدي نتيجة أويلر إلى نتيجة نظرية الأعداد بأن احتمال كون رقمين عشوائيين أوليين نسبيًا (أي عدم وجود عوامل مشتركة) يساوي 6/π ^{2. [183] ​​[184]} يعتمد هذا الاحتمال على الملاحظة التي مفادها أن احتمال أن يكون أي رقم قابلاً للقسمة على عدد أولي p هو 1/ p (على سبيل المثال، كل عدد صحيح سابع قابل للقسمة على 7.) وبالتالي فإن احتمال أن يكون كل من الرقمين قابلين للقسمة على هذا العدد الأولي هو 1/ p ² ، واحتمال ألا يكون أحدهما على الأقل قابلاً للقسمة هو 1 − 1/ p ^2. بالنسبة للأعداد الأولية المميزة، تكون أحداث قابلية القسمة هذه مستقلة عن بعضها البعض؛ لذا فإن احتمال أن يكون الرقمان أوليين نسبيًا يُعطى بواسطة حاصل ضرب جميع الأعداد الأولية: ^[185] $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\[4pt]&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام هذا الاحتمال بالاشتراك مع مولد أرقام عشوائية لتقريب π باستخدام نهج مونت كارلو. ^[186]

الحل لمشكلة بازل يعني أن الكمية المشتقة هندسيًا π مرتبطة بشكل عميق بتوزيع الأعداد الأولية. هذه حالة خاصة من تخمين ويل حول أعداد تاماغاوا ، والذي يؤكد مساواة مثل هذه المنتجات اللانهائية المماثلة للكميات الحسابية ، الموضعية عند كل عدد أولي p ، وكمية هندسية : مقلوب حجم مساحة متماثلة محليًا معينة . في حالة مشكلة بازل، يكون هو متعدد الشعب الزائدي SL ₂ ( R ) / SL ₂ ( Z ) . ^[187]

كما تلبي دالة زيتا معادلة ريمان الوظيفية، والتي تتضمن π بالإضافة إلى دالة جاما: $${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$$

علاوة على ذلك، فإن المشتق لدالة زيتا يفي بالشرط $${\displaystyle \exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.}$$

النتيجة هي أنه يمكن الحصول على π من المحدد الوظيفي للمذبذب التوافقي . يمكن حساب هذا المحدد الوظيفي من خلال توسيع المنتج، وهو مكافئ لصيغة منتج واليس. ^[188] يمكن إعادة صياغة الحساب في ميكانيكا الكم ، وتحديدًا النهج المتغير لطيف ذرة الهيدروجين . ^[189]

يظهر الثابت π أيضًا بشكل طبيعي في سلسلة فورييه للدوال الدورية . الدوال الدورية هي دوال في المجموعة T = R / Z للأجزاء الكسرية للأعداد الحقيقية. يُظهر تحلل فورييه أنه يمكن كتابة دالة ذات قيمة مركبة f في T كتراكب خطي لانهائي للشخصيات الوحدوية لـ T. أي تماثلات المجموعة المستمرة من T إلى المجموعة الدائرية U (1) للأعداد المركبة ذات معامل الوحدة. إنها نظرية مفادها أن كل حرف من T هو أحد الأسس المركبة . ${\displaystyle e_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$

توجد سمة فريدة على T ، حتى الاقتران المركب، وهي تماثل المجموعة. باستخدام مقياس هار على مجموعة الدائرة، يكون الثابت π نصف مقدار المشتق رادون-نيكوديم لهذه السمة. تحتوي السمات الأخرى على مشتقات تكون مقدارها مضاعفات صحيحة موجبة لـ 2 π . ^[20] ونتيجة لذلك، فإن الثابت π هو الرقم الفريد بحيث تكون المجموعة T، المجهزة بمقياس هار، مزدوجة بونتريجين لشبكة المضاعفات الصحيحة لـ 2 π . [ 191 ] ^هذه نسخة من صيغة مجموع بواسون أحادية البعد .

يرتبط الثابت π ارتباطًا وثيقًا بنظرية الأشكال المعيارية ووظائف ثيتا . على سبيل المثال، تتضمن خوارزمية Chudnovsky بشكل أساسي الثابت j للمنحنى الإهليلجي .

الأشكال المعيارية هي دوال مجسمة في النصف العلوي من المستوى تتميز بخصائص تحويلها تحت المجموعة المعيارية (أو مجموعاتها الفرعية المختلفة)، وهي شبكة في المجموعة . ومن الأمثلة على ذلك دالة ثيتا لجاكوبي وهي نوع من الأشكال المعيارية تسمى شكل جاكوبي . ^[192] وهذا يُكتب أحيانًا من حيث الاسم . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz+i\pi n^{2}\tau }}$$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

الثابت π هو الثابت الوحيد الذي يجعل دالة جاكوبي ثيتا شكلًا ذاتيًا ، مما يعني أنها تتحول بطريقة معينة. تنطبق هويات معينة على جميع الأشكال ذاتية الشكل. أحد الأمثلة على ذلك هو ما يعني أن θ تتحول كتمثيل تحت مجموعة هايزنبيرج المنفصلة. تتضمن الأشكال المعيارية العامة ووظائف ثيتا الأخرى أيضًا π ، مرة أخرى بسبب نظرية ستون-فون نيومان . ^[192]$${\displaystyle \theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau ),}$$

توزيع كوشي هو دالة كثافة احتمالية . الاحتمال الإجمالي يساوي واحدًا، وذلك بسبب التكامل: $${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi .}$$

إن إنتروبيا شانون لتوزيع كوشي تساوي ln(4π) ، والتي تتضمن أيضًا π .

يلعب توزيع كوشي دورًا مهمًا في نظرية الجهد لأنه أبسط مقياس فورستنبرج ، وهو نواة بواسون الكلاسيكية المرتبطة بحركة براونية في نصف المستوى. ^[193] ترتبط الدوال التوافقية المترافقة وكذلك تحويل هيلبرت بمقاربات نواة بواسون. تحويل هيلبرت H هو التحويل التكاملي المعطى بواسطة القيمة الأساسية لكوشي للتكامل المفرد $${\displaystyle Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)\,dx}{x-t}}.}$$

الثابت π هو عامل التطبيع الوحيد (الموجب) بحيث يحدد H بنية معقدة خطية على فضاء هيلبرت للوظائف ذات القيمة الحقيقية القابلة للتكامل التربيعي على الخط الحقيقي. ^[194] يمكن وصف تحويل هيلبرت، مثل تحويل فورييه، بحتة من حيث خصائص التحويل الخاصة به على فضاء هيلبرت L ² ( R ) : حتى عامل التطبيع، فهو عامل خطي محدود فريد يتبادل مع التمددات الإيجابية ويتبادل معاكسًا مع جميع انعكاسات الخط الحقيقي. ^[195] الثابت π هو عامل التطبيع الوحيد الذي يجعل هذا التحويل وحدويًا.

اكتشف ديفيد بول في عام 1991 حدوث π في الكسيرية التي تسمى مجموعة ماندلبروت. ^[196] فحص سلوك مجموعة ماندلبروت بالقرب من "العنق" عند (−0.75، 0) . عندما يتم ضرب عدد التكرارات حتى التباعد للنقطة (−0.75، ε ) في ε ، تقترب النتيجة من π عندما تقترب ε من الصفر. تتصرف النقطة (0.25 + ε ، 0) عند قمة "الوادي" الكبير على الجانب الأيمن من مجموعة ماندلبروت بشكل مشابه: يميل عدد التكرارات حتى التباعد مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ε إلى π . ^{[196] [197]}

ليكن V مجموعة كل الدوال الحقيقية القابلة للاشتقاق مرتين والتي تحقق المعادلة التفاضلية العادية . عندئذٍ تكون V فضاء متجه حقيقي ثنائي الأبعاد ، مع معاملين يتوافقان مع زوج من الشروط الأولية للمعادلة التفاضلية. لأي ، ليكن دالة التقييم، التي تربط كل منها بقيمة الدالة f عند النقطة الحقيقية t . عندئذٍ، لكل t ، تكون نواة فضاء فرعي خطي أحادي البعد لـ V. ومن ثم تحدد دالة من من الخط الحقيقي إلى الخط الإسقاطي الحقيقي . هذه الدالة دورية، ويمكن وصف الكمية π بأنها فترة هذه الخريطة. ^[198] وهذا ملحوظ في أن الثابت π ، وليس 2 π ، يظهر بشكل طبيعي في هذا السياق. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f''(x)+f(x)=0}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle e_{t}:V\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f\in V}$${\displaystyle e_{t}(f)=f(t)}$${\displaystyle e_{t}}$${\displaystyle t\mapsto \ker e_{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {P} (V)}$

على الرغم من أنها ليست ثابتة فيزيائية ، إلا أن π تظهر بشكل روتيني في المعادلات التي تصف المبادئ الأساسية للكون، غالبًا بسبب علاقة π بالدائرة وأنظمة الإحداثيات الكروية . تعطي صيغة بسيطة من مجال الميكانيكا الكلاسيكية الفترة التقريبية T لبندول بسيط بطول L ، يتأرجح بسعة صغيرة ( g هو تسارع جاذبية الأرض ): ^[199] $${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.}$$

أحد الصيغ الرئيسية لميكانيكا الكم هو مبدأ عدم اليقين لهايزنبيرج ، والذي يوضح أن عدم اليقين في قياس موضع الجسيم (Δx ) والزخم ( Δp ) لا يمكن أن يكونا صغيرين بشكل تعسفي في نفس الوقت (حيث h هو ثابت بلانك ): ^[200] $${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.}$$

إن حقيقة أن π يساوي تقريبًا 3 تلعب دورًا في العمر الطويل نسبيًا للأورثوبوزيترونيوم . العمر العكسي لأدنى مرتبة في ثابت البنية الدقيقة α هو ^[201] حيث m _e هي كتلة الإلكترون. $${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m_{\text{e}}\alpha ^{6},}$$

يوجد π في بعض صيغ الهندسة الإنشائية، مثل صيغة الانبعاج التي اشتقها أويلر، والتي تعطي أقصى حمل محوري F يمكن أن يتحمله عمود طويل ونحيف بطول L ، ووحدة مرونة E ، ومساحة عزم القصور الذاتي I ^{دون انبعاج: [202]} $${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.}$$

يحتوي مجال ديناميكا الموائع على π في قانون ستوكس ، والذي يقارب قوة الاحتكاك F المؤثرة على أجسام كروية صغيرة بنصف قطر R ، تتحرك بسرعة v في سائل ذي لزوجة ديناميكية η : ^[203] $${\displaystyle F=6\pi \eta Rv.}$$

في الكهرومغناطيسية، يظهر ثابت نفاذية الفراغ μ 0 في معادلات ماكسويل ، _التي تصف خصائص المجالات الكهربائية والمغناطيسية والإشعاع الكهرومغناطيسي . قبل 20 مايو 2019، كان يتم تعريفه على أنه بالضبط $${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\text{ H/m}}\approx 1.2566370614\ldots \times 10^{-6}{\text{ N/A}}^{2}.}$$

علم حفظ الأرقام هو ممارسة حفظ أعداد كبيرة من أرقام π ، ^[204] ويتم الاحتفاظ بالأرقام القياسية العالمية بواسطة موسوعة غينيس للأرقام القياسية . الرقم القياسي لحفظ أرقام π ، المعتمد من موسوعة غينيس للأرقام القياسية، هو 70000 رقم، تلاها في الهند راجفير مينا في 9 ساعات و 27 دقيقة في 21 مارس 2015. ^[205] في عام 2006، ادعى أكيرا هاراغوتشي ، وهو مهندس ياباني متقاعد، أنه تلا 100000 رقم عشري، لكن لم يتم التحقق من هذا الادعاء من قبل موسوعة غينيس للأرقام القياسية. ^[206]

إحدى التقنيات الشائعة هي حفظ قصة أو قصيدة حيث تمثل أطوال الكلمات أرقام π : الكلمة الأولى بها ثلاثة أحرف، والكلمة الثانية بها حرف واحد، والثالثة بها أربعة أحرف، والرابعة بها حرف واحد، والخامسة بها خمسة أحرف، وهكذا. تسمى وسائل الحفظ هذه بالوسائل المساعدة على التذكر . أحد الأمثلة المبكرة للوسائل المساعدة على التذكر لـ pi، والتي ابتكرها في الأصل العالم الإنجليزي جيمس جينز ، هو "كيف أريد مشروبًا، كحوليًا بالطبع، بعد المحاضرات الثقيلة التي تتضمن ميكانيكا الكم". ^[204] عندما تُستخدم قصيدة، يُشار إليها أحيانًا باسم piem . ^[207] تم تأليف قصائد لحفظ π بعدة لغات بالإضافة إلى اللغة الإنجليزية. ^{[204] عادةً لا يعتمد حافظو} π الذين يسجلون أرقامًا قياسية على القصائد، ولكنهم يستخدمون بدلاً من ذلك أساليب مثل تذكر أنماط الأرقام وطريقة loci . ^[208]

استخدم عدد قليل من المؤلفين أرقام π لإنشاء شكل جديد من الكتابة المقيدة ، حيث تكون أطوال الكلمات مطلوبة لتمثيل أرقام π . يحتوي كتاب Cadaeic Cadenza على أول 3835 رقمًا من π بهذه الطريقة، ^[209] ويحتوي الكتاب الكامل Not a Wake على 10000 كلمة، تمثل كل منها رقمًا واحدًا من π . ^[210]

ربما بسبب بساطة تعريفها ووجودها في كل مكان في الصيغ، تم تمثيل π في الثقافة الشعبية أكثر من غيرها من البنى الرياضية. ^[211]

في قصر الاكتشاف (متحف العلوم في باريس) توجد غرفة دائرية تُعرف باسم غرفة باي . على جدارها نقش 707 رقمًا من π . الأرقام عبارة عن أحرف خشبية كبيرة مثبتة على السقف المقبب. استندت الأرقام إلى حساب أجراه عالم الرياضيات الإنجليزي ويليام شانكس عام 1873 ، والذي تضمن خطأً يبدأ بالرقم 528. تم اكتشاف الخطأ في عام 1946 وتم تصحيحه في عام 1949. ^[212]

في رواية كارل ساجان "اتصال " لعام 1985 ، يُقترح أن خالق الكون دفن رسالة عميقة داخل أرقام π . تم حذف هذا الجزء من القصة من الفيلم المقتبس من الرواية. ^{[213] [214]} تم أيضًا دمج أرقام π في كلمات أغنية "Pi" من ألبوم Aerial لعام 2005 لكيت بوش . ^[215] في حلقة " Wolf in the Fold " من مسلسل Star Trek لعام 1967، يتم احتواء جهاز كمبيوتر خارج عن السيطرة من خلال توجيهه "بحساب قيمة π حتى الرقم الأخير ". ^[47]

في الولايات المتحدة، يصادف يوم باي يوم 14 مارس (يكتب 14/3 على الطريقة الأمريكية)، وهو شائع بين الطلاب. ^[47] غالبًا ما يستخدم " مهووسو الرياضيات " الرقم π وتمثيله الرقمي للنكات الداخلية بين المجموعات ذات العقلية الرياضية والتكنولوجية. تتضمن هتافات الكلية المنسوبة إلى معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا أو معهد رينسيلار للفنون التطبيقية "3.14159". ^{[216] [217]} كان يوم باي في عام 2015 مهمًا بشكل خاص لأن التاريخ والوقت 14/3/15 9:26:53 يعكسان أرقامًا أكثر بكثير من باي. ^{[218] [219]} في أجزاء من العالم حيث يتم تدوين التواريخ عادةً بتنسيق اليوم / الشهر / السنة، يمثل 22 يوليو "يوم تقريب باي"، حيث 22/7 = 3.142857. ^[220]

اقترح البعض استبدال π بـ τ = 2 π ، ^[221] بحجة أن τ ، كعدد الراديان في دورة واحدة أو نسبة محيط الدائرة إلى نصف قطرها، أكثر طبيعية من π ويبسط العديد من الصيغ. ^{[222] [223]} لم يشق هذا الاستخدام لـ τ طريقه إلى الرياضيات السائدة، ^[224] ولكن منذ عام 2010 أدى هذا إلى احتفال الناس بيوم 2 باي أو يوم تاو في 28 يونيو. ^[225]

في عام 1897، حاول عالم رياضيات هاوٍ إقناع الهيئة التشريعية في ولاية إنديانا بإقرار مشروع قانون إنديانا باي ، والذي وصف طريقة لتربيع الدائرة واحتوى على نص يشير إلى قيم غير صحيحة مختلفة لـ π ، بما في ذلك 3.2. يُعرف مشروع القانون بأنه محاولة لتحديد قيمة ثابت رياضي بموجب مرسوم تشريعي. وقد أقر مجلس النواب في ولاية إنديانا مشروع القانون، لكن مجلس الشيوخ رفضه، وبالتالي لم يصبح قانونًا. ^[226]

في ثقافة الإنترنت المعاصرة ، كثيرًا ما يكرّم الأفراد والمنظمات الرقم π . على سبيل المثال، سمح عالم الكمبيوتر دونالد كنوث لأرقام إصدارات برنامجه TeX بالاقتراب من π . الإصدارات هي 3 و3.1 و3.14 وما إلى ذلك. ^[227]

تتضمن العديد من لغات البرمجة π للاستخدام في البرامج. وعلى نحو مماثل، تمت إضافة τ إلى العديد من لغات البرمجة كقيمة ثابتة محددة مسبقًا. ^{[228] [229]}

• تقريبات π
• التسلسل الزمني لحساب π
• قائمة الثوابت الرياضية

• وايسستين، اريك دبليو “بي”. عالم الرياضيات .
• إثبات لامبرت (1761) لعدم عقلانية π ، محفوظ على الإنترنت في 31 ديسمبر 2014 على موقع واي باك مشين وتم تحليله في BibNum محفوظ في 2 أبريل 2015 على موقع واي باك مشين (PDF).
• محرك بحث π يحتوي على 2 مليار رقم يمكن البحث عنها من π و e و√ 2
• تقريب π بواسطة نقاط الشبكة وتقريب π باستخدام المستطيلات والأشكال شبه المنحرفة (رسوم توضيحية تفاعلية)