المذبذب التوافقي الكمي

هاميلتونيان الجسيم هو :$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}\,,}$$ حيث m هي كتلة الجسيم، و k هو ثابت القوة،${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$يمثل التردد الزاوي للمذبذب،${\displaystyle {\hat {x}}}$هو عامل الموضع (المعطى بواسطة x في أساس الإحداثيات)، و${\displaystyle {\hat {p}}}$ هو مؤثر الزخم (المعطى بواسطة${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \,\partial /\partial x}$في أساس الإحداثيات). يمثل الحد الأول في الهاميلتوني الطاقة الحركية للجسيم، ويمثل الحد الثاني طاقته الكامنة، كما هو الحال في قانون هوك . ^{[ 5 ]}

معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن (TISE) هي، $${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle ~,}$$ أين${\displaystyle E}$يشير إلى عدد حقيقي (يجب تحديده) يحدد مستوى طاقة مستقل عن الزمن ، أو قيمة ذاتية ، والحل ${\displaystyle |\psi \rangle }$يشير إلى الحالة الذاتية للطاقة لهذا المستوى . ^{[ 6 ]}

ثم قم بحل المعادلة التفاضلية التي تمثل مسألة القيم الذاتية هذه في أساس الإحداثيات، وذلك بالنسبة للدالة الموجية.${\displaystyle \langle x|\psi \rangle =\psi (x)}$باستخدام طريقة طيفية ، تبين وجود مجموعة من الحلول. في هذا الأساس، تُعتبر هذه الحلول دوال هيرميت ، ^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)},\qquad n=0,1,2,\ldots .}$$

الوظائف${\displaystyle H_{n}}$هي كثيرات حدود هيرميت الفيزيائية ، $${\displaystyle H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\right).}$$

مستويات الطاقة المقابلة هي ^{[ 9 ]}$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega {\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$$يمكن استخلاص القيم المتوقعة للموقع والزخم، بالإضافة إلى تباين كل متغير، من دالة الموجة لفهم سلوك متجهات الطاقة الذاتية. وقد تبين أنها${\textstyle \langle {\hat {x}}\rangle =0}$و${\textstyle \langle {\hat {p}}\rangle =0}$بسبب تناظر المسألة، بينما:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x^{2}\right\rangle &=(2n+1){\frac {\hbar }{2m\omega }}=\sigma _{x}^{2}\\[1ex]\left\langle p^{2}\right\rangle &=(2n+1){\frac {m\hbar \omega }{2}}=\sigma _{p}^{2}\end{aligned}}}$$

لوحظ ازدياد التباين في كل من الموضع والزخم مع ارتفاع مستويات الطاقة. ويبلغ أدنى مستوى طاقة قيمةً قدرها${\textstyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}}$وهي قيمتها الدنيا بسبب علاقة عدم اليقين، وتتوافق أيضًا مع دالة موجية غاوسية. ^{[ 10 ]}

يُعدّ طيف الطاقة هذا جديرًا بالملاحظة لأربعة أسباب. أولًا، الطاقات مُكمّمة، أي أن قيم الطاقة الممكنة هي قيم منفصلة فقط (مضاعفات صحيحة زائد نصف لـ ħω )؛ وهذه سمة عامة للأنظمة الكمومية عندما يكون الجسيم محصورًا. ثانيًا، مستويات الطاقة المنفصلة هذه متساوية التباعد، على عكس نموذج بور للذرة، أو الجسيم في صندوق . ثالثًا، أدنى طاقة يُمكن بلوغها (طاقة الحالة n = 0 ، وتُسمى الحالة الأرضية ) لا تُساوي الحد الأدنى لبئر الجهد، بل تساوي ħω /2 فوقه؛ وتُسمى هذه طاقة النقطة الصفرية . وبسبب طاقة النقطة الصفرية، فإن موضع وزخم المذبذب في الحالة الأرضية ليسا ثابتين (كما هو الحال في المذبذب الكلاسيكي)، بل لهما نطاق تباين صغير، وفقًا لمبدأ هايزنبرغ للشك . رابعًا، مستويات الطاقة غير متماثلة، مما يعني أن كل قيمة ذاتية مرتبطة بحل واحد فقط (حالة واحدة). ^{[ 11 ]}

تتركز كثافة احتمالية الحالة الأرضية عند نقطة الأصل، مما يعني أن الجسيم يقضي معظم وقته في قاع بئر الجهد، كما هو متوقع لحالة ذات طاقة منخفضة. ومع ازدياد الطاقة، تبلغ كثافة الاحتمالية ذروتها عند "نقاط التحول" الكلاسيكية، حيث تتطابق طاقة الحالة مع طاقة الوضع. (انظر المناقشة أدناه حول الحالات المثارة بشدة). يتوافق هذا مع المذبذب التوافقي الكلاسيكي، حيث يقضي الجسيم معظم وقته (وبالتالي يكون وجوده أكثر احتمالاً) بالقرب من نقاط التحول، حيث يتحرك بأبطأ سرعة. وبذلك يتحقق مبدأ التوافق . علاوة على ذلك، تتذبذب حزم موجية خاصة غير مشتتة، ذات أدنى قدر من عدم اليقين، تُسمى الحالات المتماسكة ، بشكل مشابه جدًا للأجسام الكلاسيكية، كما هو موضح في الشكل؛ وهي ليست حالات ذاتية للهاميلتوني.

تتيح طريقة " المؤثر السلمي "، التي طورها بول ديراك ، استخراج القيم الذاتية للطاقة دون الحاجة إلى حل المعادلة التفاضلية مباشرةً. ^{[ 12 ]} وهي قابلة للتعميم على مسائل أكثر تعقيدًا، لا سيما في نظرية الحقل الكمومي . وباتباع هذا النهج، نُعرّف المؤثرات.${\displaystyle {\hat {a}}}$ومرافقه​${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$، $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}$$لاحظ أن هذه المؤثرات، من الناحية الكلاسيكية، هي بالضبط مولدات الدوران المعياري في فضاء الطور لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle m{\frac {dx}{dt}}}$أي أنها تصف التطور الأمامي والخلفي في الزمن لمذبذب توافقي كلاسيكي.

تؤدي هذه العوامل إلى التمثيل التالي لـ${\displaystyle {\hat {x}}}$و ${\displaystyle {\hat {p}}}$، $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}({\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {a}})\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}({\hat {a}}^{\dagger }-{\hat {a}})~.\end{aligned}}}$$

المؤثر a ليس هيرميتيًا ، لأنه هو ومرافقه a ^† غير متساويين. وتعطي حالات الطاقة الذاتية | n⟩ ، عند تطبيق هذه المؤثرات السلمية عليها، $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\{\hat {a}}|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}$$

انطلاقاً من العلاقات المذكورة أعلاه، يمكننا أيضاً تعريف عامل عددي N ، والذي يتمتع بالخاصية التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}&={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {N}}\left|n\right\rangle &=n\left|n\right\rangle .\end{aligned}}}$$

يمكن الحصول على المبدلات التالية بسهولة عن طريق استبدال علاقة التبديل الأساسية ، $${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1,\qquad [{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger },\qquad [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}},}$$

ويمكن التعبير عن مؤثر هاميلتون على النحو التالي: $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right),}$$

إذن، الحالات الذاتية لـ${\displaystyle {\hat {N}}}$ وهي أيضًا حالات الطاقة الذاتية. ولإثبات ذلك، يمكننا تطبيق${\displaystyle {\hat {H}}}$إلى حالة رقمية${\displaystyle |n\rangle }$:

$${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}$$

باستخدام خاصية عامل العدد${\displaystyle {\hat {N}}}$:

$${\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle ,}$$

نحصل على:

$${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}$$

وبالتالي، بما أن${\displaystyle |n\rangle }$يحل هذا الأمر معادلة TISE لمؤثر هاميلتوني${\displaystyle {\hat {H}}}$، وهي أيضاً إحدى حالاتها الذاتية ذات القيمة الذاتية المقابلة:

$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}$$

وهو المطلوب إثباته.

خاصية التبديل تعطي $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &=\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {N}}+[{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]\right)|n\rangle \\&=\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {N}}+{\hat {a}}^{\dagger }\right)|n\rangle \\&=(n+1){\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ,\end{aligned}}}$$

وبالمثل، $${\displaystyle {\hat {N}}{\hat {a}}|n\rangle =(n-1){\hat {a}}|n\rangle .}$$

هذا يعني أن${\displaystyle {\hat {a}}}$أعمال بشأن${\displaystyle |n\rangle }$لإنتاج، حتى ثابت ضربي،${\displaystyle |n-1\rangle }$، و${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$أعمال بشأن${\displaystyle |n\rangle }$لإنتاج${\displaystyle |n+1\rangle }$ولهذا السبب،${\displaystyle {\hat {a}}}$يُطلق عليه اسم عامل الإفناء ("عامل التخفيض")، و${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$عامل الإنشاء (عامل الرفع). يُطلق على العاملين معًا اسم عوامل السلم .

بفرض أي حالة طاقة ذاتية، يمكننا تطبيق عامل التخفيض عليها، a ، لإنتاج حالة طاقة ذاتية أخرى بطاقة أقل بمقدار ħω . وبتكرار تطبيق عامل التخفيض، يبدو أنه يمكننا إنتاج حالات طاقة ذاتية تصل إلى E = −∞ . ومع ذلك، بما أن $${\displaystyle n=\langle n|N|n\rangle =\langle n|a^{\dagger }a|n\rangle ={\Bigl (}a|n\rangle {\Bigr )}^{\dagger }a|n\rangle \geqslant 0,}$$

أصغر قيمة ذاتية لمؤثر العدد هي صفر، و $${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0.}$$

في هذه الحالة، ستؤدي التطبيقات اللاحقة لمؤثر التخفيض إلى إنتاج الصفر فقط، بدلاً من حالات طاقة ذاتية إضافية. علاوة على ذلك، فقد أوضحنا أعلاه أن $${\displaystyle {\hat {H}}\left|0\right\rangle ={\frac {\hbar \omega }{2}}\left|0\right\rangle }$$

وأخيراً، من خلال العمل على${\displaystyle |0\rangle }$باستخدام عامل الرفع والضرب بمعاملات تطبيع مناسبة ، يمكننا إنتاج مجموعة لانهائية من حالات الطاقة الذاتية $${\displaystyle \left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,\ldots ,\left|n\right\rangle ,\ldots \right\},}$$

بحيث $${\displaystyle {\hat {H}}\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle ,}$$ وهو ما يتطابق مع طيف الطاقة الوارد في القسم السابق.

يمكن التعبير عن الحالات الذاتية العشوائية بدلالة${\displaystyle |0\rangle }$, ^{[ 13 ]}$${\displaystyle |n\rangle ={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0\rangle .}$$

يمتلك المذبذب التوافقي الكمومي مقاييس طبيعية للطول والطاقة، والتي يمكن استخدامها لتبسيط المسألة. ويمكن إيجاد هذه المقاييس عن طريق تحويلها إلى صيغة لا بُعدية .

والنتيجة هي أنه إذا تم قياس الطاقة بوحدات ħω والمسافة بوحدات √ħ /( mω ) ، فإن الهاميلتوني يتبسط إلى $${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}{d^{2} \over dx^{2}}+{\frac {1}{2}}x^{2},}$$ بينما تتبسط الدوال الذاتية للطاقة والقيم الذاتية إلى دوال هيرميت وأعداد صحيحة مزاحة بمقدار النصف، $${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left\langle x\mid n\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}~\pi ^{-1/4}\exp \left(-x^{2}/2\right)~H_{n}(x),}$$$${\displaystyle E_{n}=n+{\tfrac {1}{2}}~,}$$ حيث أن H _n ( x ) هي كثيرات حدود هيرميت .

لتجنب الالتباس، لن يتم اعتماد هذه "الوحدات الطبيعية" في هذا المقال في أغلب الأحيان. ومع ذلك، فهي مفيدة للغاية عند إجراء العمليات الحسابية، إذ تساعد على تجنب التعقيدات.

على سبيل المثال، فإن الحل الأساسي ( المولد ) لـ H − i∂ _t ، وهو عامل شرودنغر المعتمد على الوقت لهذا المذبذب ، يختزل ببساطة إلى نواة ميهلر ، ^{[ 15 ] [ 16 ]}$${\displaystyle \left\langle x\right|\exp(-itH)\left|y\right\rangle \equiv K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left(\left(x^{2}+y^{2}\right)\cos t-2xy\right)\right)~,}$$ حيث K ( x , y ; 0) = δ ( x − y ) . وبالتالي، فإن الحل الأكثر عمومية لتكوين ابتدائي مُعطى ψ ( x , 0) هو ببساطة $${\displaystyle \psi (x,t)=\int dy~K(x,y;t)\psi (y,0)\,.}$$

_تُعدّ الحالات المتماسكة (المعروفة أيضًا بحالات غلاوبر) للمذبذب التوافقي حزمًا موجية خاصة غير تشتتية ، ذات حد أدنى من عدم اليقين σx _σp = ℏ ⁄ 2 ، وتتطور قيمها المتوقعة للكميات القابلة للرصد كما في النظام الكلاسيكي. وهي متجهات ذاتية لمؤثر الإفناء، وليست للهاميلتوني، وتشكل أساسًا مكتملًا بشكل زائد، وبالتالي يفتقر إلى التعامد. ^{[ 17 ]}

يتم فهرسة الحالات المتماسكة بواسطة${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ويُعبَّر عنها في أساس | n ⟩ كما يلي

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha \rangle &=\sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|\alpha \rangle \\&=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle \\&=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{\alpha a^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}a}}|0\rangle .\end{aligned}}}$$

بما أن الحالات المتماسكة ليست حالات طاقة ذاتية، فإن تطورها الزمني ليس مجرد تحول بسيط في طور دالة الموجة. ومع ذلك، فإن الحالات المتطورة زمنيًا هي أيضًا حالات متماسكة، ولكن بمعامل إزاحة طور α بدلاً من ذلك.${\displaystyle \alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}=\alpha _{0}e^{-i\omega t}}$.

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha (t)\rangle &=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\omega t}|n\rangle \langle n|\alpha \rangle \\&=e^{\frac {-i\omega t}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha e^{-i\omega t})^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle \\&=e^{-{\frac {i\omega t}{2}}}|\alpha e^{-i\omega t}\rangle \end{aligned}}}$$

لأن${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0}$ومن خلال متطابقة كيرماك-مكراي، فإن الشكل الأخير يعادل عامل إزاحة وحدوي يعمل على الحالة الأرضية:${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$حساب القيم المتوقعة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha (t)}&={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\left|\alpha _{0}\right|\cos {(\omega t-\phi )}\\[1ex]\langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha (t)}&=-{\sqrt {2m\hbar \omega }}\left|\alpha _{0}\right|\sin {(\omega t-\phi )}\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle \phi }$تمثل هذه الطور المساهمة من المركب α . وتؤكد هذه المعادلات السلوك التذبذبي للجسيم.

الشكوك المحسوبة باستخدام الطريقة العددية هي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}(t)&={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\\\sigma _{p}(t)&={\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}\end{aligned}}}$$

مما يعطي${\textstyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}}$بما أن الدالة الموجية الوحيدة التي يمكن أن يكون لها أقل قدر من عدم اليقين في الموضع والزخم،${\textstyle {\frac {\hbar }{2}}}$، هي دالة موجية غاوسية، وبما أن دالة الموجة للحالة المتماسكة لها أقل قدر من عدم اليقين في الموضع والزخم، فإننا نلاحظ أن دالة الموجة الغاوسية العامة في ميكانيكا الكم لها الشكل التالي:$${\displaystyle \psi _{\alpha }(x')=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {i}{\hbar }}\langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha }(x'-{\frac {\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha }}{2}})-{\frac {m\omega }{2\hbar }}(x'-\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha })^{2}}.}$$وباستبدال القيم المتوقعة كدالة للزمن، نحصل على دالة الموجة المتغيرة مع الزمن المطلوبة.

يمكن حساب احتمالية كل حالة من حالات الطاقة الذاتية لإيجاد توزيع الطاقة للدالة الموجية:

$${\displaystyle P(E_{n})=\left|\langle n|\alpha \rangle \right|^{2}={\frac {e^{-|\alpha |^{2}}|\alpha |^{2n}}{n!}}}$$

وهو ما يتوافق مع توزيع بواسون .

دالة الموجة (أعلى) وكثافة الاحتمال (أسفل) للحالة المثارة n = 30 للمذبذب التوافقي الكمومي. تشير الخطوط الرأسية المتقطعة إلى نقاط التحول الكلاسيكية، بينما يمثل الخط المنقط كثافة الاحتمال الكلاسيكية.

عندما تكون قيمة n كبيرة، تتركز الحالات الذاتية في المنطقة المسموحة كلاسيكيًا، أي المنطقة التي يمكن لجسيم كلاسيكي ذي طاقة E_{_n} أن يتحرك فيها. وتكون الحالات الذاتية في ذروتها بالقرب من نقاط الانعطاف: وهي النقاط الواقعة على طرفي المنطقة المسموحة كلاسيكيًا حيث يغير الجسيم الكلاسيكي اتجاهه. ويمكن التحقق من هذه الظاهرة من خلال السلوك التقاربي لكثيرات حدود هيرميت ، وكذلك من خلال تقريب WKB .

يتناسب تردد التذبذب عند النقطة _{x طرديًا مع زخم p(x) لجسيم كلاسيكي طاقته En} وموقعه x . علاوة على ذلك ، يتناسب مربع السعة (الذي يحدد كثافة الاحتمال) عكسيًا مع p ( x ) ، مما يعكس المدة الزمنية التي يقضيها الجسيم الكلاسيكي بالقرب من x . لا يوجد تفسير كلاسيكي بسيط لسلوك النظام في جوار صغير لنقطة التحول، ولكن يمكن نمذجته باستخدام دالة آيري . باستخدام خصائص دالة آيري، يمكن تقدير احتمال وجود الجسيم خارج المنطقة المسموح بها كلاسيكيًا، ليكون تقريبًا $${\displaystyle {\frac {2}{n^{1/3}3^{2/3}\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{3}})}}={\frac {1}{n^{1/3}\cdot 7.46408092658...}}}$$ وهذا يُعطى أيضًا، بشكل تقاربي، بواسطة التكامل $${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{(2n+1)\left(x-{\tfrac {1}{2}}\sinh(2x)\right)}dx~.}$$

في صياغة فضاء الطور لميكانيكا الكم، يمكن كتابة الحالات الذاتية للمذبذب التوافقي الكمومي في عدة تمثيلات مختلفة لتوزيع شبه الاحتمال بصيغة مغلقة. وأكثر هذه التمثيلات استخداماً هو توزيع شبه الاحتمال لويغنر .

توزيع شبه الاحتمال لويغنر لحالة الطاقة الذاتية | n ⟩ هو، بالوحدات الطبيعية الموضحة أعلاه، ^{[ 18 ]}$${\displaystyle F_{n}(x,p)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}{\left(2(x^{2}+p^{2})\right)}e^{-(x^{2}+p^{2})}\,,}$$ حيث تمثل L _n كثيرات حدود لاغير . يوضح هذا المثال كيفية ارتباط كثيرات حدود هيرميت ولاغير من خلال خريطة ويغنر .

في الوقت نفسه، تتخذ دالة هوسيمي Q لحالات الطاقة الذاتية للمذبذب التوافقي شكلاً أبسط. إذا عملنا بالوحدات الطبيعية الموضحة أعلاه، فسنحصل على $${\displaystyle Q_{n}(x,p)={\frac {(x^{2}+p^{2})^{n}}{n!}}{\frac {e^{-(x^{2}+p^{2})}}{\pi }}}$$ يمكن التحقق من هذا الادعاء باستخدام تحويل سيغال-بارغمان . تحديدًا، بما أن عامل الرفع في تمثيل سيغال-بارغمان هو ببساطة الضرب في${\displaystyle z=x+ip}$والحالة الأرضية هي الدالة الثابتة 1، وحالات المذبذب التوافقي المعياري في هذا التمثيل هي ببساطة${\displaystyle z^{n}/{\sqrt {n!}}}$عند هذه النقطة، يمكننا اللجوء إلى صيغة دالة Husimi Q من حيث تحويل Segal–Bargmann.

تمت معالجة المذبذب التوافقي ثنائي الأبعاد في الإحداثيات الديكارتية والمذبذب التوافقي المتساوي الخواص ثنائي الأبعاد في الإحداثيات الأسطوانية بالتفصيل في كتاب مولر-كيرستن. ^{[ 19 ]}

يمكن حل معادلة شرودنغر لجسيم في مذبذب توافقي ثلاثي الأبعاد متناظر كرويًا بشكل صريح عن طريق فصل المتغيرات. هذه العملية مماثلة للفصل الذي تم إجراؤه في مسألة الذرة الشبيهة بالهيدروجين ، ولكن مع جهد متناظر كرويًا مختلف.$${\displaystyle V(r)={1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2},}$$ حيث μ هي كتلة الجسيم. ولأن m ستُستخدم لاحقًا للدلالة على العدد الكمي المغناطيسي، فسيتم الإشارة إلى الكتلة بـ μ بدلاً من m كما ذُكر سابقًا في هذه المقالة.

حل المعادلة هو: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \psi _{klm}(r,\theta ,\phi )=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}L_{k}^{\left(l+{1 \over 2}\right)}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta ,\phi )}$$ أين

${\displaystyle N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}~~}$هو ثابت تطبيع؛${\displaystyle \nu \equiv {\mu \omega \over 2\hbar }~}$؛

${\displaystyle {L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})}$

هي كثيرات حدود لاغير المعممة ؛ رتبة k لكثير الحدود هي عدد صحيح غير سالب، يتطابق مع عدد عقد الجزء القطري من الدالة الموجية؛

• ${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )\,}$هي دالة توافقية كروية ؛
• ħ هو ثابت بلانك المختزل :${\displaystyle \hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}~.}$

قيمة الطاقة الذاتية هي $${\displaystyle E=\hbar \omega \left(2k+l+{\frac {3}{2}}\right).}$$ عادةً ما يتم وصف الطاقة بواسطة عدد كمي واحد$${\displaystyle n\equiv 2k+l\,.}$$

بما أن k عدد صحيح غير سالب، فلكل عدد زوجي n لدينا ℓ = 0، 2، ...، n − 2، n، ولكل عدد فردي n لدينا ℓ = 1، 3، ...، n − 2، n . العدد الكمي المغناطيسي m عدد صحيح يحقق − ℓ ≤ m ≤ ℓ ، لذا لكل n و ℓ يوجد 2 ℓ  + 1 حالة كمية  مختلفة ، مُصنَّفة بـ m . وبالتالي، فإن الانحلال عند المستوى n هو $${\displaystyle \sum _{l=\ldots ,n-2,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}\,,}$$ حيث يبدأ المجموع من 0 أو 1، وفقًا لما إذا كان n زوجيًا أم فرديًا. تتوافق هذه النتيجة مع صيغة الأبعاد المذكورة أعلاه، وتُعادل بُعد التمثيل المتناظر لـ SU(3) ، ^{[ 22 ]} وهي مجموعة الانحلال ذات الصلة.

يمكن توسيع مفهوم المذبذب التوافقي ليشمل شبكة أحادية البعد تتكون من العديد من الجسيمات. لنفترض سلسلة توافقية كمومية أحادية البعد مكونة من N ذرة متطابقة. هذا هو أبسط نموذج كمومي للشبكة، وسنرى كيف تنشأ الفونونات منه. يمكن تعميم الصيغة التي سنطورها لهذا النموذج بسهولة إلى بعدين وثلاثة أبعاد. كما في القسم السابق، نرمز إلى مواضع الكتل بـ _x₁ , x₂ , _... ، مقاسة من مواضع اتزانها (أي xᵢ ₌ 0 إذا كان الجسيم i في موضع اتزانه). في بعدين أو أكثر، تكون xᵢ كميات متجهة. _{هاميلتوني} هذا النظام هو

$${\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}\,,}$$ حيث m هي كتلة كل ذرة (بافتراض أنها متجانسة)، و xᵢ و pᵢ _هما مؤثرا الموضع والزخم للذرة رقم i ، ويتم الجمع على أقرب الجيران (nn). مع ذلك، جرت العادة على إعادة كتابة الهاميلتوني بدلالة _{الأنماط} الطبيعية لمتجه الموجة بدلاً من إحداثيات الجسيم، وذلك لتسهيل العمل في فضاء فورييه الأكثر ملاءمة .

نقدم إذن مجموعة من N "الإحداثيات الطبيعية" Q _k ، المعرفة على أنها تحويلات فورييه المنفصلة لـ x s ، و N "الزخم المترافق" Π المعرفة على أنها تحويلات فورييه لـ p s ، $${\displaystyle Q_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}}$$$${\displaystyle \Pi _{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}\,.}$$

ستكون الكمية k _n هي العدد الموجي للفونون، أي 2π مقسومًا على الطول الموجي . وهي تأخذ قيمًا كمية، لأن عدد الذرات محدود.

يحافظ هذا على علاقات التبادل المطلوبة إما في الفضاء الحقيقي أو في فضاء متجه الموجة

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={1 \over N}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}[x_{l},p_{m}]\\&={i\hbar \over N}\sum _{m}e^{iam(k-k')}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0~.\end{aligned}}}$$

من النتيجة العامة $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={1 \over N}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}~,\end{aligned}}}$$ من السهل إثبات، من خلال حساب المثلثات الأساسي، أن حد طاقة الوضع هو $${\displaystyle {\begin{aligned}{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}&={1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}\left(2-e^{ika}-e^{-ika}\right)\\&={1 \over 2}m\sum _{k}{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}~,\end{aligned}}}$$ أين $${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}~.}$$

يمكن كتابة الهاميلتوني في فضاء متجه الموجة على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {H} ={1 \over {2m}}\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k}}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)~.}$$

لاحظ أن اقترانات متغيرات الموضع قد تم تحويلها بعيدًا؛ إذا كانت Q s و Π s هيرميتية (وهي ليست كذلك)، فإن الهاميلتوني المحول سيصف N من المذبذبات التوافقية غير المقترنة .

يعتمد شكل التكميم على اختيار الشروط الحدية؛ ولتبسيط الأمر، نفرض شروطًا حدية دورية ، مع تعريف الذرة ( N + 1) على أنها مكافئة للذرة الأولى. فيزيائيًا، يتوافق هذا مع وصل السلسلة من طرفيها. والتكميم الناتج هو

$${\displaystyle k=k_{n}={2n\pi \over Na}\quad {\hbox{for}}\ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm {N \over 2}.}$$

يأتي الحد الأعلى لـ n من الحد الأدنى للطول الموجي، وهو ضعف المسافة بين الشبكات a ، كما نوقش أعلاه.

القيم الذاتية للمذبذب التوافقي أو مستويات الطاقة للنمط ω _k هي $${\displaystyle E_{n}=\left({1 \over 2}+n\right)\hbar \omega _{k}\quad {\hbox{for}}\quad n=0,1,2,3,\ldots }$$

إذا تجاهلنا طاقة النقطة الصفرية ، فإن المستويات تكون متباعدة بانتظام عند $${\displaystyle 0,\ \hbar \omega ,\ 2\hbar \omega ,\ 3\hbar \omega ,\ \cdots }$$

لذا ، يجب تزويد شبكة المذبذب التوافقي بكمية محددة من الطاقة ħω لدفعها إلى مستوى الطاقة التالي. قياسًا على حالة الفوتون عندما يكون المجال الكهرومغناطيسي مُكمّمًا، يُطلق على كمّ الطاقة الاهتزازية اسم فونون .

تُظهر جميع الأنظمة الكمومية خصائص موجية وخصائص جسيمية. ويمكن فهم الخصائص الجسيمية للفونون على أفضل وجه باستخدام طرق التكميم الثاني وتقنيات المؤثرات الموصوفة في مكان آخر. ^{[ 23 ]}

في حالة التقارب المستمر ، a → 0 و N → ∞ ، بينما تبقى Na ثابتة. تتحول الإحداثيات الكنسية Q _k إلى أنماط الزخم المنفصلة لحقل قياسي.${\displaystyle \phi _{k}}$بينما يصبح مؤشر الموقع i ( وليس متغير الإزاحة الديناميكي ) هو وسيط المعلمة x للحقل القياسي،${\displaystyle \phi (x,t)}$.

• تُعدّ اهتزازات الجزيء ثنائي الذرة مثالاً على نموذج ثنائي الجسم للمذبذب التوافقي الكمومي. في هذه الحالة، يُعطى التردد الزاوي بالعلاقة التالية:$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{\mu }}}}$$أين${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$الكتلة المختزلة و${\displaystyle m_{1}}$و${\displaystyle m_{2}}$^{[ 24 ]} هما كتل الذرتين.
• نمذجة الفونونات، كما نوقش أعلاه.
• رسوم${\displaystyle q}$مع الكتلة${\displaystyle m}$في مجال مغناطيسي منتظم${\displaystyle \mathbf {B} }$يُعد مثالاً على المذبذب التوافقي الكمي أحادي البعد: تكميم لاندو .
• يُقارب نموذج المذبذب التوافقي الجهد بين النوى لجزيء ثنائي الذرات، حيث تشبه الحالات الاهتزازية المنخفضة النموذج بشكل كبير، بينما تنحرف الحالات الأعلى بسبب اللا توافقية. ^{[ 11 ]}

• ذرة هوك هي نموذج بسيط لذرة الهيليوم باستخدام المذبذب التوافقي الكمي.
• يُمثل قانون هوك نموذجاً لكتلة تتحرك على نابض حيث تتناسب القوة المؤثرة على الكتلة طردياً مع إزاحتها. ^{[ 11 ]}
• يمكن اشتقاق الحل العام لكتلة على نابض من هذا الافتراض. ^{[ 11 ]}
• تصل إزاحة الكتلة إلى أقصى حد وأدنى حد عند A و -A حيث تسمى A السعة.
• يُعتبر هذا النظام نظامًا محافظًا حيث تظل الطاقة الكلية دون تغيير ويتم إعادة توزيعها باستمرار بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة.

تمت دراسة المذبذب التوافقي المعكوس بالتفصيل من قبل جي. بارتون. ^{[ 25 ]} انظر أيضًا إتش جيه دبليو مولر-كيرستن ^{[ 26 ]} وسي. يوس، إيه. كيلين وإيه. كوروه. ^{[ 27 ]}

دراسة المذبذب التوافقي، على سبيل المثال، من منظور الطاقة${\displaystyle E={\mathbf {p}}^{2}/2m+m\omega ^{2}q^{2}/2}$قياسًا على اشتقاق معادلة ديراك - إن صح التعبير من "الجذر التربيعي" للمعادلة${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }+m^{2}=0}$– تم استكشافها بواسطة لوريلا م. جونز. ^{[ 28 ]}