مجموعة متوازنة

في الجبر الخطي والمجالات ذات الصلة في الرياضيات ، تُعرف المجموعة المتوازنة أو المجموعة الدائرية أو القرص في الفضاء المتجهي (فوق حقل) بأنها مجموعة متوازنة أو مجموعة دائرية أو قرص${\displaystyle \mathbb {K} }$باستخدام دالة القيمة المطلقة${\displaystyle |\cdot |}$) هي مجموعة${\displaystyle S}$بحيث${\displaystyle aS\subseteq S}$لجميع الكميات القياسية${\displaystyle a}$مُرضٍ${\displaystyle |a|\leq 1.}$

الهيكل المتوازن أو الغلاف المتوازن لمجموعة${\displaystyle S}$هي أصغر مجموعة متوازنة تحتوي على${\displaystyle S.}$النواة المتوازنة للمجموعة${\displaystyle S}$هي أكبر مجموعة متوازنة موجودة في${\displaystyle S.}$

تُعدّ المجموعات المتوازنة شائعة في التحليل الوظيفي، لأن كل جوار لنقطة الأصل في أي فضاء متجهي طوبولوجي (TVS) يحتوي على جوار متوازن لنقطة الأصل، وكل جوار محدب لنقطة الأصل يحتوي على جوار محدب متوازن لنقطة الأصل (حتى لو لم يكن الفضاء المتجهي الطوبولوجي محدبًا محليًا ). ويمكن اختيار هذا الجوار ليكون مجموعة مفتوحة أو مجموعة مغلقة .

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاء متجهي على الحقل${\displaystyle \mathbb {K} }$من الأعداد الحقيقية أو المركبة .

الترميز

لو${\displaystyle S}$هي مجموعة،${\displaystyle a}$هو كمية قياسية، و${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ثم دع${\displaystyle aS=\{as:s\in S\}}$و${\displaystyle BS=\{bs:b\in B,s\in S\}}$ولأي${\displaystyle 0\leq r\leq \infty ,}$يترك $${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K}$$ يرمز كل من `B_{\leq r} = {a\in \mathbb {K} :|a|\leq r}` و `B_{\leq r} = {a\in \mathbb {K}  :|a|\leq r}`، على التوالي، إلى الكرة المفتوحة والكرة المغلقة ذات نصف القطر r${\displaystyle r}$في المجال القياسي${\displaystyle \mathbb {K} }$مركزها في${\displaystyle 0}$أين${\displaystyle B_{0}=\varnothing ,B_{\leq 0}=\{0\},}$و${\displaystyle B_{\infty }=B_{\leq \infty }=\mathbb {K} .}$ كل مجموعة فرعية متوازنة من المجال${\displaystyle \mathbb {K} }$وهو على شكل${\displaystyle B_{\leq r}}$أو${\displaystyle B_{r}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle 0\leq r\leq \infty .}$

مجموعة متوازنة

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسممجموعة متوازنة أومتوازنةإذا استوفت أيًا من الشروط المكافئة التالية:

1. تعريف :${\displaystyle as\in S}$للجميع${\displaystyle s\in S}$وجميع الكميات القياسية${\displaystyle a}$مُرضٍ${\displaystyle |a|\leq 1.}$
2. ${\displaystyle aS\subseteq S}$لجميع الكميات القياسية${\displaystyle a}$مُرضٍ${\displaystyle |a|\leq 1.}$
3. ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S}$(أين${\displaystyle B_{\leq 1}:=\{a\in \mathbb {K}$ :|a|\leq 1\}} ).
4. ${\displaystyle S=B_{\leq 1}S.}$^{[ 1 ]}
5. لكل${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq 1}(S\cap \mathbb {K} s).}$
   • ${\displaystyle \mathbb {K} s=\operatorname {span} \{s\}}$هو${\displaystyle 0}$(لو${\displaystyle s=0}$) أو${\displaystyle 1}$(لو${\displaystyle s\neq 0}$فضاء متجهي ذو أبعاد )${\displaystyle X.}$
   • لو${\displaystyle R:=S\cap \mathbb {K} s}$عندئذٍ تصبح المساواة المذكورة أعلاه${\displaystyle R=B_{\leq 1}R,}$وهذا هو الشرط السابق بالضبط لكي تكون المجموعة متوازنة. وبالتالي،${\displaystyle S}$يكون متوازناً إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s}$هي مجموعة متوازنة (وفقًا لأي من الشروط التعريفية السابقة).
6. لكل فضاء متجهي أحادي البعد${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle \operatorname {span} S,}$${\displaystyle S\cap Y}$هي مجموعة متوازنة (وفقًا لأي شرط تعريف آخر غير هذا الشرط).
7. لكل${\displaystyle s\in S,}$يوجد بعض${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$بحيث${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{r}s}$أو${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq r}s.}$
8. ${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية متوازنة من${\displaystyle \operatorname {span} S}$(وفقًا لأي شرط تعريفي لـ "التوازن" بخلاف هذا الشرط).
   • هكذا${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية متوازنة من${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كانت مجموعة جزئية متوازنة من كل (أو مكافئ، من بعض) الفضاء المتجهي على الحقل${\displaystyle \mathbb {K} }$الذي يحتوي${\displaystyle S.}$بافتراض أن المجال${\displaystyle \mathbb {K} }$يتضح من السياق أن هذا يبرر كتابة "${\displaystyle S}$"متوازن" دون ذكر أي فضاء متجهي. ^{[ ملاحظة 1 ]}

لو${\displaystyle S}$إذا كانت مجموعة محدبة ، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

9. ${\displaystyle aS\subseteq S}$لجميع الكميات القياسية${\displaystyle a}$مُرضٍ${\displaystyle |a|=1.}$^{[ 2 ]}

لو${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ثم يمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

10. ${\displaystyle S}$متناظر ( بمعنى${\displaystyle -S=S}$) و${\displaystyle [0,1)S\subseteq S.}$

المجموعة الفارغة هي مجموعة متوازنة. وكذلك أي فضاء متجهي جزئي من أي فضاء متجهي (حقيقي أو مركب) . على وجه الخصوص،${\displaystyle \{0\}}$هي دائماً مجموعة متوازنة.

أي مجموعة غير فارغة لا تحتوي على الأصل ليست متوازنة، وعلاوة على ذلك، فإن النواة المتوازنة لمثل هذه المجموعة ستساوي المجموعة الفارغة.

الفضاءات المتجهة المعيارية والطوبولوجية

تُعتبر الكرات المفتوحة والمغلقة المتمركزة عند نقطة الأصل في فضاء متجهي معياري مجموعات متوازنة.${\displaystyle p}$هو شبه معيار (أو معيار ) على فضاء متجهي${\displaystyle X}$ثم لأي ثابت${\displaystyle c>0,}$المجموعة${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq c\}}$متوازن.

لو${\displaystyle S\subseteq X}$هي أي مجموعة جزئية و${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K}$ :|a|<1\}} ثم${\displaystyle B_{1}S}$هي مجموعة متوازنة. على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle U\subseteq X}$هي أي جوار متوازن للأصل في فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X}$ثم$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}U~\subseteq ~B_{1}U~=~\bigcup _{0<|a|<1}aU~\subseteq ~U.}$$

مجموعات متوازنة${\displaystyle \mathbb {R} }$و${\displaystyle \mathbb {C} }$

يترك${\displaystyle \mathbb {K} }$ليكن الحقل أعدادًا حقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$أو الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} ,}$يترك${\displaystyle |\cdot |}$يشير إلى القيمة المطلقة على${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ودع${\displaystyle X:=\mathbb {K} }$يرمز إلى الفضاء المتجهي على${\displaystyle \mathbb {K} .}$فعلى سبيل المثال، إذا${\displaystyle \mathbb {K}$ إذا كان حقل الأعداد المركبة هو `\mathbb {C} :=` ${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {C} }$هو فضاء متجهي معقد أحادي البعد، بينما إذا${\displaystyle \mathbb {K}$ :=\mathbb {R} } ثم${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {R} }$هو فضاء متجهي حقيقي أحادي البعد.

المجموعات الفرعية المتوازنة من${\displaystyle X=\mathbb {K} }$وهي بالضبط ما يلي: ^{[ 3 ]}

1. ${\displaystyle \varnothing }$
2. ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \{0\}}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:|x|<r\}}$لبعض الأشياء الحقيقية${\displaystyle r>0}$
5. ${\displaystyle \{x\in X:|x|\leq r\}}$لبعض الأشياء الحقيقية${\displaystyle r>0.}$

وبالتالي، فإن كل من النواة المتوازنة والهيكل المتوازن لكل مجموعة من المقاييس يساوي إحدى المجموعات المذكورة أعلاه.

المجموعات المتوازنة هي${\displaystyle \mathbb {C} }$نفسها، والمجموعة الفارغة، والأقراص المفتوحة والمغلقة المتمركزة عند الصفر. على النقيض من ذلك، في الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد، توجد مجموعات متوازنة أكثر بكثير: أي قطعة مستقيمة نقطة منتصفها عند الأصل تفي بالغرض. ونتيجة لذلك،${\displaystyle \mathbb {C} }$و${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$تختلف تمامًا فيما يتعلق بعملية الضرب القياسي .

مجموعات متوازنة${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

طوال الوقت، دع${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$(لذا${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي على${\displaystyle \mathbb {R} }$) ودع${\displaystyle B_{\leq 1}}$هي كرة الوحدة المغلقة في${\displaystyle X}$متمركزة عند نقطة الأصل.

لو${\displaystyle x_{0}\in X=\mathbb {R} ^{2}}$وهي غير صفرية، و${\displaystyle L:=\mathbb {R} x_{0},}$ثم المجموعة${\displaystyle R:=B_{\leq 1}\cup L}$هي منطقة مغلقة ومتناظرة ومتوازنة حول نقطة الأصل في${\displaystyle X.}$وبشكل أعم، إذا${\displaystyle C}$هي أي مجموعة جزئية مغلقة من${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle (0,1)C\subseteq C,}$ثم${\displaystyle S:=B_{\leq 1}\cup C\cup (-C)}$هي منطقة مغلقة ومتناظرة ومتوازنة حول نقطة الأصل في${\displaystyle X.}$يمكن تعميم هذا المثال إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$لأي عدد صحيح${\displaystyle n\geq 1.}$

يترك${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ليكن اتحاد القطعة المستقيمة بين النقطتين${\displaystyle (-1,0)}$و${\displaystyle (1,0)}$والقطعة المستقيمة بين${\displaystyle (0,-1)}$و${\displaystyle (0,1).}$ثم${\displaystyle B}$متوازن ولكنه ليس محدبًا. ولا هو كذلك.${\displaystyle B}$إنها جذابة (على الرغم من حقيقة أن${\displaystyle \operatorname {span} B=\mathbb {R} ^{2}}$(وهو فضاء المتجهات بأكمله).

لكل${\displaystyle 0\leq t\leq \pi ,}$يترك${\displaystyle r_{t}}$ليكن أي عدد حقيقي موجب وليكن${\displaystyle B^{t}}$ليكن قطعة الخط (مفتوحة أو مغلقة) في${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$بين النقاط${\displaystyle (\cos t,\sin t)}$و${\displaystyle -(\cos t,\sin t).}$ثم المجموعة${\displaystyle B=\bigcup _{0\leq t<\pi }r_{t}B^{t}}$هي مجموعة متوازنة وجذابة، لكنها ليست بالضرورة محدبة.

ليس بالضرورة أن يكون الهيكل المتوازن لمجموعة مغلقة مغلقًا. خذ على سبيل المثال الرسم البياني لـ${\displaystyle xy=1}$في${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}.}$

يوضح المثال التالي أن الغلاف المتوازن لمجموعة محدبة قد لا يكون محدبًا (مع ذلك، فإن الغلاف المحدب لمجموعة متوازنة يكون دائمًا متوازنًا). على سبيل المثال، لنفترض أن المجموعة الجزئية المحدبة هي${\displaystyle S:=[-1,1]\times \{1\},}$وهو عبارة عن قطعة مستقيمة أفقية مغلقة تقع فوق${\displaystyle x-}$المحور في${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$الهيكل المتوازن${\displaystyle \operatorname {bal} S}$هي مجموعة جزئية غير محدبة على شكل " ساعة رملية " وتساوي اتحاد مثلثين متساويي الساقين مغلقين ومملوءين${\displaystyle T_{1}}$و${\displaystyle T_{2},}$أين${\displaystyle T_{2}=-T_{1}}$و${\displaystyle T_{1}}$هو المثلث المظلل الذي تمثل رؤوسه نقطة الأصل بالإضافة إلى نقاط نهاية${\displaystyle S}$(بمعنى آخر،${\displaystyle T_{1}}$هو الغلاف المحدب لـ${\displaystyle S\cup \{(0,0)\}}$بينما${\displaystyle T_{2}}$هو الغلاف المحدب لـ${\displaystyle (-S)\cup \{(0,0)\}}$).

خصائص المجموعات المتوازنة

المجموعة المتوازنة ليست فارغة إذا وفقط إذا احتوت على نقطة الأصل. وبحسب التعريف، تكون المجموعة محدبة مطلقًا إذا وفقط إذا كانت محدبة ومتوازنة. كل مجموعة متوازنة تكون على شكل نجمة (عند الصفر) ومجموعة متناظرة .${\displaystyle B}$هي مجموعة فرعية متوازنة من${\displaystyle X}$ثم:

• لأي كميات قياسية${\displaystyle c}$و${\displaystyle d,}$لو${\displaystyle |c|\leq |d|}$ثم${\displaystyle cB\subseteq dB}$و${\displaystyle cB=|c|B.}$وبالتالي إذا${\displaystyle c}$و${\displaystyle d}$هل توجد أي كميات قياسية إذن؟${\displaystyle (cB)\cap (dB)=\min _{}\{|c|,|d|\}B.}$
• ${\displaystyle B}$يستوعب​​${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا للجميع${\displaystyle x\in X,}$يوجد${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle x\in rB.}$^{[ 2 ]}
• لأي فضاء متجهي أحادي البعد${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle X,}$المجموعة${\displaystyle B\cap Y}$محدب ومتوازن. إذا${\displaystyle B}$ليس فارغًا وإذا${\displaystyle Y}$هو فضاء متجهي أحادي البعد من${\displaystyle \operatorname {span} B}$ثم${\displaystyle B\cap Y}$إما${\displaystyle \{0\}}$أو أنه يمتص${\displaystyle Y.}$
• لأي${\displaystyle x\in X,}$لو${\displaystyle B\cap \operatorname {span} x}$إذا احتوت على أكثر من نقطة واحدة، فإنها تكون جوارًا محدبًا ومتوازنًا لـ${\displaystyle 0}$في الفضاء المتجهي أحادي البعد${\displaystyle \operatorname {span} x}$عندما يتم تزويد هذا الفضاء بطوبولوجيا هاوسدورف الإقليدية ؛ والمجموعة${\displaystyle B\cap \mathbb {R} x}$هي مجموعة جزئية محدبة ومتوازنة من فضاء المتجهات الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} x}$الذي يحتوي على الأصل.

خصائص الهياكل المتوازنة والنوى المتوازنة

لأي مجموعة${\displaystyle {\mathcal {S}}}$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X,}$$${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {bal} S\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {balcore} \left(\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {balcore} S.}$$

في أي فضاء متجهي طوبولوجي، يكون الغلاف المتوازن لأي جوار مفتوح للأصل مفتوحًا أيضًا. إذا${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي طوبولوجي هاوسدورف، وإذا${\displaystyle K}$هي مجموعة فرعية مضغوطة من${\displaystyle X}$ثم الهيكل المتوازن لـ${\displaystyle K}$مضغوط. ^{[ 8 ]}

إذا كانت المجموعة مغلقة (على التوالي، محدبة، ماصة ، جوار الأصل) فإن الشيء نفسه ينطبق على جوهرها المتوازن.

لأي مجموعة جزئية${\displaystyle S\subseteq X}$وأي كمية قياسية${\displaystyle c,}$${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,S)=c\operatorname {bal} S=|c|\operatorname {bal} S.}$

لأي كمية قياسية${\displaystyle c\neq 0,}$${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S.}$هذه المساواة تنطبق على${\displaystyle c=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle S\subseteq \{0\}.}$وبالتالي إذا${\displaystyle 0\in S}$أو${\displaystyle S=\varnothing }$ثم$${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S}$$لكل عدد قياسي${\displaystyle c.}$

وظيفة${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$يُقال إن الفضاء المتجهي الحقيقي أو المركب هودالة متوازنة إذا استوفت أيًا من الشروط المكافئة التالية: ^{[ 9 ]}

1. ${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$حينما${\displaystyle a}$هو عدد قياسي مُرضٍ${\displaystyle |a|\leq 1}$و${\displaystyle x\in X.}$
2. ${\displaystyle p(ax)\leq p(bx)}$حينما${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هل الكميات القياسية مُرضية؟${\displaystyle |a|\leq |b|}$و${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq t\}}$هي مجموعة متوازنة لكل عدد حقيقي غير سالب${\displaystyle t\geq 0.}$

لو${\displaystyle p}$إذا كانت دالة متوازنة${\displaystyle p(ax)=p(|a|x)}$لكل عدد قياسي${\displaystyle a}$والمتجه${\displaystyle x\in X;}$ لذا على وجه الخصوص،${\displaystyle p(ux)=p(x)}$لكل وحدة طول قياسية${\displaystyle u}$(مرضي)${\displaystyle |u|=1}$) وكل${\displaystyle x\in X.}$^{[ 9 ]} استخدام${\displaystyle u:=-1}$يوضح أن كل دالة متوازنة هي دالة متناظرة .

دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$تكون شبه معيارية إذا وفقط إذا كانت دالة شبه خطية متوازنة .

• مجموعة محدبة تمامًا - مجموعة محدبة ومتوازنة 
• مجموعة امتصاصية - مجموعة يمكن "نفخها" للوصول إلى أي نقطة 
• المجموعة المحدودة (الفضاء المتجهي الطوبولوجي) – تعميم لمفهوم التقييد 
• المجموعة المحدبة - في الهندسة، هي مجموعة يكون تقاطعها مع كل خط قطعة مستقيمة واحدة 
• مجال النجمة – خاصية مجموعات النقاط في الفضاءات الإقليدية 
• المجموعة المتناظرة – خاصية من خصائص المجموعات الجزئية للمجموعات (الرياضيات) 
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي – الفضاء المتجهي مع مفهوم التقارب 

البراهين