مجموعة متناظرة

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يقال إن المجموعة الفرعية غير الفارغة S من المجموعة G متناظرة إذا كانت تحتوي على معكوسات جميع عناصرها.

تعريف

في تدوين المجموعات، المجموعة الجزئيةS{\displaystyle S}من مجموعةجي{\displaystyle G}يُطلق عليه اسم متناظر إذا كان كلماs∈S{\displaystyle s\in S}ثم عكسs{\displaystyle s}ينتمي أيضًا إلىS.{\displaystyle S.} لذلك إذاجي{\displaystyle G}إذا كُتبت بصيغة الضربS{\displaystyle S}يكون متناظراً إذا وفقط إذاS=S-1{\displaystyle S=S^{-1}}أينS-1:={s-1:s∈S}.{\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.} لوجي{\displaystyle G}إذا كُتبت بطريقة الجمع،S{\displaystyle S}يكون متناظراً إذا وفقط إذاS=-S{\displaystyle S=-S}أين-S:={-s:s∈S}.{\displaystyle -S:=\{-s:s\in S\}.}

لوS{\displaystyle S}إذا كانت مجموعة جزئية من فضاء متجهي ،S{\displaystyle S}يُقال إن المجموعة متناظرة إذا كانت متناظرة بالنسبة لبنية المجموعة الجمعية للفضاء المتجهي؛ أي إذاS=-S،{\displaystyle S=-S,}وهذا يحدث إذا وفقط إذا-S⊆S.{\displaystyle -S\subseteq S.} الغلاف المتناظر لمجموعة جزئيةS{\displaystyle S}هي أصغر مجموعة متناظرة تحتوي علىS،{\displaystyle S,}وهو يساويS∪-S.{\displaystyle S\cup -S.}أكبر مجموعة متناظرة موجودة فيS{\displaystyle S}يكونS∩-S.{\displaystyle S\cap -S.}

شروط كافية

الاتحادات والتقاطعات العشوائية للمجموعات المتناظرة هي متناظرة .

أي فضاء متجهي جزئي في فضاء متجهي هو مجموعة متناظرة.

أمثلة

فيR،{\displaystyle \mathbb {R} ,}من أمثلة المجموعات المتناظرة الفترات من النوع(-ك،ك){\displaystyle (-k,k)}معك>0،{\displaystyle k>0,}والمجموعاتZ{\displaystyle \mathbb {Z} }و(-1،1).{\displaystyle (-1,1).}

لوS{\displaystyle S}إذا كانت أي مجموعة جزئية من مجموعة، فإنS∪S-1{\displaystyle S\cup S^{-1}}وS∩S-1{\displaystyle S\cap S^{-1}}هي مجموعات متناظرة.

أي مجموعة فرعية متوازنة من فضاء متجهي حقيقي أو مركب تكون متناظرة.

انظر أيضاً

مراجع

تتضمن هذه المقالة مواد من مجموعة متناظرة على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .