اهتزاز

جزء من سلسلة عن
الميكانيكا الكلاسيكية
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ القانون الثاني للحركة
تاريخ الخط الزمني الكتب المدرسية
الفروع مُطبَّق سماوي استمرارية ديناميكيات نظرية المجال علم الحركة الحركية الإحصائيات الميكانيكا الإحصائية
الأساسيات تسريع الزخم الزاوي زوج مبدأ دالمبيرت طاقة حركي محتمل قوة إطار مرجعي الإطار المرجعي بالقصور الذاتي دفعة القصور الذاتي  / عزم القصور الذاتي كتلة القوة الميكانيكية العمل الميكانيكي لحظة دَفعَة فضاء سرعة وقت عزم الدوران سرعة العمل الافتراضي
تركيبات قوانين نيوتن للحركة الميكانيكا التحليلية ميكانيكا لاغرانج ميكانيكا هاملتونية ميكانيكا روثيان معادلة هاملتون-جاكوبي معادلة آبل للحركة ميكانيكا كوبمان-فون نيومان
المواضيع الأساسية التخميد النزوح معادلات الحركة قوانين أويلر للحركة قوة وهمية احتكاك المذبذب التوافقي إطار مرجعي بالقصور الذاتي  / غير بالقصور الذاتي ميكانيكا حركة الجسيمات المستوية الحركة  ( الخطية ) قانون نيوتن للجاذبية الكونية قوانين نيوتن للحركة السرعة النسبية جسم صلب ديناميكيات معادلات أويلر الحركة التوافقية البسيطة اهتزاز
Rotation Circular motion Rotating reference frame Centripetal force Centrifugal force reactive Coriolis force Pendulum Tangential speed Rotational frequency Angular acceleration / displacement / frequency / velocity
Scientists Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Maupertuis Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Poisson Hamilton Jacobi Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Physics portal  Category
v t e

الاهتزاز (من الكلمة اللاتينية vibrāre  "اهتزاز") هو ظاهرة ميكانيكية تحدث فيها تذبذبات حول نقطة توازن . قد يكون الاهتزاز حتميًا إذا كان من الممكن وصف التذبذبات بدقة (على سبيل المثال الحركة الدورية للبندول )، أو عشوائيًا إذا كان من الممكن تحليل التذبذبات إحصائيًا فقط (على سبيل المثال حركة إطار على طريق حصوي).

يمكن أن يكون الاهتزاز مرغوبًا: على سبيل المثال، حركة شوكة الرنانة ، أو القصب في آلة النفخ الخشبية أو الهارمونيكا ، أو الهاتف المحمول ، أو مخروط مكبر الصوت .

في كثير من الحالات، ومع ذلك، فإن الاهتزاز غير مرغوب فيه، حيث يهدر الطاقة ويخلق صوتًا غير مرغوب فيه . على سبيل المثال، الحركات الاهتزازية للمحركات أو المحركات الكهربائية أو أي جهاز ميكانيكي قيد التشغيل تكون غير مرغوب فيها عادةً. يمكن أن تحدث مثل هذه الاهتزازات بسبب اختلال التوازن في الأجزاء الدوارة، أو الاحتكاك غير المتساوي ، أو تشابك أسنان التروس . عادةً ما تقلل التصميمات الدقيقة من الاهتزازات غير المرغوب فيها.

ترتبط دراسات الصوت والاهتزاز ارتباطًا وثيقًا (كلاهما يقع ضمن علم الصوتيات ). يتم توليد الصوت أو موجات الضغط بواسطة هياكل مهتزة (مثل الحبال الصوتية )؛ يمكن لموجات الضغط هذه أيضًا أن تسبب اهتزاز الهياكل (مثل طبلة الأذن ). وبالتالي، غالبًا ما ترتبط محاولات تقليل الضوضاء بقضايا الاهتزاز. ^[1]

تعتبر اهتزازات التصنيع شائعة في عملية التصنيع الطرحي .

يحدث الاهتزاز الحر أو الاهتزاز الطبيعي عندما يتم تشغيل نظام ميكانيكي مع إدخال أولي والسماح له بالاهتزاز بحرية. ومن أمثلة هذا النوع من الاهتزازات سحب طفل للخلف على الأرجوحة وتركه، أو ضرب شوكة رنانة وتركها ترن. يهتز النظام الميكانيكي عند تردد أو أكثر من تردداته الطبيعية ثم يهدأ حتى يتوقف عن الحركة.

الاهتزاز القسري هو عندما يتم تطبيق اضطراب متغير مع الزمن (حمل، إزاحة، سرعة، أو تسارع) على نظام ميكانيكي. يمكن أن يكون الاضطراب مدخلاً دوريًا وثابتًا، أو مدخلاً عابرًا، أو مدخلاً عشوائيًا. يمكن أن يكون المدخل الدوري اضطرابًا توافقيًا أو غير توافقي. تشمل أمثلة هذه الأنواع من الاهتزازات اهتزاز الغسالة بسبب خلل في التوازن، أو اهتزاز النقل الناجم عن محرك أو طريق غير مستوٍ، أو اهتزاز مبنى أثناء زلزال. بالنسبة للأنظمة الخطية، فإن تردد استجابة الاهتزاز الثابت الناتج عن تطبيق مدخل دوري وتوافقي يساوي تردد القوة أو الحركة المطبقة، مع اعتماد حجم الاستجابة على النظام الميكانيكي الفعلي.

الاهتزاز المخمَّد: عندما تتبدد طاقة نظام اهتزازي تدريجيًا عن طريق الاحتكاك والمقاومات الأخرى، يُقال إن الاهتزازات مخمَّدة. تقل الاهتزازات تدريجيًا أو تتغير في التردد أو الشدة أو تتوقف ويستقر النظام في وضع توازنه. ومن الأمثلة على هذا النوع من الاهتزازات تعليق المركبة المخمَّد بواسطة ممتص الصدمات .

يتم إجراء اختبار الاهتزاز عن طريق إدخال وظيفة إجبارية في الهيكل، وعادةً ما يكون ذلك باستخدام نوع ما من الهزاز. وبدلاً من ذلك، يتم توصيل جهاز قيد الاختبار (DUT) بـ "طاولة" الهزاز. يتم إجراء اختبار الاهتزاز لفحص استجابة الجهاز قيد الاختبار (DUT) لبيئة اهتزاز محددة. قد تكون الاستجابة المقاسة هي القدرة على العمل في بيئة الاهتزاز أو عمر التعب أو الترددات الرنانة أو خرج صوت الصرير والخشخشة ( NVH ). يتم إجراء اختبار الصرير والخشخشة باستخدام نوع خاص من الهزاز الهادئ الذي ينتج مستويات صوت منخفضة للغاية أثناء التشغيل.

بالنسبة للقوة ذات التردد المنخفض نسبيًا (عادةً أقل من 100 هرتز)، تُستخدم هزازات هيدروليكية كهربائية. أما بالنسبة للترددات الأعلى (عادةً من 5 هرتز إلى 2000 هرتز)، تُستخدم هزازات كهروديناميكية. بشكل عام، يتم الاحتفاظ بنقطة أو أكثر من نقاط "الإدخال" أو "التحكم" الموجودة على جانب DUT من تركيبات الاهتزاز عند تسارع محدد. ^[1] قد تتعرض نقاط "الاستجابة" الأخرى لمستويات اهتزاز أعلى (رنين) أو مستوى اهتزاز أقل (مضاد الرنين أو التخميد) من نقطة (نقاط) التحكم. غالبًا ما يكون من المرغوب فيه تحقيق مضاد الرنين لمنع النظام من أن يصبح صاخبًا للغاية، أو لتقليل الضغط على أجزاء معينة بسبب أوضاع الاهتزاز الناتجة عن ترددات اهتزاز معينة. ^[3]

أكثر أنواع خدمات اختبار الاهتزاز شيوعًا التي تُجريها معامل اختبار الاهتزاز هي الاختبارات الجيبية والعشوائية. تُجرى اختبارات الجيب (تردد واحد في كل مرة) لمسح الاستجابة البنيوية للجهاز قيد الاختبار (DUT). خلال التاريخ المبكر لاختبار الاهتزاز، كانت وحدات التحكم في آلة الاهتزاز مقتصرة فقط على التحكم في حركة الجيب، لذا تم إجراء اختبار الجيب فقط. في وقت لاحق، تمكنت وحدات التحكم التناظرية الأكثر تطورًا ثم الرقمية من توفير التحكم العشوائي (جميع الترددات في وقت واحد). يُعتقد عمومًا أن الاختبار العشوائي (جميع الترددات في وقت واحد) يكرر بشكل أوثق بيئة العالم الحقيقي، مثل مدخلات الطريق لسيارة متحركة.

يتم إجراء معظم اختبارات الاهتزاز في "محور DUT واحد" في كل مرة، على الرغم من أن معظم الاهتزازات في العالم الحقيقي تحدث في محاور مختلفة في وقت واحد. تدعو MIL-STD-810G، التي تم إصدارها في أواخر عام 2008، طريقة الاختبار 527، إلى اختبار مثيرات متعددة. يجب تصميم تركيب اختبار الاهتزاز ^[4] المستخدم لربط DUT بطاولة الهزاز لنطاق تردد طيف اختبار الاهتزاز. من الصعب تصميم تركيب اختبار اهتزاز يكرر الاستجابة الديناميكية (الممانعة الميكانيكية) ^[5] للتركيب الفعلي قيد الاستخدام. لهذا السبب، لضمان إمكانية التكرار بين اختبارات الاهتزاز، تم تصميم تركيبات الاهتزاز لتكون خالية من الرنين ^[5] ضمن نطاق تردد الاختبار. بشكل عام، بالنسبة للتركيبات الأصغر ونطاقات التردد المنخفضة، يمكن للمصمم استهداف تصميم تركيب خالٍ من الرنين في نطاق تردد الاختبار. يصبح هذا أكثر صعوبة مع زيادة حجم DUT وزيادة تردد الاختبار. في هذه الحالات، يمكن لاستراتيجيات التحكم متعددة النقاط ^[6] التخفيف من بعض الرنينات التي قد تكون موجودة في المستقبل.

تحد بعض طرق اختبار الاهتزاز من مقدار التداخل (حركة نقطة استجابة في اتجاه عمودي متبادل على المحور قيد الاختبار) المسموح به من قبل جهاز اختبار الاهتزاز. تسمى الأجهزة المصممة خصيصًا لتتبع أو تسجيل الاهتزازات بأجهزة قياس الاهتزاز .

يهدف تحليل الاهتزاز (VA)، المطبق في بيئة صناعية أو صيانة، إلى تقليل تكاليف الصيانة وتعطل المعدات من خلال اكتشاف أعطال المعدات. ^{[7] [8]} يُعد تحليل الاهتزاز عنصرًا أساسيًا في برنامج مراقبة الحالة (CM)، وغالبًا ما يُشار إليه بالصيانة التنبؤية (PdM). ^[9] يُستخدم تحليل الاهتزاز بشكل شائع للكشف عن الأعطال في المعدات الدوارة (المراوح والمحركات والمضخات وعلب التروس وما إلى ذلك) مثل عدم التوازن وسوء المحاذاة وأعطال محمل العنصر المتدحرج وظروف الرنين. ^[10]

يمكن أن يستخدم VA وحدات الإزاحة والسرعة والتسارع المعروضة كموجة زمنية (TWF)، ولكن في أغلب الأحيان يتم استخدام الطيف المشتق من تحويل فورييه السريع لـ TWF. يوفر طيف الاهتزاز معلومات ترددية مهمة يمكنها تحديد المكون المعيب.

يمكن فهم أساسيات تحليل الاهتزازات من خلال دراسة نموذج الكتلة-الزنبرك-المثبط البسيط . في الواقع، حتى الهيكل المعقد مثل هيكل السيارة يمكن نمذجته على أنه "مجموع" لنماذج الكتلة-الزنبرك-المثبط البسيطة. نموذج الكتلة-الزنبرك-المثبط هو مثال على مذبذب توافقي بسيط . الرياضيات المستخدمة لوصف سلوكه مطابقة للمذبذبات التوافقية البسيطة الأخرى مثل دائرة RLC .

ملاحظة: لا تتضمن هذه المقالة الاستنتاجات الرياضية خطوة بخطوة، ولكنها تركز على معادلات ومفاهيم تحليل الاهتزاز الرئيسية. يرجى الرجوع إلى المراجع في نهاية المقالة للحصول على استنتاجات مفصلة.

لبدء التحقيق في الكتلة-الزنبرك-المثبط، افترض أن التخميد مهمل وأنه لا توجد قوة خارجية تطبق على الكتلة (أي الاهتزاز الحر). القوة المطبقة على الكتلة بواسطة الزنبرك تتناسب مع مقدار تمدد الزنبرك "x" (بافتراض أن الزنبرك مضغوط بالفعل بسبب وزن الكتلة). ثابت التناسب، k، هو صلابة الزنبرك وله وحدات قوة/مسافة (مثل lbf/in أو N/m). تشير العلامة السالبة إلى أن القوة تعارض دائمًا حركة الكتلة المرتبطة بها:

${\displaystyle F_{s}=-kx.\!}$

القوة التي تولدها الكتلة تتناسب طرديًا مع تسارع الكتلة وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة :

${\displaystyle \Sigma \ F=ma=m{\ddot {x}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

إن مجموع القوى المؤثرة على الكتلة يولد بعد ذلك معادلة التفاضل العادية التالية :${\displaystyle \ m{\ddot {x}}+kx=0.}$

بافتراض أن عملية بدء الاهتزاز تبدأ بتمديد الزنبرك بمسافة A ثم إطلاقه، فإن الحل للمعادلة أعلاه التي تصف حركة الكتلة هو:

${\displaystyle x(t)=A\cos(2\pi f_{n}t).\!}$

يقول هذا الحل أنه سوف يتذبذب بحركة توافقية بسيطة لها سعة A وتردد f _n . يسمى الرقم f _n التردد الطبيعي غير المخمّد . بالنسبة لنظام الكتلة والزنبرك البسيط، يتم تعريف f _{n على النحو التالي:}

${\displaystyle f_{n}={1 \over {2\pi }}{\sqrt {k \over m}}.\!}$

ملاحظة: غالبًا ما يتم استخدام التردد الزاوي ω (ω=2 π f ) بوحدات الراديان في الثانية في المعادلات لأنه يبسط المعادلات، ولكن يتم تحويله عادةً إلى تردد عادي (وحدات هرتز أو ما يعادلها دورات في الثانية) عند تحديد تردد النظام. إذا كانت كتلة النظام وصلابته معروفة، فيمكن للصيغة أعلاه تحديد التردد الذي يهتز به النظام بمجرد تحريكه بواسطة اضطراب أولي. يحتوي كل نظام اهتزازي على تردد طبيعي واحد أو أكثر يهتز به فورًا عند اضطرابه. يمكن استخدام هذه العلاقة البسيطة لفهم ما يحدث بشكل عام لنظام أكثر تعقيدًا بمجرد إضافة الكتلة أو الصلابة. على سبيل المثال، تشرح الصيغة أعلاه لماذا، عندما تكون السيارة أو الشاحنة محملة بالكامل، يشعر المعلق "بأنه أكثر ليونة" من غير محملة - فقد زادت الكتلة، مما قلل من التردد الطبيعي للنظام.

يمكن فهم الحركة الاهتزازية من حيث الحفاظ على الطاقة . في المثال أعلاه، تم تمديد الزنبرك بقيمة x وبالتالي يتم تخزين بعض الطاقة الكامنة ( ) في الزنبرك. بمجرد إطلاقه، يميل الزنبرك إلى العودة إلى حالته غير الممتدة (وهي أدنى حالة للطاقة الكامنة) وفي هذه العملية يتسارع الكتلة. عند النقطة التي وصل فيها الزنبرك إلى حالته غير الممتدة، تم تحويل كل الطاقة الكامنة التي قدمناها عن طريق تمديده إلى طاقة حركية ( ). ثم تبدأ الكتلة في التباطؤ لأنها تضغط الآن على الزنبرك وفي هذه العملية تنقل الطاقة الحركية إلى طاقتها الكامنة مرة أخرى. وبالتالي فإن تذبذب الزنبرك يعادل نقل الطاقة الحركية ذهابًا وإيابًا إلى طاقة كامنة. في هذا النموذج البسيط، تستمر الكتلة في التذبذب إلى الأبد بنفس المقدار - ولكن في نظام حقيقي، يبدد التخميد الطاقة دائمًا، مما يؤدي في النهاية إلى سكون الزنبرك. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$

عندما يضاف مثبط "لزج" إلى النموذج، ينتج عن ذلك قوة تتناسب مع سرعة الكتلة. يُطلق على التخميد اسم اللزج لأنه يحاكي تأثيرات السائل داخل الجسم. يُطلق على ثابت التناسب c اسم معامل التخميد وله وحدات القوة على السرعة (lbf⋅s/in أو N⋅s/m).

${\displaystyle F_{\text{d}}=-cv=-c{\dot {x}}=-c{\frac {dx}{dt}}.}$

يؤدي جمع القوى المؤثرة على الكتلة إلى المعادلة التفاضلية العادية التالية:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0.}$

يعتمد حل هذه المعادلة على مقدار التخميد. إذا كان التخميد صغيرًا بدرجة كافية، فسيظل النظام يهتز - ولكن في النهاية، بمرور الوقت، يتوقف عن الاهتزاز. تسمى هذه الحالة بالتخميد الناقص، وهو أمر مهم في تحليل الاهتزاز. إذا زاد التخميد فقط إلى النقطة التي لم يعد النظام يتذبذب فيها، فقد وصل النظام إلى نقطة التخميد الحرج . إذا زاد التخميد إلى ما بعد التخميد الحرج، فإن النظام يعاني من تخميد زائد . القيمة التي يجب أن يصل إليها معامل التخميد للتخميد الحرج في نموذج الكتلة والزنبرك والمخمد هي:

${\displaystyle c_{\text{c}}=2{\sqrt {\text{km}}}.}$

لتحديد كمية التخميد في نظام ما، يتم استخدام نسبة تسمى نسبة التخميد (المعروفة أيضًا باسم عامل التخميد ونسبة التخميد الحرج). هذه النسبة هي مجرد نسبة التخميد الفعلي إلى كمية التخميد المطلوبة للوصول إلى التخميد الحرج. صيغة نسبة التخميد ( ) لنموذج الكتلة-الزنبرك-المخمد هي: ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \zeta ={c \over 2{\sqrt {\text{km}}}}.}$

على سبيل المثال، تتمتع الهياكل المعدنية (مثل هياكل الطائرات وأعمدة مرفق المحرك) بعوامل تخميد أقل من 0.05، في حين تتراوح عوامل التخميد في أنظمة التعليق في السيارات بين 0.2 و0.3. والحل لنظام التخميد الناقص لنموذج الكتلة والزنبرك والمخمد هو التالي:

${\displaystyle x(t)=Xe^{-\zeta \omega _{n}t}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n}t-\phi \right),\qquad \omega _{n}=2\pi f_{n}.}$

يتم تحديد قيمة X ، والحجم الأولي، وتحول الطور ، من خلال مقدار تمدد الزنبرك. يمكن العثور على صيغ هذه القيم في المراجع. ${\displaystyle \phi ,}$

النقاط الرئيسية التي يجب ملاحظتها من الحل هي الحد الأسي ودالة جيب التمام. يحدد الحد الأسي مدى سرعة "تخميد" النظام - فكلما كانت نسبة التخميد أكبر، كلما كان التخميد أسرع إلى الصفر. دالة جيب التمام هي الجزء المتذبذب من الحل، لكن تردد التذبذبات يختلف عن الحالة غير المخففة.

يُطلق على التردد في هذه الحالة اسم "التردد الطبيعي المخمد"، ويرتبط بالتردد الطبيعي غير المخمد بالصيغة التالية: ${\displaystyle f_{\text{d}},}$

${\displaystyle f_{\text{d}}=f_{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.}$

التردد الطبيعي المخمّد أقل من التردد الطبيعي غير المخمّد، ولكن في العديد من الحالات العملية تكون نسبة التخميد صغيرة نسبيًا وبالتالي يكون الاختلاف مهملاً. لذلك، غالبًا ما يتم إسقاط وصف المخمد وغير المخمّد عند ذكر التردد الطبيعي (على سبيل المثال، مع نسبة تخميد 0.1، يكون التردد الطبيعي المخمّد أقل بنسبة 1% فقط من التردد الطبيعي غير المخمّد).

تُظهِر المخططات الجانبية كيف تؤثر نسب التخميد 0.1 و0.3 على كيفية "رنين" النظام بمرور الوقت. ما يتم إجراؤه غالبًا في الممارسة العملية هو قياس الاهتزاز الحر تجريبياً بعد التأثير (على سبيل المثال بمطرقة) ثم تحديد التردد الطبيعي للنظام عن طريق قياس معدل التذبذب، بالإضافة إلى نسبة التخميد عن طريق قياس معدل الاضمحلال. التردد الطبيعي ونسبة التخميد ليسا مهمين فقط في الاهتزاز الحر، بل إنهما أيضًا يميزان كيفية تصرف النظام تحت الاهتزاز القسري.

^[11]

يختلف سلوك نموذج المثبط الكتلي الزنبركي بإضافة قوة توافقية. على سبيل المثال، يمكن توليد قوة من هذا النوع من خلال اختلال التوازن الدوراني.

${\displaystyle F=F_{0}\sin(2\pi ft).\!}$

يؤدي جمع القوى المؤثرة على الكتلة إلى المعادلة التفاضلية العادية التالية:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F_{0}\sin(2\pi ft).}$

يمكن كتابة حل الحالة المستقرة لهذه المشكلة على النحو التالي:

${\displaystyle x(t)=X\sin(2\pi ft+\phi ).\!}$

وتنص النتيجة على أن الكتلة سوف تتذبذب بنفس التردد، f ، للقوة المطبقة، ولكن مع تحول الطور${\displaystyle \phi .}$

يتم تحديد سعة الاهتزاز "X" بالصيغة التالية.

${\displaystyle X={F_{0} \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}}.}$

حيث يتم تعريف "r" على أنها نسبة تردد القوة التوافقية إلى التردد الطبيعي غير المخمّد لنموذج الكتلة - الزنبرك - المخمّد.

${\displaystyle r={\frac {f}{f_{n}}}.}$

يتم تعريف تحول الطور بالصيغة التالية. ${\displaystyle \phi ,}$

${\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {-2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

يمثل مخطط هذه الوظائف، والذي يُسمى "استجابة التردد للنظام"، إحدى أهم السمات في الاهتزاز القسري. في نظام مُخمَّد قليلاً عندما يقترب تردد القوة من التردد الطبيعي ( ) يمكن أن ترتفع سعة الاهتزاز إلى حد كبير. تسمى هذه الظاهرة بالرنين (وبعد ذلك غالبًا ما يُشار إلى التردد الطبيعي للنظام باسم التردد الرنيني). في أنظمة محمل الدوار، يُشار إلى أي سرعة دوران تثير ترددًا رنانًا باسم السرعة الحرجة . ${\displaystyle r\approx 1}$

إذا حدث الرنين في نظام ميكانيكي، فقد يكون ضارًا جدًا - مما يؤدي في النهاية إلى فشل النظام. وبالتالي، فإن أحد الأسباب الرئيسية لتحليل الاهتزاز هو التنبؤ بموعد حدوث هذا النوع من الرنين ثم تحديد الخطوات التي يجب اتخاذها لمنع حدوثه. وكما يوضح مخطط السعة، فإن إضافة التخميد يمكن أن يقلل بشكل كبير من حجم الاهتزاز. كما يمكن تقليل الحجم إذا كان من الممكن تحويل التردد الطبيعي بعيدًا عن تردد القوة عن طريق تغيير صلابة أو كتلة النظام. إذا لم يكن من الممكن تغيير النظام، فربما يمكن تحويل تردد القوة (على سبيل المثال، تغيير سرعة الآلة التي تولد القوة).

وفيما يلي بعض النقاط الأخرى فيما يتعلق بالاهتزاز القسري الموضح في مخططات استجابة التردد.

• عند نسبة تردد معينة، تكون سعة الاهتزاز، X ، متناسبة بشكل مباشر مع سعة القوة (على سبيل المثال، إذا ضاعفت القوة، يتضاعف الاهتزاز)${\displaystyle F_{0}}$
• مع القليل من التخميد أو بدونه، يكون الاهتزاز في طور مع تردد القوة عندما تكون نسبة التردد r  < 1 و 180 درجة خارج الطور عندما تكون نسبة التردد r  > 1
• عندما يكون r  ≪ 1 فإن السعة هي مجرد انحراف الزنبرك تحت تأثير القوة الساكنة، ويسمى هذا الانحراف بالانحراف الساكن ، وبالتالي عندما يكون r  ≪ 1 فإن تأثيرات المثبط والكتلة تكون ضئيلة.${\displaystyle F_{0}.}$${\displaystyle \delta _{st}.}$
• عندما يكون r  ≫ 1 تكون سعة الاهتزاز أقل فعليًا من الانحراف الساكن في هذه المنطقة تكون القوة التي تولدها الكتلة ( F  =  ma ) هي المهيمنة لأن التسارع الذي تراه الكتلة يزداد مع التردد. ونظرًا لأن الانحراف الذي تراه في الزنبرك، X ، ينخفض ​​في هذه المنطقة، فإن القوة التي ينقلها الزنبرك ( F  =  kx ) إلى القاعدة تقل. لذلك، فإن نظام الكتلة - الزنبرك - المثبط يعزل القوة التوافقية عن قاعدة التثبيت - ويشار إليه بعزل الاهتزاز . يقلل المزيد من التخميد في الواقع من تأثيرات عزل الاهتزاز عندما يكون r  ≫ 1 لأن قوة التخميد ( F  =  cv ) تنتقل أيضًا إلى القاعدة.${\displaystyle \delta _{st}.}$
• مهما كان التخميد، فإن الاهتزاز يكون خارج الطور بمقدار 90 درجة مع تردد القوة عندما تكون نسبة التردد r  = 1، وهو أمر مفيد للغاية عندما يتعلق الأمر بتحديد التردد الطبيعي للنظام.
• مهما كان التخميد، عندما يكون r  ≫ 1، يكون الاهتزاز خارج الطور بمقدار 180 درجة مع تردد القوة
• مهما كان التخميد، عندما يكون r  ≪ 1، يكون الاهتزاز في نفس الطور مع تردد القوة

الرنين سهل الفهم إذا نظرنا إلى الزنبرك والكتلة كعناصر لتخزين الطاقة - حيث تخزن الكتلة الطاقة الحركية ويخزن الزنبرك الطاقة الكامنة. وكما ناقشنا سابقًا، عندما لا يكون للكتلة والزنبرك أي قوة خارجية تؤثر عليهما، فإنهما ينقلان الطاقة ذهابًا وإيابًا بمعدل يساوي التردد الطبيعي. بعبارة أخرى، يتطلب ضخ الطاقة بكفاءة في كل من الكتلة والزنبرك أن يغذي مصدر الطاقة الطاقة بمعدل يساوي التردد الطبيعي. إن تطبيق قوة على الكتلة والزنبرك يشبه دفع طفل على أرجوحة، حيث يلزم الدفع في اللحظة المناسبة لجعل الأرجوحة ترتفع أكثر فأكثر. وكما في حالة الأرجوحة، لا يلزم أن تكون القوة المطبقة عالية للحصول على حركات كبيرة، ولكن يجب فقط إضافة الطاقة إلى النظام.

إن المثبط، بدلاً من تخزين الطاقة، يبدد الطاقة. وبما أن قوة التخميد تتناسب طردياً مع السرعة، فكلما زادت الحركة، زاد تبديد المثبط للطاقة. وبالتالي، هناك نقطة حيث تتساوى الطاقة التي يبددها المثبط مع الطاقة المضافة بواسطة القوة. عند هذه النقطة، يكون النظام قد وصل إلى أقصى سعة له وسيستمر في الاهتزاز عند هذا المستوى طالما ظلت القوة المطبقة كما هي. إذا لم يكن هناك تخميد، فلا يوجد ما يبدد الطاقة، ومن الناحية النظرية، ستستمر الحركة في النمو إلى ما لا نهاية.

في القسم السابق، تم تطبيق قوة توافقية بسيطة فقط على النموذج، ولكن يمكن توسيع ذلك بشكل كبير باستخدام أداتين رياضيتين قويتين. الأولى هي تحويل فورييه الذي يأخذ إشارة كدالة للزمن ( مجال الزمن ) ويقسمها إلى مكوناتها التوافقية كدالة للتردد ( مجال التردد ). على سبيل المثال، عن طريق تطبيق قوة على نموذج الكتلة - الزنبرك - المثبط الذي يكرر الدورة التالية - قوة تساوي 1  نيوتن لمدة 0.5 ثانية ثم لا توجد قوة لمدة 0.5 ثانية. هذا النوع من القوة له شكل موجة مربعة بتردد 1 هرتز .

يولد تحويل فورييه للموجة المربعة طيف تردد يمثل حجم التوافقيات التي تشكل الموجة المربعة (يتم أيضًا توليد الطور، ولكنه أقل أهمية عادةً وبالتالي لا يتم رسمه غالبًا). يمكن أيضًا استخدام تحويل فورييه لتحليل الدوال غير الدورية مثل العابرات (مثل النبضات) والدوال العشوائية. يتم حساب تحويل فورييه دائمًا تقريبًا باستخدام خوارزمية الكمبيوتر لتحويل فورييه السريع (FFT) بالاشتراك مع دالة النافذة .

في حالة قوة الموجة المربعة، فإن المكون الأول هو في الواقع قوة ثابتة مقدارها 0.5 نيوتن ويتم تمثيلها بقيمة عند 0 هرتز في طيف التردد. المكون التالي هو موجة جيبية بتردد 1 هرتز بسعة 0.64. ويتضح ذلك من خلال الخط عند 1 هرتز. المكونات المتبقية هي بترددات غريبة ويستغرق الأمر عددًا لا نهائيًا من الموجات الجيبية لتوليد الموجة المربعة المثالية. وبالتالي، يسمح لك تحويل فورييه بتفسير القوة كمجموع للقوى الجيبية المطبقة بدلاً من قوة "أكثر تعقيدًا" (مثل الموجة المربعة).

في القسم السابق، تم تقديم حل الاهتزاز لقوة توافقية واحدة، لكن تحويل فورييه بشكل عام يعطي قوى توافقية متعددة. تسمح الأداة الرياضية الثانية، مبدأ التراكب ، بجمع الحلول من قوى متعددة إذا كان النظام خطيًا . في حالة نموذج الزنبرك والكتلة والمثبط، يكون النظام خطيًا إذا كانت قوة الزنبرك متناسبة مع الإزاحة وكان التخميد متناسبًا مع السرعة على مدى الحركة المطلوبة. وبالتالي، فإن حل المشكلة المتعلقة بالموجة المربعة هو جمع الاهتزاز المتوقع من كل قوة توافقية موجودة في طيف التردد للموجة المربعة.

يمكن النظر إلى حل مشكلة الاهتزاز كعلاقة إدخال/إخراج - حيث تكون القوة هي المدخل والمخرج هو الاهتزاز. يسمح تمثيل القوة والاهتزاز في مجال التردد (الحجم والطور) بالعلاقة التالية:

${\displaystyle X(i\omega )=H(i\omega )\cdot F(i\omega ){\text{ or }}H(i\omega )={X(i\omega ) \over F(i\omega )}.}$

${\displaystyle H(i\omega )}$تسمى دالة استجابة التردد (يشار إليها أيضًا باسم دالة النقل ، ولكنها ليست دقيقة من الناحية الفنية) ولها مكون من المقدار والطور (إذا تم تمثيلها كعدد مركب ، مكون حقيقي وتخيلي). تم تقديم مقدار دالة استجابة التردد (FRF) سابقًا لنظام الكتلة والزنبرك والمثبط.

${\displaystyle |H(i\omega )|=\left|{X(i\omega ) \over F(i\omega )}\right|={1 \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}},{\text{ where }}r={\frac {f}{f_{n}}}={\frac {\omega }{\omega _{n}}}.}$

كما تم تقديم مرحلة FRF في وقت سابق على النحو التالي:

${\displaystyle \angle H(i\omega )=-\arctan \left({\frac {2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

على سبيل المثال، حساب FRF لنظام كتلة-زنبرك-مخمد بكتلة 1 كجم وصلابة زنبرك 1.93 نيوتن/مم ونسبة تخميد 0.1. تعطي قيم الزنبرك والكتلة ترددًا طبيعيًا يبلغ 7 هرتز لهذا النظام المحدد. يسمح تطبيق الموجة المربعة 1 هرتز من قبل بحساب الاهتزاز المتوقع للكتلة. يوضح الشكل الاهتزاز الناتج. يحدث في هذا المثال أن التوافقي الرابع للموجة المربعة يقع عند 7 هرتز. وبالتالي فإن استجابة التردد للكتلة-الزنبرك-المخمد تنتج اهتزازًا عاليًا يبلغ 7 هرتز على الرغم من أن قوة الإدخال كانت لها توافقية منخفضة نسبيًا تبلغ 7 هرتز. يسلط هذا المثال الضوء على أن الاهتزاز الناتج يعتمد على كل من دالة القوة والنظام الذي يتم تطبيق القوة عليه.

يوضح الشكل أيضًا تمثيل المجال الزمني للاهتزاز الناتج. يتم ذلك من خلال إجراء تحويل فورييه العكسي الذي يحول بيانات المجال الترددي إلى المجال الزمني. في الممارسة العملية، نادرًا ما يتم ذلك لأن طيف التردد يوفر جميع المعلومات الضرورية.

لا يلزم بالضرورة حساب دالة الاستجابة للتردد (FRF) من خلال معرفة كتلة النظام وتخميده وصلابته، ولكن يمكن قياسها تجريبياً. على سبيل المثال، إذا تم تطبيق قوة معروفة على نطاق من الترددات، وإذا تم قياس الاهتزازات المرتبطة بها، فيمكن حساب دالة الاستجابة للتردد، وبالتالي تحديد خصائص النظام. تُستخدم هذه التقنية في مجال التحليل النمطي التجريبي لتحديد خصائص الاهتزاز للهيكل.

النموذج البسيط للكتلة والزنبرك والمثبط هو أساس تحليل الاهتزاز. النموذج الموصوف أعلاه يسمى نموذج درجة الحرية الواحدة (SDOF) حيث يُفترض أن الكتلة تتحرك لأعلى ولأسفل فقط. في الأنظمة الأكثر تعقيدًا، يجب تقسيم النظام إلى المزيد من الكتل التي تتحرك في أكثر من اتجاه، مما يضيف درجات الحرية. يمكن فهم المفاهيم الرئيسية لدرجات الحرية المتعددة (MDOF) من خلال النظر إلى نموذج درجتين فقط من الحرية كما هو موضح في الشكل.

وجد أن معادلات الحركة لنظام 2DOF هي:

${\displaystyle m_{1}{\ddot {x_{1}}}+(c_{1}+c_{2}){\dot {x_{1}}}-c_{2}{\dot {x_{2}}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=f_{1},}$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {x_{2}}}-c_{2}{\dot {x_{1}}}+(c_{2}+c_{3}){\dot {x_{2}}}-k_{2}x_{1}+(k_{2}+k_{3})x_{2}=f_{2}.\!}$

يمكن إعادة كتابة هذا بتنسيق المصفوفة :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x_{1}}}\\{\ddot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}+c_{2}&-c_{2}\\-c_{2}&c_{2}+c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x_{1}}}\\{\dot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{Bmatrix}}.}$

يمكن كتابة شكل أكثر إحكاما لمعادلة المصفوفة هذه على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f\end{Bmatrix}}}$

حيث و هي مصفوفات متماثلة يشار إليها على التوالي باسم مصفوفات الكتلة والتخميد والصلابة. المصفوفات هي مصفوفات مربعة NxN حيث N هو عدد درجات حرية النظام. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}},}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}}$

يتضمن التحليل التالي الحالة التي لا يوجد فيها تخميد ولا قوى مطبقة (أي اهتزاز حر). إن حل النظام المثبط باللزوجة أكثر تعقيدًا إلى حد ما. ^[12]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}=0.}$

يمكن حل المعادلة التفاضلية هذه بافتراض نوع الحل التالي:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}.}$

ملاحظة: إن استخدام الحل الأسي هو خدعة رياضية تُستخدم لحل المعادلات التفاضلية الخطية. وباستخدام صيغة أويلر وأخذ الجزء الحقيقي فقط من الحل، نحصل على نفس حل جيب التمام لنظام درجة الحرية الواحدة. ولا يُستخدم الحل الأسي إلا لأنه أسهل في التعامل معه رياضيًا. ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}}$

وتصبح المعادلة بعد ذلك:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}=0.}$

نظرًا لأنه لا يمكن أن يساوي الصفر، فإن المعادلة تقتصر على ما يلي. ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

يُشار إلى هذا باسم مشكلة القيمة الذاتية في الرياضيات ويمكن وضعها في التنسيق القياسي عن طريق ضرب المعادلة مسبقًا بـ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0}$

وإذا: و${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

يؤدي حل المشكلة إلى قيم ذاتية N (أي )، حيث يتوافق N مع عدد درجات الحرية. توفر القيم الذاتية الترددات الطبيعية للنظام. عندما يتم استبدال هذه القيم الذاتية مرة أخرى في المجموعة الأصلية من المعادلات، فإن القيم التي تتوافق مع كل قيمة ذاتية تسمى متجهات ذاتية . تمثل هذه المتجهات الذاتية أشكال الوضع للنظام. يمكن أن يكون حل مشكلة القيمة الذاتية مرهقًا للغاية (خاصة بالنسبة للمشكلات ذات درجات الحرية العديدة)، ولكن لحسن الحظ تحتوي معظم برامج تحليل الرياضيات على روتينات القيم الذاتية. ${\displaystyle \omega _{1}^{2},\omega _{2}^{2},\cdots \omega _{N}^{2}}$${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}}$

غالبًا ما تتم كتابة القيم الذاتية والمتجهات الذاتية بتنسيق المصفوفة التالي وتصف النموذج النمطي للنظام:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{1}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\omega _{N}^{2}\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\cdots {\begin{Bmatrix}\psi _{N}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

يمكن أن يساعد مثال بسيط باستخدام نموذج درجتي حرية في توضيح المفاهيم. لنفترض أن كلتا الكتلتين لهما كتلة 1 كجم وأن صلابة النوابض الثلاثة تساوي 1000 نيوتن/متر. إذن، مصفوفة الكتلة والصلابة لهذه المشكلة هي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$و${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

ثم${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

القيم الذاتية لهذه المشكلة المعطاة من خلال روتين القيم الذاتية هي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1000&0\\0&3000\end{bmatrix}}.}$

الترددات الطبيعية بوحدات الهيرتز هي (تذكر ) و${\displaystyle \scriptstyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle \scriptstyle f_{1}=5.033\mathrm {\ Hz} }$${\displaystyle \scriptstyle f_{2}=8.717{\text{ Hz}}.}$

يتم إعطاء شكلي الوضع للترددات الطبيعية المعنية على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}-0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{1}{\begin{Bmatrix}0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}.}$

نظرًا لأن النظام عبارة عن نظام ذي درجتي حرية، فهناك وضعان بتردداتهما وأشكالهما الطبيعية. لا تمثل متجهات شكل الوضع الحركة المطلقة، ولكنها تصف فقط الحركة النسبية لدرجات الحرية. في حالتنا، يشير متجه شكل الوضع الأول إلى أن الكتلتين تتحركان معًا في الطور لأن لهما نفس القيمة والإشارة. في حالة متجه شكل الوضع الثاني، تتحرك كل كتلة في اتجاه معاكس بنفس المعدل.

عندما يكون هناك العديد من درجات الحرية، فإن إحدى طرق تصور أشكال الأوضاع هي تحريكها باستخدام برنامج التحليل البنيوي مثل Femap أو ANSYS أو VA One من ESI Group . يظهر مثال على تحريك أشكال الأوضاع في الشكل أدناه لشعاع Ɪ المعلق كما هو موضح باستخدام التحليل النمطي على ANSYS. في هذه الحالة، تم استخدام طريقة العناصر المحدودة لتوليد تقريب لمصفوفات الكتلة والصلابة عن طريق تشكيل شبكة للجسم محل الاهتمام من أجل حل مشكلة القيمة الذاتية المنفصلة . لاحظ أنه في هذه الحالة، توفر طريقة العناصر المحدودة تقريبًا للسطح الشبكي (الذي يوجد له عدد لا نهائي من أوضاع الاهتزاز والترددات). لذلك، فإن هذا النموذج البسيط نسبيًا الذي يحتوي على أكثر من 100 درجة حرية وبالتالي العديد من الترددات الطبيعية وأشكال الأوضاع، يوفر تقريبًا جيدًا لأول الترددات والأوضاع الطبيعية ^† . بشكل عام، تعتبر الأوضاع القليلة الأولى فقط مهمة للتطبيقات العملية.

في هذا الجدول، يتم تصور أوضاع الاهتزاز الأولى والثانية (الأعلى والأسفل على التوالي) للانحناء الأفقي (على اليسار)، والالتواء (في المنتصف)، والانحناء الرأسي (على اليمين) لشعاع Ɪ . توجد أيضًا أنواع أخرى من أوضاع الاهتزاز حيث يتم ضغط الشعاع / تمديده في اتجاهات الارتفاع والعرض والطول على التوالي.
أشكال الوضع لعارضة I المعلقة

^ لاحظ أنه عند إجراء تقريب عددي لأي نموذج رياضي، يجب التأكد من تقارب المعلمات محل الاهتمام.

تمتلك المتجهات الذاتية خصائص مهمة جدًا تسمى خصائص التعامد. يمكن استخدام هذه الخصائص لتبسيط حل نماذج درجات الحرية المتعددة بشكل كبير. يمكن إثبات أن المتجهات الذاتية تتمتع بالخصائص التالية:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$وهما مصفوفتان قطريتان تحتويان على قيم الكتلة النمطية والصلابة لكل من الأوضاع. (ملاحظة: نظرًا لأنه يمكن قياس المتجهات الذاتية (أشكال الأوضاع) بشكل تعسفي، غالبًا ما تُستخدم خصائص التعامد لقياس المتجهات الذاتية بحيث تكون قيمة الكتلة النمطية لكل وضع مساوية لـ 1. وبالتالي فإن مصفوفة الكتلة النمطية هي مصفوفة هوية ) ${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$

يمكن استخدام هذه الخصائص لتبسيط حل نماذج درجات الحرية المتعددة بشكل كبير عن طريق إجراء تحويل الإحداثيات التالي.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}.}$

يؤدي استخدام تحويل الإحداثيات هذا في معادلة التفاضل للاهتزاز الحر الأصلية إلى المعادلة التالية.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

الاستفادة من خصائص التعامد عن طريق ضرب هذه المعادلة مسبقًا بـ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

ثم تقوم خصائص التعامد بتبسيط هذه المعادلة إلى:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

هذه المعادلة هي الأساس لتحليل الاهتزازات لأنظمة درجات الحرية المتعددة. ويمكن استخلاص نوع مماثل من النتائج للأنظمة المخففة. ^[12] والمفتاح هو أن مصفوفات الكتلة والصلابة النمطية عبارة عن مصفوفات قطرية وبالتالي تم "فصل" المعادلات. بعبارة أخرى، تم تحويل المشكلة من مشكلة كبيرة غير قابلة للإدارة بدرجات حرية متعددة إلى العديد من مشاكل درجة الحرية الفردية التي يمكن حلها باستخدام نفس الأساليب الموضحة أعلاه.

يتم استبدال حل x بحل q ، ويشار إليها باسم إحداثيات النمط أو عوامل المشاركة النمطية.

قد يكون من الواضح الفهم إذا تمت كتابته على النحو التالي: ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}}=q_{1}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{1}+q_{2}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{2}+q_{3}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{3}+\cdots +q_{N}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{N}.}$

عند كتابة ذلك بالشكل، يمكننا أن نرى أن الاهتزاز عند كل درجة من درجات الحرية هو مجرد مجموع خطي لأشكال الأنماط. وعلاوة على ذلك، فإن مقدار "مشاركة" كل نمط في الاهتزاز النهائي يتم تحديده بواسطة q، عامل المشاركة النمطية.

يتعرض نظام غير مقيد متعدد درجات الحرية لكل من انتقال الجسم الصلب و/أو الدوران والاهتزاز. يؤدي وجود وضع الجسم الصلب إلى تردد طبيعي صفري. يسمى شكل الوضع المقابل وضع الجسم الصلب.

• أوراق Excel مجانية لتقدير معلمات النموذج
• مرجع تحليل الاهتزازات – معهد موبيوس
• مراقبة الحالة وحماية الآلات – شركة سيمنز