فضاء شبه انعكاسي

لنفترض أن X هو فضاء متجهي طوبولوجي (TVS) على الحقل${\displaystyle \mathbb {F} }$(وهي إما أعداد حقيقية أو مركبة) التي فضاءها الثنائي المتصل ،${\displaystyle X^{\prime }}$، يفصل النقاط على X (أي لأي${\displaystyle x\in X}$يوجد بعض${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$بحيث${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$). يترك${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$و${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$كلاهما يشير إلى الفضاء الثنائي القوي لـ X ، وهو الفضاء المتجهي${\displaystyle X^{\prime }}$من الدوال الخطية المتصلة على X المزودة بطوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الجزئية المحدودة من X ؛ تُسمى هذه الطوبولوجيا أيضًا بالطوبولوجيا الثنائية القوية ، وهي الطوبولوجيا "الافتراضية" الموضوعة على فضاء ثنائي متصل (ما لم يتم تحديد طوبولوجيا أخرى). إذا كان X فضاءً معياريًا، فإن الفضاء الثنائي القوي لـ X هو الفضاء الثنائي المتصل.${\displaystyle X^{\prime }}$مع طوبولوجيا المعيار المعتادة. ثنائي X ، ويرمز له بـ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$، هو الصيغة الثنائية القوية لـ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$أي أنها المساحة${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$[ ^{1 ]​}

لأي${\displaystyle x\in X,}$يترك${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x)}$، أين${\displaystyle J_{x}}$تُسمى خريطة التقييم عند x ؛ لأن${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$بما أن الدالة متصلة بالضرورة، فإن ذلك يترتب عليه أن${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$. منذ${\displaystyle X^{\prime }}$يفصل النقاط على X ، الخريطة${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$محدد بواسطة${\displaystyle J(x):=J_{x}}$وهي دالة أحادية حيث تسمى هذه الخريطة خريطة التقييم أو الخريطة الأساسية . وقد قدم هانز هان هذه الخريطة في عام 1927. ^{[ 2 ]}

نسمي X شبه انعكاسي إذا${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$تكون الدالة تقابلية (أو مكافئًا لها، شاملة )، ونسمي X دالة انعكاسية إذا كانت بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$هو تماثل بين فضاءات TVS. ^{[ 1 ]} إذا كان X فضاءً معياريًا، فإن J هو تضمين TVS بالإضافة إلى كونه تماثلًا على مداه؛ علاوة على ذلك، وفقًا لنظرية غولدستين (التي تم إثباتها عام 1938)، فإن مدى J هو مجموعة جزئية كثيفة من الفضاء الثنائي.${\displaystyle \left(X^{\prime \prime },\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)\right)}$[ ^{2 ]} يكون الفضاء المعياري انعكاسيًا إذا وفقط إذا كان شبه انعكاسي. ^ويكون فضاء باناخ انعكاسيًا إذا وفقط إذا كانت كرة الوحدة المغلقة فيه${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-مضغوط. ^{[ 2 ]}

ليكن X فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا على حقل عددي${\displaystyle \mathbb {F} }$(من الأعداد الحقيقية)${\displaystyle \mathbb {R} }$أو الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$). ضع في اعتبارك فضاءه الثنائي القوي${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$، والتي تتكون من جميع الدوال الخطية المتصلة${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$وهو مزود ببنية قوية${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$أي، طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الجزئية المحدودة في X. الفضاء${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$هو فضاء متجهي طوبولوجي (بتعبير أدق، فضاء محدب محليًا)، لذا يمكن للمرء أن يعتبره فضاءه الثنائي القوي${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$، وهو ما يسمى بالفضاء الثنائي القوي لـ X. ويتكون من جميع الدوال الخطية المتصلة${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to {\mathbb {F} }}$وهو مزود ببنية قوية${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right)}$كل متجه${\displaystyle x\in X}$يُنشئ خريطة${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$وفقًا للصيغة التالية:

$${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.}$$

هذه دالة خطية متصلة على${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$، إنه،${\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$. يحصل المرء على خريطة تسمى خريطة التقييم أو الحقن المتعارف عليه :

$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$

وهي دالة خطية. إذا كانت X محدبة محليًا، فإنه من نظرية هان-باناخ يتبين أن J دالة أحادية ومفتوحة (أي، لكل جوار للصفر).${\displaystyle U}$في X توجد منطقة جوار ذات قيمة V تساوي صفرًا${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$بحيث${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$). لكنها قد تكون غير شاملة و/أو غير متصلة.

فضاء محدب محليًا${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم شبه انعكاسي إذا كانت خريطة التقييم ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$هي دالة شاملة (وبالتالي تقابلية)؛ وتسمى دالة انعكاسية إذا كانت خريطة التقييم ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$هي شاملة ومتصلة، وفي هذه الحالة سيكون J تماثلًا لـ TVSs ).