وحدة تخيلية

بما أن المعادلة x² = -1 كثيرة حدود من الدرجة الثانية ليس لها جذور متعددة ، ^فإن لها حلين مختلفين، وهما صحيحان بنفس القدر، وهما معكوسان جمعي وضربي لبعضهما البعض. على الرغم من أن الحلين عددان مختلفان، إلا أن خصائصهما متطابقة؛ فلا توجد خاصية يمتلكها أحدهما دون الآخر. يُرمز لأحد هذين الحلين بـ + i (أو ببساطة i ) وللآخر بـ -i ، مع أن التمييز بينهما يبقى غامضًا بطبيعته.

الاختلافات الوحيدة بين + i و −i تنشأ من هذه التسمية. على سبيل المثال، يُقال اصطلاحًا أن + i له وسيط من${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$ويُقال أن للعدد -i وسيطًا من${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}},}$يتعلق هذا باصطلاح تسمية الاتجاهات في المستوى الديكارتي بالنسبة للمحور السيني الموجب ، حيث تدور الزوايا الموجبة عكس اتجاه عقارب الساعة في اتجاه المحور الصادي الموجب . كذلك، وبالرغم من الإشارات المكتوبة معها، فإنّ كلاً من + i و- i ليس موجبًا أو سالبًا في جوهره بالمعنى الذي تكون عليه الأعداد الحقيقية. ^{[ 5 ]}

يُمكن التعبير عن عدم التمييز بين + i و −i بصورة أكثر رسمية ، وهي أنه على الرغم من أن الحقل المركب فريد (كامتداد للأعداد الحقيقية) حتى التشاكل ، إلا أنه ليس فريدًا حتى تشاكل وحيد . أي أن هناك تشاكلين ذاتيين للحقل للأعداد المركبة .${\displaystyle \mathbb {C} }$التي تُبقي كل عدد حقيقي ثابتًا، أي العنصر المحايد والمرافق المركب . لمزيد من المعلومات حول هذه الظاهرة العامة، انظر زمرة غالوا .

باستخدام مفاهيم المصفوفات وضرب المصفوفات ، يمكن تمثيل الأعداد المركبة في الجبر الخطي. يمكن تمثيل الوحدة الحقيقية 1 والوحدة التخيلية i بأي زوج من المصفوفات I و J بحيث تحقق الشروط التالية: ^I² = I ، IJ = JI = J ، و J² = -I . بالتالي ^، يمكن تمثيل العدد المركب a + bi بالمصفوفة aI + bJ ، ويمكن اشتقاق جميع قواعد الحساب المركب المعتادة من قواعد حساب المصفوفات.

الخيار الأكثر شيوعًا هو تمثيل 1 و i بواسطة مصفوفة الوحدة I من الرتبة 2 × 2 والمصفوفة J ،

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

إذن ، يمكن تمثيل أي عدد مركب a + bi بالصيغة التالية:

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

بشكل عام، يمكن اختيار أي مصفوفة حقيقية القيم من الرتبة 2 × 2 ذات أثر يساوي صفرًا ومحدد يساوي واحدًا لتربيع − I ، لذلك يمكن اختيارها لـ J. ويمكن أيضًا استخدام مصفوفات أكبر؛ على سبيل المثال، يمكن تمثيل 1 بواسطة مصفوفة الوحدة 4 × 4 ويمكن تمثيل i بواسطة أي من مصفوفات ديراك للأبعاد المكانية.

تُعدّ كثيرات الحدود (مجموعات مرجّحة لقوى متغير) أداة أساسية في الجبر. وتشكل كثيرات الحدود التي تكون معاملاتها أعدادًا حقيقية حلقةً يُرمز لها بـ${\displaystyle \mathbb {R} [x],}$بنية جبرية تتضمن الجمع والضرب وتشترك في العديد من الخصائص مع حلقة الأعداد الصحيحة .

متعددة الحدود${\displaystyle x^{2}+1}$ليس لها جذور أعداد حقيقية ، ولكن مجموعة جميع كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية القابلة للقسمة على${\displaystyle x^{2}+1}$يشكل مثالياً ، وبالتالي توجد حلقة خارج القسمة${\displaystyle \mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle .}$هذه الحلقة الخارجية متماثلة مع الأعداد المركبة، والمتغير${\displaystyle x}$يعبر عن الوحدة التخيلية.

يمكن تمثيل الأعداد المركبة بيانيًا برسم خط الأعداد الحقيقية كمحور أفقي والأعداد التخيلية كمحور رأسي في مستوى ديكارتي يُسمى المستوى المركب . في هذا التمثيل، يقع العددان 1 و i على نفس المسافة من الصفر ، مع وجود زاوية قائمة بينهما. تُقابل عملية الجمع بعدد مركب إزاحةً في المستوى، بينما تُقابل عملية الضرب بعدد مركب ذي قيمة تساوي واحدًا دورانًا حول نقطة الأصل. يمكن تمثيل كل تحويل تشابهي للمستوى بدالة خطية مركبة.${\displaystyle z\mapsto az+b.}$

في الجبر الهندسي للمستوى الإقليدي ، يكون حاصل الضرب الهندسي أو خارج قسمة متجهين عشوائيين مجموع جزء قياسي (عدد حقيقي) وجزء ثنائي الاتجاه . (الكمية القياسية هي كمية بلا اتجاه، والمتجه كمية موجهة كخط مستقيم، وثنائي الاتجاه كمية موجهة كمستوى). مربع أي متجه هو كمية قياسية موجبة، تمثل مربع طوله، بينما مربع أي ثنائي اتجاه هو كمية قياسية سالبة.

ناتج قسمة متجه على نفسه هو العدد القياسي 1 = u / u ، وعند ضربه بأي متجه لا يتغير ( تحويل الوحدة ). ناتج قسمة أي متجهين متعامدين لهما نفس المقدار، J = u / v ، والذي عند ضربه يدير المقسوم عليه ربع دورة ليصبح المقسوم، Jv = u ، هو متجه ثنائي الوحدة مربعه يساوي -1 ، وبالتالي يمكن اعتباره ممثلاً للوحدة التخيلية. يمكن ضرب أي مجموع عدد قياسي ومتجه ثنائي في متجه لتغيير حجمه وتدويره، وجبر هذه المجاميع متماثل مع جبر الأعداد المركبة. وفقًا لهذا التفسير، تُعد النقاط والمتجهات ومجاميع الأعداد القياسية والمتجهات الثنائية أنواعًا متميزة من الكائنات الهندسية. ^{[ 6 ]}

وبشكل أكثر عمومية، في الجبر الهندسي لأي فضاء إقليدي ذي أبعاد أعلى ، فإن متجه الوحدة الثنائي لأي اتجاه مستوٍ عشوائي مربع يساوي -1 ، لذلك يمكن اعتباره ممثلاً للوحدة التخيلية i .

عند إضافة أو طرح الوحدة التخيلية بشكل متكرر، تكون النتيجة عددًا صحيحًا مضروبًا في الوحدة التخيلية، وهو عدد صحيح تخيلي ؛ ويمكن جمع أي أعداد من هذا القبيل وستكون النتيجة أيضًا عددًا صحيحًا تخيليًا:

$${\displaystyle ai+bi=(a+b)i.}$$

وبالتالي، فإن الوحدة التخيلية هي مولد مجموعة تحت الجمع، وتحديداً مجموعة دورية لا نهائية .

يمكن ضرب الوحدة التخيلية بأي عدد حقيقي لتكوين عدد تخيلي . ويمكن تمثيل هذه الأعداد على خط الأعداد ، وهو المحور التخيلي ، الذي يُرسم عادةً بشكل رأسي كجزء من المستوى المركب، متعامدًا مع المحور الحقيقي المرسوم أفقيًا.

تشكل المجاميع الصحيحة للوحدة الحقيقية 1 والوحدة التخيلية i شبكة مربعة في المستوى المركب تُسمى الأعداد الصحيحة الغاوسية . ومجموع أو فرق أو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الغاوسية هو أيضاً عدد صحيح غاوسي.

$${\displaystyle {\begin{محاذاة}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{محاذاة}}}$$

عند ضرب أي عدد مركب عشوائي في المستوى المركب بالوحدة التخيلية i ، فإنه يدور بمقدار ربع دورة (${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$(راديان أو 90° ) عكس اتجاه عقارب الساعة . عند ضرب أي عدد مركب في -i، يتم تدويره ربع دورة باتجاه عقارب الساعة. في الصورة القطبية :

$${\displaystyle i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.}$$

على شكل مستطيل،

$${\displaystyle i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.}$$

تتكرر قوى العدد i في دورة يمكن التعبير عنها بالنمط التالي، حيث n أي عدد صحيح:

$${\displaystyle i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.}$$

وبالتالي، في عملية الضرب، يكون i مولدًا لمجموعة دورية من الرتبة 4، وهي مجموعة فرعية منفصلة من مجموعة الدائرة المستمرة للأعداد المركبة الوحدوية في عملية الضرب.

مكتوبة كحالة خاصة من صيغة أويلر لعدد صحيح n ،

$${\displaystyle i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.}$$

مع اختيار دقيق لقطع الفروع والقيم الرئيسية ، يمكن تطبيق هذه المعادلة الأخيرة أيضًا على القيم المعقدة التعسفية لـ n ، بما في ذلك حالات مثل n = i .

تمامًا مثل جميع الأعداد المركبة غير الصفرية،${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$للعدد جذران تربيعيان مختلفان ، وهما معكوسان جمعيان . في الصورة القطبية، يكونان $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

أما في شكلها المستطيل، فهي ^{[ أ ]}

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}}$$

تربيع أي من التعبيرين ينتج $${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.}$$

الجذور التكعيبية الثلاثة لـ i هي ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.}$$

بالنسبة لعدد صحيح موجب عام n ، فإن الجذور النونية للعدد i هي، بالنسبة لـ k = 0، 1، ...، n − 1،$${\displaystyle \exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).}$$ القيمة المرتبطة بـ k = 0 هي الجذر الرئيسي من الرتبة n للعدد i . مجموعة الجذور تساوي مجموعة جذور الوحدة المقابلة لها بعد تدويرها بواسطة الجذر الرئيسي من الرتبة n للعدد i . هذه هي رؤوس مضلع منتظم مرسوم داخل دائرة الوحدة المركبة .

تربط الدالة الأسية المركبة الجمع المركب في المجال بالضرب المركب في المجال المقابل. تمثل القيم الحقيقية في المجال عملية الضرب في المجال المقابل (الضرب في عدد حقيقي قياسي)، حيث يمثل 1 الضرب في e ، بينما تمثل القيم التخيلية في المجال عملية الدوران في المجال المقابل (الضرب في عدد مركب يساوي 1)، حيث يمثل i الدوران بمقدار 1 راديان. وبالتالي، فإن الدالة الأسية المركبة هي دالة دورية في الاتجاه التخيلي، بدورة 2πi وصورتها تساوي 1 عند النقاط 2kπi لجميع الأعداد الصحيحة k ، وهو مضاعف حقيقي لشبكة الأعداد التخيلية.

يمكن تقسيم الدالة الأسية المركبة إلى مكونات زوجية وفردية ، أو الدوال الزائدية cosh و sinh ، أو الدوال المثلثية cos و sin :

$${\displaystyle \exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)}$$

تقوم صيغة أويلر بتحليل الدالة الأسية لعدد تخيلي يمثل دورانًا:

$${\displaystyle \exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

يمكن استخدام هذه الحقيقة لتوضيح، من بين أمور أخرى، النتيجة التي تبدو غير بديهية والتي${\displaystyle i^{i}}$هو عدد حقيقي. ^{[ 13 ]}

يمكن تمثيل خارج القسمة coth z = cosh z / sinh z ، مع التحجيم المناسب ، على أنه تحليل جزئي لانهائي كمجموع الدوال المتبادلة المترجمة بواسطة الأعداد الصحيحة التخيلية: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.}$$

توجد دوال أخرى تعتمد على الدالة الأسية المركبة، وهي مُعرَّفة جيدًا حتى مع المدخلات التخيلية. على سبيل المثال، العدد المرفوع إلى القوة ni هو: $${\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).}$$

نظرًا لأن الدالة الأسية دورية، فإن معكوسها، اللوغاريتم المركب، دالة متعددة القيم ، حيث يقابل كل عدد مركب في المجال عدة قيم في المجال المقابل، تفصل بينها أي مضاعفات صحيحة للعدد 2πi . إحدى طرق الحصول على دالة أحادية القيمة هي اعتبار المجال المقابل أسطوانة ، حيث تُعامل القيم المركبة المفصولة بأي مضاعفات صحيحة للعدد 2πi على أنها القيمة نفسها؛ وطريقة أخرى هي اعتبار المجال سطح ريمان يتكون من نسخ متعددة من المستوى المركب متصلة ببعضها على طول المحور الحقيقي السالب كقطع متفرع ، حيث يقابل كل فرع في المجال شريطًا لانهائيًا واحدًا في المجال المقابل. ^{[ 15 ]} لذلك، تعتمد الدوال التي تعتمد على اللوغاريتم المركب على اختيار دقيق للفروع لتعريفها وتقييمها بوضوح.

على سبيل المثال، إذا اختار المرء أي فرع حيث${\displaystyle \ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i}$ثم عندما يكون x عددًا حقيقيًا موجبًا، $${\displaystyle \log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.}$$

غالبًا ما يتم إعطاء مضروب الوحدة التخيلية i بدلالة دالة جاما المحسوبة عند 1 + i : ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos(\ln t)\,dt+i\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sin(\ln t)\,dt\approx 0.4980-0.1549\,i.}$$

مقدار هذا العدد وحجته هما: ^{[ 17 ]}

$${\displaystyle |\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.}$$