مساحة برميلية

في التحليل الوظيفي والمجالات الرياضية ذات الصلة ، يُعرف الفضاء البرميلي (أو الفضاء المغلق ) بأنه فضاء متجهي طوبولوجي ، حيث تمثل كل مجموعة برميلية فيه جوارًا للمتجه الصفري . والمجموعة البرميلية في الفضاء المتجهي الطوبولوجي هي مجموعة محدبة ، متوازنة ، ماصة ، ومغلقة . وتُدرس الفضاءات البرميلية لأن أحد أشكال نظرية باناخ-شتاينهاوس لا يزال ينطبق عليها. وقد قدم بورباكي ( 1950 ) مفهوم الفضاءات البرميلية . 

تُسمى المجموعة الفرعية المحدبة والمتوازنة من فضاء متجه حقيقي أو معقد قرصًا ، ويُقال إنها قرصية أو محدبة بشكل مطلق أو محدبة متوازنة .

أبرميل أوالمجموعة البرميلية فيالفضاء المتجهي الطوبولوجي(TVS) هي مجموعة فرعية عبارة عنامتصاصمغلق ؛ أي أن البرميل عبارة عن مجموعة فرعية محدبة ومتوازنة ومغلقة وممتصة.

يجب أن يحتوي كل برميل على معلومات عن المنشأ. إذا${\displaystyle \dim X\geq 2}$وإذا${\displaystyle S}$هي أي مجموعة جزئية من${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle S}$هي مجموعة محدبة ومتوازنة وجذابة من${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان كل هذا صحيحًا${\displaystyle S\cap Y}$في${\displaystyle Y}$لكل${\displaystyle 2}$فضاء متجهي ذو أبعاد${\displaystyle Y;}$وبالتالي إذا${\displaystyle \dim X>2}$ثم الشرط الذي ينص على أن يكون البرميل مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X}$هي الخاصية المميزة الوحيدة التي لا تعتمد كلياً على${\displaystyle 2}$الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد (أو أقل)${\displaystyle X.}$

لو${\displaystyle X}$إذا كان أي TVS، فإن كل جوار مغلق ومحدب ومتوازن للأصل هو بالضرورة برميل في${\displaystyle X}$(لأن كل جوار للأصل هو بالضرورة مجموعة جزئية ماصة). في الواقع، كل فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا له أساس جوار عند أصله يتكون بالكامل من مجموعات برميلية. مع ذلك، بشكل عام، قد توجد مجموعات برميلية ليست جوارات للأصل؛ "الفضاءات البرميلية" هي تحديدًا تلك الفضاءات المتجهة الطوبولوجية التي تكون فيها كل مجموعة برميلية بالضرورة جوارًا للأصل. كل فضاء متجهي طوبولوجي محدود الأبعاد هو فضاء برميلي، لذا لا يمكن إيجاد أمثلة على مجموعات برميلية ليست جوارات للأصل إلا في الفضاءات غير المحدودة الأبعاد.

يرمز بـ${\displaystyle L(X;Y)}$فضاء الخرائط الخطية المتصلة من${\displaystyle X}$داخل${\displaystyle Y.}$

لو${\displaystyle (X,\tau )}$هو فضاء متجهي طوبولوجي هاوسدورف (TVS) ذو فضاء ثنائي متصل${\displaystyle X^{\prime }}$إذن، ما يلي متكافئ:

1. ${\displaystyle X}$مُعبأ في برميل.
2. التعريف : كل برميل في${\displaystyle X}$هو حي الأصل.
   • يشبه هذا التعريف توصيفًا لأنظمة باير الانتقالية التي أثبتها ساكسون [1974]، والذي أثبت أن نظامًا انتقاليًا${\displaystyle Y}$تكون الفضاءات ذات الطوبولوجيا غير المتقطعة فضاء باير إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة جزئية متوازنة ماصة جوارًا لنقطة ما .${\displaystyle Y}$(ليس بالضرورة الأصل). ^{[ 2 ]}
3. لأي تلفزيون هاوسدورف${\displaystyle Y}$كل مجموعة فرعية محدودة نقطيًا من${\displaystyle L(X;Y)}$^{[ 3 ]}​
4. لأي مساحة F${\displaystyle Y}$كل مجموعة فرعية محدودة نقطيًا من${\displaystyle L(X;Y)}$^{[ 3 ]}​
   • الفضاء F هو نظام تلفزيوني كامل قابل للقياس .
5. كل عامل خطي مغلق من${\displaystyle X}$^{[ 4 ]} تحويل TVS إلى متري كامل أمر مستمر.
   • خريطة خطية${\displaystyle F:X\to Y}$يُطلق عليها اسم مجموعة مغلقة إذا كان رسمها البياني مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X\times Y.}$
6. كل تصميمات طوبولوجيا Hausdorff TVS${\displaystyle \nu }$على${\displaystyle X}$والتي لها أساس مجاور للأصل يتكون من${\displaystyle \tau }$المجموعة المغلقة أكثر خشونة من${\displaystyle \tau .}$^{[ 5 ]}

لو${\displaystyle (X,\tau )}$إذا كان الفضاء محدبًا محليًا، فيمكن توسيع هذه القائمة بإضافة ما يلي:

7. يوجد تلفزيون${\displaystyle Y}$عدم حمل الطوبولوجيا غير المنفصلة (على وجه الخصوص،${\displaystyle Y\neq \{0\}}$) بحيث تكون كل مجموعة جزئية محدودة نقطيًا من${\displaystyle L(X;Y)}$^{[ 2 ]} متساوية الاستمرارية.
8. لأي جهاز تلفزيون محدب محليًا${\displaystyle Y,}$كل مجموعة فرعية محدودة نقطيًا من${\displaystyle L(X;Y)}$^{[ 2 ]} متساوية الاستمرارية.
   • ويترتب على الوصفين السابقين أنه في فئة TVS المحدبة محليًا، فإن الفضاءات البرميلية هي بالضبط تلك التي ينطبق عليها مبدأ التقييد المنتظم.
9. كل${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$مجموعة جزئية محدودة من الفضاء الثنائي المتصل${\displaystyle X}$هي دالة متصلة بانتظام (وهذا يوفر عكسًا جزئيًا لنظرية باناخ-شتاينهاوس ). ^{[ 2 ] [ 6 ]}
10. ${\displaystyle X}$يحمل بنية ثنائية قوية${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right).}$^{[ 2 ]}
11. كل معيار شبه متصل سفلي على${\displaystyle X}$متصلة. ^{[ 2 ]}
12. كل خريطة خطية${\displaystyle F:X\to Y}$في فضاء محدب محليًا${\displaystyle Y}$هي شبه متصلة . ^{[ 2 ]}
    • خريطة خطية${\displaystyle F:X\to Y}$يُطلق عليه اسمشبه مستمر إذا كان لكل حي${\displaystyle V}$من أصل في${\displaystyle Y,}$إغلاق${\displaystyle F^{-1}(V)}$هو حي من أحياء الأصل في${\displaystyle X.}$
13. كل خريطة خطية شاملة${\displaystyle F:Y\to X}$من فضاء محدب محليًا${\displaystyle Y}$يكاد يكون مفتوحاً . ^{[ 2 ]}
    • هذا يعني أنه بالنسبة لكل حي${\displaystyle V}$من 0 في${\displaystyle Y,}$إغلاق${\displaystyle F(V)}$هي منطقة مجاورة لصفر في${\displaystyle X.}$
14. لو${\displaystyle \omega }$هي طوبولوجيا محدبة محليًا على${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle (X,\omega )}$له أساس مجاور عند نقطة الأصل يتكون من${\displaystyle \tau }$-المجموعات المغلقة، إذن${\displaystyle \omega }$أضعف من${\displaystyle \tau .}$^{[ 2 ]}

لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاء هاوسدورف محدبًا محليًا، فيمكن توسيع هذه القائمة بإضافة ما يلي:

15. نظرية الرسم البياني المغلق : كل مؤثر خطي مغلق${\displaystyle F:X\to Y}$إلى فضاء باناش${\displaystyle Y}$متصلة . ^{[ 7 ]}​
    • يُطلق على المؤثر الخطي اسم "مغلق" إذا كان رسمه البياني مجموعة جزئية مغلقة من${\displaystyle X\times Y.}$
16. لكل مجموعة جزئية${\displaystyle A}$من الفضاء الثنائي المتصل لـ${\displaystyle X,}$الخصائص التالية متكافئة:${\displaystyle A}$هو ^{[ 6 ]}
    1. متجانسة الاستمرارية؛
    2. مضغوطة بشكل ضعيف نسبياً؛
    3. محدد بقوة؛
    4. محدود بشكل ضعيف.
17. قواعد الأحياء الصفرية في${\displaystyle X}$والعائلات الأساسية للمجموعات المحدودة في${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$^{[ 6 ]} تتوافق مع بعضها البعض من حيث القطبية .

لو${\displaystyle X}$إذا كان الفضاء الشعاعي الطوبولوجي قابلاً للقياس، فيمكن توسيع هذه القائمة بإضافة ما يلي:

18. لأي تلفزيون قابل للقياس بالكامل${\displaystyle Y}$كل متتالية محدودة نقطيًا في${\displaystyle L(X;Y)}$^{[ 3 ]}​

لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاء متجهًا طوبولوجيًا قابلًا للقياس ومحدبًا محليًا، فيمكن توسيع هذه القائمة بإضافة ما يلي:

19. (الخاصية S ): الطوبولوجيا الضعيفة* على${\displaystyle X^{\prime }}$مكتملة بالتسلسل . ^{[ 8 ]}
20. (الخاصية ج ): كل مجموعة جزئية محدودة ضعيفة* من${\displaystyle X^{\prime }}$يكون${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-مضغوطة نسبيًا وقابلة للعد . ^{[ 8 ]}
21. (𝜎-barrelled ): كل مجموعة فرعية محدودة ضعيفة قابلة للعد من${\displaystyle X^{\prime }}$هي متصلة بشكل متساوٍ. ^{[ 8 ]}
22. (باير-لايك ):${\displaystyle X}$^{[ 8 ]} ليس اتحادًا لتسلسل متزايد من الأقراص غير الكثيفة في أي مكان .

كل فضاء من فضاءات المتجهات الطوبولوجية التالية يكون على شكل برميل:

1. أجهزة التلفزيون ذات المساحة البايرية .
   • وبالتالي، فإن كل فضاء متجهي طوبولوجي ينتمي إلى الفئة الثانية في حد ذاته يكون برميليًا.
2. فضاءات F ، وفضاءات فريشيه ، وفضاءات باناخ ، وفضاءات هيلبرت .
   • مع ذلك، توجد فضاءات متجهة معيارية ليست برميلية الشكل. على سبيل المثال، إذا كان${\displaystyle L^{p}}$-فضاء${\displaystyle L^{2}([0,1])}$يتم تصنيفها طوبولوجيًا على أنها فضاء فرعي من${\displaystyle L^{1}([0,1]),}$إذن فهو ليس برميلاً.
3. TVSs كاملة قابلة للقياس الزائف . ^{[ 9 ]}
   • وبالتالي، فإن كل جهاز TVS ذي أبعاد محدودة يكون أسطوانيًا.
4. مساحات مونتيل .
5. الفضاءات الثنائية القوية لفضاءات مونتيل (لأنها بالضرورة فضاءات مونتيل).
6. فضاء شبه برميلي محدب محليًا وهو أيضًا فضاء برميلي من نوع سيجما . ^{[ 10 ]}
7. فضاء شبه برميلي مكتمل تسلسلياً .
8. فضاء هاوسدورف شبه كامل محدب محليًا ذو بنية برميلية فرعية . ^{[ 2 ]}
   • يُطلق على نظام TVS اسم شبه كامل إذا كانت كل مجموعة فرعية مغلقة ومحدودة كاملة.
9. فضاء متجهي ذو شكل برميلي كثيف. ^{[ 2 ]}
   • وهكذا يتم إكمال المساحة الأسطوانية.
10. فضاء متجهي محدب محليًا من نوع هاوسدورف مع فضاء متجهي فرعي كثيف ذي بنية برميلية . ^{[ 2 ]}
    • وبالتالي فإن إكمال فضاء هاوسدورف المحدب محليًا ذي البنية الأسطوانية الفرعية يكون أسطوانيًا. ^{[ 2 ]}
11. فضاء متجهي فرعي من فضاء برميلي ذي أبعاد مشتركة قابلة للعد. ^{[ 2 ]}
    • على وجه الخصوص، فإن الفضاء المتجهي ذو الأبعاد المشتركة المحدودة للفضاء البرميلي يكون برميليًا.
12. TVS محدب محليًا ذو برميل فائق. ^{[ 11 ]}
13. تلفزيون هاوسدورف محدب محليًا${\displaystyle X}$بحيث تكون كل مجموعة جزئية محدودة بشكل ضعيف من فضاءها الثنائي المتصل متساوية الاستمرارية. ^{[ 12 ]}
14. تلفزيون محدب محليًا${\displaystyle X}$بحيث يكون لكل فضاء باناخ${\displaystyle B,}$خريطة خطية مغلقة لـ${\displaystyle X}$داخل${\displaystyle B}$هي بالضرورة متصلة. ^{[ 13 ]}
15. منتج من عائلة من المساحات الأسطوانية. ^{[ 14 ]}
16. مجموع مباشر محدب محليًا والحد الاستقرائي لعائلة من الفضاءات البرميلية. ^{[ 15 ]}
17. ناتج قسمة الفضاء الأسطواني. ^{[ 16 ] [ 15 ]}
18. مصفوفة هاوسدورف شبه برميلية كاملة متسلسلة ذات مجموع محدود. ^{[ 17 ]}
19. الفضاء الانعكاسي هاوسدورف المحدب محليًا يكون أسطوانيًا.

• مجموعة براميل
• مساحة قابلة للعد
• مساحة متميزة - تلفزيونات ذات قوة مزدوجة محاصرة 
• فضاء شبه برميلي
• مساحة فائقة الاتساع
• مبدأ التقييد المنتظم# تعميمات – نظرية تنص على أن التقييد النقطي يستلزم التقييد المنتظم 
• نظرية أورسيسكو – تعميم لنظرية الرسم البياني المغلق، والتطبيق المفتوح، والتقييد المنتظم 
• الفضاء الشبكي – الفضاء الذي تنطبق فيه نظريات الخرائط المفتوحة والرسوم البيانية المغلقة 

• فويغت، يورغن (2020). دورة في الفضاءات المتجهة الطوبولوجية . سلسلة كتب الرياضيات المختصرة. تشام: بيركهاوزر بازل . ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC 1145563701 . 
• ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .