خاصية الرسم البياني المغلق

{\displaystyle (0,0)} — دالة غير متصلة ذات رسم بياني غير مغلق: النقطة $(0,0)$ هي نقطة حدية ليست نقطة على الرسم البياني.

في الرياضيات ، وخاصة في التحليل الوظيفي والطوبولوجيا ، يُعد الرسم البياني المغلق خاصية من ^خواص الدوال . [ ^{1 ]}^{[ 2 ]} دالة حقيقية $y=f(x)$ تكون الدالة مغلقة إذا كان الرسم البياني مغلقًا، أي أنه يحتوي على جميع نقاط النهاية . كل دالة متصلة من هذا النوع لها رسم بياني مغلق، ولكن العكس ليس صحيحًا بالضرورة.

وبشكل أكثر عمومية، فإن الدالة $f : X \to Y$ بين الفضاءات الطوبولوجية لها رسم بياني مغلق إذا كان الرسم البياني الخاص بها مجموعة فرعية مغلقة من فضاء الضرب $X \times Y.$

تُدرس هذه الخاصية لوجود العديد من النظريات، المعروفة بنظريات الرسم البياني المغلق ، والتي تُحدد الشروط التي بموجبها تكون الدالة ذات الرسم البياني المغلق متصلة بالضرورة . ومن أشهر فئات نظريات الرسم البياني المغلق، نظريات الرسم البياني المغلق في التحليل الوظيفي .

التعريفات

الرسوم البيانية والدوال متعددة القيم

التعريف والرموز : الرسم البياني للدالة

f : X \to Y

هو المجموعة

Gr f := { (x, f (x)) : x \in X} = { (x, y) \in X \times Y : y = f (x)}

.

الترميز : إذا كانت

Y

مجموعة، فإن

مجموعة

القوى لـ

Y

، وهي مجموعة جميع المجموعات الجزئية لـ

Y

، يُرمز لها بـ

2Y

أو

𝒫(Y)

.

التعريف : إذا كانت

X

و

Y

مجموعتين، فإن الدالة متعددة القيم في

Y

على

X

(وتسمى أيضًا دالة متعددة القيم في

Y

على

X

) هي دالة

F

:

X

\to

2Y

مجالها

X

وقيمها في

2Y

. أي أن

F

دالة على X

بحيث

يكون لكل

x

\in

X

،

فإن

F

(

x

)

مجموعة جزئية من

Y.

يسمي بعض المؤلفين الدالة $F : X \to 2 Y$ دالة متعددة القيم فقط إذا كانت تفي بالشرط الإضافي وهو أن $F (x)$ ليست فارغة لكل $x \in X$ ؛ هذه المقالة لا تتطلب ذلك.

التعريف والرموز : إذا كانت

F : X \to 2Y

دالة متعددة القيم في مجموعة

Y

، فإن الرسم البياني لـ

F

هو المجموعة

Gr F := { (x, y) \in X \times Y : y \in F (x)}

.

التعريف : يمكن تحديد الدالة

f : X \to Y

بشكل قانوني مع الدالة متعددة القيم

F : X \to 2 Y

المعرفة بواسطة

F (x) := {f (x)}

لكل

x \in X

، حيث تسمى

F

الدالة متعددة القيم القانونية المستحثة بواسطة (أو المرتبطة بـ)

f

.

لاحظ أنه في هذه الحالة، $Gr f = Gr F$ .

رسم بياني مغلق

نقدم تعريفًا أكثر عموميةً لحالة كون دالة ذات قيم في $Y$ أو دالة ذات قيم في مجموعة، معرفة على مجموعة جزئية $S$ من $X$ ، تمتلك رسمًا بيانيًا مغلقًا، نظرًا لأهمية هذه العمومية في دراسة المؤثرات الخطية المغلقة المعرفة على فضاء جزئي كثيف $S$ من فضاء متجهي طوبولوجي $X$ (وليس بالضرورة على كامل $X$ ). تُعد هذه الحالة تحديدًا أحد الأسباب الرئيسية لدراسة الدوال ذات الرسوم البيانية المغلقة في التحليل الوظيفي.

الافتراضات : في جميع الحالات،

X

و

Y

فضاءان طوبولوجيان، و

S \subseteq X

، و

f

دالة ذات قيم في

Y

أو دالة متعددة القيم على

S

(أي

f : S \to Y

أو

f : S \to 2 Y

). سيكون

X \times Y

مزودًا دائمًا بطوبولوجيا الضرب .

التعريف : ^{[ 3 ]} نقول إن للدالة

f

رسمًا بيانيًا مغلقًا في $X \times Y$ إذا كان الرسم البياني للدالة

f

،

Gr f

، مجموعة جزئية مغلقة من

X \times Y

عندما تكون

X \times Y

مزودة بطوبولوجيا الضرب. إذا كانت

S = X

أو إذا كانت

X

واضحة من السياق، فيمكننا حذف عبارة "في

X \times Y

".

ملاحظة : إذا كانت

g : S \to Y

دالة و

G

هي الدالة المتعارف عليها متعددة القيم المستحثة بواسطة

g

(أي

G : S \to 2 Y

معرفة بواسطة

G (s) := {g (s)}

لكل

s \in S

) فبما أن

Gr g = Gr G

، فإن g

لها

رسم بياني مغلق (أو مغلق تسلسليًا) في

X \times Y

إذا وفقط إذا كان الشيء نفسه صحيحًا بالنسبة لـ

G.

الخرائط القابلة للإغلاق والإغلاقات

التعريف : نقول إن الدالة (أو الدالة متعددة القيم)

f

قابلة للإغلاق في $X \times Y$ إذا وُجدت مجموعة جزئية

D \subseteq X

تحتوي على

S

ودالة (أو دالة متعددة القيم)

F : D \to Y

يكون تمثيلها البياني مساويًا لإغلاق المجموعة

Gr f

في

X \times Y.

يُسمى هذا

F

إغلاقًا لـ $f$ في $X \times Y$ ، ويُرمز له بـ

f

، وهو بالضرورة امتداد لـ

f

.

افتراضات إضافية للتطبيقات الخطية : إذا كانت $S$ و $X$ و $Y$ فضاءات متجهة طوبولوجية، وكان $f : S \to Y$ تطبيقًا خطيًا، فإن تسمية $f$ قابلة للإغلاق تتطلب أيضًا أن تكون المجموعة $D$ فضاءً متجهيًا جزئيًا من $X$ وأن يكون إغلاق $f$ تطبيقًا خطيًا.

التعريف : إذا كانت

f

قابلة للإغلاق على

S

فإن المجال الأساسي أو الجوهري لـ

f

هو مجموعة جزئية

D \subseteq S

بحيث يكون الإغلاق في

X \times Y

للرسم البياني للتقييد

f | D : D \to Y

من

f

إلى

D

مساويًا لإغلاق الرسم البياني لـ

f

في

X \times Y

(أي أن إغلاق

Gr f

في

X \times Y

يساوي إغلاق

Gr f | D

في

X \times Y

).

الخرائط المغلقة والمؤثرات الخطية المغلقة

التعريف والرموز : عندما نكتب

f : D (f) \subseteq X \to Y

، فإننا نعني أن

f

دالة ذات قيم في

Y

ومجالها

D (f)

حيث

D (f) \subseteq X.

وإذا قلنا إن

f : D (f) \subseteq X \to Y

مغلقة (أو مغلقة تسلسليًا ) أو لها رسم بياني مغلق (أو لها رسم بياني مغلق تسلسليًا )، فإننا نعني أن الرسم البياني لـ

f

مغلق (أو مغلق تسلسليًا) في X

\times

Y

(

وليس في

D

(

f

) \times

Y

).

عند قراءة الأدبيات في التحليل الوظيفي ، إذا كانت $f : X \to Y$ عبارة عن تطبيق خطي بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية (TVSs) (مثل فضاءات باناخ )، فإن عبارة " $f$ مغلقة" تعني دائمًا تقريبًا ما يلي:

التعريف : يُطلق على التطبيق

f : X \to Y

اسم التطبيق المغلق إذا كان رسمه البياني مغلقًا في

X \times Y.

وعلى وجه الخصوص، فإن مصطلح " المؤثر الخطي المغلق " سيشير على الأرجح إلى تطبيق خطي يكون رسمه البياني مغلقًا.

بخلاف ذلك، وخاصة في الأدبيات المتعلقة بطوبولوجيا المجموعات النقطية ، قد تعني عبارة " $f$ مغلقة" ما يلي:

التعريف : يُطلق على التطبيق

f : X \to Y

بين الفضاءات الطوبولوجية اسم تطبيق مغلق إذا كانت صورة مجموعة فرعية مغلقة من

X

هي مجموعة فرعية مغلقة من

Y.

هذان التعريفان لمصطلح "الخريطة المغلقة" ليسا متطابقين. إذا كان الأمر غير واضح، يُنصح القارئ بالتحقق من تعريف "الخريطة المغلقة" في المراجع التي يقرأها.

الخصائص

في جميع الحالات، ليكن $X$ و $Y$ فضاءين طوبولوجيين.

دالة ذات رسم بياني مغلق

إذا كانت $f : X \to Y$ دالة، فإن ما يلي متكافئ:

$للدالة f$ رسم بياني مغلق (في $X \times Y$ )؛
(تعريف) الرسم البياني لـ $f$ ، $Gr f$ ، هو مجموعة فرعية مغلقة من $X \times Y$ ؛
لكل x ∈ X و net x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} في X بحيث x _• → x في X ، إذا كان y ∈ Y بحيث net f ( x _• ) := ( f ( x _i )) _{i ∈ I} → y في Y فإن y = f ( x ) ؛ ^{[ 3 ]}
- قارن هذا بتعريف الاستمرارية من حيث الشبكات، والذي هو كما يلي: لكل $x \in X$ و net $x • = (x i) i \in I$ في $X$ بحيث $x • \to x$ في $X$ ، $f (x •$ ) $\to$ $f$ $($ $x$ $)$ في $Y.$
- وبالتالي، لإثبات أن الدالة $f$ لها رسم بياني مغلق، يمكننا أن نفترض أن $f (x •)$ تتقارب في $Y$ إلى بعض $y \in Y$ (ثم نثبت أن $y = f (x)$ )، بينما لإثبات أن $f$ متصلة، لا يمكننا أن نفترض أن $f (x •)$ تتقارب في $Y$ إلى بعض $y \in Y$ ، بل يجب علينا بدلاً من ذلك إثبات أن هذا صحيح (علاوة على ذلك، يجب علينا بشكل أكثر تحديدًا إثبات أن $f (x •)$ تتقارب إلى $f (x)$ في $Y$ ).

وإذا كانت $Y$ فضاء هاوسدورف متراصًا ، فيمكننا إضافة ما يلي إلى هذه القائمة :

الدالة f

متصلة؛ ^{[ 4 ]}

وإذا كان كل من X $و$ Y $فضاءات$ قابلة للعد من الدرجة الأولى، فيمكننا إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

للدالة f

رسم بياني مغلق تسلسليًا (في

X \times Y

)؛

دالة ذات رسم بياني مغلق تسلسليًا

إذا كانت $f : X \to Y$ دالة، فإن ما يلي متكافئ:

$للدالة f$ رسم بياني مغلق تسلسليًا (في $X \times Y$ )؛
(تعريف) الرسم البياني لـ $f$ هو مجموعة فرعية مغلقة تسلسليًا من $X \times Y$ ؛
لكل $x \in X$ ومتتالية $x • = (x i) \infty i =1$ في $X$ بحيث $x • \to x$ في $X$ ، إذا كان $y \in Y$ بحيث تكون الشبكة $f (x •) := (f (x i)) \infty i =1 \to y$ في $Y$ فإن $y = f (x)$ ؛ ^{[ 3 ]}

دالة متعددة القيم ذات رسم بياني مغلق

إذا كانت $F : X \to 2 Y$ دالة متعددة القيم بين الفضاءات الطوبولوجية $X$ و $Y$ ، فإن ما يلي متكافئ:

$F$ لها رسم بياني مغلق (في $X \times Y$ )؛
(تعريف) الرسم البياني لـ $F$ هو مجموعة فرعية مغلقة من $X \times Y$ ؛

وإذا كانت $Y$ متراصة وذات خاصية هاوسدورف، فيمكننا إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

F

هي شبه متصلة من الأعلى و

F (x)

هي مجموعة فرعية مغلقة من

Y

لجميع

x \in X

؛ ^{[ 5 ]}

وإذا كان كل من $X$ و $Y$ فضاءات قابلة للقياس، فيمكننا إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

لكل

x \in X

،

y \in Y

، والمتتاليات

x • = (x i) \infty i =1

في

X

و

y • = (y i) \infty i =1

في

Y

بحيث

x • \to x

في

X

و

y • \to y

في

Y

، و

y i \in F (x i)

لكل

i

، فإن

y \in F (x)

.

خصائص الرسوم البيانية المغلقة (الطوبولوجيا العامة)

طوال الوقت، دع $X$ و $Y$ أن تكون فضاءات طوبولوجية و $X\times Y$ يتمتع ببنية المنتج.

دالة ذات رسم بياني مغلق

لو $f:X\to Y$ إذا كانت دالة، يُقال إن لها رسمًا بيانيًا مغلقًا إذا استوفت أيًا من الشروط التالية المتكافئة:

(تعريف): الرسم البياني $\operatorname {graph} f$ ل $f$ هي مجموعة فرعية مغلقة من $X\times Y.$
لكل $x\in X$ $x\in X$ والشبكة $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ في $X$ $X$ بحيث $x_{\bullet }\to x$ $x_{\bullet }\to x$ في $X,$ $X,$ لو $y\in Y$ $y\in Y$ بحيث تكون الشبكة $f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to y$ $f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to y$ في $Y$ $Y$ ثم $y=f(x).$ $y=f(x).$ ^{[ 3 ]}
- قارن هذا بتعريف الاستمرارية من حيث الشبكات، والذي يُذكرنا بما يلي: لكل $x\in X$ والشبكة $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ في $X$ بحيث $x_{\bullet }\to x$ في $X,$ $f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$ في $Y.$
- وبالتالي لإثبات أن الدالة $f$ إذا كان الرسم البياني مغلقًا، فيمكن افتراض أن $f\left(x_{\bullet }\right)$ يتقارب في $Y$ إلى البعض $y\in Y$ (ثم أظهر ذلك) $y=f(x)$ ) بينما لإظهار ذلك $f$ إذا كانت الدالة متصلة، فلا يجوز افتراض ذلك. $f\left(x_{\bullet }\right)$ يتقارب في $Y$ إلى البعض $y\in Y$ وبدلاً من ذلك، يجب إثبات صحة ذلك (علاوة على ذلك، يجب إثبات ذلك بشكل أكثر تحديدًا). $f\left(x_{\bullet }\right)$ يتقارب إلى $f(x)$ في $Y$ ).

وإذا $Y$ إذا كان هذا تصميمًا لمساحة هاوسدورف المدمجة، فيمكننا إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

$f$ متصلة. ^{[ 4 ]}

وإذا كان كلاهما $X$ و $Y$ إذا كانت المسافات قابلة للعد أولاً، فيمكننا إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

$f$ يحتوي على رسم بياني مغلق تسلسليًا في $X\times Y.$

دالة ذات رسم بياني مغلق تسلسليًا

لو $f:X\to Y$ إذا كانت دالة، فإن ما يلي متكافئ:

$f$ يحتوي على رسم بياني مغلق تسلسليًا في $X\times Y.$
التعريف: الرسم البياني لـ $f$ هي مجموعة فرعية مغلقة تسلسليًا من $X\times Y.$
لكل $x\in X$ والتسلسل $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ في $X$ بحيث $x_{\bullet }\to x$ في $X,$ لو $y\in Y$ بحيث تكون الشبكة $f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to y$ في $Y$ ثم $y=f(x).$ ^{[ 3 ]}

الشروط الكافية للرسم البياني المغلق

إذا كانت الدالة $f : X \to Y$ دالة متصلة بين فضاءات طوبولوجية، وكان $Y$ فضاءً هاوسدورف ، فإن $f$ تمتلك رسمًا بيانيًا مغلقًا في $X \times Y.$ ^{[ 3 ]} مع ذلك، إذا كانت $f$ دالة بين فضاءات طوبولوجية هاوسدورف، فمن الممكن أن تمتلك $f$ رسمًا بيانيًا مغلقًا في $X \times Y$ ولكنها ليست متصلة.

نظريات الرسم البياني المغلق

تُسمى الشروط التي تضمن أن تكون الدالة ذات الرسم البياني المغلق متصلة بالضرورة بنظريات الرسم البياني المغلق . وتكتسب هذه النظريات أهمية خاصة في التحليل الوظيفي، حيث توجد العديد من النظريات التي تُحدد الشروط التي تجعل التطبيق الخطي ذو الرسم البياني المغلق متصلاً بالضرورة.

إذا كانت $f : X \to Y$ دالة بين فضاءات طوبولوجية يكون رسمها البياني مغلقًا في $X \times Y$ ، وإذا كان $Y$ فضاءً متراصًا، فإن $f : X \to Y$ تكون دالة متصلة. ^{[ 3 ]}

أمثلة

خرائط متصلة ولكنها غير مغلقة

لنرمز بـ $X$ إلى مجموعة الأعداد الحقيقية $ℝ ذات$ الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة ، ولنرمز بـ $Y$ إلى $ℝ$ ذات الطوبولوجيا غير المتقطعة (مع ملاحظة أن $Y$ ليست طوبولوجيا هاوسدورف وأن كل دالة لها قيم في $Y$ متصلة). ولتكن $f : X \to Y$ معرفة بـ $f (0) = 1$ و $f (x) = 0$ لجميع $قيم x \neq 0.$ عندئذٍ، ^تكون $f : X \to Y$ متصلة، لكن تمثيلها البياني ليس مغلقًا في $X \times Y.$ ^[³ ]
إذا كان $X$ أي فضاء، فإن تطبيق التطابق $Id : X \to X$ متصل، لكن رسمه البياني، وهو القطر $Gr Id := { (x, x) : x \in X}$ ، يكون مغلقًا في $X \times X$ إذا وفقط إذا كان $X$ فضاء هاوسدورف. ^{[ 6 ]} على وجه الخصوص، إذا لم يكن $X فضاء هاوسدورف، فإن$ $Id : X \to X$ متصل ولكنه غير مغلق.
إذا كانت $f : X \to Y$ دالة متصلة ورسمها البياني غير مغلق، فإن Y ليس $فضاء$ هاوسدورف .

خرائط مغلقة ولكنها غير متصلة

لنفترض أن $X$ و $Y$ يمثلان مجموعتي الأعداد الحقيقية $ℝ ذات$ الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة . ولتكن $f : X \to Y$ معرفةً بالعلاقة $f (0) = 0$ و $f (x) = 1 / x$ لكل $x \neq 0.$ $عندئذٍ$ ، $يكون$ $للدالة f : X \to Y$ رسم بياني مغلق (ورسم بياني مغلق متسلسلًا) في $X \times Y = ℝ² ،$ لكنها غير متصلة (لوجود انقطاع عند $x = 0$ ). ^{[ 3 ]}
لنرمز بـ $X$ إلى الأعداد الحقيقية $ℝ ذات$ الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة ، ولنرمز بـ $Y$ إلى $ℝ$ ذات الطوبولوجيا المنفصلة ، ولتكن $Id : X \to Y$ دالة التطابق (أي $Id(x) := x$ لكل $x \in X$ ). عندئذٍ، تكون $Id : X \to Y$ دالة خطية يكون تمثيلها البياني مغلقًا في $X \times Y$ ، ولكنها من الواضح أنها غير متصلة (لأن المجموعات الأحادية مفتوحة في $Y$ وليست مفتوحة في $X$ ). ^{[ 3 ]}
ليكن $(X, 𝜏)$ فضاءً متجهيًا هاوسدورفيًا، وليكن $𝜐$ طوبولوجيا متجهة على $X$ أدق من $𝜏$ . عندئذٍ، يكون تطبيق التطابق $Id : (X, 𝜏) \to (X, 𝜐)$ مؤثرًا خطيًا مغلقًا غير متصل. ^{[ 7 ]}

انظر أيضاً

خريطة خطية شبه مفتوحة – خريطة تستوفي شرطًا مشابهًا لشرط كونها خريطة مفتوحة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لوجهات إعادة التوجيه
نظرية الرسم البياني المغلق – نظرية تربط الاستمرارية بالرسوم البيانية
نظرية الرسم البياني المغلق (التحليل الوظيفي) – نظريات تربط بين استمرارية الرسوم البيانية وإغلاقها
نظرية كاكوتاني للنقطة الثابتة – نظرية النقطة الثابتة للدوال متعددة القيم
نظرية التطبيق المفتوح (التحليل الوظيفي) – شرط أن يكون المؤثر الخطي مفتوحًا
الفضاء الشبكي – الفضاء الذي تنطبق فيه نظريات الخرائط المفتوحة والرسوم البيانية المغلقة
رسم الدالة المستمرة

مراجع

↑ باجز، إيفان (1974). "الدوال ذات الرسم البياني المغلق" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 43 (2): 439-442 . doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN 0002-9939 .
↑ أورسيسكو، كورنيليو (1975). "الدوال المتعددة ذات الرسم البياني المغلق المحدب" . المجلة الرياضية التشيكوسلوفاكية . 25 (3): 438-441 . doi : 10.21136/CMJ.1975.101337 . ISSN 0011-4642 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Narici & Beckenstein 2011 ، ص 459-483.
1 2 مونكرز 2000 ، ص. 171.
↑ أليبرانتيس، تشارلامبوس؛ كيم سي. بوردر (1999). "الفصل 17". التحليل اللانهائي الأبعاد: دليل المسافر ( الطبعة الثالثة). سبرينغر.
↑ رودين ص 50
↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 480.

كوته، جوتفريد (1983) [1969]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 159. ترجمة جارلينج، DJH New York: Springer Science & Business Media. رقم ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
كريجل، أندرياس ؛ ميخور، بيتر دبليو. (1997). الإطار الملائم للتحليل العالمي (ملف PDF) . دراسات وأبحاث رياضية. المجلد 53. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC 37141279 .
مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا ( الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول، إنك . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية )
ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية ( الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
روبرتسون، أليكس ب.؛ روبرتسون، ويندي ج. (1980). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات . المجلد 53. كامبريدج، إنجلترا: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 8 ( الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد 8 ( الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
شوارتز، تشارلز (1992). مقدمة في التحليل الوظيفي . نيويورك: إم. ديكر. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .

[1] باجز، إيفان (1974). "الدوال ذات الرسم البياني المغلق" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 43 (2): 439-442 . doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN 0002-9939 .

[2] أورسيسكو، كورنيليو (1975). "الدوال المتعددة ذات الرسم البياني المغلق المحدب" . المجلة الرياضية التشيكوسلوفاكية . 25 (3): 438-441 . doi : 10.21136/CMJ.1975.101337 . ISSN 0011-4642 .

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011459–483-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Narici & Beckenstein 2011 ، ص 459-483.

[FOOTNOTEMunkres2000171-4] 1 2 مونكرز 2000 ، ص. 171.

[aliprantis-5] أليبرانتيس، تشارلامبوس؛ كيم سي. بوردر (1999). "الفصل 17". التحليل اللانهائي الأبعاد: دليل المسافر ( الطبعة الثالثة). سبرينغر.

[6] رودين ص 50

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011480-7] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 480.

خواص

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗