متجه ثنائي

ينشأ المتجه الثنائي من تعريف الضرب الهندسي على فضاء متجهي ذي شكل تربيعي مرتبط به، ويُسمى أحيانًا بالمقياس . بالنسبة للمتجهات a و b و c ، يحقق الضرب الهندسي الخصائص التالية:

الترابط

${\displaystyle (\mathbf {ab} )\mathbf {c} =\mathbf {a} (\mathbf {bc} )}$

التوزيعية اليسرى واليمنى

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {ab} +\mathbf {ac} \\(\mathbf {b} +\mathbf {c} )\mathbf {a} &=\mathbf {ba} +\mathbf {ca} \end{aligned}}}$

مربع قياسي

⁠${\displaystyle \mathbf {a} ^{2}=Q(\mathbf {a} )}$، حيث Q هي الصيغة التربيعية، والتي لا يشترط أن تكون موجبة التحديد .

من خاصية التجميع، فإن a ( ab ) = a²b ، وهو عدد قياسي مضروب ^في b . عندما لا يكون b موازياً لـ a ، وبالتالي ليس مضاعفاً قياسياً له ، فلا يمكن أن يكون ab عدداً قياسياً.

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba} )={\tfrac {1}{2}}\left((\mathbf {a} +\mathbf {b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}-\mathbf {b} ^{2}\right)}$

هو مجموع كميات قياسية، وبالتالي فهو كمية قياسية. من قانون جيب التمام على المثلث المُشكَّل من المتجهات، تكون قيمته | a | | b | cos θ ، حيث θ هي الزاوية بين المتجهين. لذلك فهو مطابق للجداء القياسي بين متجهين، ويُكتب بنفس الطريقة.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba} ).}$

إنها متناظرة، ذات قيمة قياسية، ويمكن استخدامها لتحديد الزاوية بين متجهين: على وجه الخصوص، إذا كان a و b متعامدين فإن الناتج يساوي صفرًا.

وكما يمكن صياغة الضرب القياسي كجزء متناظر من الضرب الهندسي لكمية أخرى، يمكن صياغة الضرب الخارجي (المعروف أحيانًا باسم الضرب "الوتدي" أو "التقدمي") كجزء غير متناظر منه :

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )}$

وهو متناظر عكسيًا في a و b

${\displaystyle \mathbf {b} \wedge \mathbf {a} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ba} -\mathbf {ab} )=-{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )=-\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$

وبالإضافة إلى ذلك:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba} )+{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )=\mathbf {ab} }$

أي أن الناتج الهندسي هو مجموع الناتج القياسي المتناظر والناتج الخارجي المتناوب.

لفحص طبيعة a ∧ b ، انظر إلى الصيغة

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}-(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )^{2}=\mathbf {a} ^{2}\mathbf {b} ^{2},}$

وباستخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية، نحصل على قيمة ( أ ∧ ب ) ²

${\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}\mathbf {b} ^{2}=\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}(\cos ^{2}\theta -1)=-\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}\sin ^{2}\theta }$

بما أن مربعه سالب، فلا يمكن أن يكون كمية قياسية أو متجهة، لذا فهو نوع جديد من الكائنات، وهو متجه ثنائي . مقداره | a | | b | | sin θ | ، حيث θ هي الزاوية بين المتجهين، وبالتالي يساوي صفرًا للمتجهات المتوازية.

ولتمييزها عن المتجهات، تُكتب المتجهات الثنائية هنا بأحرف كبيرة غامقة، على سبيل المثال:

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} \,,}$

على الرغم من استخدام اصطلاحات أخرى، لا سيما وأن المتجهات والمتجهات الثنائية كلاهما عناصر من الجبر الهندسي.

فضاء جميع المتجهات الثنائية له البعد 1 / 2 n ( n − 1) ويكتب ⋀ 2 ^R n ^، [ 13 ^{] وهو} القوة الخارجية الثانية ^لفضاء المتجهات الأصلي.

الجبر الجزئي الناتج عن المتجهات الثنائية هو الجبر الجزئي الزوجي للجبر الهندسي، ويُكتب Cl ^[0] _n ( R ) . ينتج هذا الجبر ^من دراسة جميع المجاميع المتكررة والضرب الهندسي للأعداد القياسية والمتجهات الثنائية. بُعده 2n ^{- 1} ، ويحتوي على ⋀2Rn كفضاء جزئي خطي. في بُعدين وثلاثة أبعاد ^، يحتوي الجبر الجزئي الزوجي على الأعداد القياسية والمتجهات الثنائية فقط، ولكل منهما أهمية خاصة. في بُعدين، يكون الجبر الجزئي الزوجي متماثلًا مع الأعداد المركبة C ، بينما في ثلاثة أبعاد يكون متماثلًا مع الكواترنيونات H. يحتوي الجبر الجزئي الزوجي على الدورانات في أي بُعد.

كما ذُكر في القسم السابق ، فإن مقدار ثنائي المتجهات البسيط، أي حاصل الضرب الخارجي لمتجهين a و b ، هو | a || b | sin θ ، حيث θ هي الزاوية بين المتجهين. ويُكتب أيضًا | B | ، حيث B هو ثنائي المتجهات.

بالنسبة للمتجهات الثنائية العامة، يمكن حساب المقدار بأخذ معيار المتجه الثنائي باعتباره متجهًا في الفضاء ⋀ ² R ⁿ . إذا كان المقدار صفرًا، فإن جميع مركبات المتجه الثنائي تساوي صفرًا، ويكون المتجه الثنائي هو المتجه الثنائي الصفري الذي يساوي الصفر القياسي كعنصر في الجبر الهندسي.

المتجه الثنائي الواحد هو متجه له مقدار يساوي واحدًا. ويمكن اشتقاق هذا المتجه الثنائي من أي متجه ثنائي غير صفري عن طريق قسمة المتجه الثنائي على مقداره، أي

${\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\left\vert \mathbf {B} \right\vert }}.}$

تُعدّ المتجهات _{الثنائية} الوحدوية المُشكّلة من حاصل ضرب الأساس القياسي للفضاء المتجهي ذات فائدة خاصة . إذا _كان eᵢ و eⱼ متجهين _{أساسيين} مختلفين ^{، فإن حاصل} _ضربهما eᵢ ∧ eⱼ _يُشكّل متجهًا ثنائيًا . ولأن eᵢ و eⱼ متعامدان، فإن eᵢ ∧ eⱼ = eᵢ eⱼ، ويُكتب eⱼ _{ij ، وله} مقدار _يساوي واحدًا لأن المتجهين متجهان وحدويان _. تُشكّل _مجموعة جميع _{المتجهات الثنائية المُنتجة} من الأساس بهذه الطريقة أساسًا لـ ⋀²Rⁿ . ^على _سبيل ^{المثال ، في أربعة} _أبعاد ، يكون أساس ⋀²R⁴ هو ( e₁ _e₂ , e₁ _e₃ , e₁ _e₄ , _e₂ e₃ , e₂ _e₄ , e₃ e₄ ₎ أو ( ^e₁² , e₁³ _{, e₁₄} , e₂³ , e₂₄ _, e₃₄ _{) . [ 14} ]

حاصل الضرب الخارجي لمتجهين هو متجه ثنائي، ولكن ليس كل المتجهات الثنائية هي حاصل ضرب خارجي لمتجهين. على سبيل المثال، في أربعة أبعاد يكون المتجه الثنائي

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}}$

لا يمكن كتابة متجه ثنائي على صورة حاصل ضرب خارجي لمتجهين. المتجه الثنائي الذي يمكن كتابته على صورة حاصل ضرب خارجي لمتجهين هو متجه بسيط. في بعدين وثلاثة أبعاد، تكون جميع المتجهات الثنائية بسيطة، ولكن ليس في أربعة أبعاد أو أكثر؛ ففي أربعة أبعاد، يكون كل متجه ثنائي هو مجموع حاصل ضرب خارجيين على الأكثر. يكون للمتجه الثنائي مربع حقيقي إذا وفقط إذا كان بسيطًا، ولا يمكن تمثيل المتجهات الثنائية البسيطة هندسيًا إلا بمساحة مستوية موجهة. ^{[ 4 ]}

حاصل الضرب الهندسي لمتجهين ثنائيين، A و B ، هو

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {B} .}$

الكمية A · B هي حاصل الضرب القياسي، بينما A ∧ B هو حاصل الضرب الخارجي من الدرجة الرابعة الذي يظهر في أربعة أبعاد أو أكثر. الكمية A × B هي حاصل الضرب التبادلي ثنائي المتجهات ، المعطى بواسطة

${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {AB} -\mathbf {BA} ),}$^{[ 15 ]}

فضاء المتجهات الثنائية ⋀ ² R ⁿ هو جبر لي على R ، حيث يمثل حاصل الضرب التبادلي قوس لي. ويولد حاصل الضرب الهندسي الكامل للمتجهات الثنائية الجبر الجزئي الزوجي.

من الأمور ذات الأهمية الخاصة حاصل ضرب متجه ثنائي مع نفسه. ولأن حاصل الضرب التبادلي مضاد للتناظر، فإن حاصل الضرب يتبسط إلى

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

إذا كان المتجه الثنائي بسيطًا ، فإن الحد الأخير يساوي صفرًا، ويكون حاصل الضرب هو القيمة العددية A · A ، والتي يمكن استخدامها للتحقق من البساطة. وبالتحديد، لا يوجد حاصل الضرب الخارجي للمتجهات الثنائية إلا في أربعة أبعاد أو أكثر، لذا فإن جميع المتجهات الثنائية في بعدين وثلاثة أبعاد تكون بسيطة. ^{[ 4 ]}

المتجهات الثنائية متماثلة مع المصفوفات المتناظرة المائلة في أي عدد من الأبعاد. على سبيل المثال، المتجه الثنائي العام B ₂₃ e ₂₃ + B ₃₁ e ₃₁ + B ₁₂ e ₁₂ في ثلاثة أبعاد يُقابل المصفوفة

${\displaystyle M_{B}={\begin{pmatrix}0&B_{12}&-B_{31}\\-B_{12}&0&B_{23}\\B_{31}&-B_{23}&0\end{pmatrix}}.}$

هذا مضروبًا في متجهات على كلا الجانبين يعطي نفس المتجه الناتج عن ضرب متجه ومتجه ثنائي مطروحًا منه الضرب الخارجي؛ مثال على ذلك هو موتر السرعة الزاوية .

تُنتج المصفوفات المتناظرة المائلة مصفوفات متعامدة بمحدد يساوي 1 من خلال التحويل الأسي. على وجه الخصوص، يؤدي تطبيق التحويل الأسي على متجه ثنائي مرتبط بدوران إلى مصفوفة دوران . مصفوفة الدوران M _R المعطاة بواسطة المصفوفة المتناظرة المائلة أعلاه هي

${\displaystyle M_{R}=\exp {M_{B}}.}$

الدوران الموصوف بواسطة M _R هو نفسه الدوران الموصوف بواسطة الدوار R المعطى بواسطة

${\displaystyle R=\exp {{\tfrac {1}{2}}B},}$

ويمكن أيضًا حساب المصفوفة M _R مباشرةً من الدوار R. في ثلاثة أبعاد، تُعطى هذه المصفوفة بالصيغة التالية:

${\displaystyle M_{R}={\begin{pmatrix}(R\mathbf {e} _{1}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{1}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{1}&(R\mathbf {e} _{3}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{1}\\(R\mathbf {e} _{1}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{2}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{2}&(R\mathbf {e} _{3}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{2}\\(R\mathbf {e} _{1}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{3}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{3}&(R\mathbf {e} _{3}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}.}$

ترتبط المتجهات الثنائية بالقيم الذاتية لمصفوفة الدوران. عند إعطاء مصفوفة دوران M، يمكن حساب القيم الذاتية بحل المعادلة المميزة لتلك المصفوفة : 0 = det( M − λI ) . وفقًا للنظرية الأساسية للجبر، لهذه المعادلة ثلاثة جذور (واحد منها فقط حقيقي لوجود متجه ذاتي واحد فقط، وهو محور الدوران). أما الجذران الآخران فهما زوج من الأعداد المركبة المترافقة. لهما مقدار يساوي واحدًا، أي لوغاريتمات تخيلية بحتة، تساوي مقدار المتجه الثنائي المرتبط بالدوران، وهو أيضًا زاوية الدوران. تقع المتجهات الذاتية المرتبطة بالقيم الذاتية المركبة في مستوى المتجه الثنائي، لذا فإن حاصل الضرب الخارجي لمتجهين ذاتيين غير متوازيين ينتج عنه المتجه الثنائي (أو أحد مضاعفاته).

بفضل خصائص التربيع السالب والمقدار الواحدي، يمكن تعريف المتجه الثنائي الواحدي بالوحدة التخيلية من الأعداد المركبة . تشكل المتجهات الثنائية والكميات القياسية معًا الجبر الجزئي الزوجي للجبر الهندسي، وهو متماثل مع الأعداد المركبة C. يمتلك الجبر الجزئي الزوجي أساسًا (1، e ₁₂ ) ، بينما يمتلك الجبر الكلي أساسًا (1، e ₁ ، e ₂ ، e ₁₂ ) .

تُعرَّف الأعداد المركبة عادةً بمحاور الإحداثيات والمتجهات ثنائية الأبعاد، ما يعني ربطها بعناصر المتجهات في الجبر الهندسي. لا يوجد تناقض في ذلك، إذ لتحويل متجه عام إلى عدد مركب، يجب تحديد المحور على أنه المحور الحقيقي، ولنقل e ∈ _1. يُضرب هذا المحور في جميع المتجهات لتوليد عناصر الجبر الجزئي الزوجي.

يمكن استنتاج جميع خصائص الأعداد المركبة من المتجهات الثنائية، لكن اثنتين منها تثيران اهتمامًا خاصًا. أولًا، كما هو الحال مع الأعداد المركبة، فإن حاصل ضرب المتجهات الثنائية، وبالتالي الجبر الجزئي الزوجي، يكون تبديليًا . هذا صحيح فقط في بعدين، لذا فإن خصائص المتجه الثنائي في بعدين التي تعتمد على التبديلية لا تُعمم عادةً على الأبعاد الأعلى.

ثانيًا، يمكن كتابة متجه ثنائي عام

${\displaystyle \theta \mathbf {e} _{12}=i\theta ,}$

حيث θ عدد حقيقي. بوضع هذا في متسلسلة تايلور للدالة الأسية واستخدام الخاصية e ₁₂ ² = −1 ينتج عنه صيغة ثنائية المتجهات لصيغة أويلر .

${\displaystyle \exp {\theta \mathbf {e} _{12}}=\exp {i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta },}$

والذي عند ضربه بأي متجه يدور بزاوية θ حول نقطة الأصل:

${\displaystyle (x'\mathbf {e} _{1}+y'\mathbf {e} _{2})=(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2})\exp {i\theta }.}$

إن حاصل ضرب متجه في متجه ثنائي في بعدين هو عملية مضادة للتبديل ، لذا فإن جميع عمليات الضرب التالية تولد نفس الدوران

${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {v} \exp {i\theta }=\exp(-i\theta )\,\mathbf {v} =\exp({-i\theta }/{2})\,\mathbf {v} \exp({i\theta }/{2}).}$

من بين هذه المنتجات، يُعدّ المنتج الأخير هو الذي يُمكن تعميمه على أبعاد أعلى. تُسمى الكمية المطلوبة بالدوار ، ويُرمز لها بالرمز R ، لذا في بُعدين، يُمكن كتابة الدوار الذي يدور بزاوية θ على النحو التالي:

${\displaystyle R=\exp({-{\tfrac {1}{2}}i\theta })=\exp({-{\tfrac {1}{2}}\theta \mathbf {e} _{12}}),}$

والدوران الذي يولده هو ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {v} '=R\mathbf {v} R^{-1}.}$

المتجهات الثنائية ليست مغلقة تحت الضرب الهندسي، لكن الجبر الجزئي الزوجي مغلق. في ثلاثة أبعاد، يتكون من جميع العناصر القياسية والمتجهة الثنائية للجبر الهندسي، لذا يمكن كتابة عنصر عام على سبيل المثال a + A ، حيث a هو الجزء القياسي و A هو الجزء المتجه الثنائي. يُكتب Cl ^[0] _³ وله أساس ( 1، e²³، e³¹، e¹² ₎ . حاصل ضرب _عنصرين عامين من الجبر الجزئي الزوجي _هو

${\displaystyle (a+\mathbf {A} )(b+\mathbf {B} )=ab+a\mathbf {B} +b\mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} .}$

الجبر الجزئي الزوجي، أي الجبر المكون من الأعداد القياسية والمتجهات الثنائية، متماثل مع الكواترنيونات H. ويمكن ملاحظة ذلك بمقارنة الأساس بأساس الكواترنيونات، أو من خلال الضرب المذكور أعلاه، والذي يطابق ضرب الكواترنيونات، باستثناء تغيير الإشارة الذي يرتبط بالضربات السالبة في الضرب القياسي للمتجه الثنائي A · B. ويمكن ربط خصائص أخرى للكواترنيونات بالجبر الهندسي أو اشتقاقها منه.

يشير هذا إلى أن التقسيم المعتاد للرباعي إلى أجزاء قياسية ومتجهة يُمكن تمثيله بشكل أفضل بتقسيمه إلى أجزاء قياسية وثنائية المتجهات؛ فإذا تم ذلك، يكون حاصل ضرب الرباعي هو حاصل الضرب الهندسي فحسب. كما يربط هذا بين الرباعيات في ثلاثة أبعاد والأعداد المركبة في بعدين، حيث أن كليهما متماثل مع الجبر الجزئي الزوجي لهذا البعد، وهي علاقة قابلة للتعميم على الأبعاد الأعلى.

يُعدّ متجه الدوران، المُستمد من تمثيل الدورانات باستخدام محور الزاوية ، طريقةً مُختصرةً لتمثيل الدورانات في ثلاثة أبعاد. في أبسط صوره، يتكون من متجه، وهو حاصل ضرب متجه الوحدة ω الذي يُمثل محور الدوران في زاوية الدوران θ (المُوقّعة) ، بحيث يكون مقدار متجه الدوران الكلي θω مساويًا لزاوية الدوران (غير المُوقّعة).

الكواترنيون المرتبط بالدوران هو

${\displaystyle q=\left(\cos {{\tfrac {1}{2}}\theta },\omega \sin {{\tfrac {1}{2}}\theta }\right)}$

في الجبر الهندسي، يُمثَّل الدوران بمتجه ثنائي. ويتضح ذلك من خلال علاقته بالأعداد الرباعية. لنفترض أن Ω متجه ثنائي وحدة في مستوى الدوران، و θ زاوية الدوران . عندئذٍ، يكون متجه الدوران الثنائي هو Ω θ . يتوافق العدد الرباعي تقريبًا مع الدالة الأسية لنصف المتجه الثنائي Ω θ . أي أن مركبات العدد الرباعي تُقابل الجزء القياسي والجزء المتجه الثنائي من التعبير التالي: $${\displaystyle \exp {{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}\theta }=\cos {{\tfrac {1}{2}}\theta }+{\boldsymbol {\Omega }}\sin {{\tfrac {1}{2}}\theta }}$$

يمكن تعريف الدالة الأسية من حيث متسلسلتها القوى ، ويمكن تقييمها بسهولة باستخدام حقيقة أن Ω تربيع يساوي −1 .

لذا يمكن تمثيل الدورانات بواسطة المتجهات الثنائية. وكما أن الكواترنيونات هي عناصر من الجبر الهندسي، فإنها مرتبطة بالخريطة الأسية في ذلك الجبر.

يُولّد المتجه الثنائي Ω θ دورانًا عبر الخريطة الأسية. وتُدوّر العناصر الزوجية المُولّدة متجهًا عامًا في ثلاثة أبعاد بنفس طريقة الكواترنيونات: $${\displaystyle \mathbf {v} '=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}\theta )\,\mathbf {v} \exp({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}\theta ).}$$

كما هو الحال في بُعدين، تُسمى الكمية exp(− 1 / 2 Ω θ ) بالدوار وتُكتب R. وتُصبح الكمية exp( 1 / 2 Ω θ ) حينها R ^{− 1} ، وتُولد هذه الكمية دورانات كما يلي :$${\displaystyle \mathbf {v} '=R\mathbf {v} R^{-1}.}$$

هذا مطابق للبعدين، باستثناء أن الدوارات هنا عبارة عن كائنات رباعية الأبعاد متماثلة مع الكواترنيونات. يمكن تعميم هذا على جميع الأبعاد، حيث تُولَّد الدوارات، وهي عناصر من الجبر الجزئي الزوجي ذات مقدار يساوي واحدًا، بواسطة الدالة الأسية من المتجهات الثنائية. تشكل هذه الدوارات غطاءً مزدوجًا فوق مجموعة الدوران، لذا فإن الدوارين R و -R يمثلان الدوران نفسه.

يُعدّ متجه الدوران مثالًا على المتجه المحوري . المتجهات المحورية، أو المتجهات الزائفة، هي متجهات تتميز بخاصية فريدة، وهي أن إحداثياتها تتغير إشارتها بالنسبة للمتجهات العادية (وتُسمى أيضًا "المتجهات القطبية") عند عكسها حول نقطة الأصل، أو انعكاسها في مستوى، أو أي تحويل خطي آخر يعكس اتجاهها. ^{[ 18 ]} تشمل الأمثلة كميات مثل عزم الدوران ، والزخم الزاوي ، والمجالات المغناطيسية المتجهة . الكميات التي تستخدم المتجهات المحورية في الجبر المتجهي تُمثَّل بشكل صحيح بواسطة المتجهات الثنائية في الجبر الهندسي. ^{[ 19 ]} بتعبير أدق، إذا تم اختيار اتجاه أساسي، فإن المتجهات المحورية تُطابق المتجهات العادية بشكل طبيعي؛ ومن ثمّ يُعطي التناظر الثنائي لهودج التماثل بين المتجهات المحورية والمتجهات الثنائية، بحيث يرتبط كل متجه محوري بمتجه ثنائي والعكس صحيح؛ أي

${\displaystyle \mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} \,,\quad \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A} }$

أين​${\displaystyle {\star }}$هو نجم هودج. لاحظ أنه إذا عُكسَ التوجيه الأساسي بالانعكاس عبر نقطة الأصل، فإن كلاً من تحديد المتجهات المحورية بالمتجهات المعتادة وثنائي هودج يتغيران في الإشارة، لكن المتجهات الثنائية لا تتغير. بدلاً من ذلك، باستخدام شبه القياسي الواحد في Cl ₃ ( R ) ، i = e ₁ e ₂ e ₃ يعطي

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {a} i\,,\quad \mathbf {a} =-\mathbf {A} i.}$

هذا أسهل استخدامًا لأن الناتج هو مجرد حاصل ضرب هندسي. ولكنه غير متناظر لأن (كما هو الحال في بعدين) مربع العدد الزائف i يساوي -1 ، لذا يلزم وجود قيمة سالبة في أحد نواتج الضرب.

تمتد هذه العلاقة إلى عمليات مثل الضرب الاتجاهي ذي القيم المتجهة والضرب الخارجي ذي القيم المتجهة الثنائية، حيث يتم حسابها بنفس الطريقة عند كتابتها كمحددات :

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\,,\quad \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{23}&\mathbf {e} _{31}&\mathbf {e} _{12}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\,,}$

لذا فهم مرتبطون بالثنائية الهودجية:

${\displaystyle {\star }(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )=\mathbf {a\times b} \,,\quad {\star }(\mathbf {a\times b} )=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \,.}$

تتمتع المتجهات الثنائية بعدة مزايا مقارنةً بالمتجهات المحورية. فهي تُفرّق بشكل أفضل بين المتجهات المحورية والقطبية، أي الكميات التي تُمثلها، مما يُوضح العمليات المسموح بها ونتائجها. على سبيل المثال، يجب أن ينتج عن الضرب الداخلي لمتجه قطبي ومتجه محوري ناتج عن الضرب الاتجاهي في الضرب الثلاثي كمية شبه قياسية ، وهي نتيجة أكثر وضوحًا إذا تم صياغة الحساب كضرب خارجي لمتجه ومتجه ثنائي. كما أنها قابلة للتعميم على أبعاد أخرى؛ فعلى وجه الخصوص، يُمكن استخدام المتجهات الثنائية لوصف كميات مثل العزم والزخم الزاوي في بعدين وثلاثة أبعاد. بالإضافة إلى ذلك، فهي تُطابق الحدس الهندسي بشكل كبير في عدة جوانب، كما سنرى في القسم التالي. ^{[ 20 ]}

كما يوحي اسمها واسم الجبر، فإن للمتجهات الثنائية تفسيراً هندسياً طبيعياً. ينطبق هذا على أي عدد من الأبعاد، ولكنه يتضح بشكل أفضل في ثلاثة أبعاد، حيث يمكن رسم أوجه تشابه مع أشكال أكثر شيوعاً. في بعدين، يكون التفسير الهندسي بديهياً، لأن الفضاء ثنائي الأبعاد، وبالتالي له مستوى واحد فقط، وترتبط جميع المتجهات الثنائية بهذا المستوى، ولا تختلف إلا بعامل قياسي.

يمكن تفسير جميع المتجهات الثنائية على أنها مستويات ، أو بتعبير أدق على أنها قطع مستوية موجهة. في ثلاثة أبعاد، توجد ثلاث خصائص للمتجه الثنائي يمكن تفسيرها هندسيًا:

• يرتبط ترتيب المستوى في الفضاء، وتحديدًا وضعية المستوى (أو دورانه أو اتجاهه الهندسي )، بنسبة مركبات ثنائي المتجهات. وعلى وجه الخصوص، ترتبط ثلاثة ثنائيات متجهات أساسية، e ₂₃ و e ₃₁ و e ₁₂ ، أو مضاعفاتها العددية، بالمستويات yz و zx و xy على التوالي.
• يرتبط مقدار ثنائي المتجه بمساحة القطعة المستوية ، بغض النظر عن شكلها. ويمكن تمثيله بطرق أخرى، كقياس الزاوية مثلاً. ولكن إذا فُسِّرت المتجهات على أنها أطوال، فعادةً ما يُفسَّر ثنائي المتجه على أنه مساحة بنفس وحدة القياس.
• كما هو الحال مع اتجاه المتجه ، فإن المستوى المرتبط بمتجه ثنائي الاتجاه له اتجاه، أو اتجاه مسح، أو اتجاه دوران في المستوى بإحدى قيمتين، قد تتوافقان مع اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة عند النظر إليه من نقطة خارج المستوى. ويرتبط هذا بتغير إشارة المتجه الثنائي الاتجاه، أي إذا عُكس الاتجاه، يُلغى المتجه الثنائي الاتجاه. وبالمثل، إذا كان لمتجهين ثنائيين الاتجاه نفس القيمة والمقدار ولكن باتجاهين متعاكسين، فإن أحدهما يكون معكوس الآخر.
• إذا تخيلنا الشكل على أنه متوازي أضلاع، مع وجود نقطة الأصل لاثنين من متجهات حوافه عند 0 ، فإن المساحة الموقعة هي محدد الإحداثيات الديكارتية للمتجهات ( a _x b _y − b _x a _y ).

في ثلاثة أبعاد، يمكن توليد أي متجه ثنائي من خلال الضرب الخارجي لمتجهين. إذا كان المتجه الثنائي B = a ∧ b، فإن مقدار B هو

${\displaystyle |\mathbf {B} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta ,}$

حيث θ هي الزاوية بين المتجهين. هذه هي مساحة متوازي الأضلاع ذي الضلعين a و b ، كما هو موضح في الرسم. أحد التفسيرات هو أن المساحة تُمسح بواسطة b أثناء تحركه على طول a . الضرب الخارجي متناظر عكسيًا، لذا فإن عكس ترتيب a و b للتحرك على طول b ينتج عنه متجه ثنائي الاتجاه معاكس، أي معكوس المتجه الأول. مستوى المتجه الثنائي a ∧ b يحتوي على كل من a و b، لذا فهما متوازيان مع المستوى.

ترتبط المتجهات الثنائية والمتجهات المحورية بعلاقة هودج الثنائية . في الفضاء المتجهي الحقيقي، تربط علاقة هودج الثنائية بين الشفرة التي تمثل فضاءً جزئيًا ومكملها المتعامد ، فإذا كان المتجه الثنائي يمثل مستوىً، فإن المتجه المحوري المرتبط به هو ببساطة العمودي على سطح المستوى. يمتلك المستوى مجموعتين عموديتين من المتجهات، واحدة على كل جانب، مما يعطي الاتجاهين الممكنين للمستوى والمتجه الثنائي.

في ثلاثة أبعاد، تربط ثنائية هودج الضرب الاتجاهي بالضرب الخارجي . ويمكن استخدامها أيضًا لتمثيل الكميات الفيزيائية، مثل عزم الدوران والزخم الزاوي . في الجبر المتجهي، تُمثَّل هذه الكميات عادةً بمتجهات زائفة عمودية على مستوى القوة أو الزخم الخطي أو الإزاحة التي تُحسب منها. ولكن إذا استُخدم متجه ثنائي بدلاً من ذلك، فإن المستوى يكون هو مستوى المتجه الثنائي، مما يجعله طريقةً أكثر طبيعيةً لتمثيل هذه الكميات وكيفية عملها. وعلى عكس التمثيل المتجهي، يُمكن تعميم هذه الثنائية على أبعاد أخرى.

للضرب الهندسي لمتجهين ثنائيين تفسير هندسي. بالنسبة للمتجهين الثنائيين غير الصفريين A و B، يمكن تقسيم الضرب إلى جزأين: متناظر وغير متناظر، كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} .}$

كما هو الحال مع المتجهات، فإن لهذه المتجهات مقادير | A · B | = | A | | B | cos θ و | A × B | = | A | | B | sin θ ، حيث θ هي الزاوية بين المستويين. في ثلاثة أبعاد، تكون هذه الزاوية مساوية للزاوية بين متجهي الوحدة العموديين على المستويين، ويمكن تعميمها إلى حد ما في الأبعاد الأعلى.

يمكن جمع المتجهات الثنائية معًا كمساحات. عند وجود متجهين ثنائيين غير صفريين B و C في ثلاثة أبعاد، من الممكن دائمًا إيجاد متجه يحتوي كليهما، ولنقل a ، لذا يمكن كتابة المتجهات الثنائية كحاصل ضرب خارجي يتضمن a .

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \\\mathbf {C} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {c} \end{aligned}}}$

يمكن تفسير ذلك هندسيًا كما هو موضح في الرسم التخطيطي: مجموع المساحتين يُعطي مساحة ثالثة، وتشكل المساحات الثلاث أوجهًا لمنشور ذي أضلاع a و b و c و b + c . وهذا يُطابق الطريقتين لحساب المساحة باستخدام خاصية توزيع الضرب الخارجي.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} +\mathbf {C} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {c} \\&=\mathbf {a} \wedge (\mathbf {b} +\mathbf {c} ).\end{aligned}}}$

هذا ينطبق فقط في ثلاثة أبعاد، لأنه العدد الوحيد من الأبعاد الذي يجب أن يوجد فيه متجه موازٍ لكلا المتجهين الثنائيين. في عدد أكبر من الأبعاد، لا ترتبط المتجهات الثنائية عادةً بمستوى واحد، أو إذا ارتبطت (المتجهات الثنائية البسيطة)، فقد لا يشترك متجهان ثنائيان في أي متجه، وبالتالي يكون مجموعهما متجهًا ثنائيًا غير بسيط.

في الفضاء رباعي الأبعاد، يكون الفضاء الثنائي لمتجه ثنائي هو متجه ثنائي، والفضاء ⋀ ² R ⁴ ثنائي لنفسه. المتجهات العمودية ليست فريدة، بل كل مستوى متعامد مع جميع المتجهات في فضاء هودج الثنائي الخاص به. يمكن استخدام هذا لتقسيم المتجهات الثنائية إلى نصفين، كما يلي: لدينا ثلاثة أزواج من المتجهات الثنائية المتعامدة: ( e ₁₂ , e ₃₄ ) ، ( e ₁₃ , e ₂₄ ) ، و ( e ₁₄ , e ₂₃ ) . توجد أربع طرق مختلفة لاختيار متجه ثنائي واحد من كل زوج من الزوجين الأولين، وبمجرد اختيار هذين الزوجين، ينتج عن مجموعهما المتجه الثنائي الثالث من الزوج الآخر. على سبيل المثال، ( e ₁₂ , e ₁₃ , e ₁₄ ) و ( e ₂₃ , e ₂₄ , e ₃₄ ) .

^{في الفضاء رباعي الأبعاد} _، تُولَّد المتجهات الثنائية من خلال الضرب الخارجي لمتجهين في الفضاء ^R⁴ ، ولكن مع اختلاف جوهري واحد عن الفضاءين ^R³ و R² . ففي الفضاء رباعي الأبعاد _، ليست كل المتجهات الثنائية بسيطة. فهناك متجهات ثنائية مثل e¹² + e³⁴ لا يمكن توليدها من الضرب الخارجي لمتجهين. وهذا يعني أيضاً أنها لا تملك مربعاً حقيقياً، أي عدداً قياسياً. في هذه الحالة

${\displaystyle (\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34})^{2}=\mathbf {e} _{12}\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{12}\mathbf {e} _{34}+\mathbf {e} _{34}\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}\mathbf {e} _{34}=-2+2\mathbf {e} _{1234}.}$

العنصر e ₁₂₃₄ هو شبه قياسي في Cl ₄ ، وهو يختلف عن القياسي، لذا فإن المربع غير قياسي.

يمكن توليد جميع المتجهات الثنائية في أربعة أبعاد باستخدام ضربين خارجيين على الأكثر وأربعة متجهات. ويمكن كتابة المتجه الثنائي المذكور أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}=\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.}$

وبالمثل، يمكن كتابة أي متجه ثنائي كمجموع متجهين ثنائيين بسيطين. ومن المفيد اختيار متجهين ثنائيين متعامدين لهذا الغرض، وهذا ممكن دائمًا. علاوة على ذلك، بالنسبة للمتجه الثنائي العام، يكون اختيار المتجهات الثنائية البسيطة فريدًا، أي أن هناك طريقة واحدة فقط لتحليله إلى متجهين ثنائيين متعامدين؛ والاستثناء الوحيد هو عندما يكون للمتجهين الثنائيين المتعامدين نفس المقدار (كما في المثال أعلاه): في هذه الحالة، لا يكون التحليل فريدًا. ^{[ 4 ]} يكون التحليل فريدًا دائمًا في حالة المتجهات الثنائية البسيطة، مع ميزة إضافية تتمثل في أن أحد الأجزاء المتعامدة يساوي صفرًا.

كما هو الحال في ثلاثة أبعاد، تُولّد المتجهات الثنائية في أربعة أبعاد دورانات عبر الخريطة الأسية، ويمكن توليد جميع الدورانات بهذه الطريقة. وكما هو الحال في ثلاثة أبعاد، إذا كان B متجهًا ثنائيًا، فإن الدوار R هو exp 1 / 2 B ، وتُولّد الدورانات بنفس الطريقة.

${\displaystyle v'=RvR^{-1}.}$

أما الدورانات الناتجة فهي أكثر تعقيداً، ويمكن تصنيفها على النحو التالي:

الدورانات البسيطة هي تلك التي تثبت مستوى في 4D، وتدور بزاوية "حول" هذا المستوى.

تتميز الدورانات المزدوجة بنقطة ثابتة واحدة فقط، وهي نقطة الأصل، وتدور بزاوية حول مستويين متعامدين. وبشكل عام، تكون الزوايا مختلفة، ويتم تحديد المستويين بشكل فريد.

الدوران المتساوي الميل هو دوران مزدوج تكون فيه زوايا الدوران متساوية. في هذه الحالة، لا تكون المستويات التي يدور حولها الدوران فريدة.

تُنتج هذه الدورانات بواسطة المتجهات الثنائية بطريقة مباشرة. تُنتج الدورانات البسيطة بواسطة المتجهات الثنائية البسيطة، حيث يكون المستوى الثابت ثنائيًا أو متعامدًا مع مستوى المتجه الثنائي. ويمكن القول إن الدوران يحدث حول ذلك المستوى، في مستوى المتجه الثنائي. تُنتج جميع المتجهات الثنائية الأخرى دورانات مزدوجة، حيث تساوي زاويتا الدوران مقداري المتجهين الثنائيين البسيطين اللذين يتكون منهما المتجه الثنائي غير البسيط. تنشأ الدورانات متساوية الميل عندما تتساوى هذه المقدارات، وفي هذه الحالة لا يكون التفكيك إلى متجهين ثنائيين بسيطين فريدًا. ^{[ 21 ]}

لا تتبادل المتجهات الثنائية بشكل عام، باستثناء المتجهات الثنائية المتعامدة وأسسها. فإذا استُخدم المتجه الثنائي _B = B₁ + B₂ ، _حيث B₁ و B₂ متجهان ثنائيان بسيطان متعامدان _، لتوليد دوران، فإنه يتحلل إلى دورانين بسيطين يتبادلان كما يلي _:

${\displaystyle R=\exp({\tfrac {1}{2}}(\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2}))=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{1})\,\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{2})=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{2})\,\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{1})}$

من الممكن دائمًا القيام بذلك حيث يمكن التعبير عن جميع المتجهات الثنائية كمجموعات من المتجهات الثنائية المتعامدة.

الزمكان نموذج رياضي يُستخدم في النسبية الخاصة لوصف كوننا. يتكون من ثلاثة أبعاد مكانية وبُعد زمني واحد مُدمجة في فضاء رباعي الأبعاد. يُوصف الزمكان بشكل طبيعي باستخدام الجبر الهندسي والمتجهات الثنائية، مع استبدال المقياس الإقليدي بمقياس مينكوفسكي . هذا الجبر مطابق لجبر الفضاء الإقليدي، باستثناء اختلاف الإشارة .

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{2}={\begin{cases}1,&i=1,2,3\\-1,&i=4\end{cases}}}$

(لاحظ أن الترتيب والمؤشرات المذكورة أعلاه ليست عالمية - هنا e ₄ هو البعد الزمني). الجبر الهندسي هو Cl _3,1 ( R ) ، والفضاء الجزئي للمتجهات الثنائية هو ⋀ ² R ^3,1 .

تنقسم المتجهات الثنائية البسيطة إلى نوعين. المتجهات الثنائية البسيطة e ₂₃ و e ₃₁ و e ₁₂ لها مربعات سالبة وتولد المتجهات الثنائية للفضاء الفرعي ثلاثي الأبعاد المقابل للفضاء الإقليدي، R ^3. وتولد هذه المتجهات الثنائية دورانات عادية في R ³ .

المتجهات الثنائية البسيطة e ₁₄ و e ₂₄ و e ₃₄ مربعاتها موجبة، وتمتد كمستويات على بُعد مكاني وبُعد زمني. تُولّد هذه المتجهات أيضًا دورانات عبر الخريطة الأسية، ولكن بدلًا من الدوال المثلثية، تُستخدم الدوال الزائدية، مما يُولّد دوارًا على النحو التالي:

${\displaystyle \exp {{\tfrac {1}{2}}{{\boldsymbol {\Omega }}\theta }}=\cosh {{\tfrac {1}{2}}\theta }+{\boldsymbol {\Omega }}\sinh {{\tfrac {1}{2}}\theta },}$

حيث Ω هو المتجه الثنائي ( e ₁₄ ، إلخ)، الذي يتم تحديده عبر المقياس بتحويل خطي مضاد للتناظر لـ R ^3,1 . هذه هي تعزيزات لورنتز ، معبر عنها بطريقة مضغوطة بشكل خاص، باستخدام نفس نوع الجبر كما في R ³ و R ⁴ .

بشكل عام، يتم توليد جميع دورانات الزمكان من متجهات ثنائية الاتجاه من خلال الخريطة الأسية، أي أن الدوار العام الناتج عن المتجه الثنائي الاتجاه A يكون على الشكل التالي

${\displaystyle R=\exp {{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} }.}$

تشكل مجموعة جميع الدورانات في الزمكان زمرة لورنتز ، ومنها يمكن استنتاج معظم نتائج النسبية الخاصة. وبشكل أعم، يُبين هذا كيف يمكن وصف التحويلات في الفضاء الإقليدي والزمكان باستخدام نفس نوع الجبر.

(ملاحظة: في هذا القسم، يتم الإشارة إلى المتجهات الثلاثية التقليدية بخطوط فوق الرموز، ويتم الإشارة إلى متجه الزمكان والمتجهات الثنائية برموز غامقة، مع كتابة المتجهين J و A بأحرف كبيرة بشكل استثنائي)

تُستخدم معادلات ماكسويل في الفيزياء لوصف العلاقة بين المجالين الكهربائي والمغناطيسي . تُكتب عادةً على شكل أربع معادلات تفاضلية ، وتكون ذات صيغة مُختصرة للغاية عندما يُعبَّر عن المجالين كمتجه ثنائي الزمكان من الفضاء ^ثلاثي الأبعاد R³ ^. إذا كان المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي في R³ هما E و B، ^فإن المتجه الثنائي الكهرومغناطيسي هو

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{c}}{\overline {E}}\mathbf {e} _{4}+{\overline {B}}\mathbf {e} _{123},}$

حيث يمثل e⁴ متجه الأساس للبعد الزمني، و _c سرعة الضوء . ينتج عن حاصل ضرب B e ₁₂₃ متجه ثنائي هودج ثنائي B في ثلاثة أبعاد، كما ذُكر سابقًا ، بينما E e⁴ _، كحاصل ضرب متجهات متعامدة، هو أيضًا متجه ثنائي القيمة. إجمالًا، هو موتر كهرومغناطيسي مُعبَّر عنه بشكل أكثر إيجازًا كمتجه ثنائي، ويُستخدم كما يلي. أولًا، يرتبط بالتيار الرباعي J ، وهو كمية متجهة تُعطى بواسطة

${\displaystyle \mathbf {J} ={\overline {j}}+c\rho \mathbf {e} _{4},}$

حيث j هي كثافة التيار و ρ هي كثافة الشحنة . وهما مرتبطتان بواسطة مؤثر تفاضلي ∂، وهو

${\displaystyle \partial =\nabla -\mathbf {e} _{4}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}.}$

المؤثر ∇ هو مؤثر تفاضلي في الجبر الهندسي، يعمل على أبعاد الفضاء ويُعطى بالعلاقة ∇M = ∇· M + ∇∧M . عند تطبيقه على المتجهات ، يكون ∇· M هو التباعد ، و∇∧ M هو الدوران ، ولكن بنتيجة ثنائية المتجهات بدلاً من متجهات، أي أنه ثنائي في ثلاثة أبعاد للدوران. بالنسبة للكمية العامة M ، يعملان كمؤثرين تفاضليين لخفض ورفع الدرجة. على وجه الخصوص، إذا كانت M كمية قياسية، فإن هذا المؤثر هو التدرج ، ويمكن اعتباره مؤثرًا تفاضليًا جبريًا هندسيًا .

يمكن استخدام هذه العناصر مجتمعة لإعطاء شكل مضغوط بشكل خاص لمعادلات ماكسويل مع المصادر:

${\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} .}$

هذه المعادلة، عند تحليلها وفقًا للجبر الهندسي، باستخدام الضرب الهندسي الذي له تأثيرات رفع وخفض الدرجة، تُكافئ معادلات ماكسويل الأربع. وهي مرتبطة أيضًا بالجهد الكهرومغناطيسي الرباعي ، وهو متجه A يُعطى بواسطة

${\displaystyle \mathbf {A} ={\overline {A}}+{\frac {1}{c}}V\mathbf {e} _{4},}$

حيث A هو متجه الجهد المغناطيسي و V هو الجهد الكهربائي. ويرتبط هذا المتجه بالمتجه الكهرومغناطيسي الثنائي كما يلي

${\displaystyle \partial \mathbf {A} =-\mathbf {F} ,}$

باستخدام نفس المؤثر التفاضلي ∂ . ^{[ 22 ]}

كما هو الحال في الأبعاد الثلاثة والأربعة، يتم توليد الدوارات بواسطة الخريطة الأسية، لذلك

${\displaystyle \exp {{\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} }}$

يُولّد المتجه الثنائي B الدوّار . تُولّد المتجهات الثنائية البسيطة الدورانات البسيطة التي تحدث في مستوى دوران حول شفرة ثابتة ذات بُعد ( n - 2) ، بينما تُولّد المتجهات الثنائية الأخرى دورانات أكثر تعقيدًا يمكن وصفها بدلالة المتجهات الثنائية البسيطة التي هي مجموعها، ويرتبط كل منها بمستوى دوران. يمكن التعبير عن جميع المتجهات الثنائية كمجموع متجهات ثنائية بسيطة متعامدة وتبديلية، لذا يمكن دائمًا تحليل الدورانات إلى مجموعة من الدورانات التبديلية حول المستويات المرتبطة بهذه المتجهات الثنائية. زمرة الدوّارات في n بُعد هي زمرة الدوران ، Spin( n ) .

إحدى السمات البارزة، المتعلقة بعدد المتجهات الثنائية البسيطة وبالتالي مستويات الدوران، هي أن لكل دوران في الأبعاد الفردية محورًا ثابتًا - ومن المضلل تسميته محور دوران، إذ في الأبعاد الأعلى تحدث الدورانات في مستويات متعددة متعامدة معه. يرتبط هذا بالمتجهات الثنائية، حيث تتحلل المتجهات الثنائية في الأبعاد الفردية إلى نفس عدد المتجهات الثنائية الموجودة في البعد الزوجي الأدنى، وبالتالي يكون لها نفس عدد المستويات، ولكن ببعد إضافي. بما أن كل مستوى يُولّد دورانات في بعدين، فلا بد في الأبعاد الفردية من وجود بُعد واحد، أي محور، لا يدور. ^{[ 23 ]}

ترتبط المتجهات الثنائية أيضًا بمصفوفة الدوران في فضاء ذي n بُعد. وكما هو الحال في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن حل المعادلة المميزة للمصفوفة لإيجاد القيم الذاتية . في الفضاءات ذات الأبعاد الفردية، يكون لهذه المعادلة جذر حقيقي واحد، ويكون متجهها الذاتي هو المحور الثابت، أما في الفضاءات ذات الأبعاد الزوجية، فلا يكون لها جذور حقيقية، لذا فإن جميع الجذور أو جميعها باستثناء جذر واحد تكون أزواجًا مركبة مترافقة. يرتبط كل زوج بمكون بسيط من المتجه الثنائي المرتبط بالدوران. على وجه الخصوص، يمثل لوغاريتم كل زوج مقداره المطلق حتى الإشارة، بينما تكون المتجهات الذاتية المولدة من الجذور موازية للمتجه الثنائي، وبالتالي يمكن استخدامها لتوليد المتجه الثنائي. بشكل عام، تكون القيم الذاتية والمتجهات الثنائية فريدة، وتعطي مجموعة القيم الذاتية التفكيك الكامل إلى متجهات ثنائية بسيطة؛ أما إذا تكررت الجذور، فإن تفكيك المتجه الثنائي إلى متجهات ثنائية بسيطة لا يكون فريدًا.

كما ذُكر سابقًا، يمكن كتابة المتجه الثنائي على شكل مصفوفة متناظرة معكوسة، والتي تُولّد، عبر التحويل الأسي، مصفوفة دوران تصف نفس دوران الدوّار، المُولّد أيضًا بواسطة التحويل الأسي ولكن مُطبّق على المتجه. ويُستخدم أيضًا مع متجهات ثنائية أخرى مثل موتر السرعة الزاوية وموتر المجال الكهرومغناطيسي ، وهما على التوالي مصفوفة أو موتر متناظر معكوس من الرتبة 3×3 و4×4.

المتجهات الثنائية الحقيقية في ⋀ ² R ⁿ متماثلة مع المصفوفات المتناظرة المائلة من الرتبة n × n ، أو بديلًا عن ذلك مع الموترات المتناظرة العكسية من الدرجة 2 على R ⁿ . وبينما تتماثل المتجهات الثنائية مع المتجهات (عبر الثنائية) في ثلاثة أبعاد، يمكن تمثيلها بمصفوفات متناظرة مائلة في أي بُعد. وهذا مفيد لربط المتجهات الثنائية بالمسائل الموصوفة بالمصفوفات، بحيث يمكن إعادة صياغتها بدلالة المتجهات الثنائية، وإعطاؤها تفسيرًا هندسيًا، ومن ثم حلها غالبًا بسهولة أكبر أو ربطها هندسيًا بمسائل أخرى متعلقة بالمتجهات الثنائية. ^{[ 24 ]}

بشكلٍ أعم، كل جبر هندسي حقيقي متماثل مع جبر المصفوفات . تحتوي هذه الجبر على ثنائيات المتجهات كفضاء جزئي، وإن كان ذلك غالبًا بطريقة غير مفيدة بشكل خاص. تكمن أهمية هذه المصفوفات بشكل أساسي في كونها وسيلة لتصنيف جبر كليفورد. ^{[ 25 ]}