موجة جيبية

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة
رسم المركبة الصادية لدائرة أثناء الدوران حولها ينتج عنه موجة جيبية (باللون الأحمر). ورسم المركبة السينية ينتج عنه موجة جيب تمام (باللون الأزرق). كلتا الموجتين موجتان جيبيتان لهما نفس التردد ولكن بأطوار مختلفة.

الموجة الجيبية ( رمزها: ∿ ) هي موجة دورية يكون شكلها دالة الجيب المثلثية . في الميكانيكا ، تُعرف هذه الموجة ، كحركة خطية مع الزمن، بالحركة التوافقية البسيطة ؛ أما كحركة دورانية ، فتُعرف بالحركة الدائرية المنتظمة . تكثر الموجات الجيبية في الفيزياء ، بما في ذلك موجات الرياح ، والموجات الصوتية ، وموجات الضوء ، مثل الإشعاع أحادي اللون . في الهندسة ، ومعالجة الإشارات ، والرياضيات ، يُحلل تحليل فورييه الدوال العامة إلى مجموع موجات جيبية ذات ترددات وأطوار ومقادير نسبية مختلفة.

عند دمج موجتين جيبيتين لهما نفس التردد (ولكن بطور عشوائي ) خطيًا ، ينتج عن ذلك موجة جيبية أخرى بنفس التردد؛ وهذه الخاصية فريدة بين الموجات الدورية. وبالمقابل، إذا تم اختيار طور معين كمرجع صفري، يمكن كتابة موجة جيبية ذات طور عشوائي كتركيبة خطية لموجتين جيبيتين بطورين صفري وربع دورة، وهما مركبتي الجيب وجيب التمام على التوالي.

مثال صوتي

تمثل الموجة الجيبية ترددًا واحدًا بدون توافقيات ، وتُعتبر نغمة نقية صوتيًا . ينتج عن جمع موجات جيبية بترددات مختلفة شكل موجي مختلف. وجود التوافقيات الأعلى بالإضافة إلى التردد الأساسي يُسبب اختلافًا في جرس الصوت ، وهذا هو السبب في أن نفس النغمة الموسيقية التي تُعزف على آلات موسيقية مختلفة تبدو مختلفة.

شكل جيبي

تسمى الموجات الجيبية ذات الطور والسعة العشوائية بالموجات الجيبية ولها الشكل العام: [ 1 ]y(ت)=أالخطيئة⁡(ωت+φ)=أالخطيئة⁡(2πوت+φ){\displaystyle y(t)=A\sin(\omega t+\varphi )=A\sin(2\pi ft+\varphi )}[ 2 ] حيث:

  • أ{\displaystyle A}، السعة ، أقصى انحراف للدالة عن الصفر.
  • ت{\displaystyle t}، المتغير المستقل الحقيقي ، والذي يمثل عادةً الوقت بالثواني .
  • ω{\displaystyle \omega }، التردد الزاوي ، معدل تغير وسيط الدالة بوحدات الراديان في الثانية .
  • و{\displaystyle f}التردد العادي ، عدد التذبذبات ( الدورات ) التي تحدث في كل ثانية من الزمن .
  • φ{\displaystyle \varphi }، الطور ، يحدد ( بالراديان ) أين يكون التذبذب في دورته عند t = 0.
    • متىφ{\displaystyle \varphi }إذا كانت القيمة غير صفرية، فسيظهر شكل الموجة بأكمله وكأنه قد تم إزاحته للخلف في الزمن بمقدارφω{\displaystyle {\tfrac {\varphi }{\omega }}}ثوانٍ. القيمة السالبة تمثل تأخيرًا، والقيمة الموجبة تمثل تقدمًا.
    • الجمع أو الطرح2π{\displaystyle 2\pi }(دورة واحدة) إلى الطور ينتج عنه موجة مكافئة.

كدالة لكل من الموقع والوقت

إن إزاحة نظام كتلة-نابض غير مخمد يتذبذب حول نقطة التوازن بمرور الوقت هي موجة جيبية.

تتميز الموجات الجيبية الموجودة في كل من الموضع والزمن بما يلي:

  • متغير مكانيx{\displaystyle x}وهذا يمثل الموضع على البعد الذي تنتشر فيه الموجة.
  • رقم الموجة ( أو رقم الموجة الزاوي)ك{\displaystyle k}، وهو ما يمثل التناسب بين التردد الزاويω{\displaystyle \omega }والسرعة الخطية ( سرعة الانتشار )v{\displaystyle v}:
    • يرتبط العدد الموجي بالتردد الزاوي من خلالك=ωv=2πوv=2πλ{\textstyle k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v}}{=}{\frac {2\pi }{\lambda }}}أينλ{\displaystyle \lambda }( λ ) هو الطول الموجي .

وبحسب اتجاه سفرهم، يمكن أن يتخذوا الشكل التالي:

  • y(x،ت)=أالخطيئة⁡(كx-ωت+φ){\displaystyle y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )}إذا كانت الموجة تتحرك إلى اليمين، أو
  • y(x،ت)=أالخطيئة⁡(كx+ωت+φ){\displaystyle y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )}، إذا كانت الموجة تتحرك إلى اليسار.

بما أن الموجات الجيبية تنتشر دون تغيير شكلها في الأنظمة الخطية الموزعة ، فإنها تستخدم غالبًا لتحليل انتشار الموجات .

الموجات الثابتة

عندما تتراكب موجتان لهما نفس السعة والتردد وتتحركان في اتجاهين متعاكسين ، فإن نمط الموجة المستقرة يتكون.

على وترٍ يُعزف عليه، تكون الموجات المتراكبة هي الموجات المنعكسة من طرفي الوتر الثابتين. ترددات الرنين للوتر هي الموجات المستقرة الوحيدة الممكنة، والتي لا تحدث إلا لأطوال موجية تساوي ضعف طول الوتر (الموافق للتردد الأساسي ) ومضاعفات صحيحة له (الموافقة للتوافقيات الأعلى).

أبعاد مكانية متعددة

المعادلة السابقة تعطي الإزاحةy{\displaystyle y}الموجة في موضعx{\displaystyle x}في ذلك الوقتت{\displaystyle t}على طول خط واحد. يمكن اعتبار هذا، على سبيل المثال، قيمة موجة على طول سلك.

في بعدين أو ثلاثة أبعاد مكانية، تصف المعادلة نفسها موجة مستوية متحركة إذا كان الموضعx{\displaystyle x}والعدد الموجيك{\displaystyle k} are interpreted as vectors, and their product as a dot product. For more complex waves such as the height of a water wave in a pond after a stone has been dropped in, more complex equations are needed.

Sinusoidal plane wave

In physics, a sinusoidal plane wave is a special case of plane wave: a field whose value varies as a sinusoidal function of time and of the distance from some fixed plane. It is also called a monochromatic plane wave, with constant frequency (as in monochromatic radiation).

Fourier analysis

French mathematician Joseph Fourier discovered that sinusoidal waves can be summed as simple building blocks to approximate any periodic waveform, including square waves. These Fourier series are frequently used in signal processing and the statistical analysis of time series. The Fourier transform then extended Fourier series to handle general functions, and birthed the field of Fourier analysis.

Differentiation and integration

Differentiation

Differentiating any sinusoid with respect to time can be viewed as multiplying its amplitude by its angular frequency and advancing it by a quarter cycle:

ddt[Asin⁡(ωt+φ)]=Aωcos⁡(ωt+φ)=Aωsin⁡(ωt+φ+π2).{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi )]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi )\\&=A\omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,.\end{aligned}}}

A differentiator has a zero at the origin of the complex frequency plane. The gain of its frequency response increases at a rate of +20 dB per decade of frequency (for root-power quantities), the same positive slope as a 1st order high-pass filter's stopband, although a differentiator does not have a cutoff frequency or a flat passband. A nth-order high-pass filter approximately applies the nth time derivative of signals whose frequency band is significantly lower than the filter's cutoff frequency.

Integration

Integrating any sinusoid with respect to time can be viewed as dividing its amplitude by its angular frequency and delaying it a quarter cycle:

∫Asin⁡(ωt+φ)dt=−Aωcos⁡(ωt+φ)+C=−Aωsin⁡(ωt+φ+π2)+C=Aωsin⁡(ωt+φ−π2)+C.{\displaystyle {\begin{aligned}\int A\sin(\omega t+\varphi )dt&=-{\frac {A}{\omega }}\cos(\omega t+\varphi )+C\\&=-{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})+C\\&={\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}})+C\,.\end{aligned}}}

The constant of integrationC{\displaystyle C} will be zero if the bounds of integration is an integer multiple of the sinusoid's period.

يحتوي المُكامل على قطب عند نقطة الأصل في مستوى التردد المركب. يتناقص كسب استجابته الترددية بمعدل -20 ديسيبل لكل عقد من التردد (للكميات ذات القدرة الجذرية)، وهو نفس الميل السالب لنطاق إيقاف مرشح التمرير المنخفض من الرتبة الأولى ، على الرغم من أن المُكامل لا يمتلك تردد قطع أو نطاق تمرير مسطح. يقوم مرشح التمرير المنخفض من الرتبة n تقريبًا بإجراء التكامل الزمني من الرتبة n للإشارات التي يكون نطاق ترددها أعلى بكثير من تردد قطع المرشح. 

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ سميث، جوليوس أوريون. "الموجات الجيبية" . ccrma.stanford.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-01-05 .
  2. ↑ "1.2: الموجات الجيبية" . نصوص الفيزياء الحرة . 2021-02-21 . تم الاسترجاع في 2026-03-16 .