التركيبة الخطية

في الرياضيات ، يُعرف التركيب الخطي أو التراكب بأنه تعبير رياضي يُنشأ من مجموعة من الحدود بضرب كل حد في ثابت وجمع النتائج (على سبيل المثال، التركيب الخطي لـ x و y هو أي تعبير على الصورة ax + by ، حيث a و b ثابتان). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} يُعد مفهوم التركيب الخطي أساسيًا في الجبر الخطي وفروع الرياضيات ذات الصلة. يتناول معظم هذا المقال التركيب الخطي في سياق فضاء متجهي على حقل ، مع بعض التعميمات الواردة في نهاية المقال.

ليكن V فضاءً متجهيًا على الحقل K. وكما هو معتاد، نسمي عناصر V متجهات ، وعناصر K أعدادًا قياسية . إذا كانت _v₁ , ..., vₙ _{متجهات ،} و a₁ , ..., aₙ أعدادًا _قياسية ، فإن التركيبة الخطية لهذه المتجهات مع هذه الأعداد القياسية كمعاملات هي

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+a_{3}\mathbf {v} _{3}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}.}$

يوجد بعض الغموض في استخدام مصطلح "التركيبة الخطية" فيما يتعلق بما إذا كان يشير إلى التعبير أو إلى قيمته. في معظم الحالات، يُركز على القيمة، كما في العبارة "مجموعة جميع التركيبات الخطية لـ _v1 ، ...، vn تُشكل دائمًا فضاءً جزئيًا". مع ذلك، يمكن أيضًا القول "يمكن لتركيبتين خطيتين مختلفتين أن تكون لهما القيمة نفسها"، وفي هذه الحالة يكون المرجع هو التعبير. يكمن الفرق الدقيق بين هذين الاستخدامين في جوهر مفهوم _{التبعية} الخطية : تكون عائلة F من المتجهات مستقلة خطيًا إذا كانت أي تركيبة خطية للمتجهات في F (كقيمة) مستقلة خطيًا بشكل فريد (كتعبير). على أي حال، حتى عند النظر إليها كتعبيرات، فإن كل ما يهم في التركيبة الخطية هو معامل كل متجه _v1 ؛ فالتعديلات البسيطة مثل تبديل الحدود أو إضافة حدود ذات معامل صفري لا تُنتج تركيبات خطية متميزة.

في حالة معينة، قد تُحدد K و V صراحةً، أو قد تكونان واضحتين من السياق. في هذه الحالة، نتحدث غالبًا عن توليفة خطية للمتجهات v₁ _, ..., vₙ _، مع عدم تحديد المعاملات (باستثناء أنها يجب أن تنتمي إلى K ). أو، إذا كانت S مجموعة جزئية من V ، فيمكننا الحديث عن توليفة خطية لمتجهات في S ، حيث تكون كل من المعاملات والمتجهات غير محددة، باستثناء أن المتجهات يجب أن تنتمي إلى المجموعة S (وأن المعاملات يجب أن تنتمي إلى K ). أخيرًا، يمكننا ببساطة الحديث عن توليفة خطية ، حيث لا يُحدد أي شيء (باستثناء أن المتجهات يجب أن تنتمي إلى V والمعاملات يجب أن تنتمي إلى K )؛ في هذه الحالة، يُشار على الأرجح إلى التعبير ، لأن كل متجه في V هو بالتأكيد قيمة توليفة خطية ما.

لاحظ أنه بحسب التعريف، لا يتضمن التركيب الخطي إلا عددًا محدودًا من المتجهات، باستثناء ما هو موضح في قسم التعميمات  . مع ذلك، يمكن أن تكون المجموعة S التي تُختار منها المتجهات (إن ذُكرت) غير محدودة ؛ فكل تركيب خطي على حدة لا يتضمن إلا عددًا محدودًا من المتجهات. كذلك، لا يوجد ما يمنع أن يكون n مساويًا للصفر ؛ في هذه الحالة، نُعلن اصطلاحًا أن نتيجة التركيب الخطي هي المتجه الصفري في V.

لنأخذ حقلاً عشوائياً K ، وفضاءً متجهياً عشوائياً V ، ولتكن v₁ _, ..., vₙ متجهات (في _V ). من المثير للاهتمام دراسة مجموعة جميع التراكيب الخطية لهذه المتجهات. تُسمى هذه المجموعة بالامتداد الخطي (أو ببساطة الامتداد ) للمتجهات، ولنقل S = { v₁ , ..., _vₙ } _. نكتب امتداد S على النحو التالي: span( S ) ^{[ 4 ] [ 5 ]} أو sp( S ).

${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.}$

لنفترض أنه بالنسبة لبعض مجموعات المتجهات v ₁ ,..., v _n ، يمكن كتابة متجه واحد بطريقتين مختلفتين كتركيبة خطية منها:

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}b_{i}\mathbf {v} _{i}{\text{ حيث }}a_{i}\neq b_{i}.}$

وهذا مكافئ، عن طريق طرح هذه (${\displaystyle c_{i}:=a_{i}-b_{i}}$), إلى القول بأن التركيبة غير التافهة تساوي صفرًا: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \mathbf {0} =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

إذا كان ذلك ممكناً، فإن _{المتجهات} v1 ، ...، _vn تُسمى متجهات مرتبطة خطياً ؛ وإلا فهي متجهات مستقلة خطياً . وبالمثل، يمكننا الحديث عن الارتباط الخطي أو الاستقلال الخطي لمجموعة S من المتجهات.

إذا كانت S مستقلة خطيًا وكان مدى S يساوي V ، فإن S هي أساس لـ V.

من خلال تقييد المعاملات المستخدمة في التركيبات الخطية، يمكن للمرء أن يحدد المفاهيم ذات الصلة بالتركيبة الأفينية ، والتركيبة المخروطية ، والتركيبة المحدبة ، والمفاهيم المرتبطة بالمجموعات المغلقة تحت هذه العمليات.

نوع التركيبة	القيود المفروضة على المعاملات	اسم المجموعة	مساحة النموذج
التركيبة الخطية	لا توجد قيود	الفضاء الفرعي المتجهي	${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$
التركيب الأفيني	${\textstyle \sum a_{i}=1}$	الفضاء الجزئي الأفيني	المستوى الفائق الأفيني
تركيبة مخروطية	${\displaystyle a_{i}\geq 0}$	المخروط المحدب	رباعي أو ثماني أو أورثنت
التركيب المحدب	${\displaystyle a_{i}\geq 0}$و${\textstyle \sum a_{i}=1}$	مجموعة محدبة	سيمبلكس

لأن هذه عمليات أكثر تقييدًا ، فإن المزيد من المجموعات الفرعية ستكون مغلقة تحتها، لذا فإن المجموعات الفرعية الأفينية والمخاريط المحدبة والمجموعات المحدبة هي تعميمات للفضاءات الفرعية المتجهة: الفضاء الفرعي المتجه هو أيضًا فضاء فرعي أفيني ومخروط محدب ومجموعة محدبة، ولكن المجموعة المحدبة لا يلزم أن تكون فضاءً فرعيًا متجهًا أو أفينيًا أو مخروطًا محدبًا.

غالباً ما تنشأ هذه المفاهيم عندما يمكن للمرء أن يأخذ تركيبات خطية معينة من الأشياء، ولكن ليس أي منها: على سبيل المثال، تكون التوزيعات الاحتمالية مغلقة تحت التركيب المحدب (فهي تشكل مجموعة محدبة)، ولكن ليس تحت التركيب المخروطي أو الأفيني (أو الخطي)، وتكون المقاييس الموجبة مغلقة تحت التركيب المخروطي ولكن ليس تحت التركيب الأفيني أو الخطي - ومن ثم يتم تعريف المقاييس الموقعة على أنها الإغلاق الخطي.

يمكن تعريف التركيبات الخطية والخطية على أي حقل (أو حلقة)، لكن التركيبات المخروطية والمحدبة تتطلب مفهوم "الإيجابي"، وبالتالي لا يمكن تعريفها إلا على حقل مرتب (أو حلقة مرتبة )، وعادة ما تكون الأعداد الحقيقية.

إذا سمح المرء فقط بالضرب القياسي ، وليس الجمع، فسيحصل على مخروط (ليس بالضرورة محدبًا) ؛ وغالبًا ما يقيد المرء التعريف بالسماح فقط بالضرب بالكميات القياسية الموجبة.

عادة ما يتم تعريف كل هذه المفاهيم على أنها مجموعات فرعية من فضاء متجه محيط (باستثناء الفضاءات الأفينية، والتي تعتبر أيضًا "فضاءات متجهة تنسى الأصل")، بدلاً من أن يتم وضعها بشكل مستقل.

بصورة أكثر تجريدًا، بلغة نظرية المؤثرات ، يمكن اعتبار الفضاءات المتجهة بمثابة جبر فوق المؤثرات${\displaystyle \mathbf {R} ^{\infty }}$( المجموع المباشر اللانهائي ، لذا فإن عددًا محدودًا فقط من الحدود غير صفري؛ وهذا يتوافق مع أخذ مجاميع محدودة فقط)، والذي يُعطي معلمات للتركيبات الخطية: المتجه${\displaystyle (2,3,-5,0,\dots )}$على سبيل المثال، يتوافق مع التركيبة الخطية${\displaystyle 2\mathbf {v} _{1}+3\mathbf {v} _{2}-5\mathbf {v} _{3}+0\mathbf {v} _{4}+\cdots }$وبالمثل، يمكن اعتبار التراكيب الأفينية، والتراكيب المخروطية، والتراكيب المحدبة بمثابة مقاييس فرعية حيث يكون مجموع الحدود مساويًا لـ 1، أو تكون جميع الحدود غير سالبة، أو كليهما، على التوالي. بيانيًا، تمثل هذه المقاييس المستوى الفائق الأفيني اللانهائي، والثماني الفائق اللانهائي، والمجسم البسيط اللانهائي. وهذا يوضح المقصود بـ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$كونها أو المجسم البسيط القياسي، كونها فضاءات نموذجية، وملاحظات مثل أن كل متعدد سطوح محدب محدود هو صورة لمجسم بسيط. هنا، تتوافق العمليات الفرعية مع عمليات أكثر تقييدًا وبالتالي نظريات أكثر عمومية.

من وجهة النظر هذه، يمكننا أن نفكر في التركيبات الخطية على أنها أكثر أنواع العمليات عمومية على الفضاء المتجهي - إن القول بأن الفضاء المتجهي هو جبر على مجموعة التركيبات الخطية هو بالضبط البيان بأن جميع العمليات الجبرية الممكنة في الفضاء المتجهي هي تركيبات خطية.

لا يمكن الجمع بين العمليات الأساسية للجمع والضرب القياسي، بالإضافة إلى وجود عنصر محايد جمعي ومعكوسات جمعية، بطريقة أكثر تعقيدًا من التركيبة الخطية العامة: فالعمليات الأساسية هي مجموعة مولدة لجميع التركيبات الخطية.

في نهاية المطاف، تكمن هذه الحقيقة في صميم فائدة التركيبات الخطية في دراسة الفضاءات المتجهة.

إذا كان V فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا ، فقد يكون من الممكن فهم بعض التراكيب الخطية اللانهائية باستخدام طوبولوجيا V. على سبيل المثال، قد نتمكن من الحديث عن a₁v₁ ₊ a₂v₂ _{+ a₃v₃} + ... ، وهكذا إلى _ما لا نهاية. لا _تكون هذه التراكيب الخطية اللانهائية منطقية دائمًا؛ ونسميها متقاربة عندما تكون كذلك. كما _{أن السماح بمزيد} من التراكيب الخطية في هذه الحالة قد يؤدي إلى مفهوم مختلف للمدى، والاستقلال الخطي، والأساس. تتناول المقالات المتعلقة بأنواع الفضاءات المتجهة الطوبولوجية المختلفة هذه المفاهيم بمزيد من التفصيل.    

إذا كانت K حلقة تبديلية بدلًا من حقل، فإن كل ما ذُكر أعلاه حول التراكيب الخطية ينطبق على هذه الحالة دون تغيير. الفرق الوحيد هو أننا نسمي فضاءات كهذه V وحدات بدلًا من فضاءات متجهة. أما إذا كانت K حلقة غير تبديلية ، فإن المفهوم ينطبق أيضًا، مع ملاحظة واحدة: بما أن الوحدات على الحلقات غير التبديلية تأتي بنسختين: يمينية ويسارية، فإن تراكيبنا الخطية قد تأتي أيضًا بأي من هاتين النسختين، أيهما مناسب للوحدة المعطاة. وهذا ببساطة يتعلق بإجراء عملية ضرب قياسي على الجانب الصحيح.

يصبح الأمر أكثر تعقيدًا عندما تكون V وحدة ثنائية على حلقتين، KL و KR _. في هذه الحالة، يبدو التركيب الخطي الأكثر عمومية كما يلي _:

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}b_{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}b_{n}}$

حيث ينتمي a ₁ ,..., a _n إلى K _L ، و b ₁ ,..., b _n إلى K _R ، و v ₁ ,..., v _n إلى V .

• المجموع المرجح

• أكسلر، شيلدون جاي (2015). الجبر الخطي بأسلوب صحيح . نصوص جامعية في الرياضيات (  الطبعة الثالثة). سبرينغر . doi : 10.1007/978-3-319-11080-6 . ISBN 978-3-319-11079-0.
• كاتسنلسون, اسحق ; كاتسنلسون، يوناتان ر. (2008). (مقتضب) مقدمة في الجبر الخطي . جمعية الرياضيات الأمريكية . رقم ISBN 978-0-8218-4419-9.
• لاي، ديفيد سي؛ لاي، ستيفن آر؛ ماكدونالد، جودي جيه (2016). الجبر الخطي وتطبيقاته (  الطبعة الخامسة). بيرسون. ISBN 978-0-321-98238-4.
• سترانج، جيلبرت (2016). مقدمة في الجبر الخطي (  الطبعة الخامسة). مطبعة ويليسلي كامبريدج. رقم ISBN 978-0-9802327-7-6.

• التركيبات الخطية والمدى: فهم التركيبات الخطية ومدى المتجهات ، khanacademy.org.