نظرية الرسم البياني المغلق

الموسوعة الحرة
دالة تكعيبية
وظيفة هيفسايد
رسم بياني للدالة التكعيبيةو(x)=x3-9x{\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}على الفترة[-4،4]{\displaystyle [-4,4]}تكون الدالة مغلقة لأنها متصلة . رسم بياني لدالة هيفسايد على[-2،2]{\displaystyle [-2,2]}ليست مغلقة، لأن الدالة غير متصلة.

في الرياضيات ، قد تشير نظرية الرسم البياني المغلق إلى إحدى النتائج الأساسية العديدة التي تُحدد خصائص الدوال المتصلة بدلالة رسومها البيانية . وتُقدم كل نظرية شروطًا يكون فيها وجود دوال ذات رسوم بيانية مغلقة شرطًا أساسيًا لاستمرارية الدوال.

يسرد منشور مدونة [ 1 ] بقلم ت. تاو العديد من نظريات الرسم البياني المغلق في جميع أنحاء الرياضيات.

الرسوم البيانية والخرائط ذات الرسوم البيانية المغلقة

لوو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}إذا كانت دالة بين فضاءات طوبولوجية، فإن الرسم البياني لـو{\displaystyle f}هي المجموعةΓو:={(x،و(x)):x∈X}{\displaystyle \Gamma _{f}:=\{(x,f(x)):x\in X\}}أو ما يعادل ذلك، Γو:={(x،y)∈X×Y:y=و(x)}{\displaystyle \Gamma _{f}:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}} يقال إن الرسم البياني لـو{\displaystyle f}مغلق إذاΓو{\displaystyle \Gamma _{f}}هي مجموعة فرعية مغلقة منX×Y{\displaystyle X\times Y}(مع بنية المنتج ).

أي دالة متصلة في فضاء هاوسدورف لها رسم بياني مغلق (انظر §  نظرية الرسم البياني المغلق في طوبولوجيا مجموعة النقاط )

أي خريطة خطية،ل:X→Y،{\displaystyle L:X\to Y,}بين فضاءين متجهين طوبولوجيين تكون طوبولوجيتهما كاملة (كوشي) بالنسبة للمقاييس الثابتة تحت الإزاحة، وإذا كان بالإضافة إلى ذلك (1أ)ل{\displaystyle L}إذا كانت متصلة تسلسليًا بمعنى طوبولوجيا المنتج، فإن الخريطةل{\displaystyle L}الدالة متصلة، وبالتالي فإن رسمها البياني، Gr L ، مغلق بالضرورة. والعكس صحيح، إذال{\displaystyle L}هي خريطة خطية من هذا القبيل، مع استبدال (1أ) برسم بياني لـل{\displaystyle L}من المعروف أن (1ب) مغلق في فضاء الضرب الديكارتيX×Y{\displaystyle X\times Y}، ثمل{\displaystyle L}[ 2 ] متصلة، وبالتالي فهي متصلة تسلسليًا بالضرورة.

أمثلة على الخرائط المتصلة التي لا تحتوي على رسم بياني مغلق

لوX{\displaystyle X}أي مساحة هي خريطة الهويةبطاقة تعريف:X→X{\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}هي دالة متصلة، لكن رسمها البياني هو الرسم القطري.Γبطاقة تعريف:={(x،x):x∈X}،{\displaystyle \Gamma _{\operatorname {Id} }:=\{(x,x):x\in X\},}مغلق فيX×X{\displaystyle X\times X}إذا وفقط إذاX{\displaystyle X}هو هاوسدورف. [ 3 ] على وجه الخصوص، إذاX{\displaystyle X}أليس هاوسدورف هو المقصود؟بطاقة تعريف:X→X{\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}هي دالة متصلة ولكن ليس لها رسم بياني مغلق.

يتركX{\displaystyle X}تشير إلى الأعداد الحقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }باستخدام الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة ، ولتكنY{\displaystyle Y}دلR{\displaystyle \mathbb {R} }مع الطوبولوجيا غير المنفصلة (لاحظ أنY{\displaystyle Y}ليست هاوسدورف ، وأن كل دالة ذات قيم فيY{\displaystyle Y}(متصل). ليكنو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}يتم تعريفها بواسطةو(0)=1{\displaystyle f(0)=1}وو(x)=0{\displaystyle f(x)=0}للجميعx≠0{\displaystyle x\neq 0}. ثمو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي دالة متصلة، لكن رسمها البياني ليس مغلقًا فيX×Y{\displaystyle X\times Y}[ 4 ]​

نظرية الرسم البياني المغلق في طوبولوجيا المجموعات النقطية

في طوبولوجيا المجموعات النقطية ، تنص نظرية الرسم البياني المغلق على ما يلي:

نظرية الرسم البياني المغلق [ 5 ] — إذاو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي خريطة من فضاء طوبولوجيX{\displaystyle X}إلى مساحة هاوسدورفY،{\displaystyle Y,}ثم الرسم البياني لـو{\displaystyle f}مغلق إذاو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تكون متصلة . والعكس صحيح عندماY{\displaystyle Y}مضغوطة . ( لاحظ أن الضغط وهاوسدورف لا يستلزمان بعضهما البعض.)

دليل

الجزء الأول: لاحظ فقط أن الرسم البياني لـو{\displaystyle f}هو نفسه الصورة السابقة(و×بطاقة تعريفY)-1(د){\displaystyle (f\times \operatorname {id} _{Y})^{-1}(D)}أيند={(y،y)|y∈Y}{\displaystyle D=\{(y,y)\mid y\in Y\}}هل القطر فيY2{\displaystyle Y^{2}}.

الجزء الثاني:

لأي مفتوحV⊂Y{\displaystyle V\subset Y}، نتحققو-1(V){\displaystyle f^{-1}(V)}مفتوح. لذا خذ أي شيءx∈و-1(V){\displaystyle x\in f^{-1}(V)}، نقوم بإنشاء بعض الجوار المفتوحيو{\displaystyle U}لx{\displaystyle x}بحيثو(يو)⊂V{\displaystyle f(U)\subset V}.

بما أن الرسم البياني لـو{\displaystyle f}مغلق، لكل نقطة(x،y′){\displaystyle (x,y')}على "الخط العمودي عند x"، معy′≠و(x){\displaystyle y'\neq f(x)}ارسم مستطيلاً مفتوحاًيوy′×Vy′{\displaystyle U_{y'}\times V_{y'}}منفصل عن الرسم البياني لـو{\displaystyle f}هذه المستطيلات المفتوحة، عند إسقاطها على المحور الصادي، تغطي المحور الصادي باستثناء نقطة واحدة.و(x){\displaystyle f(x)}لذا أضف مجموعة أخرىV{\displaystyle V}.

محاولة ساذجة لأخذيو:=⋂y′≠و(x)يوy′{\displaystyle U:=\bigcap _{y'\neq f(x)}U_{y'}}سيقوم بإنشاء مجموعة تحتوي علىx{\displaystyle x}، ولكن ليس من المؤكد أن يكون مفتوحًا، لذلك نستخدم هنا خاصية التماسك.

منذY{\displaystyle Y}إذا كانت مضغوطة، فيمكننا أخذ غطاء مفتوح محدود منY{\displaystyle Y}مثل{V،Vy1′،...،Vyن′}{\displaystyle \{V,V_{y'_{1}},...,V_{y'_{n}}\}}.

والآن خذيو:=⋂أنا=1نيوyأنا′{\displaystyle U:=\bigcap _{i=1}^{n}U_{y'_{i}}}إنه حي مفتوحx{\displaystyle x}لأنها مجرد تقاطع محدود. ندعي أن هذا هو الجوار المفتوحيو{\displaystyle U}لx{\displaystyle x}هذا ما نريده.

لنفترض عكس ذلك، إذن هناك بعض الفوضىx′∈يو{\displaystyle x'\in U}بحيثو(x′)∉V{\displaystyle f(x')\not \in V}إذاً، فإن ذلك يعنيو(x′)∈Vyأنا′{\displaystyle f(x')\in V_{y'_{i}}}بالنسبة للبعضأنا{\displaystyle i}عن طريق التغطية المفتوحة، ولكن بعد ذلك(x′،و(x′))∈يو×Vyأنا′⊂يوyأنا′×Vyأنا′{\displaystyle (x',f(x'))\in U\times V_{y'_{i}}\subset U_{y'_{i}}\times V_{y'_{i}}}وهذا تناقض لأنه من المفترض أن يكون منفصلاً عن الرسم البياني لـو{\displaystyle f}.

إذا كانت X و Y فضاءات هاوسدورف متراصة، فيمكن استنتاج النظرية أيضًا من نظرية التطبيق المفتوح لمثل هذه الفضاءات؛ انظر §  العلاقة بنظرية التطبيق المفتوح .

نادرًا ما تُرى المساحات غير الهاوسدورفية، لكن المساحات غير المتراصة شائعة. مثال على المساحات غير المتراصةY{\displaystyle Y}هو الخط الحقيقي، الذي يسمح بدالة غير متصلة ذات رسم بياني مغلقو(x)={1x لو x≠0،0 آخر{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}{\text{ إذا }}x\neq 0,\\0{\text{ وإلا}}\end{cases}}}.

كذلك، فإن المؤثرات الخطية المغلقة في التحليل الوظيفي (المؤثرات الخطية ذات الرسوم البيانية المغلقة) عادة ما تكون غير متصلة.

بالنسبة للدوال متعددة القيم

نظرية الرسم البياني المغلق للدوال متعددة القيم [ 6 ] — لفضاء المدى المضغوط هاوسدورفY{\displaystyle Y}، دالة متعددة القيمF:X→2Y{\displaystyle F:X\to 2^{Y}}يكون الرسم البياني مغلقًا إذا وفقط إذا كان شبه متصل من الأعلى و F ( x ) مجموعة مغلقة لجميعx∈X{\displaystyle x\in X}.

في التحليل الوظيفي

لوتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}إذا كان عاملًا خطيًا بين فضاءات متجهة طوبولوجية (TVSs)، فإننا نقول إنتي{\displaystyle T}يكون عاملًا مغلقًا إذا كان الرسم البياني لـتي{\displaystyle T}مغلق فيX×Y{\displaystyle X\times Y}متىX×Y{\displaystyle X\times Y}يتمتع ببنية المنتج.

تُعدّ نظرية الرسم البياني المغلق نتيجةً مهمةً في التحليل الوظيفي، إذ تضمن استمرارية المؤثر الخطي المغلق في ظل شروط معينة. وقد عُمّمت هذه النتيجة الأصلية مرات عديدة. وفيما يلي أحد أشهر صيغ نظرية الرسم البياني المغلق.

النظرية [ 7 ] [ 8 ] - يكون التطبيق الخطي بين فضاءين من نوع F (مثل فضاءات باناخ ) متصلاً إذا وفقط إذا كان الرسم البياني الخاص به مغلقًا.

النظرية هي نتيجة لنظرية التطبيق المفتوح ؛ انظر §  العلاقة بنظرية التطبيق المفتوح أدناه (على العكس من ذلك، يمكن استنتاج نظرية التطبيق المفتوح بدورها من نظرية الرسم البياني المغلق).

العلاقة بنظرية التطبيق المفتوح

غالبًا ما تُستنتج نظريات الرسم البياني المغلق كنتائج لنظريات التطبيق المفتوح بالطريقة التالية. [ 1 ] [ 9 ] ليكنو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}لتكن أي خريطة. ثم يتم تحليلها على النحو التالي:

و:X→أناΓو→qY{\displaystyle f:X{\overset {i}{\to }}\Gamma _{f}{\overset {q}{\to }}Y}.

الآن،أنا{\displaystyle i}هو معكوس الإسقاطص:Γو→X{\displaystyle p:\Gamma _{f}\to X}لذا، إذا كانت نظرية التطبيق المفتوح صحيحة لـص{\displaystyle p}؛ أي،ص{\displaystyle p}إذا كانت خريطة مفتوحة،أنا{\displaystyle i}متصل ثمو{\displaystyle f}متصلة (كتركيب للخرائط المتصلة).

على سبيل المثال، تنطبق الحجة المذكورة أعلاه إذاو{\displaystyle f}هو مؤثر خطي بين فضاءات باناخ ذات رسم بياني مغلق، أو إذاو{\displaystyle f}هي خريطة ذات رسم بياني مغلق بين فضاءات هاوسدورف المدمجة.

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

  1. 1 2 "نظرية الرسم البياني المغلق في فئات مختلفة" . 21 نوفمبر 2012.
  2. ↑ رودين 1991 ، ص 51-52.
  3. ↑ رودين 1991 ، ص 50.
  4. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 459-483.
  5. ↑ مونكرز 2000 ، ص 163-172.
  6. ↑ أليبرانتيس، تشارلامبوس؛ كيم سي. بوردر (1999). "الفصل 17". التحليل اللانهائي الأبعاد: دليل المسافر ( الطبعة الثالثة). سبرينغر. 
  7. ↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 78.
  8. ↑ تريف (2006) ، ص 173
  9. ↑ نول، دومينيكوس (2024). "الفضاءات الطوبولوجية التي تحقق نظرية الرسم البياني المغلق". arXiv : 2403.03904 [ math.GN ].

فهرس