اهتزاز الأوتار

الاهتزاز في الوتر هو موجة . يؤدي الاضطراب الأولي (مثل النقر أو الضرب) إلى اهتزاز الوتر وإصدار صوت بتردد ثابت ، أي نغمة ثابتة. تحدث عملية اختيار التردد هذه في وتر مشدود ذي طول محدود، مما يعني أن ترددات معينة فقط هي التي يمكنها البقاء على هذا الوتر. إذا تم تحديد طول الوتر وتوتره وكثافته الخطية (مثل سمكه أو نوع مادته) بشكل صحيح، فإن الصوت الناتج يكون نغمة موسيقية . تُعد الأوتار المهتزة أساس الآلات الوترية مثل الغيتار والتشيلو والبيانو . بالنسبة للوتر المتجانس ، تُعطى الحركة بمعادلة الموجة .

سرعة انتشار الموجة في وتر (${\displaystyle v}$) يتناسب مع الجذر التربيعي لقوة شد الخيط (${\displaystyle T}$) ويتناسب عكسياً مع الجذر التربيعي للكثافة الخطية (${\displaystyle \mu }$) من السلسلة:

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }}.}$

تم اكتشاف هذه العلاقة من قبل فينتشنزو غاليلي في أواخر القرن السادس عشر.

الاشتقاق

المصدر: ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle \Delta x}$بطول قطعة من الخيط ،${\displaystyle m}$كتلتها ، و${\displaystyle \mu }$كثافتها الخطية . إذا كانت الزوايا${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$إذا كانت صغيرة، فيمكن تقريب المركبات الأفقية للشد على كلا الجانبين بثابت${\displaystyle T}$حيث تكون محصلة القوى الأفقية صفرًا. وبناءً على ذلك، وباستخدام تقريب الزاوية الصغيرة ، تُعطى قوى الشد الأفقية المؤثرة على جانبي قطعة الخيط بالعلاقة التالية:

${\displaystyle T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.}$

${\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.}$

من قانون نيوتن الثاني للمركبة الرأسية، فإن كتلة هذه القطعة (وهي حاصل ضرب كثافتها الخطية وطولها) مضروبة في تسارعها،${\displaystyle a}$، ستكون مساوية للقوة المحصلة المؤثرة على القطعة:

${\displaystyle \Sigma F_{y}=T_{1y}-T_{2y}=-T_{2}\sin(\beta )+T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

بقسمة هذا التعبير على${\displaystyle T}$وباستبدال المعادلتين الأولى والثانية نحصل على (يمكننا اختيار المعادلة الأولى أو الثانية لـ${\displaystyle T}$لذلك نختار كل واحدة منها بسهولة بالزاوية المناسبة${\displaystyle \beta }$و${\displaystyle \alpha }$)

${\displaystyle -{\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=-\tan(\beta )+\tan(\alpha )={\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

وفقًا لتقريب الزاوية الصغيرة، فإن مماسات الزوايا عند نهايتي قطعة الوتر تساوي ميولها عند النهايتين، مع إضافة إشارة سالبة بسبب تعريف${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$باستخدام هذه الحقيقة وإعادة الترتيب، نحصل على

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

في حدود ذلك${\displaystyle \Delta x}$عندما تقترب من الصفر، يكون الطرف الأيسر هو تعريف المشتقة الثانية لـ${\displaystyle y}$،

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

تُعرف هذه المعادلة بمعادلة الموجة ، ومعامل حد المشتقة الثانية بالنسبة للزمن يساوي${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}}$؛ هكذا

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }},}$

أين${\displaystyle v}$هي سرعة انتشار الموجة في الوتر. ومع ذلك، فإن هذا الاشتقاق صالح فقط للاهتزازات ذات السعة الصغيرة؛ أما بالنسبة للاهتزازات ذات السعة الكبيرة،${\displaystyle \Delta x}$لا يُعدّ هذا تقريبًا جيدًا لطول قطعة الوتر، فالمركبة الأفقية للشد ليست ثابتة بالضرورة. ولا يمكن تقريب قيم الشد الأفقية بشكل جيد بواسطة${\displaystyle T}$.

بمجرد معرفة سرعة انتشار الصوت، يمكن حساب تردد الصوت الناتج عن الوتر. سرعة انتشار الموجة تساوي طولها الموجي .${\displaystyle \lambda }$مقسومًا على الفترة${\displaystyle \tau }$أو مضروبًا في التردد${\displaystyle f}$:

${\displaystyle v={\frac {\lambda }{\tau }}=\lambda f.}$

إذا كان طول السلسلة${\displaystyle L}$التوافقي الأساسي هو التوافقي الناتج عن الاهتزاز الذي تكون عقدتاه طرفي الوتر، لذلك${\displaystyle L}$يبلغ نصف طول موجة التوافقي الأساسي. ومن ثم نحصل على قوانين ميرسين :

${\displaystyle f={\frac {v}{2L}}={1 \over 2L}{\sqrt {T \over \mu }}}$

أين${\displaystyle T}$هو التوتر (بالنيوتن)،${\displaystyle \mu }$هي الكثافة الخطية (أي الكتلة لكل وحدة طول)، و${\displaystyle L}$يمثل طول الجزء المهتز من الوتر. لذلك:

• كلما كان الوتر أقصر، زاد تردد النغمة الأساسية
• كلما زاد التوتر، زاد تردد الصوت الأساسي
• كلما كان الوتر أخف، زاد تردد النغمة الأساسية

علاوة على ذلك، إذا اعتبرنا أن التوافقي النوني له طول موجي معطى بواسطة${\displaystyle \lambda _{n}=2L/n}$ثم نحصل بسهولة على تعبير لتردد التوافقي النوني:

${\displaystyle f_{n}={\frac {nv}{2L}}}$

وبالنسبة لوتر تحت شد T بكثافة خطية${\displaystyle \mu }$، ثم

${\displaystyle f_{n}={\frac {n}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$

يمكن رؤية أشكال الموجات على وتر مهتز إذا كان التردد منخفضًا بدرجة كافية، وكان الوتر موضوعًا أمام شاشة CRT مثل شاشة التلفزيون أو الحاسوب ( وليس شاشة راسم الذبذبات التناظري). يُسمى هذا التأثير بالتأثير الوميضي ، ومعدل اهتزاز الوتر الظاهري هو الفرق بين تردد الوتر ومعدل تحديث الشاشة. يحدث الشيء نفسه مع مصباح الفلورسنت ، بمعدل يساوي الفرق بين تردد الوتر وتردد التيار المتردد . (إذا كان معدل تحديث الشاشة مساويًا لتردد الوتر أو مضاعفًا صحيحًا له، فسيبدو الوتر ثابتًا ولكنه مشوه). في ضوء النهار ومصادر الضوء الأخرى غير المتذبذبة، لا يحدث هذا التأثير، ويبدو الوتر ثابتًا ولكنه أكثر سمكًا وأفتح لونًا أو ضبابيًا، بسبب استمرار الرؤية .

يمكن الحصول على تأثير مشابه، ولكن أكثر قابلية للتحكم، باستخدام جهاز ستروبوسكوب . يسمح هذا الجهاز بمطابقة تردد وميض مصباح الزينون مع تردد اهتزاز الوتر. في غرفة مظلمة، يُظهر هذا بوضوح شكل الموجة. كما يمكن استخدام تقنية ثني الأوتار ، أو ربما بسهولة أكبر، ضبط مفاتيح الضبط، للحصول على نفس تردد التيار المتردد، أو مضاعف له، لتحقيق التأثير نفسه. على سبيل المثال، في حالة الغيتار، يُصدر الوتر السادس (الأدنى صوتًا) عند الضغط على العتبة الثالثة نغمة "صول" بتردد 97.999  هرتز. يمكن لتعديل بسيط أن يُغيره إلى 100  هرتز، أي أوكتاف واحد أعلى من تردد التيار المتردد في أوروبا ومعظم دول أفريقيا وآسيا، وهو 50  هرتز. في معظم دول الأمريكتين - حيث يبلغ تردد التيار المتردد 60  هرتز - يُنتج تغيير نغمة "لا دييز" على الوتر الخامس، عند العتبة الأولى، من 116.54  هرتز إلى 120  هرتز تأثيرًا مشابهًا.

• الآلات الوترية
• الصوتيات الموسيقية
• اهتزازات طبلة دائرية
• تجربة ميلدي
• الجسر الثالث (رنين توافقي قائم على تقسيمات متساوية للأوتار)
• رنين الأوتار
• تغير طور الانعكاس
• مساحة هيلبرت

• مولتينو، تي سي إيه؛ إن بي توفيلارو (سبتمبر 2004). "دراسة تجريبية لديناميكيات الوتر". المجلة الأمريكية للفيزياء . 72 (9): 1157-1169 . Bibcode : 2004AmJPh..72.1157M . doi : 10.1119/1.1764557 .
• توفيلارو، ن.ب. (1989). "اهتزازات الأوتار غير الخطية والفوضوية". المجلة الأمريكية للفيزياء . 57 (5): 408. Bibcode : 1989AmJPh..57..408T . doi : 10.1119/1.16011 .

محدد

• " الوتر المهتز " من تأليف آلان غوريلي ومارك روبرتسون-تيسي، مشروع عروض وولفرام .