الفضاء الانعكاسي

مساحة باناش${\displaystyle X}$تكون انعكاسية إذا كانت متساوية القياس خطيًا مع ثنائيتها تحت هذا التضمين المتعارف عليه${\displaystyle J.}$يُعد فضاء جيمس مثالاً على فضاء غير انعكاسي متساوي القياس خطيًا مع فضاءه الثنائي . علاوة على ذلك، فإن صورة فضاء جيمس تحت التضمين الكنسي هي${\displaystyle J}$له بُعد مشترك يساوي واحدًا في بُعده الثنائي. ^{[ 2 ]} فضاء باناخ${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم شبه انعكاسي (من رتبة${\displaystyle d}$) إذا كان الناتج${\displaystyle X^{\prime \prime }/J(X)}$له أبعاد محدودة${\displaystyle d.}$

1. كل فضاء معياري محدود الأبعاد يكون انعكاسيًا، ببساطة لأنه في هذه الحالة، يكون للفضاء وثنائيته وثنائيته المزدوجة نفس البعد الخطي، ومن ثمّ يكون التباين الخطي متماثلًا.${\displaystyle J}$من التعريف يكون تقابلياً، بحسب نظرية الرتبة والعدمية .
2. مساحة باناش${\displaystyle c_{0}}$إنّ المتتاليات العددية التي تؤول إلى الصفر عند اللانهاية، والمجهزة بمعيار القيمة العليا، ليست انعكاسية. ويترتب على ذلك من الخصائص العامة أدناه أن${\displaystyle \ell ^{1}}$و${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ليست انعكاسية، لأن${\displaystyle \ell ^{1}}$متماثل مع ثنائي${\displaystyle c_{0}}$و${\displaystyle \ell ^{\infty }}$متماثل مع ثنائي${\displaystyle \ell ^{1}.}$
3. جميع فضاءات هيلبرت انعكاسية، وكذلك فضاءات Lp${\displaystyle L^{p}}$ل${\displaystyle 1<p<\infty .}$وبشكل أعم: جميع فضاءات باناخ المحدبة بانتظام هي فضاءات انعكاسية وفقًا لنظرية ميلمان-بيتيس .${\displaystyle L^{1}(\mu )}$و${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$الفضاءات ليست انعكاسية (إلا إذا كانت ذات أبعاد محدودة، وهو ما يحدث على سبيل المثال عندما${\displaystyle \mu }$(هو مقياس على مجموعة منتهية). وبالمثل، فضاء باناخ${\displaystyle C([0,1])}$من الدوال المتصلة على${\displaystyle [0,1]}$ليس انعكاسياً.
4. المساحات${\displaystyle S_{p}(H)}$المؤثرات في فئة شاتن على فضاء هيلبرت${\displaystyle H}$تكون محدبة بشكل منتظم، وبالتالي انعكاسية، عندما${\displaystyle 1<p<\infty .}$ عندما يكون بُعد${\displaystyle H}$إذا كانت لانهائية، فإن${\displaystyle S_{1}(H)}$( فئة التتبع ) ليست انعكاسية، لأنها تحتوي على فضاء جزئي متماثل مع${\displaystyle \ell ^{1},}$و${\displaystyle S_{\infty }(H)=L(H)}$(المؤثرات الخطية المحدودة على${\displaystyle H}$) ليس انعكاسيًا، لأنه يحتوي على فضاء جزئي متماثل مع${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ في كلتا الحالتين، يمكن اختيار الفضاء الجزئي ليكون قطري المؤثرات بالنسبة إلى أساس متعامد معين من${\displaystyle H.}$

بما أن كل فضاء معياري محدود الأبعاد هو فضاء باناخ انعكاسي ، فإن الفضاءات اللانهائية الأبعاد فقط هي التي يمكن أن تكون غير انعكاسية.

إذا كان فضاء باناش${\displaystyle Y}$متماثل مع فضاء باناخ انعكاسي${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle Y}$هو انعكاسي. ^{[ 3 ]}

كل فضاء جزئي خطي مغلق من فضاء انعكاسي هو فضاء انعكاسي. الفضاء الثنائي المتصل لفضاء انعكاسي هو فضاء انعكاسي. كل فضاء خارج قسمة من فضاء انعكاسي على فضاء جزئي مغلق هو فضاء انعكاسي. ^{[ 4 ]}

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاء باناخ. ما يلي متكافئ.

1. المساحة${\displaystyle X}$هو انعكاسي.
2. الازدواجية المستمرة لـ${\displaystyle X}$هو انعكاسي. ^{[ 5 ]}
3. كرة الوحدة المغلقة لـ${\displaystyle X}$تكون متراصة في الطوبولوجيا الضعيفة . (وهذا ما يُعرف بنظرية كاكوتاني.) ^{[ 6 ]}
4. كل تسلسل محدود في${\displaystyle X}$يحتوي على متتالية فرعية متقاربة بشكل ضعيف. ^{[ 7 ]}
5. تتحقق عبارة ليمّة ريز عندما يكون العدد الحقيقي ^{[ ملاحظة 1 ]} بالضبط${\displaystyle 1.}$^{[ 8 ]} بشكل صريح، لكل فضاء متجهي مغلق مناسب${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle X,}$يوجد متجه ما${\displaystyle u\in X}$معيار الوحدة${\displaystyle \|u\|=1}$بحيث${\displaystyle \|u-y\|\geq 1}$للجميع${\displaystyle y\in Y.}$
   • استخدام${\displaystyle d(u,Y):=\inf _{y\in Y}\|u-y\|}$للدلالة على المسافة بين المتجه${\displaystyle u}$والمجموعة${\displaystyle Y,}$ويمكن إعادة صياغة ذلك بلغة أبسط على النحو التالي:${\displaystyle X}$تكون خاصية الانعكاسية إذا وفقط إذا كان لكل فضاء متجهي مغلق ومناسب${\displaystyle Y,}$يوجد متجه ما${\displaystyle u}$على الكرة الوحدة لـ${\displaystyle X}$وهذا يمثل دائمًا مسافة لا تقل عن${\displaystyle 1=d(u,Y)}$بعيدًا عن الفضاء الفرعي.
   • على سبيل المثال، إذا كان فضاء باناخ الانعكاسي${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{3}}$يتمتع بالمعيار الإقليدي المعتاد و${\displaystyle Y=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{0\}}$هو${\displaystyle x-y}$ثم النقاط${\displaystyle u=(0,0,\pm 1)}$تحقيق النتيجة${\displaystyle d(u,Y)=1.}$لو${\displaystyle Y}$بل هو${\displaystyle z}$ثم على المحور -، كل نقطة تنتمي إلى دائرة الوحدة في${\displaystyle x-y}$الطائرة تحقق النتيجة.
6. كل دالة خطية متصلة على${\displaystyle X}$يبلغ ذروته على الكرة المغلقة ذات الوحدة في${\displaystyle X.}$^{[ 9 ]} (نظرية جيمس)

بما أن المجموعات المحدبة المغلقة معيارياً في فضاء باناخ تكون مغلقة ضعيفاً، ^{[ 10 ]} فإنه يترتب من الخاصية الثالثة أن المجموعات المحدبة المغلقة والمحدودة في فضاء انعكاسي${\displaystyle X}$تكون متراصة بشكل ضعيف. وبالتالي، لكل متتالية متناقصة من المجموعات الفرعية المحدبة المغلقة والمحدودة غير الفارغة من${\displaystyle X,}$التقاطع غير فارغ. ونتيجة لذلك، فإن كل دالة محدبة متصلة${\displaystyle f}$على مجموعة فرعية محدبة مغلقة${\displaystyle C}$ل${\displaystyle X,}$بحيث تكون المجموعة $${\displaystyle C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}}$$ هي غير فارغة ومحدودة لعدد حقيقي ما${\displaystyle t,}$تصل إلى أدنى قيمة لها في${\displaystyle C.}$

الخاصية الهندسية الموعودة لفضاءات باناخ الانعكاسية هي التالية: إذا${\displaystyle C}$هي مجموعة فرعية محدبة مغلقة وغير فارغة من الفضاء الانعكاسي${\displaystyle X,}$ثم لكل${\displaystyle x\in X}$يوجد${\displaystyle c\in C}$بحيث${\displaystyle \|x-c\|}$يقلل المسافة بين${\displaystyle x}$ونقاط${\displaystyle C.}$ ويترتب على ذلك النتيجة السابقة للدوال المحدبة، المطبقة على${\displaystyle f(y)+\|y-x\|.}$ لاحظ أنه بينما المسافة الدنيا بين${\displaystyle x}$و${\displaystyle C}$يتم تعريفها بشكل فريد بواسطة${\displaystyle x,}$النقطة${\displaystyle c}$ليس كذلك. أقرب نقطة${\displaystyle c}$فريد من نوعه عندما${\displaystyle X}$محدبة بشكل منتظم.

تكون فضاءات باناخ الانعكاسية قابلة للفصل إذا وفقط إذا كان فضاءها الثنائي المتصل قابلاً للفصل. وينتج هذا من حقيقة أنه لكل فضاء معياري${\displaystyle Y,}$قابلية فصل الثنائية المستمرة${\displaystyle Y^{\prime }}$يشير ذلك إلى قابلية الفصل لـ${\displaystyle Y.}$^{[ 11 ]}

بشكل غير رسمي، فضاء باناخ فائق الانعكاس${\displaystyle X}$له الخاصية التالية: بالنظر إلى فضاء باناخ عشوائي${\displaystyle Y,}$إذا كانت جميع الفضاءات الفرعية ذات الأبعاد المحدودة من${\displaystyle Y}$لدي نسخة مشابهة جداً موجودة في مكان ما في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle Y}$يجب أن يكون انعكاسياً. وفقاً لهذا التعريف، فإن الفضاء${\displaystyle X}$يجب أن تكون هي نفسها انعكاسية. كمثال بسيط، كل فضاء باناخ${\displaystyle Y}$التي تكون فضاءاتها الفرعية ثنائية الأبعاد متساوية القياس مع الفضاءات الفرعية لـ${\displaystyle X=\ell ^{2}}$يحقق قانون متوازي الأضلاع ، ومن ثم ^{[ 12 ]}${\displaystyle Y}$هو فضاء هيلبرت، لذلك${\displaystyle Y}$هو فعل انعكاسي. لذا${\displaystyle \ell ^{2}}$هو شديد الانعكاسية.

لا يستخدم التعريف الرسمي التماثلات، بل يستخدم التماثلات شبه المتماثلة. فضاء باناخ${\displaystyle Y}$يمكن تمثيلها بشكل محدود ^{[ 13 ]} في فضاء باناخ${\displaystyle X}$إذا كان لكل فضاء جزئي محدود الأبعاد${\displaystyle Y_{0}}$ل${\displaystyle Y}$وكل${\displaystyle \epsilon >0,}$يوجد فضاء فرعي${\displaystyle X_{0}}$ل${\displaystyle X}$بحيث تكون المسافة الضربية بين باناخ ومازور${\displaystyle X_{0}}$و${\displaystyle Y_{0}}$يرضي $${\displaystyle d\left(X_{0},Y_{0}\right)<1+\varepsilon .}$$

فضاء باناخ قابل للتمثيل بشكل محدود في${\displaystyle \ell ^{2}}$هو فضاء هيلبرت. كل فضاء باناخ قابل للتمثيل بشكل نهائي في${\displaystyle c_{0}.}$مساحة Lp${\displaystyle L^{p}([0,1])}$يمكن تمثيلها بشكل محدود في${\displaystyle \ell ^{p}.}$

مساحة باناش${\displaystyle X}$تكون فائقة الانعكاسية إذا كانت جميع فضاءات باناخ${\displaystyle Y}$قابلة للتمثيل بشكل نهائي في${\displaystyle X}$هي انعكاسية، أو بعبارة أخرى، إذا لم يكن هناك مساحة غير انعكاسية${\displaystyle Y}$يمكن تمثيلها بشكل محدود في${\displaystyle X.}$ يُتيح مفهوم الضرب الفائق لمجموعة من فضاءات باناخ ^{[ 14 ] تعريفًا موجزًا: فضاء باناخ}${\displaystyle X}$يكون شديد الانعكاس عندما تكون قواه الخارقة انعكاسية.

أثبت جيمس أن الفضاء يكون فائق الانعكاس إذا وفقط إذا كان نظيره فائق الانعكاس. ^{[ 13 ]}

يستخدم جيمس في أحد توصيفاته للانعكاسية الفائقة نمو الأشجار المنفصلة. ^{[ 15 ]} يبدأ وصف الشجرة الثنائية المتجهة بشجرة ثنائية جذرية مُعَلَّمة بمتجهات: شجرة ذات ارتفاع${\displaystyle n}$في فضاء باناش${\displaystyle X}$هي عائلة من${\displaystyle 2^{n+1}-1}$متجهات${\displaystyle X,}$يمكن تنظيمها في مستويات متتالية، بدءًا من المستوى  0 الذي يتكون من متجه واحد${\displaystyle x_{\varnothing },}$جذر الشجرة، متبوعًا، لـ${\displaystyle k=1,\ldots ,n,}$من قبل عائلة من${\displaystyle s^{k}}$متجهان يشكلان مستوى${\displaystyle k:}$$${\displaystyle \left\{x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}\right\},\quad \varepsilon _{j}=\pm 1,\quad j=1,\ldots ,k,}$$ التي هي أبناء رؤوس المستوى${\displaystyle k-1.}$ بالإضافة إلى بنية الشجرة ، يُشترط هنا أن يكون كل متجه يمثل رأسًا داخليًا للشجرة هو نقطة المنتصف بين فرعيه: $${\displaystyle x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k<n.}$$

معطى عدد حقيقي موجب${\displaystyle t,}$يقال إن الشجرة${\displaystyle t}$-مفصولة إذا كان لكل رأس داخلي، يكون الطفلان${\displaystyle t}$-مفصولة وفقًا لمعيار الفضاء المحدد: $${\displaystyle \left\|x_{1}-x_{-1}\right\|\geq t,\quad \left\|x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}\right\|\geq t,\quad 1\leq k<n.}$$

النظرية ^{[ 15 ]} فضاء باناخ${\displaystyle X}$تكون فائقة الانعكاسية إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle t\in (0,2\pi ],}$يوجد عدد${\displaystyle n(t)}$بحيث يكون كل${\displaystyle t}$-شجرة منفصلة موجودة في كرة الوحدة لـ${\displaystyle X}$طوله أقل من${\displaystyle n(t).}$

الفضاءات المحدبة بانتظام هي فضاءات فائقة الانعكاس. ^{[ 15 ]} ليكن${\displaystyle X}$أن يكون محدبًا بشكل منتظم، بمعامل تحدب${\displaystyle \delta _{X}}$ودع${\displaystyle t}$ليكن عددًا حقيقيًا في${\displaystyle (0,2].}$ بناءً على خصائص معامل التحدب، أ${\displaystyle t}$-شجرة منفصلة ذات ارتفاع${\displaystyle n,}$يجب أن تكون جميع النقاط الموجودة داخل الكرة الموحدة مستوية.${\displaystyle n-1}$محصورة داخل كرة نصف قطرها${\displaystyle 1-\delta _{X}(t)<1.}$بالاستقراء، يترتب على ذلك أن جميع النقاط ذات المستوى${\displaystyle n-k}$يتم احتواؤها داخل كرة نصف قطرها $${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{j},\ j=1,\ldots ,n.}$$

إذا كان الارتفاع${\displaystyle n}$كان كبيرًا جدًا لدرجة $${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{n-1}<t/2,}$$ ثم النقطتان${\displaystyle x_{1},x_{-1}}$لا يمكن أن يكون المستوى الأول${\displaystyle t}$-مفصولة، خلافًا للافتراض. وهذا يعطي الحد المطلوب${\displaystyle n(t),}$وظيفة${\displaystyle \delta _{X}(t)}$فقط.

باستخدام توصيف الشجرة، أثبت إنفلو ^{[ 16 ]} أن فضاءات باناخ فائقة الانعكاس تقبل معيارًا محدبًا منتظمًا مكافئًا. تُعد الأشجار في فضاء باناخ حالة خاصة من المارتينجالات ذات القيم المتجهة . وبإضافة تقنيات من نظرية المارتينجالات العددية، حسّن بيزييه نتيجة إنفلو من خلال إظهار ^{[ 17 ]} أن الفضاء فائق الانعكاس${\displaystyle X}$يقبل معيارًا محدبًا منتظمًا مكافئًا يحقق فيه مقياس التحدب، لبعض الثوابت${\displaystyle c>0}$وعدد حقيقي${\displaystyle q\geq 2,}$$${\displaystyle \delta _{X}(t)\geq c\,t^{q},\quad {\text{ whenever }}t\in [0,2].}$$

لو${\displaystyle X}$إذا كانت فضاءات هاوسدورف محدبة محليًا، فإن ما يلي متكافئ:

1. ${\displaystyle X}$هو انعكاسي؛
2. ${\displaystyle X}$شبه انعكاسي وذو قاعدة قصيرة ؛ ^{[ 23 ]}
3. ${\displaystyle X}$شبه انعكاسي وبرميلي الشكل ؛
4. ${\displaystyle X}$هو برميلي الشكل والطوبولوجيا الضعيفة على${\displaystyle X}$كان يتمتع بخاصية هاين-بوريل (أي، بالنسبة للطوبولوجيا الضعيفة)${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$كل مجموعة فرعية مغلقة ومحدودة من${\displaystyle X_{\sigma }}$(ضعيفة التراص). ^{[ 1 ]}
5. ${\displaystyle X}$شبه انعكاسي وشبه أسطواني . ^{[ 25 ]}

لو${\displaystyle X}$إذا كان الفضاء معياريًا، فإن ما يلي متكافئ:

1. ${\displaystyle X}$هو انعكاسي؛
2. تكون الكرة المغلقة متراصة عندما${\displaystyle X}$يتميز ببنية ضعيفة${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right).}$^{[ 26 ]}
3. ${\displaystyle X}$هو فضاء باناش و${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$هو انعكاسي. ^{[ 27 ]}
4. كل تسلسل${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty },}$مع${\displaystyle C_{n+1}\subseteq C_{n}}$للجميع${\displaystyle n}$من المجموعات الفرعية المحدبة المغلقة والمحدودة غير الفارغة من${\displaystyle X}$له تقاطع غير فارغ. ^{[ 28 ]}

المساحات المعيارية

الفضاء المعياري شبه الانعكاسي هو فضاء باناخ انعكاسي. ^{[ 30 ]} الفضاء المتجهي المغلق في فضاء باناخ انعكاسي هو فضاء انعكاسي. ^{[ 23 ]}

يترك${\displaystyle X}$كن مساحة باناش و${\displaystyle M}$فضاء متجهي مغلق من${\displaystyle X.}$إذا كان اثنان من${\displaystyle X,M,}$و${\displaystyle X/M}$إذا كانت انعكاسية، فجميعها كذلك. ^{[ 23 ]} ولهذا السبب يُشار إلى الانعكاسية على أنها خاصية ثلاثية الأبعاد . ^{[ 23 ]}

الفضاءات المتجهة الطوبولوجية

إذا كانت فضاءات هاوسدورف المحدبة محليًا ذات شكل برميلي شبه انعكاسية، فإنها تكون انعكاسية. ^{[ 1 ]}

الفضاء الثنائي القوي للفضاء الانعكاسي هو فضاء انعكاسي. ^{[ 31 ]} كل فضاء مونتيل هو فضاء انعكاسي. ^{[ 26 ]} والفضاء الثنائي القوي لفضاء مونتيل هو فضاء مونتيل (وبالتالي هو فضاء انعكاسي). ^{[ 26 ]}

الفضاء الانعكاسي هاوسدورف المحدب محليًا يكون أسطوانيًا . إذا${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً معيارياً${\displaystyle I:X\to X^{\prime \prime }}$هو قياس متساوي القياس على فضاء فرعي مغلق من${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$^{[ 30 ]} يمكن التعبير عن هذا التساوي في القياس بما يلي: $${\displaystyle \|x\|=\sup _{\stackrel {x^{\prime }\in X^{\prime },}{\|x^{\prime }\|\leq 1}}\left|\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \right|.}$$

لنفترض أن${\displaystyle X}$هو فضاء معياري و${\displaystyle X^{\prime \prime }}$هل ثنائيها مزود بالمعيار الثنائي؟ إذن، كرة الوحدة لـ${\displaystyle X,}$${\displaystyle I(\{x\in X:\|x\|\leq 1\})}$ كثيف في كرة الوحدة ${\displaystyle \left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\left\|x^{\prime \prime }\right\|\leq 1\right\}}$ ل${\displaystyle X^{\prime \prime }}$بالنسبة للطوبولوجيا الضعيفة${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right).}$^{[ 30 ]}

1. كل فضاء متجهي طوبولوجي هاوسدورف ذو أبعاد محدودة هو فضاء انعكاسي، لأن${\displaystyle J}$هي تقابلية بواسطة الجبر الخطي، ولأن هناك طوبولوجيا فضاء متجه هاوسدورف فريدة على فضاء متجه ذي أبعاد محدودة.
2. مساحة معيارية${\displaystyle X}$تكون الفضاءات المعيارية انعكاسية إذا وفقط إذا كانت انعكاسية كفضاءات محدبة محليًا. وينتج هذا من حقيقة أنه بالنسبة للفضاء المعياري${\displaystyle X}$فضاءه المعياري المزدوج${\displaystyle X^{\prime }}$يتطابق الفضاء المتجهي الطوبولوجي مع الفضاء الثنائي القوي${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$وكنتيجة طبيعية، خريطة التقييم${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$يتوافق مع خريطة التقييم${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$وتصبح الشروط التالية متكافئة:
   1. ${\displaystyle X}$هو فضاء معياري انعكاسي (أي،${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$(هو تماثل للفضاءات المعيارية).
   2. ${\displaystyle X}$هو فضاء محدب محليًا انعكاسي (أي،${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$هو تماثل للفضاءات المتجهة الطوبولوجية ^{[ 18 ]} )،
   3. ${\displaystyle X}$هو فضاء محدب محليًا شبه انعكاسي (أي،${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$(شامل).
3. يُمكن الحصول على مثال (اصطناعي إلى حد ما) لفضاء شبه انعكاسي غير انعكاسي على النحو التالي: ليكن${\displaystyle Y}$ليكن فضاء باناخ انعكاسي لانهائي الأبعاد، وليكن${\displaystyle X}$ليكن فضاء المتجهات الطوبولوجي${\displaystyle \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right),}$أي الفضاء المتجهي${\displaystyle Y}$مزودة بالطوبولوجيا الضعيفة. ثم يكون الثنائي المستمر لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y^{\prime }}$هي نفس مجموعة الدوال، ومجموعات فرعية محدودة من${\displaystyle X}$(أي، المجموعات الفرعية المحدودة بشكل ضعيف من${\displaystyle Y}$) محدودة بالمعيار، ومن ثم فضاء باناخ${\displaystyle Y^{\prime }}$هو الثنائي القوي لـ${\displaystyle X.}$منذ${\displaystyle Y}$هي انعكاسية، وهي صيغة المثنى المستمر لـ${\displaystyle X^{\prime }=Y^{\prime }}$يساوي الصورة${\displaystyle J(X)}$ل${\displaystyle X}$في إطار التضمين المتعارف عليه${\displaystyle J,}$ لكن الطوبولوجيا على${\displaystyle X}$(الطوبولوجيا الضعيفة لـ${\displaystyle Y}$) ليست طوبولوجيا قوية${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right),}$وهو ما يعادل طوبولوجيا المعيار لـ${\displaystyle Y.}$
4. فضاءات مونتيل هي فضاءات متجهة طوبولوجية انعكاسية محدبة محليًا. وعلى وجه الخصوص، فإن الفضاءات الوظيفية التالية، التي تُستخدم بكثرة في التحليل الوظيفي، هي فضاءات انعكاسية محدبة محليًا: ^{[ 32 ]}
   • المساحة${\displaystyle C^{\infty }(M)}$الدوال الملساء على مشعب أملس (حقيقي) عشوائي${\displaystyle M,}$ومساحته المزدوجة القوية${\displaystyle \left(C^{\infty }\right)^{\prime }(M)}$توزيعات ذات دعم مضغوط على${\displaystyle M,}$
   • المساحة${\displaystyle {\mathcal {D}}(M)}$دوال سلسة ذات دعم مضغوط على مشعب سلس (حقيقي) عشوائي${\displaystyle M,}$ومساحته المزدوجة القوية${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(M)}$توزيعات على${\displaystyle M,}$
   • المساحة${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$الدوال الهولومورفية على مشعب معقد عشوائي${\displaystyle M,}$ومساحته المزدوجة القوية${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\prime }(M)}$من الدوال التحليلية على${\displaystyle M,}$
   • مساحة شوارتز${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ومساحته المزدوجة القوية${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$من التوزيعات المعتدلة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

• يوجد نظام TVS غير انعكاسي محدب محليًا، ويكون نظامه الثنائي القوي انعكاسيًا. ^{[ 33 ]}

• برناردس، نيلسون سي. الابن (2012)، حول المتتاليات المتداخلة للمجموعات المحدبة في فضاءات باناخ ، المجلد  389، مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات، الصفحات 558-561  .
• كونواي، جون ب. (1985). دورة في التحليل الوظيفي . سبرينغر.
• ديستل، جو (1984). المتتابعات والمتسلسلات في فضاءات باناخ . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-90859-5. OCLC 9556781 . 
• إدواردز، ر. إي. (1965). التحليل الوظيفي: النظرية والتطبيقات . نيويورك: هولت، راينهارت ووينستون. ISBN 0030505356.
• جيمس، روبرت سي. (1972)، بعض الخصائص الذاتية المزدوجة للفضاءات الخطية المعيارية. ندوة حول الطوبولوجيا اللانهائية الأبعاد (جامعة ولاية لويزيانا، باتون روج، لويزيانا، 1967) ، حوليات الدراسات الرياضية، المجلد  69، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون، الصفحات 159-175 .
• خليل الله، إس إم (1982). أمثلة مضادة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة محاضرات في الرياضيات . المجلد  936. برلين، هايدلبرغ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 . 
• كولموغوروف، أ.ن .؛ فومين، س.ف. (1957). عناصر نظرية الدوال والتحليل الوظيفي، المجلد 1: الفضاءات المترية والمعيارية . روتشستر: مطبعة غرايلوك.
• ميغينسون، روبرت إي. (1998)، مقدمة في نظرية فضاء باناخ ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  183، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات  xx+596، ISBN 0-387-98431-3
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• شيفر، هيلموت هـ. (1966). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . نيويورك: شركة ماكميلان.
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .