المكمل المتعامد

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 87 صور
الموسوعة الحرة

في مجالي الجبر الخطي والتحليل الوظيفي ، المتمم المتعامد للفضاء الجزئيدبليو{\displaystyle W}فضاء متجهيV{\displaystyle V}مزود بشكل ثنائي الخطب{\displaystyle B}هي المجموعةدبليو⊥{\displaystyle W^{\perp }}من بين جميع المتجهات فيV{\displaystyle V}التي تكون متعامدة مع كل متجه فيدبليو{\displaystyle W}يُطلق عليه بشكل غير رسمي اسم perp ، اختصارًا لكلمة المتمم العمودي . وهو فضاء جزئي منV{\displaystyle V}.

مثال

يتركV=(R5،⟨⋅،⋅⟩){\displaystyle V=(\mathbb {R} ^{5},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}ليكن الفضاء المتجهي مزودًا بالضرب النقطي المعتاد⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }(مما يجعلها مساحة منتج داخلي )، ودعدبليو={u∈V:أx=u، x∈R2}،{\displaystyle W=\{\mathbf {u} \in V:\mathbf {A} x=\mathbf {u} ,\ x\in \mathbb {R} ^{2}\},}مع أ=(1001263953).{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&6\\3&9\\5&3\\\end{pmatrix}}.} ثم مكملها المتعامددبليو⊥={v∈V:⟨u،v⟩=0  ∀ u∈دبليو}{\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {u} \in W\}}ويمكن تعريفها أيضاً على النحو التالي:دبليو⊥={v∈V:أ~y=v، y∈R3}،{\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\mathbf {\tilde {A}} y=\mathbf {v} ,\ y\in \mathbb {R} ^{3}\},}كون أ~=(-2-3-5-6-9-3100010001).{\displaystyle \mathbf {\tilde {A}} ={\begin{pmatrix}-2&-3&-5\\-6&-9&-3\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}

حقيقة أن كل متجه عمودي فيأ{\displaystyle \mathbf {A} }متعامد مع كل متجه عمودي فيأ~{\displaystyle \mathbf {\tilde {A}} }يمكن التحقق من ذلك بالحساب المباشر. ويترتب على خاصية الخطية الثنائية للجداء النقطي أن امتدادات هذه المتجهات متعامدة. وأخيرًا، يترتب على علاقات الأبعاد الموضحة أدناه أن هذه الفضاءات متعامدة ومكملة.

الأشكال الثنائية الخطية العامة

يتركV{\displaystyle V}ليكن فضاء متجهي على حقلF{\displaystyle \mathbb {F} }مزود بشكل ثنائي الخطب.{\displaystyle B.} نحن نحددu{\displaystyle \mathbf {u} }أن يكون متعامدًا من اليسار علىv{\displaystyle \mathbf {v} }، وv{\displaystyle \mathbf {v} }أن يكون متعامدًا على اليمين لـu{\displaystyle \mathbf {u} }، متىب(u،v)=0.{\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0.} بالنسبة لمجموعة جزئيةدبليو{\displaystyle W}لV،{\displaystyle V,}تعريف المتمم المتعامد الأيسردبليو⊥{\displaystyle W^{\perp }}يكون دبليو⊥={x∈V:ب(x،y)=0  ∀ y∈دبليو}.{\displaystyle W^{\perp }=\left\{\mathbf {x} \in V:B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\ \ \forall \ \mathbf {y} \in W\right\}.}

يوجد تعريف مماثل للمكمل المتعامد الأيمن. بالنسبة للصيغة الثنائية الخطية الانعكاسية ، حيثب(u،v)=0⟹ب(v،u)=0  ∀ u،v∈V{\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\يتضمن B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0\ \ \forall \ \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}تتطابق المتممات اليسرى واليمنى. سيكون هذا هو الحال إذاب{\displaystyle B}هو شكل متناظر أو متناوب .

يمتد التعريف إلى شكل ثنائي الخطية على وحدة حرة فوق حلقة تبديلية ، وإلى شكل شبه خطي ممتد ليشمل أي وحدة حرة فوق حلقة تبديلية مع اقتران . [ 1 ]

ملكيات

  • المتمم المتعامد هو فضاء جزئي منV{\displaystyle V};
  • لوX⊆Y{\displaystyle X\subseteq Y}ثمX⊥⊇Y⊥{\displaystyle X^{\perp }\supseteq Y^{\perp }};
  • الراديكالي​V⊥{\displaystyle V^{\perp }}لV{\displaystyle V}هو فضاء جزئي لكل مكمل متعامد؛
  • دبليو⊆(دبليو⊥)⊥{\displaystyle W\subseteq (W^{\perp })^{\perp }};
  • لوب{\displaystyle B}غير منحط وV{\displaystyle V}إذا كانت ذات أبعاد محدودة،خافت⁡(دبليو)+خافت⁡(دبليو⊥)=خافت⁡(V){\displaystyle \dim(W)+\dim(W^{\perp })=\dim(V)}.
  • لول1،...،لر{\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{r}}هي فضاءات جزئية من فضاء ذي أبعاد محدودةV{\displaystyle V}ول*=ل1∩⋯∩لر،{\displaystyle L_{*}=L_{1}\cap \cdots \cap L_{r},}ثمل*⊥=ل1⊥+⋯+لر⊥{\displaystyle L_{*}^{\perp }=L_{1}^{\perp }+\cdots +L_{r}^{\perp }}.

مساحات المنتج الداخلية

يتناول هذا القسم المكملات المتعامدة في فضاء الضرب الداخليح{\displaystyle H}[ 2 ]​

متجهانx{\displaystyle \mathbf {x} }وy{\displaystyle \mathbf {y} }تُسمى متعامدة إذا⟨x،y⟩=0{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}وهذا يحدث إذا وفقط إذا‖x‖≤‖x+sy‖ ∀{\displaystyle \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +s\mathbf {y} \|\ \forall }الكميات القياسيةs{\displaystyle s}[ 3 ]​

لوج{\displaystyle C}هي أي مجموعة جزئية من فضاء الضرب الداخليح{\displaystyle H}ثمالمكمل المتعامد فيح{\displaystyle H}الفضاء الفرعي المتجهي ج⊥:={x∈ح:⟨x،ج⟩=0  ∀ ج∈ج}={x∈ح:⟨ج،x⟩=0  ∀ ج∈ج}{\displaystyle {\begin{align}C^{\perp }:&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {x} ,\mathbf {c} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\\&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {c} ,\mathbf {x} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\end{محاذاة}}} وهي دائماً مجموعة جزئية مغلقة (وبالتالي، فضاء جزئي متجهي مغلق) منح{\displaystyle H}[ 3 ] [ البرهان 1 ] الذي يحقق ما يلي:

  • ج⊥=(clح⁡(فترة⁡ج))⊥{\displaystyle C^{\bot }=\left(\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\right)^{\bot }};
  • ج⊥∩clح⁡(فترة⁡ج)={0}{\displaystyle C^{\bot }\cap \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}};
  • ج⊥∩(فترة⁡ج)={0}{\displaystyle C^{\bot }\cap \left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}};
  • ج⊆(ج⊥)⊥{\displaystyle C\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }};
  • clح⁡(فترة⁡ج)⊆(ج⊥)⊥{\displaystyle \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }}.

لوج{\displaystyle C}هو فضاء متجهي جزئي من فضاء الضرب الداخليح{\displaystyle H}ثم ج⊥={x∈ح:‖x‖≤‖x+ج‖  ∀ ج∈ج}.{\displaystyle C^{\bot }=\left\{\mathbf {x} \in H:\|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +\mathbf {c} \|\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\right\}.} لوج{\displaystyle C}هو فضاء متجهي مغلق جزئي من فضاء هيلبرتح{\displaystyle H}ثم [ 3 ]ح=ج⊕ج⊥ و (ج⊥)⊥=ج{\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }\qquad {\text{ و }}\qquad \left(C^{\bot }\right)^{\bot }=C} أينح=ج⊕ج⊥{\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }}يُطلق عليه اسمالتحلل المتعامد لـح{\displaystyle H}داخلج{\displaystyle C}وج⊥{\displaystyle C^{\bot }}وهذا يدل على أنج{\displaystyle C}هو فضاء جزئي مكمل منح{\displaystyle H}مع الشكرج⊥.{\displaystyle C^{\bot }.}

ملكيات

يكون المتمم المتعامد مغلقًا دائمًا في الطوبولوجيا المترية . في الفضاءات ذات الأبعاد المحدودة، يُعدّ ذلك مجرد مثال على حقيقة أن جميع الفضاءات الجزئية للفضاء المتجهي مغلقة. أما في فضاءات هيلبرت ذات الأبعاد اللانهائية ، فبعض الفضاءات الجزئية ليست مغلقة، ولكن جميع المتممات المتعامدة تكون مغلقة.دبليو{\displaystyle W}هو فضاء متجهي جزئي من فضاء هيلبرت، وهو المتمم المتعامد للمتمم المتعامد لـدبليو{\displaystyle W}هل إغلاق​دبليو،{\displaystyle W,}إنه، (دبليو⊥)⊥=دبليو¯.{\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }={\overline {W}}.}

من الخصائص المفيدة الأخرى التي تبقى ثابتة دائمًا ما يلي.ح{\displaystyle H}كن فضاء هيلبرت ودعX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}لتكن فضاءات جزئية خطية. إذن:

  • X⊥=X¯⊥{\displaystyle X^{\bot }={\overline {X}}^{\bot }};
  • لوY⊆X{\displaystyle Y\subseteq X}ثمX⊥⊆Y⊥{\displaystyle X^{\bot }\subseteq Y^{\bot }};
  • X∩X⊥={0}{\displaystyle X\cap X^{\bot }=\{0\}};
  • X⊆(X⊥)⊥{\displaystyle X\subseteq (X^{\bot })^{\bot }};
  • لوX{\displaystyle X}هو فضاء خطي مغلق منح{\displaystyle H}ثم(X⊥)⊥=X{\displaystyle (X^{\bot })^{\bot }=X};
  • لوX{\displaystyle X}هو فضاء خطي مغلق منح{\displaystyle H}ثمح=X⊕X⊥،{\displaystyle H=X\oplus X^{\bot },}المجموع المباشر (الداخلي) .

يُعمم المكمل المتعامد إلى المُبيد ، ويعطي اتصال غالوا على مجموعات فرعية من فضاء الضرب الداخلي، مع عامل الإغلاق المرتبط به وهو الإغلاق الطوبولوجي للامتداد.

الأبعاد المحدودة

بالنسبة لفضاء الضرب الداخلي ذي الأبعاد المحدودة ذي البعدن{\displaystyle n}، المتمم المتعامد لـك{\displaystyle k}الفضاء الجزئي ذو الأبعاد هو(ن-ك){\displaystyle (n-k)}الفضاء الجزئي ذو الأبعاد n، والمكمل المتعامد المزدوج هو الفضاء الجزئي الأصلي: (دبليو⊥)⊥=دبليو.{\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }=W.}

لوأ∈ممن{\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {M} _{mn}}، أينR(أ){\displaystyle {\mathcal {R}}(\mathbf {A} )}،ج(أ){\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {A} )}، وشمال(أ){\displaystyle {\mathcal {N}}(\mathbf {A} )}يشير إلى مساحة الصف ، ومساحة العمود ، والمساحة الفارغة لـأ{\displaystyle \mathbf {A} }(على التوالي)، ثم [ 4 ](R(أ))⊥=شمال(أ) و (ج(أ))⊥=شمال(أتي).{\displaystyle \left({\mathcal {R}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} )\qquad {\text{ and }}\qquad \left({\mathcal {C}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }).}

مساحات باناش

يوجد نظير طبيعي لهذا المفهوم في فضاءات باناخ العامة . في هذه الحالة، يتم تعريف المتمم المتعامد لـدبليو{\displaystyle W}أن يكون فضاءً جزئياً من الفضاء الثنائي لـV{\displaystyle V}يُعرَّف بشكل مشابه باسم المُبيددبليو⊥={x∈V*:∀y∈دبليو،x(y)=0}.{\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\right\}.}

إنها دائماً فضاء فرعي مغلق منV*{\displaystyle V^{*}}. يوجد أيضًا نظير لخاصية المتمم المزدوج.دبليو⊥ ⊥{\displaystyle W^{\perp \perp }}هي الآن فضاء فرعي منV**{\displaystyle V^{**}}(وهو ليس مطابقًا لـ)V{\displaystyle V}ومع ذلك، فإن الفضاءات الانعكاسية لها تماثل طبيعيأنا{\displaystyle i}بينV{\displaystyle V}وV**{\displaystyle V^{**}}في هذه الحالة لديناأنادبليو¯=دبليو⊥ ⊥.{\displaystyle i{\overline {W}}=W^{\perp \perp }.}

هذه نتيجة مباشرة إلى حد ما لنظرية هان-باناخ .

التطبيقات

في النسبية الخاصة، يُستخدم المتمم المتعامد لتحديد المستوى الفائق المتزامن عند نقطة على خط العالم . الشكل الثنائي الخطيη{\displaystyle \eta }يُحدد استخدام فضاء مينكوفسكي فضاءً شبه إقليدي للأحداث. [ 5 ] يكون الأصل وجميع الأحداث على مخروط الضوء متعامدة ذاتيًا. عندما يكون تقييم حدث زمني وحدث مكاني مساويًا للصفر وفقًا للصيغة الثنائية الخطية، فإنهما يكونان متعامدين زائديًا . ينبع هذا المصطلح من استخدام القطوع الزائدة المترافقة في المستوى شبه الإقليدي: الأقطار المترافقة لهذه القطوع الزائدة تكون متعامدة زائديًا.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ إذاج=∅{\displaystyle C=\varnothing }ثمج⊥=ح،{\displaystyle C^{\bot }=H,}وهو مغلق فيح{\displaystyle H}لذا افترضج≠∅.{\displaystyle C\neq \varnothing .}يتركP:=∏ج∈جF{\textstyle P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F} }أينF{\displaystyle \mathbb {F} }هو الحقل القياسي الأساسي لـح{\displaystyle H}وحددل:ح→P{\displaystyle L:H\to P}بواسطةل(ح):=(⟨ح،ج⟩)ج∈ج،{\displaystyle L(h):=\left(\langle h,c\rangle \right)_{c\in C},}وهي متصلة لأن هذا ينطبق على كل إحداثياتهاح↦⟨ح،ج⟩.{\displaystyle h\mapsto \langle h,c\rangle .}ثمج⊥=ل-1(0)=ل-1({0}){\displaystyle C^{\bot }=L^{-1}(0)=L^{-1}\left(\{0\}\right)}مغلق فيح{\displaystyle H}لأن{0}{\displaystyle \{0\}}مغلق فيP{\displaystyle P}ول:ح→P{\displaystyle L:H\to P}متصلة. إذا⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }إذا كانت الدالة خطية في إحداثيها الأول (أو الثاني على التوالي)،ل:ح→P{\displaystyle L:H\to P}هي دالة خطية (أو دالة مضادة للخطية )؛ في كلتا الحالتين، نواتهاكير⁡ل=ل-1(0)=ج⊥{\displaystyle \operatorname {ker} L=L^{-1}(0)=C^{\bot }}هو فضاء متجهي جزئي منح.{\displaystyle H.}QED

مراجع

  1. ↑ أدكينز وواينتروب (1992) ص 359
  2. ↑ أدكينز ووينتروب (1992) ص 272
  3. 1 2 3 رودين 1991 ، ص 306-312.
  4. ↑ "المكمل المتعامد"
  5. ↑ جي دي بيركوف (1923) النسبية والفيزياء الحديثة ، الصفحات 62، 63، مطبعة جامعة هارفارد

فهرس