نظرية التعيين المفتوح (التحليل الوظيفي)

في التحليل الوظيفي ، تعد نظرية التطبيق المفتوح ، والمعروفة أيضًا باسم نظرية باناخ-شاودر أو نظرية باناخ ^{[ 1 ]} (المسماة على اسم ستيفان باناخ ويوليوس شاودر )، نتيجة أساسية تنص على أنه إذا كان عامل خطي محدود أو مستمر بين فضاءات باناخ شاملًا ، فإنه يكون تطبيقًا مفتوحًا .

تُسمى الحالة الخاصة أيضًا بنظرية المعكوس المحدود (وتُسمى أيضًا نظرية التحويل العكسي أو نظرية باناش للتماثل)، والتي تنص على أن المؤثر الخطي المحدود التقابلي${\displaystyle T}$من فضاء باناخ إلى آخر يكون له معكوس محدود${\displaystyle T^{-1}}$.

يعتمد البرهان هنا على نظرية باير للفئات ، واكتمال كليهما${\displaystyle E}$و${\displaystyle F}$يُعدّ هذا الأمر أساسيًا للنظرية. لم يعد نص النظرية صحيحًا إذا افترضنا أن أيًا من الفضاءين هو فضاء متجهي معياري فقط ؛ انظر §  مثال مضاد .

يستند البرهان إلى الليمات التالية، والتي لها أيضًا أهمية مستقلة إلى حد ما. التحويل الخطي${\displaystyle f:E\to F}$يُقال إن الفضاءات المتجهة الطوبولوجية شبه مفتوحة إذا كان لكل جوار${\displaystyle U}$الصفر، الإغلاق${\displaystyle {\overline {f(U)}}}$تحتوي على جوار يساوي الصفر. يمكن اعتبار اللمة التالية نسخة ضعيفة من نظرية التطبيق المفتوح.

الدليل: الانكماش${\displaystyle U}$، يمكننا أن نفترض${\displaystyle U}$هي كرة مفتوحة مركزها الصفر. لدينا${\displaystyle f(E)=f\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nU\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(nU)}$وبالتالي، بعض${\displaystyle {\overline {f(nU)}}}$يحتوي على نقطة داخلية${\displaystyle y}$أي، بالنسبة لنصف قطر معين${\displaystyle r>0}$،

${\displaystyle B(y,r)\subset {\overline {f(nU)}}.}$

ثم لأي${\displaystyle v}$في${\displaystyle F}$مع${\displaystyle \|v\|<r}$، عن طريق الخطية والتحدب و${\displaystyle (-1)U\subset U}$،

${\displaystyle v=v-y+y\in {\overline {f(-nU)}}+{\overline {f(nU)}}\subset {\overline {f(2nU)}}}$،

وهذا يثبت اللمة بالقسمة على${\displaystyle 2n}$.${\displaystyle \square }$(ينطبق نفس البرهان إذا${\displaystyle E,F}$(هي مساحات ما قبل فريشيه.)

تتيح اكتمالية المجال بعد ذلك الترقية من شبه مفتوح إلى مفتوح.

البرهان: ليكن${\displaystyle y}$كن في${\displaystyle B(0,\delta )}$و${\displaystyle c_{n}>0}$لدينا تسلسل معين. لدينا:${\displaystyle {\overline {B(0,\delta )}}\subset {\overline {f(B(0,1))}}}$وبالتالي، لكل${\displaystyle \epsilon >0}$و${\displaystyle z}$في${\displaystyle F}$، يمكننا أن نجد${\displaystyle x}$مع${\displaystyle \|x\|<\delta ^{-1}\|z\|}$و${\displaystyle z}$في${\displaystyle B(f(x),\epsilon )}$وبالتالي، أخذ${\displaystyle z=y}$، نجد${\displaystyle x_{1}}$بحيث

${\displaystyle \|yf(x_{1})\|<c_{1},\,\|x_{1}\|<\delta ^{-1}\|y\|.}$

بتطبيق الحجة نفسها مع${\displaystyle z=yf(x_{1})}$ثم نجد${\displaystyle x_{2}}$بحيث

$\displaystyle \|yf(x_{1})-f(x_{2})\|<c_{2},\,\|x_{2}\|<\delta ^{-1}c_{1}}$

حيث لاحظنا${\displaystyle \|x_{2}\|<\delta ^{-1}\|z\|<\delta ^{-1}c_{1}}$وهكذا دواليك. وبالتالي، إذا${\displaystyle c:=\sum c_{n}<\infty }$لقد وجدنا تسلسلًا${\displaystyle x_{n}}$بحيث${\displaystyle x=\sum _{1}^{\infty }x_{n}}$يتقارب و${\displaystyle f(x)=y}$. أيضًا،

${\displaystyle \|x\|\leq \sum _{1}^{\infty }\|x_{n}\|\leq \delta ^{-1}\|y\|+\delta ^{-1}c.}$

منذ${\displaystyle \delta ^{-1}\|y\|<1}$عن طريق صنع${\displaystyle c}$صغير بما يكفي، يمكننا تحقيق${\displaystyle \|x\|<1}$.${\displaystyle \square }$(مرة أخرى، يكون الدليل نفسه صحيحًا إذا${\displaystyle E,F}$(هي مساحات ما قبل فريشيه.)

برهان النظرية: بحسب نظرية باير للفئات، تنطبق اللمة الأولى. ومن ثم، فإن نتيجة النظرية تتبع من اللمة الثانية.${\displaystyle \square }$

بشكل عام، لا يُعدّ التقابل المستمر بين الفضاءات الطوبولوجية بالضرورة تماثلاً طوبولوجياً. فعند تطبيق نظرية التطبيقات المفتوحة، يُستدل على أن التقابل كافٍ.

على الرغم من أن نظرية المعكوس المحدود المذكورة أعلاه هي حالة خاصة من نظرية التطبيق المفتوح، إلا أن نظرية التطبيق المفتوح بدورها تتبع منها. في الواقع، المؤثر الخطي المستمر الشامل${\displaystyle T:E\to F}$العوامل كـ

${\displaystyle T:E{\overset {p}{\to }}E/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}F.}$

هنا،${\displaystyle T_{0}}$هي دالة متصلة وتقابلية، وبالتالي فهي تماثل مكاني وفقًا لنظرية المعكوس المحدود؛ وعلى وجه الخصوص، هي دالة مفتوحة. وبما أن دالة القسمة للمجموعات الطوبولوجية مفتوحة،${\displaystyle T}$مفتوح حينها.

ولأن نظرية التطبيق المفتوح ونظرية المعكوس المحدود هما في الأساس نفس النتيجة، فإنهما غالباً ما يطلق عليهما ببساطة نظرية باناش .

قد لا تنطبق نظرية التطبيق المفتوح على الفضاءات المعيارية غير الكاملة. وأسرع طريقة لتوضيح ذلك هي ملاحظة أن نظرية الرسم البياني المغلق ، وهي نتيجة لنظرية التطبيق المفتوح، لا تنطبق في حالة عدم الاكتمال. ولكن إليك مثالًا مضادًا أكثر وضوحًا. لنفترض الفضاء${\displaystyle X}$من التسلسلات${\displaystyle x:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} }$مع عدد محدود فقط من الحدود غير الصفرية المزودة بمعيار القيمة العليا . الخريطة${\displaystyle T:X\rightarrow X}$محدد بواسطة

$${\displaystyle Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)}$$

محدودة، خطية، وقابلة للعكس، ولكن${\displaystyle T^{-1}}$غير محدود. وهذا لا يتعارض مع نظرية المعكوس المحدود لأن${\displaystyle X}$ليست كاملة ، وبالتالي فهي ليست فضاء باناخ. ولإثبات أنها ليست كاملة، انظر إلى متتالية المتتاليات.${\displaystyle x^{(n)}\in X}$مقدم من

$${\displaystyle x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)}$$

يتقارب عندما${\displaystyle n\rightarrow \infty }$إلى التسلسل${\displaystyle x^{(\infty )}}$مقدم من

$${\displaystyle x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),}$$

والتي جميع حدودها غير صفرية، وبالتالي لا تقع في${\displaystyle X}$.

إتمام${\displaystyle X}$هل المساحة${\displaystyle c_{0}}$من بين جميع المتتاليات التي تتقارب إلى الصفر، وهو فضاء فرعي (مغلق) من فضاء ℓ ^p${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} )}$، وهو فضاء جميع المتتاليات المحدودة. ومع ذلك، في هذه الحالة، الخريطة${\displaystyle T}$ليست شاملة، وبالتالي ليست تقابلًا. ولتوضيح ذلك، يكفي ملاحظة أن المتتالية

$${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right),}$$

هو عنصر من${\displaystyle c_{0}}$، لكنها ليست ضمن نطاق${\displaystyle T:c_{0}\to c_{0}}$وينطبق المنطق نفسه على العرض${\displaystyle T}$كما أنه ليس على ما يرام في${\displaystyle \ell ^{\infty }}$، على سبيل المثال${\displaystyle x=\left(1,1,1,\dots \right)}$ليس ضمن نطاق${\displaystyle T}$.

حتى لو كان المجال كاملاً (أو المجال المقابل كاملاً)، فإن نظرية التطبيق المفتوح لا تزال تتطلب أن يكون كلا الفضائين كاملين. ولتوضيح ذلك، انظر إلى تطبيق التطابق من الفضاء${\displaystyle Y}$من المتتاليات القابلة للجمع المطلق (أي تلك التي لها معيار 1 محدود) مع معيار 1 للفضاء${\displaystyle Y}$بمعيار القيمة العليا. بما أن هذه الدالة متناقصة المعيار، فهي محدودة، لكنها ليست مفتوحة. لإثبات أن المجال يجب أن يكون كاملاً أيضًا، ليكن${\displaystyle (Z,\|\cdot \|)}$ليكن فضاء باناخ مع دالة خطية غير متصلة${\displaystyle f}$عليه. ثم${\displaystyle (Z,\|\cdot \|+|f(\cdot )|)}$هو فضاء معياري غير كامل، وخريطة الهوية من${\displaystyle (Z,\|\cdot \|+|f(\cdot )|)}$ل${\displaystyle (Z,\|\cdot \|)}$هي دالة متناقصة المعيار (وبالتالي محدودة) وهي ليست مفتوحة.

تترتب على نظرية التطبيق المفتوح عدة نتائج مهمة:

• لو${\displaystyle T:X\to Y}$هو مؤثر خطي متصل تقابلي بين فضاءات باناخ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y,}$ثم المؤثر العكسي${\displaystyle T^{-1}:Y\to X}$وهي متصلة أيضًا (وهذا ما يسمى بنظرية المعكوس المحدود ). ^{[ 10 ]}
• لو${\displaystyle T:X\to Y}$هو مؤثر خطي بين فضاءات باناخ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y,}$وإذا كان لكل تسلسل${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$في${\displaystyle X}$مع${\displaystyle x_{n}\to 0}$و${\displaystyle Tx_{n}\to y}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle y=0,}$ثم${\displaystyle T}$متصلة ( نظرية الرسم البياني المغلق ). ^{[ 11 ]}
• بفرض وجود مؤثر محدود${\displaystyle T:E\to F}$بين الفضاءات المعيارية، إذا كانت صورة${\displaystyle T}$غير ضئيل، وإذا${\displaystyle E}$إذا اكتملت، فـ${\displaystyle T}$مفتوح وشامل و${\displaystyle F}$مكتمل (لإثبات ذلك، استخدم اللمتين في برهان النظرية). ^{[ 12 ]}
• إن التسلسل الدقيق لفضاءات باناخ (أو بشكل عام فضاءات فريشيه) هو تسلسل دقيق طوبولوجيًا .
• تنص نظرية المدى المغلق على أن المؤثر (في ظل بعض الافتراضات) له صورة مغلقة إذا وفقط إذا كان منقوله له صورة مغلقة (انظر نظرية المدى المغلق#مخطط البرهان ).

لا تعني نظرية التطبيق المفتوح أن المؤثر الخطي الشامل المتصل يقبل مقطعًا خطيًا متصلًا. ما لدينا هو: ^{[ 9 ]}

• يقبل عامل خطي مستمر شامل بين فضاءات باناخ مقطعًا خطيًا مستمرًا إذا وفقط إذا كانت النواة مكملة طوبولوجيًا.

ينطبق ما سبق تحديدًا على مؤثر بين فضاءات هيلبرت أو مؤثر ذي نواة محدودة الأبعاد (بحسب نظرية هان-باناخ ). إذا تم التخلي عن شرط أن يكون المقطع خطيًا، فإن المؤثر الخطي المتصل الشامل بين فضاءات باناخ يقبل مقطعًا متصلًا؛ وهذه هي نظرية بارتل-غريفز . ^{[ 13 ] [ 14 ]}

التحدب المحلي لـ${\displaystyle X}$أو${\displaystyle Y}$ ليس شرطًا أساسيًا للبرهان، لكن الاكتمال ضروري: تظل النظرية صحيحة في حالة عندما${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي فضاءات F. علاوة على ذلك، يمكن دمج هذه النظرية مع نظرية فئة باير بالطريقة التالية:

(البرهان هو نفسه أساسًا في حالتي باناش أو فريشيه؛ نقوم بتعديل البرهان قليلاً لتجنب استخدام التحدب،)

علاوة على ذلك، في هذه الحالة الأخيرة إذا${\displaystyle N}$هو جوهر​${\displaystyle A,}$ثم هناك تحليل معياري لـ${\displaystyle A}$على شكل $${\displaystyle X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y}$$ أين${\displaystyle X/N}$هو فضاء القسمة (وهو أيضًا فضاء F) لـ${\displaystyle X}$بواسطة الفضاء الفرعي المغلق${\displaystyle N.}$ رسم الخرائط الناتج عن القسمة${\displaystyle X\to X/N}$مفتوح، والخرائط${\displaystyle \alpha }$هو تماثل للفضاءات المتجهة الطوبولوجية . ^{[ 16 ]}

ويمكن أيضاً صياغة حالة خاصة مهمة من هذه النظرية على النحو التالي:

من ناحية أخرى، يمكن تقديم صيغة أكثر عمومية، والتي تتضمن الصيغة الأولى:

الخرائط الخطية شبه المفتوحة/شبه المفتوحة

خريطة خطية${\displaystyle A:X\to Y}$يُطلق على العلاقة بين فضاءين متجهيين طوبولوجيين اسمخريطة شبه مفتوحة (أو في بعض الأحيان، خريطة شبه مفتوحة ) إذا كان لكل حي${\displaystyle U}$من الأصل في المجال، إغلاق صورته${\displaystyle \operatorname {cl} A(U)}$هو حي من أحياء الأصل في${\displaystyle Y.}$^{[ 18 ]} يستخدم العديد من المؤلفين تعريفًا مختلفًا لـ "الخريطة شبه المفتوحة" التي تتطلب أن يكون إغلاق${\displaystyle A(U)}$أن تكون منطقة مجاورة لمنطقة الأصل في${\displaystyle A(X)}$بدلاً من في${\displaystyle Y,}$^{[ 18 ]} لكن بالنسبة للتطبيقات الشاملة، تكون هذه التعريفات متكافئة. يكون التطبيق الخطي التقابلي شبه مفتوح إذا وفقط إذا كان معكوسه متصلاً. ^{[ 18 ]} كل تطبيق خطي شامل منفضاء التباين المكاني المحدب محليًاإلىفضاء التباين المكاني البرميليهوشبه مفتوح. ^{[ 19 ]} وينطبق الشيء نفسه على كل تطبيق خطي شامل من فضاء التباين المكاني إلىالمكاني باير. ^{[ 19 ]}

تُعد الفضاءات الشبكية فئة من الفضاءات المتجهة الطوبولوجية التي تنطبق عليها نظرية التعيين المفتوح ونظرية الرسم البياني المغلق .

• الرسم البياني المغلق – خاصية للدوال في الطوبولوجيا. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• نظرية الرسم البياني المغلق – نظرية تربط الاستمرارية بالرسوم البيانية 
• نظرية الرسم البياني المغلق (التحليل الوظيفي) – نظريات تربط بين استمرارية الرسوم البيانية وإغلاقها 
• نظرية التطبيق المفتوح (التحليل المركب) – نظرية الدوال التحليلية 
• التداخل بين فضاءات فريشيه – توصيف التداخل 
• نظرية أورسيسكو – تعميم لنظرية الرسم البياني المغلق، والتطبيق المفتوح، والتقييد المنتظم 
• الفضاء الشبكي – الفضاء الذي تنطبق فيه نظريات الخرائط المفتوحة والرسوم البيانية المغلقة 

• أداش، نوربرت؛ إرنست، برونو؛ كيم، ديتر (1978). الفضاءات المتجهة الطوبولوجية: النظرية بدون شروط التحدب . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  639. برلين - نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 . 
• باناخ ، ستيفان (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ نظرية العمليات الخطية ] (PDF) . Monografie Matematyczne (بالفرنسية). المجلد.  1. وارسو: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. زبل 0005.20901 . مؤرشفة من الأصلي (PDF) بتاريخ 2014-01-11 . تم الاسترجاع 2020-07-11 . 
• بربريان، ستيرلينغ ك. (1974). محاضرات في التحليل الوظيفي ونظرية المؤثرات . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  15. نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 . 
• بورباكي، نيكولا (1987) [1981]. مساحات المتجهات الطوبولوجية: الفصول 1-5 . عناصر الرياضيات . تمت الترجمة بواسطة Eggleston، HG. مادان، س. برلين نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 . 
• كونواي، جون ب. (1990). دورة في التحليل الوظيفي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  96 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 . 
• ديودوني ، جان (1970). رسالة في التحليل، المجلد الثاني . الصحافة الأكاديمية.
• إدواردز، روبرت إي. (1995). التحليل الوظيفي: النظرية والتطبيقات . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 . 
• غروتينديك، ألكسندر (1973). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . ترجمة أورلاندو شَلْجوب. نيويورك: دار نشر غوردون وبريتش للعلوم. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 . 
• جارشو، هانز (1981). الفضاءات المحدبة محليا . شتوتغارت: بي جي تيوبنر. رقم ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 . 
• كوته، جوتفريد (1983) [1969]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  159. ترجمة جارلينج، DJH New York: Springer Science & Business Media. رقم ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .  
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• روبرتسون، أليكس ب.؛ روبرتسون، ويندي ج. (1980). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات . المجلد  53. كامبريدج، إنجلترا: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 . 
• رودين، والتر (1973). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  25 (  الطبعة الأولى). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 9780070542259.
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• شوارتز، تشارلز (1992). مقدمة في التحليل الوظيفي . نيويورك: إم. ديكر. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 . 
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 
• فوجت، ديتمار (2000). "محاضرات عن مساحات فريشيه" (PDF) . جامعة بيرجيش فوبرتال.
• ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 . 

تتضمن هذه المقالة مواد من برهان نظرية التعيين المفتوح على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .

• "متى يكون مُركّب فضاءات باناخ مطابقًا تمامًا للمجموعات الأبيلية المُكثّفة؟" . MathOverflow . 6 فبراير 2021.