متجه الموجة

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 33 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء ، يُعرف متجه الموجة بأنه متجه يُستخدم لوصف الموجة ، ووحدته النموذجية هي دورة لكل متر. له مقدار واتجاه . مقداره هو العدد الموجي للموجة (يتناسب عكسيًا مع الطول الموجي )، واتجاهه عمودي على جبهة الموجة . في الأوساط المتجانسة، يكون هذا الاتجاه هو اتجاه انتشار الموجة أيضًا .

يُعدّ متجه الموجة الزاوي (أو متجه الموجة الزاوي ) متجهًا وثيق الصلة ، ووحدته النموذجية هي الراديان لكل متر. ويرتبط متجه الموجة ومتجه الموجة الزاوي بثابت تناسب ثابت، وهو 2π راديان  لكل دورة.

يشيع في العديد من مجالات الفيزياء الإشارة إلى متجه الموجة الزاوي ببساطة باسم متجه الموجة ، على عكس علم البلورات على سبيل المثال . [ 1 ] [ 2 ] كما يشيع استخدام الرمز k للدلالة على أي منهما.

في سياق النسبية الخاصة ، يمكن تعريف متجه الموجة الرباعي ، الذي يجمع بين متجه الموجة (الزاوي) والتردد (الزاوي).

تعريف

يمكن قياس الطول الموجي للموجة الجيبية ، λ ، بين أي نقطتين متتاليتين لهما نفس الطور ، مثل بين القمم المتجاورة، أو القيعان، أو نقاط عبور الصفر المتجاورة بنفس اتجاه العبور، كما هو موضح.

للمصطلحين "متجه الموجة" و "متجه الموجة الزاوي" معانٍ مختلفة. هنا، يُرمز لمتجه الموجة بـν~{\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}}والعدد الموجي بواسطةν~=|ν~|{\displaystyle {\tilde {\nu }}=\left|{\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\right|}يُرمز إلى متجه الموجة الزاوي بالرمز k، وإلى عدد الموجة الزاوي بالرمز k = | k | . ويرتبط هذان المتجهان بالعلاقة التالية:ك=2πν~{\displaystyle \mathbf {k} =2\pi {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}}.

تتبع الموجة المتنقلة الجيبية المعادلة

ψ(ر،ت)=أكوس⁡(ك⋅ر-ωت+φ)،{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi ),}

أين:

  • r هو الموضع،
  • لقد حان الوقت،
  • ψ هي دالة لـ r و t تصف الاضطراب الذي يصف الموجة (على سبيل المثال، بالنسبة لموجة المحيط ، ستكون ψ هي الارتفاع الزائد للماء، أو بالنسبة لموجة الصوت ،ستكون ψ هي ضغط الهواء الزائد ).
  • A هي سعة الموجة (أقصى قيمة للتذبذب)،
  • φ هو فرق الطور ،
  • ω هو التردد الزاوي (الزمني) للموجة، ويصف عدد الراديانات التي تقطعها في وحدة الزمن، ويرتبط بالدورة T بالمعادلةω=2πتي،{\displaystyle \omega ={\tfrac {2\pi }{T}},}
  • يمثل k متجه الموجة الزاوي، الذي يصف عدد الراديانات التي تقطعها الموجة لكل وحدة مسافة، ويرتبط بطول الموجة بالمعادلة التالية:|ك|=2πλ.{\displaystyle |\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}.}

المعادلة المكافئة باستخدام متجه الموجة والتردد هي [ 3 ]

ψ(ر،ت)=أكوس⁡(2π(ν~⋅ر-وت)+φ)،{\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),}

أين:

  • و{\displaystyle f}التردد
  • ν~{\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}}هو متجه الموجة

اتجاه متجه الموجة

يجب التمييز بين اتجاه متجه الموجة واتجاه انتشار الموجة . يُشير اتجاه انتشار الموجة إلى اتجاه تدفق طاقة الموجة، وهو الاتجاه الذي تتحرك فيه حزمة موجية صغيرة، أي اتجاه سرعة المجموعة . بالنسبة للموجات الضوئية في الفراغ، يُمثل هذا الاتجاه أيضًا اتجاه متجه بوينتينغ . من ناحية أخرى، يُشير متجه الموجة إلى اتجاه سرعة الطور . بعبارة أخرى، يُشير متجه الموجة إلى الاتجاه العمودي على أسطح الطور الثابت ، والتي تُسمى أيضًا جبهات الموجة .

في وسط متجانس عديم الفقد ، كالهواء، وأي غاز، وأي سائل، والمواد الصلبة غير المتبلورة (كالزجاج )، والبلورات المكعبة ، يكون اتجاه متجه الموجة هو نفسه اتجاه انتشار الموجة. أما إذا كان الوسط غير متجانس، فإن متجه الموجة يشير عمومًا إلى اتجاهات أخرى غير اتجاه انتشار الموجة. ويكون متجه الموجة دائمًا عموديًا على أسطح الطور الثابت.

فعلى سبيل المثال، عندما تنتقل موجة عبر وسط غير متجانس ، مثل موجات الضوء عبر بلورة غير متناظرة أو موجات الصوت عبر صخر رسوبي ، قد لا يشير متجه الموجة بدقة إلى اتجاه انتشار الموجة. [ 4 ] [ 5 ]

في فيزياء الحالة الصلبة

في فيزياء الحالة الصلبة ، يُعرف "متجه الموجة" (أو متجه k ) للإلكترون أو الفجوة في البلورة بأنه متجه موجة دالتها الموجية الكمومية . لا تُعدّ هذه الموجات الإلكترونية موجات جيبية عادية ، ولكنها تمتلك نوعًا من دالة الغلاف الجيبية، ويُحدد متجه الموجة من خلال موجة الغلاف هذه، عادةً باستخدام "التعريف الفيزيائي". راجع نظرية بلوخ لمزيد من التفاصيل. [ 6 ]

في النسبية الخاصة

يمكن اعتبار سطح الموجة المتحركة في النسبية الخاصة سطحًا فائقًا (فضاءً فرعيًا ثلاثي الأبعاد) في الزمكان، يتكون من جميع الأحداث التي يمر بها سطح الموجة. ويمكن اعتبار سلسلة الموجات (المُشار إليها بمتغير X ) عائلةً ذات مُعامل واحد من هذه الأسطح الفائقة في الزمكان. هذا المتغير X هو دالة قياسية للموقع في الزمكان. ومشتق هذه الدالة القياسية هو متجه يُميز الموجة، وهو متجه الموجة الرباعي. [ 7 ]

المتجه الموجي الرباعي هو متجه موجي رباعي يُعرَّف، في إحداثيات مينكوفسكي ، على النحو التالي:

كμ=(ωج،ك→)=(ωج،ωvصن^)=(2πجتي،2πن^λ){\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,}

حيث التردد الزاويωج{\displaystyle {\tfrac {\omega }{c}}}هو المكون الزمني، ومتجه العدد الموجيك→{\displaystyle {\vec {k}}}هو المكون المكاني.

بدلاً من ذلك، يمكن كتابة العدد الموجي k على أنه التردد الزاوي ω مقسومًا على سرعة الطور v p ، أو بدلالة الفترة العكسية T والطول الموجي العكسي λ .

عند كتابتها بشكل صريح، تكون صيغتاها المتغايرة والمتغايرة كما يلي:

كμ=(ωج،كx،كy،كz)كμ=(ωج،-كx،-كy،-كz){\displaystyle {\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}}

بشكل عام، يكون مقدار لورنتز القياسي لمتجه الموجة الرباعي هو:

كμكμ=(ωج)2-كx2-كy2-كz2=(ωoج)2=(مoجℏ)2{\displaystyle K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}}

يكون متجه الموجة الرباعي معدومًا بالنسبة للجسيمات عديمة الكتلة (الفوتونية)، حيث كتلة السكونمo=0{\displaystyle m_{o}=0}

ومن الأمثلة على متجه الموجة الرباعي الصفري شعاع من الضوء المتماسك أحادي اللون ، والذي له سرعة طورية.vص=ج{\displaystyle v_{p}=c}

كμ=(ωج،ك→)=(ωج،ωجن^)=ωج(1،ن^){\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,}{for light-like/null}

والتي ستكون لها العلاقة التالية بين التردد وحجم الجزء المكاني من متجه الموجة الرباعي:

كμكμ=(ωج)2-كx2-كy2-كz2=0{\displaystyle K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0}{for light-like/null}

يرتبط متجه الموجة الرباعي بالزخم الرباعي على النحو التالي:

Pμ=(هـج،ص→)=ℏكμ=ℏ(ωج،ك→){\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}

يرتبط متجه الموجة الرباعية بالتردد الرباعي على النحو التالي:

كμ=(ωج،ك→)=(2πج)شمالμ=(2πج)(ν،νن→){\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)}

يرتبط متجه الموجة الرباعي بالسرعة الرباعية على النحو التالي:

كμ=(ωج،ك→)=(ωoج2)يوμ=(ωoج2)γ(ج،u→){\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)}

تحويل لورنتز

يُعدّ إجراء تحويل لورنتز لمتجه الموجة الرباعية إحدى طرق استنتاج تأثير دوبلر النسبي . تُعرَّف مصفوفة لورنتز على النحو التالي:

Λ=(γ-βγ 0  0 -βγγ0000100001){\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}

في حالة انبعاث الضوء من مصدر سريع الحركة، والرغبة في معرفة تردد الضوء المُكتشف في إطار مرجعي أرضي (مختبري)، نُطبّق تحويل لورنتز كما يلي. لاحظ أن المصدر يقع في إطار مرجعي S <sub>s</sub> ، وأن الأرض تقع في إطار الرصد S <sub>obs</sub> . بتطبيق تحويل لورنتز على متجه الموجة

كsμ=Λνμكoبsν{\displaystyle k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }}

واختيار مجرد النظر إلىμ=0{\displaystyle \mu =0}نتائج المكون

كs0=Λ00كoبs0+Λ10كoبs1+Λ20كoبs2+Λ30كoبs3ωsج=γωoبsج-βγكoبs1=γωoبsج-βγωoبsجكوس⁡θ.{\displaystyle {\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}}

أينكوس⁡θ{\displaystyle \cos \theta }هو جيب تمام الاتجاه لـك1{\displaystyle k^{1}}بالنسبة إلىك0،ك1=ك0كوس⁡θ.{\displaystyle k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .}

لذا

ωoبsωs=1γ(1-βكوس⁡θ){\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}}

ابتعاد المصدر (انزياح نحو الأحمر)

على سبيل المثال، لتطبيق ذلك على حالة يتحرك فيها المصدر بعيدًا عن المراقب (θ=π{\displaystyle \theta =\pi })، يصبح هذا:

ωoبsωs=1γ(1+β)=1-β21+β=(1+β)(1-β)1+β=1-β1+β{\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}

مصدر يتحرك باتجاه (انزياح نحو الأزرق)

ولتطبيق هذا على حالة يتحرك فيها المصدر مباشرة نحو الراصد ( θ = 0 )، يصبح الأمر كالتالي:

ωoبsωs=1γ(1-β)=1-β21-β=(1+β)(1-β)1-β=1+β1-β{\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}}

مصدر يتحرك بشكل مماس (تأثير دوبلر المستعرض)

ولتطبيق هذا على حالة يتحرك فيها المصدر بشكل عرضي بالنسبة للمراقب ( θ = π /2 )، يصبح الأمر كالتالي:

ωoبsωs=1γ(1-0)=1γ{\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ مثال في الفيزياء: هاريس، بينسون، ستوكر (2002). دليل الفيزياء . ص  288. ISBN 978-0-387-95269-7.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  2. ↑ مثال في علم البلورات: فاينشتين (1994). علم البلورات الحديث . ص 259. ISBN  978-3-540-56558-1.
  3. ^ فانشتين، بوريس كونستانتينوفيتش (1994). علم البلورات الحديث . ص. 259. ردمك  978-3-540-56558-1.
  4. ↑ فولز، غرانت (1968). مقدمة في البصريات الحديثة . هولت، راينهارت، ووينستون. ص 177. 
  5. ↑ «شرح موسغريف (1959) هذا التأثير، حيث بيّن أن طاقة الموجة المرنة في وسط غير متجانس الخواص لا تنتقل، بشكل عام، على نفس مسار العمودي على جبهة الموجة المستوية...» الموجات الصوتية في المواد الصلبة ، بولارد، 1977. رابط
  6. ↑ دونالد هـ. مينزل (1960). "§10.5 موجة بلوخ" . الصيغ الأساسية للفيزياء، المجلد 2 (إعادة طبع من برنتيس هول 1955، الطبعة الثانية). كوريير-دوفر. ص 624. ISBN   978-0486605968.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  7. ↑ فولفغانغ ريندلير (1991). "الفقرة 24: الحركة الموجية". مقدمة في النسبية الخاصة ( الطبعة الثانية). منشورات أكسفورد للعلوم. الصفحات 60-65 . ISBN   978-0-19-853952-0.

للمزيد من القراءة

  • براو، تشارلز أ. (2004). المشكلات الحديثة في الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-514665-3.