فضاء متجهي طوبولوجي كامل

قطر​​${\displaystyle X}$هي المجموعة ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}}$$ ولأي${\displaystyle N\subseteq X,}$الالحاشية النموذجية /المنطقة المحيطة${\displaystyle N}$هي المجموعة $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,y)\in X\times X~:~x-y\in N\}\\&=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\&=\Delta _{X}+(N\times \{0\})\end{alignedat}}}$$ أين إذا${\displaystyle 0\in N}$ثم${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$يحتوي على القطر${\displaystyle \Delta _{X}(\{0\})=\Delta _{X}.}$

لو${\displaystyle N}$هي مجموعة متناظرة (أي، إذا${\displaystyle -N=N}$)، ثم${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$متناظر ، وهذا يعني بحكم التعريف أن${\displaystyle \Delta _{X}(N)=\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }}$يحتفظ بمكان${\displaystyle \left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(y,x):(x,y)\in \Delta _{X}(N)\right\},}$بالإضافة إلى ذلك، فإن تركيب هذه المجموعة المتناظرة مع نفسها هو: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z)\in X\times X~:~{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\right\}\\&=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\&=\Delta _{X}+(N\times N).\end{alignedat}}}$$

لو${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هل أي أساس محلي في الأصل في${\displaystyle (X,\tau )}$ثم عائلة المجموعات الجزئية من${\displaystyle X\times X:}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\Delta _{X}(N):N\in {\mathcal {L}}\right\}}$ يوجد مرشح مسبق${\displaystyle X\times X.}$ لو${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$هل مرشح الجوار عند نقطة الأصل في${\displaystyle (X,\tau )}$ثم${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$يشكل قاعدة من المرافقين لهيكل موحد على${\displaystyle X}$يُعتبر ذلك قانونيًا . ^{[ 2 ]} وبشكل صريح، بحسب التعريف، فإنالتوحيد الكنسي على${\displaystyle X}$ناتج عن${\displaystyle (X,\tau )}$^{[ 2 ]} هوالمرشح${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$على${\displaystyle X\times X}$تم إنشاؤه بواسطة المرشح المسبق أعلاه : $${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{S\subseteq X\times X~:~{\text{there exists }}N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(0){\text{ such that }}\Delta _{X}(N)\subseteq S\right\}}$$ أين${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }}$يشير إلى الإغلاق التصاعدي لـ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$في${\displaystyle X\times X.}$ سيتحقق نفس التناسق المعياري باستخدام أساس الجوار للأصل بدلاً من مرشح جميع جوارات الأصل.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هل أي أساس محلي في الأصل في${\displaystyle (X,\tau )}$ثم الفلتر قيد التشغيل${\displaystyle X\times X}$تم إنشاؤه بواسطة المرشح المسبق${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}}$يساوي الانتظام المتعارف عليه${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$ناتج عن${\displaystyle (X,\tau ).}$

تتضمن النظرية العامة للفضاءات المنتظمة تعريفها الخاص لـ "مرشح كوشي المسبق" و"شبكة كوشي". أما بالنسبة للانتظام المتعارف عليه في${\displaystyle X,}$تُختزل هذه التعريفات إلى التعريفات الواردة أدناه.

يفترض${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$هي شبكة في${\displaystyle X}$و${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$هي شبكة في${\displaystyle Y.}$ المنتج${\displaystyle I\times J}$تصبح مجموعة موجهة عن طريق الإعلان${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle i\leq i_{2}}$و${\displaystyle j\leq j_{2}.}$ ثم $${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$ يشير إلى ( الإحداثيات الديكارتية )صافي المنتج ، حيث على وجه الخصوص${\textstyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}.}$لو${\displaystyle X=Y}$ثم صورة هذه الشبكة تحت خريطة جمع المتجهات${\displaystyle X\times X\to X}$يشير إلىمجموع هاتين الشبكتين: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$ وبالمثل بالنسبة لهميُعرَّف الفرق بأنه صورة شبكة المنتج تحت خريطة طرح المتجهات${\displaystyle (x,y)\mapsto x-y}$: $${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$ على وجه الخصوص، التدوين${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}-\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$يشير إلى${\displaystyle I^{2}}$الشبكة المفهرسة${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}}$وليس${\displaystyle I}$الشبكة المفهرسة${\displaystyle \left(x_{i}-x_{i}\right)_{i\in I}=(0)_{i\in I}}$لأن استخدام الأخير كتعريف سيجعل الترميز عديم الفائدة.

شبكة​${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$في تلفزيون${\displaystyle X}$تُسمى شبكة كوشي ^{[ 4 ]} إذا $${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0\quad {\text{ in }}X.}$$ وهذا يعني صراحةً أنه بالنسبة لكل حي${\displaystyle N}$ل${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X,}$يوجد فهرس ما${\displaystyle i_{0}\in I}$بحيث${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$لجميع المؤشرات${\displaystyle i,j\in I}$ذلك يرضي${\displaystyle i\geq i_{0}}$و${\displaystyle j\geq i_{0}.}$ يكفي التحقق من أي من هذه الشروط المحددة لأي أساس حي معين من${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X.}$متتالية كوشي هي متتالية تشكل أيضًا شبكة كوشي.

لو${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ثم${\displaystyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)}$في${\displaystyle X\times X}$وبالتالي استمرارية خريطة طرح المتجهات${\displaystyle S:X\times X\to X,}$والذي يتم تحديده بواسطة${\displaystyle S(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x-y,}$يضمن ذلك${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)\to S(x,x)}$في${\displaystyle X,}$أين${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)=\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }}$و${\displaystyle S(x,x)=x-x=0.}$ يثبت هذا أن كل شبكة متقاربة هي شبكة كوشي. وبحسب التعريف، يُطلق على الفضاء اسم الفضاء الكامل إذا كان العكس صحيحًا دائمًا. أي،${\displaystyle X}$تكتمل الحالة إذا وفقط إذا تحقق ما يلي:

حينما${\displaystyle x_{\bullet }}$هي شبكة في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle x_{\bullet }}$يتقارب (إلى نقطة ما) في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0}$في${\displaystyle X.}$

ينطبق وصف مماثل للاكتمال إذا تم استخدام المرشحات والمرشحات المسبقة بدلاً من الشبكات.

سلسلة${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$يُطلق عليه اسمسلسلة كوشي (على التوالي، أمتسلسلة متقاربة ) إذا كانت متتاليةالمجاميع الجزئية${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$هي متتالية كوشي (أو متتالية متقاربة ). ^{[ 5 ]} كل متسلسلة متقاربة هي بالضرورة متسلسلة كوشي. في نظام TVS كامل، كل متسلسلة كوشي هي بالضرورة متسلسلة متقاربة.

مرشح أولي${\displaystyle {\mathcal {B}}}$على فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم مرشح كوشي المسبق ^{[ 6 ]} إذا استوفى أيًا من الشروط المكافئة التالية:

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$في${\displaystyle X.}$
   • العائلة${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$هو مرشح أولي.
   • بشكل صريح،${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$هذا يعني أنه بالنسبة لكل حي${\displaystyle N}$من أصل في${\displaystyle X,}$يوجد${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}}$بحيث${\displaystyle B-C\subseteq N.}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$في${\displaystyle X.}$
   • العائلة${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$هو مرشح مسبق مكافئ لـ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}}$( التكافؤ يعني أن هذه المرشحات المسبقة تولد نفس المرشح على${\displaystyle X}$).
   • بشكل صريح،${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$هذا يعني أنه بالنسبة لكل حي${\displaystyle N}$من أصل في${\displaystyle X,}$يوجد بعض${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$بحيث${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
3. لكل حي${\displaystyle N}$من أصل في${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يحتوي على بعض${\displaystyle N}$- مجموعة صغيرة (أي، يوجد بعض${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$بحيث${\displaystyle B-B\subseteq N}$). ^{[ 6 ]}
   • مجموعة فرعية${\displaystyle B\subseteq X}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle N}$-صغير أوطلب صغير${\displaystyle N}$^{[ 6 ]} إذا${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
4. لكل حي${\displaystyle N}$من أصل في${\displaystyle X,}$يوجد بعض${\displaystyle x\in X}$وبعض${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$بحيث${\displaystyle B\subseteq x+N.}$^{[ 6 ]}
   • تبقى هذه العبارة صحيحة إذا "${\displaystyle B\subseteq x+N}$يتم استبدال " بـ "${\displaystyle x+B\subseteq N.}$"
5. كل حي من أحياء الأصل في${\displaystyle X}$يحتوي على مجموعة فرعية من الشكل${\displaystyle x+B}$أين${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

يكفي التحقق من أي من الشروط المذكورة أعلاه لأي منطقة معينة على أساس الحي${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X.}$مرشح كوشي هو مرشح كوشي أولي يعمل أيضًا كمرشح على${\displaystyle X.}$

لو${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هو مرشح مسبق على فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X}$وإذا${\displaystyle x\in X,}$ثم${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$و${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هو كوشي. ^{[ 3 ]}

لأي${\displaystyle S\subseteq X,}$مرشح أولي${\displaystyle {\mathcal {C}}}$على${\displaystyle S}$هي بالضرورة مجموعة فرعية من${\displaystyle \wp (S)}$؛ إنه،${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$من تلفزيون${\displaystyle (X,\tau )}$يُطلق عليه اسمتُعتبر المجموعة الجزئية كاملة إذا استوفت أيًا من الشروط المكافئة التالية:

1. كل مرشح مسبق من كوشي${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$على${\displaystyle S}$يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle S.}$
   • لو${\displaystyle X}$هل هاوسدورف هو كل مرشح مسبق على${\displaystyle S}$ستتقارب عند نقطة واحدة على الأكثر من${\displaystyle X.}$لكن إذا${\displaystyle X}$إذا لم يكن هاوسدورف، فقد يتقارب المرشح المسبق إلى نقاط متعددة في${\displaystyle X.}$وينطبق الأمر نفسه على الشباك.
2. كل شبكة كوشي في${\displaystyle S}$يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle S}$هو فضاء منتظم كامل (وفقًا لتعريف " الفضاء المنتظم الكامل " في طوبولوجيا مجموعة النقاط ) عندما${\displaystyle S}$يتمتع بالانتظام الذي يفرضه عليه الانتظام المتعارف عليه لـ${\displaystyle X.}$

المجموعة الفرعية${\displaystyle S}$يُطلق عليه اسممجموعة فرعية كاملة تسلسليًا إذا كانت كل متتالية كوشي في${\displaystyle S}$(أو ما يعادل ذلك، كل مرشح/مرشح أولي من نوع كوشي على${\displaystyle S}$) يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle S.}$

والأهم من ذلك، التقارب إلى نقاط خارج${\displaystyle S}$لا يمنع ذلك اكتمال المجموعة : إذا${\displaystyle X}$ليس من إنتاج هاوسدورف، وإذا كان كل مرشح مسبق من كوشي قيد التشغيل${\displaystyle S}$يتقارب إلى نقطة ما من${\displaystyle S,}$ثم${\displaystyle S}$ستكتمل العملية حتى لو تم تشغيل بعض أو كل مرشحات كوشي المسبقة${\displaystyle S}$كما أنها تتقارب إلى نقطة (نقاط) في${\displaystyle X\setminus S.}$باختصار، ليس هناك أي شرط يلزم أن تعمل مرشحات كوشي المسبقة هذه${\displaystyle S}$تتقارب فقط إلى نقاط في${\displaystyle S.}$وينطبق الشيء نفسه على تقارب شبكات كوشي في${\displaystyle S.}$

ونتيجة لذلك، إذا كان TVS${\displaystyle X}$إذا لم تكن مجموعة هاوسدورف، فإن كل مجموعة جزئية من إغلاق${\displaystyle \{0\}}$في${\displaystyle X}$تكون المجموعة كاملة لأنها متراصة، وكل مجموعة متراصة تكون بالضرورة كاملة. على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$هي مجموعة جزئية فعلية، مثل${\displaystyle S=\{0\}}$على سبيل المثال، ثم${\displaystyle S}$سيكون الأمر مكتملاً على الرغم من أن كل شبكة كوشي في${\displaystyle S}$(وأيضًا كل مرشح مسبق من نوع كوشي على${\displaystyle S}$) يتقارب إلى كل نقطة في${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$بما في ذلك تلك النقاط في${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$التي لا تنتمي إلى${\displaystyle S.}$ يُظهر هذا المثال أيضًا أن المجموعات الجزئية الكاملة (بل وحتى المجموعات الجزئية المدمجة) لنظام TVS غير هاوسدورف قد لا تكون مغلقة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ثم${\displaystyle S=\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle S}$مغلق في${\displaystyle X.}$

فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسمفضاء متجهي طوبولوجي كامل إذا تحققت أي من الشروط المتكافئة التالية:

1. ${\displaystyle X}$يُعتبر فضاءً منتظماً كاملاً عندما يتم تزويده بتجانسه المتعارف عليه.
   • في النظرية العامة للفضاءات المنتظمة ، يُطلق على الفضاء المنتظم اسم الفضاء المنتظم الكامل إذا كان كل مرشح كوشي على${\displaystyle X}$يتقارب إلى نقطة ما من${\displaystyle X}$ في البنية الطوبولوجية الناتجة عن التوحيد. عندما${\displaystyle X}$إذا كان TVS، فإن الطوبولوجيا الناتجة عن التوحيد الكنسي تساوي${\displaystyle X}$الطوبولوجيا المعطاة (لذا فإن التقارب في هذه الطوبولوجيا المستحثة هو مجرد التقارب المعتاد في${\displaystyle X}$).
2. ${\displaystyle X}$هي مجموعة فرعية كاملة من نفسها.
3. توجد منطقة مجاورة للأصل في${\displaystyle X}$وهذا أيضاً مجموعة فرعية كاملة من${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
   • وهذا يعني أن كل TVS مضغوط محليًا يكون كاملاً (حتى لو لم يكن TVS هاوسدورف).
4. كل مرشح مسبق من كوشي${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)}$على${\displaystyle X}$يتقارب في${\displaystyle X}$إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle X.}$
   • لو${\displaystyle X}$هل هاوسدورف هو كل مرشح مسبق على${\displaystyle X}$ستتقارب عند نقطة واحدة على الأكثر من${\displaystyle X.}$لكن إذا${\displaystyle X}$إذا لم يكن هاوسدورف، فقد يتقارب المرشح المسبق إلى نقاط متعددة في${\displaystyle X.}$وينطبق الأمر نفسه على الشباك.
5. كل مرشح كوشي على${\displaystyle X}$يتقارب في${\displaystyle X}$إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle X.}$
6. كل شبكة كوشي في${\displaystyle X}$يتقارب في${\displaystyle X}$إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle X.}$

حيث إذا بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle X}$إذا كان الفضاء شبه قابل للقياس أو قابل للقياس (على سبيل المثال، فضاء معياري )، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

7. ${\displaystyle X}$مكتملة بالتسلسل.

فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X}$يكونأكملها بالتسلسل إذا تحققت أي من الشروط المكافئة التالية:

1. ${\displaystyle X}$هي مجموعة فرعية كاملة تسلسلياً من نفسها.
2. كل تسلسل كوشي في${\displaystyle X}$يتقارب في${\displaystyle X}$إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle X.}$
3. كل مرشح كوشي أولي على${\displaystyle X}$يتقارب في${\displaystyle X}$إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle X.}$
4. كل مرشح كوشي أساسي على${\displaystyle X}$يتقارب في${\displaystyle X}$إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle X.}$

لأي مجموعات فرعية${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X,}$let ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x)~:~(x,y)\in \Phi \}}$$ ودع $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi \circ \Psi ~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \right\}\\&=~\bigcup _{y\in X}\{(x,z)~:~(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \}\end{alignedat}}}$$ عائلة غير فارغة${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$يُطلق عليه اسمقاعدة من الحاشية أوالنظام الأساسي للحاشية إذا${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يوجد مرشح مسبق${\displaystyle X\times X}$استيفاء جميع الشروط التالية:

1. كل مجموعة في${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يحتوي على قطر${\displaystyle X}$كمجموعة فرعية؛ أي${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi }$لكل${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}.}$وبعبارة أخرى، المرشح المسبق${\displaystyle {\mathcal {B}}}$مثبت على​${\displaystyle \Delta _{X}.}$
2. لكل${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$يوجد بعض${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$بحيث${\displaystyle \Phi \circ \Phi \subseteq \Omega .}$
3. لكل${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$يوجد بعض${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$بحيث${\displaystyle \Phi \subseteq \Omega ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x):(x,y)\in \Omega \}.}$

أالتوحيد أوبنية موحدة على${\displaystyle X}$هو مرشح${\displaystyle {\mathcal {U}}}$على${\displaystyle X\times X}$يتم توليد ذلك بواسطة قاعدة من الحاشية${\displaystyle {\mathcal {B}},}$وفي هذه الحالة نقول ذلك${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هي قاعدة للحاشية لـ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

بالنسبة لمجموعة جمعية تبديلية${\displaystyle X,}$أالنظام الأساسي للمجموعات المحيطة غير المتغيرة بالترجمة ^{[ 7 ]} هو نظام أساسي للمجموعات المحيطة.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$بحيث يكون لكل${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$إذا وفقط إذا${\displaystyle (x+z,y+z)\in \Phi }$للجميع${\displaystyle x,y,z\in X.}$التوحيد${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يُطلق عليه اسمالتماثل الثابت تحت الإزاحة ^{[ 7 ]} إذا كان له قاعدة من المرافقات الثابتة تحت الإزاحة. التماثل المتعارف عليه على أي نظام متغير تحت الإزاحة ثابت تحت الإزاحة. ^{[ 7 ]}

المعامل الثنائي${\displaystyle \;\circ \;}$يستوفي جميع الشروط التالية:

• ${\displaystyle (\Phi \circ \Psi )^{\operatorname {op} }=\Psi ^{\operatorname {op} }\circ \Phi ^{\operatorname {op} }.}$
• لو${\displaystyle \Phi \subseteq \Phi _{2}}$و${\displaystyle \Psi \subseteq \Psi _{2}}$ثم${\displaystyle \Phi \circ \Psi \subseteq \Phi _{2}\circ \Psi _{2}.}$
• الترابط الاجتماعي:${\displaystyle \Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega .}$
• هوية:${\displaystyle \Phi \circ \Delta _{X}=\Phi =\Delta _{X}\circ \Phi .}$
• صفر:${\displaystyle \Phi \circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \Phi }$

مجموعات متناظرة

استدعاء مجموعة فرعية${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$متناظر إذا${\displaystyle \Phi =\Phi ^{\operatorname {op} },}$وهو ما يعادل${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Phi .}$ هذا التكافؤ ينتج عن الهوية${\displaystyle \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)^{\operatorname {op} }=\Phi }$وحقيقة أنه إذا${\displaystyle \Psi \subseteq X\times X,}$ثم${\displaystyle \Phi \subseteq \Psi }$إذا وفقط إذا${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Psi ^{\operatorname {op} }.}$ على سبيل المثال، المجموعة${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Phi }$يكون متناظرًا دائمًا لكل${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X.}$ ولأن${\displaystyle (\Phi \cap \Psi )^{\operatorname {op} }=\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Psi ^{\operatorname {op} },}$لو${\displaystyle \Phi }$و${\displaystyle \Psi }$إذا كانت متناظرة، فإن كذلك${\displaystyle \Phi \cap \Psi .}$

الأقارب

يترك${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$كن تعسفيًا ودع${\displaystyle \operatorname {Pr} _{1},\operatorname {Pr} _{2}:X\times X\to X}$لتكن الإسقاطات المتعارف عليها على الإحداثيات الأولى والثانية، على التوالي.

لأي${\displaystyle S\subseteq X,}$يُعرِّف $${\displaystyle S\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{y\in X:\Phi \cap (S\times \{x\})\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{2}(\Phi \cap (S\times X))}$$$${\displaystyle \Phi \cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:\Phi \cap (\{x\}\times S)\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{1}(\Phi \cap (X\times S))=S\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$ أين${\displaystyle \Phi \cdot S}$(على التوالى،${\displaystyle S\cdot \Phi }$يُطلق عليها اسم مجموعة اليسار (على التوالي، اليمين )${\displaystyle \Phi }$-أقارب (يشير إلى)${\displaystyle S.}$ يشير إلى الحالة الخاصة حيث${\displaystyle S=\{p\}}$هي مجموعة أحادية لبعض${\displaystyle p\in X}$بواسطة: $${\displaystyle p\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p\}\cdot \Phi ~=~\{y\in X:(p,y)\in \Phi \}}$$$${\displaystyle \Phi \cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\Phi \cdot \{p\}~=~\{x\in X:(x,p)\in \Phi \}~=~p\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$ لو${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X}$ثم ${\textstyle (\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).}$ علاوة على ذلك،${\displaystyle \,\cdot \,}$يتم التوزيع الصحيح على كل من الاتحادات والتقاطعات، مما يعني أنه إذا${\displaystyle R,S\subseteq X}$ثم${\displaystyle (R\cup S)\cdot \Phi ~=~(R\cdot \Phi )\cup (S\cdot \Phi )}$و${\displaystyle (R\cap S)\cdot \Phi ~\subseteq ~(R\cdot \Phi )\cap (S\cdot \Phi ).}$

الأحياء والمواقع المفتوحة

نقطتان${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$نكون${\displaystyle \Phi }$-أغلق إذا${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$ومجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq X}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle \Phi }$صغير إذا${\displaystyle S\times S\subseteq \Phi .}$

يترك${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$كن قاعدة للحاشية على${\displaystyle X.}$التصفية مسبقة للمنطقة عند نقطة معينة${\displaystyle p\in X}$وعلى التوالي، على مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq X}$هي عائلات المجموعات : $${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}\cdot \{p\}=\{\Phi \cdot p:\Phi \in {\mathcal {B}}\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {B}}\cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot S:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$ والمرشحات الموجودة${\displaystyle X}$ما ينتجه كل منهما يُعرف باسمفلتر الحي${\displaystyle p}$(على التوالي، من${\displaystyle S}$). قم بتعيين لكل${\displaystyle x\in X}$فلتر الحي المسبق $${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot x~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot x:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$ واستخدم تعريف الجوار لـ "المجموعة المفتوحة" للحصول على طوبولوجيا على${\displaystyle X}$تُسمى الطوبولوجيا الناتجة عن${\displaystyle {\mathcal {B}}}$أوالطوبولوجيا المستحثة . تحديدًا، مجموعة جزئية${\displaystyle U\subseteq X}$تكون مفتوحة في هذه الطوبولوجيا إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle u\in U}$يوجد بعض${\displaystyle N\in {\mathcal {B}}\cdot u}$بحيث${\displaystyle N\subseteq U;}$إنه،${\displaystyle U}$مفتوح إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle u\in U}$يوجد بعض${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$بحيث${\displaystyle \Phi \cdot u~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.}$

إغلاق مجموعة جزئية${\displaystyle S\subseteq X}$في هذه البنية الطوبولوجية ما يلي: $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(S\cdot \Phi ).}$$

مرشحات كوشي المسبقة وتجانس كامل

مرشح أولي${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$في مساحة موحدة${\displaystyle X}$بالانتظام${\displaystyle {\mathcal {U}}}$يُطلق عليه اسم مرشح كوشي المسبق إذا كان لكل مجموعة${\displaystyle N\in {\mathcal {U}},}$يوجد بعض${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$بحيث${\displaystyle F\times F\subseteq N.}$

مساحة موحدة${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$يُطلق عليه اسمفضاء موحد كامل (على التوالي، أفضاء منتظم مكتمل تسلسليًا ) إذا كان كل مرشح كوشي مسبق (على التوالي، كل مرشح كوشي مسبق أولي) على${\displaystyle X}$يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle X}$متى${\displaystyle X}$يتمتع بالطوبولوجيا المستحثة بواسطة${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

حالة فضاء متجهي طوبولوجي

لو${\displaystyle (X,\tau )}$إذا كان فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا، فإنه لأي${\displaystyle S\subseteq X}$و${\displaystyle x\in X,}$$${\displaystyle \Delta _{X}(N)\cdot S=S+N\qquad {\text{ and }}\qquad \Delta _{X}(N)\cdot x=x+N,}$$ والطوبولوجيا المستحثة على${\displaystyle X}$إن التوحيد المتعارف عليه هو نفسه الطوبولوجيا التي${\displaystyle X}$بدأ بـ (أي أنه${\displaystyle \tau }$).

نستعرض المفاهيم الأساسية المتعلقة بالنظرية العامة للفضاءات شبه المترية الكاملة. تذكر أن كل متري هو شبه متري وأن شبه متري${\displaystyle p}$يُعتبر مقياسًا إذا وفقط إذا${\displaystyle p(x,y)=0}$يشير إلى${\displaystyle x=y.}$وبالتالي فإن كل فضاء متري هو فضاء شبه متري وفضاء شبه متري${\displaystyle (X,p)}$يكون الفضاء متريًا إذا وفقط إذا${\displaystyle p}$هو مقياس.

لو${\displaystyle S}$هي مجموعة جزئية من فضاء شبه متري${\displaystyle (X,d)}$ثم قطر​${\displaystyle S}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle \operatorname {diam} (S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{}\{d(s,t):s,t\in S\}.}$$

مرشح أولي${\displaystyle {\mathcal {B}}}$في فضاء شبه متري${\displaystyle (X,d)}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle d}$- مرشح كوشي المسبق أو ببساطة مرشح كوشي المسبق إذا كان لكل حقيقي${\displaystyle r>0,}$هناك بعض${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$بحيث يكون قطر${\displaystyle B}$أقل من${\displaystyle r.}$

يفترض${\displaystyle (X,d)}$هو فضاء شبه متري. شبكة${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$في${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle d}$- شبكة كوشي أو ببساطة شبكة كوشي إذا${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$هو مرشح كوشي المسبق، والذي يحدث إذا وفقط إذا

لكل${\displaystyle r>0}$هناك بعض${\displaystyle i\in I}$بحيث إذا${\displaystyle j,k\in I}$مع${\displaystyle j\geq i}$و${\displaystyle k\geq i}$ثم${\displaystyle d\left(x_{j},x_{k}\right)<r}$

أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا${\displaystyle \left(d\left(x_{j},x_{k}\right)\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0}$في${\displaystyle \mathbb {R} .}$وهذا مماثل للوصف التالي لتقارب${\displaystyle x_{\bullet }}$إلى حد ما: إذا${\displaystyle x\in X,}$ثم${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$في${\displaystyle (X,d)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \left(x_{i},x\right)_{i\in I}\to 0}$في${\displaystyle \mathbb {R} .}$

متتالية كوشي هي متتالية تمثل أيضًا شبكة كوشي. ^{[ ملاحظة 3 ]}

كل مقياس زائف${\displaystyle p}$على مجموعة${\displaystyle X}$يُحدث الطوبولوجيا المتعارف عليها المعتادة على${\displaystyle X,}$والذي سنرمز إليه بـ${\displaystyle \tau _{p}}$كما أنه يُحدث توحيدًا معياريًا على${\displaystyle X,}$والذي سنرمز إليه بـ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$الطوبولوجيا على${\displaystyle X}$ناتج عن التوحيد${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}}$يساوي${\displaystyle \tau _{p}.}$شبكة${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$في${\displaystyle X}$ما هو كوشي فيما يتعلق بـ${\displaystyle p}$إذا وفقط إذا كان كوشي فيما يتعلق بالانتظام${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ الفضاء شبه المتري${\displaystyle (X,p)}$تكون الفضاءات شبه المترية كاملة (أو متسلسلة كاملة) إذا وفقط إذا${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$هو فضاء منتظم كامل (أو فضاء متسلسل كامل). علاوة على ذلك، فإن الفضاء شبه المتري${\displaystyle (X,p)}$(على التوالي الفضاء المنتظم)${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$تكون ) كاملة إذا وفقط إذا كانت كاملة بالتسلسل.

فضاء شبه متري${\displaystyle (X,d)}$يُطلق على الفضاء المتري (على سبيل المثال ) اسم الفضاء الكامل و${\displaystyle d}$يُطلق عليه اسم شبه متري كامل إذا تحققت أي من الشروط المتكافئة التالية:

1. كل مرشح مسبق من كوشي على${\displaystyle X}$يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle X.}$
2. العبارة السابقة ولكن مع استبدال كلمة "prefilter" بكلمة "filter".
3. كل شبكة كوشي في${\displaystyle X}$يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle X.}$
   • لو${\displaystyle d}$هو مقياس على${\displaystyle X}$عندئذٍ، تكون أي نقطة حدية فريدة بالضرورة، وينطبق الشيء نفسه على حدود مرشحات كوشي المسبقة.${\displaystyle X.}$
4. كل تسلسل كوشي في${\displaystyle X}$يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle X.}$
   • وبالتالي لإثبات ذلك${\displaystyle (X,d)}$إذا اكتملت، يكفي النظر فقط في متواليات كوشي في${\displaystyle X}$(ولا داعي للنظر في شبكات كوشي الأكثر عمومية).
5. التوحيد المتعارف عليه في${\displaystyle X}$ناتج عن القياس الزائف${\displaystyle d}$هو توحيد كامل.

وإذا كنا${\displaystyle d}$إذا كان هذا مقياسًا، فيمكننا إضافته إلى هذه القائمة:

6. كل سلسلة متناقصة من الكرات المغلقة التي تتقلص أقطارها إلى${\displaystyle 0}$له تقاطع غير فارغ. ^{[ 8 ]}

كل فضاء من نوع F ، وبالتالي كل فضاء من نوع فريشيه ، وفضاء باناخ ، وفضاء هيلبرت ، هو فضاء كامل من نوع TVS. لاحظ أن كل فضاء من نوع F هو فضاء باير، ولكن توجد فضاءات معيارية هي فضاءات باير وليست فضاءات باناخ. ^{[ 9 ]}

شبه متري${\displaystyle d}$في فضاء متجهي${\displaystyle X}$يقال إنهإذا كان شبه متري ثابتًا تحت الترجمة${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$لجميع المتجهات${\displaystyle x,y,z\in X.}$

يفترض${\displaystyle (X,\tau )}$هو TVS شبه قابل للقياس (على سبيل المثال، TVS قابل للقياس) و ذلك${\displaystyle p}$هل يوجد أي مقياس زائف على${\displaystyle X}$بحيث تكون الطوبولوجيا على${\displaystyle X}$ناتج عن${\displaystyle p}$يساوي${\displaystyle \tau .}$ لو${\displaystyle p}$إذا كانت ثابتة تحت الإزاحة، فإن${\displaystyle (X,\tau )}$يُعتبر جهاز TVS كاملاً إذا وفقط إذا${\displaystyle (X,p)}$هو فضاء شبه متري كامل. ^{[ 10 ]} إذا${\displaystyle p}$إذا لم يكن ثابتًا تحت الترجمة، فقد يكون ذلك ممكنًا لـ${\displaystyle (X,\tau )}$أن تكون تلفزيونًا كاملاً ولكن${\displaystyle (X,p)}$ألا يكون فضاءً شبه متري كاملاً ^{[ 10 ]} (انظر هذه الحاشية ^{[ ملاحظة 4 ]} للحصول على مثال). ^{[ 10 ]}

يُقال إن معيارين على فضاء متجهي متكافئان إذا وفقط إذا كانا يُنتجان نفس الطوبولوجيا. ^{[ 13 ]} إذا${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$هما معياران متكافئان على فضاء متجهي${\displaystyle X}$ثم الفضاء المعياري${\displaystyle (X,p)}$تكون فضاءً باناخياً إذا وفقط إذا${\displaystyle (X,q)}$هو فضاء باناخ. انظر هذه الحاشية للاطلاع على مثال لمعيار متصل على فضاء باناخ لا يكافئ المعيار المعطى لذلك الفضاء. ^{[ ملاحظة 6 ] [ 13 ]} جميع المعايير على فضاء متجهي محدود الأبعاد متكافئة، وكل فضاء معياري محدود الأبعاد هو فضاء باناخ. ^{[ 14 ]} كل فضاء باناخ هو فضاء متجهي طوبولوجي كامل. الفضاء المعياري هو فضاء باناخ (أي أن مقياسه المتعارف عليه المستحث بالمعيار كامل) إذا وفقط إذا كان كاملاً كفضاء متجهي طوبولوجي.