مجموعة امتصاص

قلب متوازن وهيكل متوازن

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X}$يقال إنهمتوازن إذا${\displaystyle as\in S}$للجميع${\displaystyle s\in S}$وجميع الكميات القياسية${\displaystyle a}$مُرضٍ${\displaystyle |a|\leq 1;}$يمكن كتابة هذا الشرط بشكل أكثر إيجازًا على النحو التالي:${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S,}$ويتحقق ذلك إذا وفقط إذا${\displaystyle B_{\leq 1}S=S.}$

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle T,}$أصغر مجموعة متوازنة تحتوي على${\displaystyle T,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {bal} T,}$يُطلق عليه اسمهيكل متوازن من${\displaystyle T}$بينما تحتوي أكبر مجموعة متوازنة على${\displaystyle T,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$يُطلق عليه اسمجوهر متوازن من${\displaystyle T.}$ تُعطى هذه المجموعات بالصيغ $${\displaystyle \operatorname {bal} T~=~{\textstyle \bigcup \limits _{|c|\leq 1}}c\,T=B_{\leq 1}T}$$ و $${\displaystyle \operatorname {balcore} T~=~{\begin{cases}{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq 1}}c\,T&{\text{ إذا كان }}0\in T\\\varnothing &{\text{ إذا كان }}0\not \in T,\\\end{cases}}}$$ (تُظهر هذه الصيغ أن الهيكل المتوازن واللب المتوازن موجودان دائمًا وفريدان). مجموعة${\displaystyle T}$يكون متوازناً إذا وفقط إذا كان مساوياً لهيكله المتوازن (${\displaystyle T=\operatorname {bal} T}$) أو إلى جوهرها المتوازن (${\displaystyle T=\operatorname {balcore} T}$وفي هذه الحالة، تكون المجموعات الثلاث متساوية:${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

لو${\displaystyle c}$هل هو أي عدد قياسي إذن $${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,T)=c\,\operatorname {bal} T=|c|\,\operatorname {bal} T}$$ بينما إذا${\displaystyle c\neq 0}$غير صفري أو إذا${\displaystyle 0\in T}$ثم أيضًا $${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,T)=c\,\operatorname {balcore} T=|c|\,\operatorname {balcore} T.}$$

لو${\displaystyle S}$و${\displaystyle A}$هي مجموعات فرعية من${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle A}$يقال إنهامتصاص${\displaystyle S}$إذا استوفى أيًا من الشروط المكافئة التالية:

1. التعريف : يوجد حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle S\,\subseteq \,c\,A}$لكل عدد قياسي${\displaystyle c}$مُرضٍ${\displaystyle |c|\geq r.}$أو بعبارة أخرى أكثر إيجازًا،${\displaystyle S\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq r}}c\,A}$بالنسبة للبعض${\displaystyle r>0.}$
   • إذا كان الحقل القياسي${\displaystyle \mathbb {R} }$ثم بشكل بديهي، "${\displaystyle A}$يمتص${\displaystyle S}$"يعني ذلك إذا${\displaystyle A}$يتم "توسيع نطاقها" أو "تضخيمها" باستمرار (في إشارة إلى${\displaystyle tA}$مثل${\displaystyle t\to \infty }$ثم في النهاية (لكل القيم الموجبة)${\displaystyle t>0}$(كبيرة بما فيه الكفاية)، جميعها${\displaystyle tA}$سيحتوي${\displaystyle S;}$وبالمثل،${\displaystyle tA}$يجب أن يحتوي في النهاية أيضًا على${\displaystyle S}$لكل السلبيات${\displaystyle t<0}$كبيرة بما يكفي في حجمها.
   • يعتمد هذا التعريف على المعيار الكنسي للحقل القياسي الأساسي (أي على القيمة المطلقة).${\displaystyle |\cdot |}$وبالتالي، يربط هذا التعريف بالطوبولوجيا الإقليدية المعتادة على الحقل القياسي. ونتيجة لذلك، يرتبط تعريف المجموعة الممتصة (المذكور أدناه) أيضًا بهذه الطوبولوجيا.
2. يوجد حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$لكل عدد قياسي غير صفري ^{[ ملاحظة 1 ]}${\displaystyle c\neq 0}$مُرضٍ${\displaystyle |c|\leq r.}$أو بعبارة أخرى أكثر إيجازًا،${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|\leq r}}c\,S\,\subseteq \,A}$بالنسبة للبعض${\displaystyle r>0.}$
   • لأن هذا الاتحاد يساوي${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S,}$أين${\displaystyle B_{\leq r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|\leq r\}}$إذا كانت الكرة مغلقة بعد إزالة نقطة الأصل، فيمكن إعادة صياغة هذا الشرط على النحو التالي:${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S\,\subseteq \,A}$بالنسبة للبعض${\displaystyle r>0.}$
   • عدم المساواة غير الصارمة${\displaystyle \,\leq \,}$يمكن استبدالها بعدم المساواة الصارمة${\displaystyle \,<\,,}$وهذا هو التوصيف التالي.
3. يوجد حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$لكل عدد قياسي غير صفري ^{[ ملاحظة 1 ]}${\displaystyle c\neq 0}$مُرضٍ${\displaystyle |c|<r.}$أو بعبارة أخرى أكثر إيجازًا،${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\subseteq \,A}$بالنسبة للبعض${\displaystyle r>0.}$
   • هنا${\displaystyle B_{r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|<r\}}$هي الكرة المفتوحة بعد إزالة نقطة الأصل و${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\,=\,{\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|<r}}c\,S.}$

لو${\displaystyle A}$إذا كانت المجموعة متوازنة ، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل ما يلي:

4. يوجد عدد قياسي غير صفري${\displaystyle c\neq 0}$بحيث${\displaystyle S\;\subseteq \,c\,A.}$
   • لو${\displaystyle 0\in A}$ثم الشرط${\displaystyle c\neq 0}$قد يتم إسقاطها.
5. يوجد عدد قياسي غير صفري ^{[ ملاحظة 1 ]}${\displaystyle c\neq 0}$بحيث${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A.}$

لو${\displaystyle 0\in A}$(شرط ضروري لـ)${\displaystyle A}$إذا كانت مجموعة ماصة ، أو كانت جوارًا للأصل في طوبولوجيا ما، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل ما يلي:

6. يوجد${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$لكل عدد قياسي${\displaystyle c}$مُرضٍ${\displaystyle |c|<r.}$أو بعبارة أخرى أكثر إيجازًا،${\displaystyle B_{r}\;S\,\subseteq \,A.}$
7. يوجد${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$لكل عدد قياسي${\displaystyle c}$مُرضٍ${\displaystyle |c|\leq r.}$أو بعبارة أخرى أكثر إيجازًا،${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A.}$
   • الإدماج${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A}$يعادل${\displaystyle B_{\leq 1}S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A}$(منذ${\displaystyle B_{\leq r}=r\,B_{\leq 1}}$). لأن${\displaystyle B_{\leq 1}S\,=\,\operatorname {bal} \,S,}$قد تتم إعادة كتابة هذا${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A,}$وهذا ما يعطينا العبارة التالية.
8. يوجد${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,r\,A.}$
9. يوجد${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
10. يوجد${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
    • تستند التوصيفات التالية إلى التوصيفات المذكورة أعلاه، وإلى حقيقة أنه لكل كمية قياسية${\displaystyle c,}$الهيكل المتوازن لـ${\displaystyle A}$يرضي${\displaystyle \,\operatorname {bal} (c\,A)=c\,\operatorname {bal} A=|c|\,\operatorname {bal} A\,}$و (منذ${\displaystyle 0\in A}$) جوهرها المتوازن يرضي${\displaystyle \,\operatorname {balcore} (c\,A)=c\,\operatorname {balcore} A=|c|\,\operatorname {balcore} A.}$
11. يوجد${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle \;\;\,S\,\subseteq \,r\,\operatorname {balcore} A.}$بعبارة أخرى، يتم استيعاب مجموعة بواسطة${\displaystyle A}$إذا كان موجودًا في مضاعف قياسي موجب للنواة المتوازنة لـ${\displaystyle A.}$
12. يوجد${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle r\,S\subseteq \,\;\;\;\;\operatorname {balcore} A.}$
13. يوجد عدد قياسي غير صفري ^{[ ملاحظة 1 ]}${\displaystyle c\neq 0}$بحيث${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} A.}$بعبارة أخرى، جوهر التوازن لـ${\displaystyle A}$يحتوي على مضاعف عددي غير صفري لـ${\displaystyle S.}$
14. يوجد عدد قياسي${\displaystyle c}$بحيث${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,A.}$بالكلمات،${\displaystyle A}$يمكن تعديل حجمها لتشمل الهيكل المتوازن لـ${\displaystyle S.}$
15. يوجد عدد قياسي${\displaystyle c}$بحيث${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$
16. يوجد عدد قياسي${\displaystyle c}$بحيث${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$بالكلمات،${\displaystyle A}$يمكن توسيعه بحيث يحتوي جوهره المتوازن على${\displaystyle S.}$
17. يوجد عدد قياسي${\displaystyle c}$بحيث${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} A.}$
18. يوجد عدد قياسي${\displaystyle c}$بحيث${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} (A).}$بعبارة أخرى، جوهر التوازن لـ${\displaystyle A}$يمكن تعديل حجمها لتشمل الهيكل المتوازن لـ${\displaystyle S.}$
19. جوهر التوازن لـ${\displaystyle A}$يمتص الهيكل المتوازن${\displaystyle S}$(وفقًا لأي شرط تعريفي لـ "يمتص" بخلاف هذا الشرط).

لو${\displaystyle 0\not \in S}$أو${\displaystyle 0\in A}$ثم يمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

20. ${\displaystyle A\cup \{0\}}$يمتص${\displaystyle S}$(وفقًا لأي شرط تعريفي لـ "يمتص" بخلاف هذا الشرط).
    • بعبارة أخرى،${\displaystyle A}$قد يتم استبدالها بـ${\displaystyle A\cup \{0\}}$في التوصيفات المذكورة أعلاه إذا${\displaystyle 0\not \in S}$(أو بشكل تافه، إذا${\displaystyle 0\in A}$).

مجموعة تستوعب نقطة

يُقال عن المجموعة أنهاامتصاص نقطة${\displaystyle x}$إذا استوعبت المجموعة الفردية${\displaystyle \{x\}.}$مجموعة${\displaystyle A}$يستوعب الأصل إذا وفقط إذا كان يحتوي على الأصل؛ أي إذا وفقط إذا${\displaystyle 0\in A.}$ كما هو موضح أدناه، يُقال إن المجموعة تستوعب${\displaystyle X}$إذا استوعبت كل نقطة من${\displaystyle X.}$

يُستخدم مفهوم استيعاب مجموعة ما لمجموعة أخرى أيضًا في تعريفات أخرى: مجموعة جزئية من فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X}$تُسمى المجموعة محدودة إذا كانت محصورة بكل جوار نقطة الأصل. وتُسمى المجموعة "مُحيطة" إذا كانت تحوي كل مجموعة جزئية محدودة.

الأمثلة الأولى

كل مجموعة تستوعب المجموعة الفارغة، لكن المجموعة الفارغة لا تستوعب أي مجموعة غير فارغة. مجموعة العناصر المفردة${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$إن المجموعة التي تحتوي على الأصل هي المجموعة الفرعية الوحيدة التي تستوعب نفسها.

لنفترض أن${\displaystyle X}$يساوي إما${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$أو${\displaystyle \mathbb {C} .}$لو${\displaystyle A:=S^{1}\cup \{\mathbf {0} \}}$هي دائرة الوحدة (مركزها نقطة الأصل)${\displaystyle \mathbf {0} }$) مع الأصل، ثم${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$هي المجموعة الوحيدة غير الفارغة التي${\displaystyle A}$يمتص. علاوة على ذلك، لا توجد أي مجموعة جزئية غير فارغة من${\displaystyle X}$ذلك الذي يتم امتصاصه بواسطة دائرة الوحدة${\displaystyle S^{1}.}$في المقابل، تستوعب كل جوار للأصل كل مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle X}$(وبالتالي، على وجه الخصوص، يستوعب كل مجموعة فرعية/نقطة مفردة).

مجموعة فرعية${\displaystyle A}$فضاء متجهي${\displaystyle X}$فوق حقل${\displaystyle \mathbb {K} }$يُطلق عليه اسممجموعة فرعية ماصة (أو ماصة ) من${\displaystyle X}$ويُقال إنهالانغماس في${\displaystyle X}$إذا استوفى أيًا من الشروط المتكافئة التالية (مرتبة هنا بحيث يكون كل شرط نتيجة سهلة للشرط السابق، بدءًا من التعريف):

1. تعريف :${\displaystyle A}$يستوعب كل نقطة من${\displaystyle X;}$أي لكل${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle A}$يمتص${\displaystyle \{x\}.}$
   • لذا على وجه الخصوص،${\displaystyle A}$لا يمكن أن يكون جذابًا إذا${\displaystyle 0\not \in A.}$يجب أن تحتوي كل مجموعة ممتصة على الأصل.
2. ${\displaystyle A}$يستوعب كل مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle X.}$
3. لكل${\displaystyle x\in X,}$يوجد حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle x\in cA}$لأي كمية قياسية${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$مُرضٍ${\displaystyle |c|\geq r.}$
4. لكل${\displaystyle x\in X,}$يوجد حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle cx\in A}$لأي كمية قياسية${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$مُرضٍ${\displaystyle |c|\leq r.}$
5. لكل${\displaystyle x\in X,}$يوجد حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle B_{r}x\subseteq A.}$
   • هنا${\displaystyle B_{r}=\{c\in \mathbb {K}$ :|c|<r\}} هي كرة مفتوحة نصف قطرها${\displaystyle r}$في الحقل القياسي المتمركز عند نقطة الأصل و${\displaystyle B_{r}x=\left\{cx:c\in B_{r}\right\}=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<r\}.}$
   • يمكن استخدام الكرة المغلقة بدلاً من الكرة المفتوحة.
   • لأن${\displaystyle B_{r}x\subseteq \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\},}$الإدراج${\displaystyle B_{r}x\subseteq A}$يتحقق إذا وفقط إذا${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x.}$وهذا يثبت العبارة التالية.
6. لكل${\displaystyle x\in X,}$يوجد حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x,}$أين${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}.}$
   • العلاقة بالطوبولوجيا : إذا${\displaystyle \mathbb {K} x}$إذا أعطيت المجموعة طوبولوجيا هاوسدورف الإقليدية المعتادة ، فإن المجموعة${\displaystyle B_{r}x}$هو حي من أحياء الأصل في${\displaystyle \mathbb {K} x;}$وبالتالي، يوجد حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A\cap \mathbb {K} x}$هو حي من أحياء الأصل في${\displaystyle \mathbb {K} x.}$بالتالي،${\displaystyle A}$يتحقق هذا الشرط إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle A\cap \operatorname {span} \{x\}}$هو حي من${\displaystyle 0}$في ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x}$متى${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}}$يتم إعطاء الطوبولوجيا الإقليدية. وهذا يعطي التوصيف التالي.
   • الطوبولوجيات الوحيدة لـ TVS ^{[ ملاحظة 2 ]} على فضاء متجهي أحادي البعد هي الطوبولوجيا التافهة (غير الهاوسدورفية) والطوبولوجيا الإقليدية الهاوسدورفية. كل فضاء متجهي أحادي البعد من${\displaystyle X}$وهو على شكل${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}}$بالنسبة لبعض القيم غير الصفرية${\displaystyle x\in X}$وإذا كان هذا الفضاء أحادي البعد${\displaystyle \mathbb {K} x}$يتمتع بـ (الفريد)طوبولوجيا متجهات هاوسدورف ، ثم الخريطة${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$محدد بواسطة${\displaystyle c\mapsto cx}$هو بالضرورة تماثل TVS (حيث كالمعتاد،${\displaystyle \mathbb {K} }$(مُزوَّدة بطوبولوجيا إقليدية قياسية ناتجة عن المقياس الإقليدي ).
7. ${\displaystyle A}$يحتوي على نقطة الأصل ولكل فضاء متجهي أحادي البعد${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle X,}$${\displaystyle A\cap Y}$هو حي من أحياء الأصل في${\displaystyle Y}$متى${\displaystyle Y}$يتم إعطاؤها طوبولوجيا متجه هاوسدورف الفريدة (أي الطوبولوجيا الإقليدية ).
   • إن السبب وراء تمييز الطوبولوجيا الإقليدية في هذا التوصيف ينبع في النهاية من الشرط الأساسي لطوبولوجيات TVS ^{[ ملاحظة 2 ]} وهو أن الضرب القياسي${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$يكون متصلاً عندما يكون الحقل القياسي${\displaystyle \mathbb {K} }$يتم إعطاء هذه الطوبولوجيا (الإقليدية).
   • ${\displaystyle 0}$- الجوارات ماصة : يُعطي هذا الشرط فكرة عن سبب كون كل جوار للأصل في كل فضاء متجهي طوبولوجي ماصًا بالضرورة: إذا${\displaystyle U}$هو حي الأصل في TVS${\displaystyle X}$ثم لكل فضاء متجهي أحادي البعد${\displaystyle Y,}$${\displaystyle U\cap Y}$هو حي من أحياء الأصل في${\displaystyle Y}$متى${\displaystyle Y}$يتم تزويدها بطوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة عليها بواسطة${\displaystyle X.}$تُعتبر طوبولوجيا الفضاء الجزئي هذه دائمًا طوبولوجيا متجهة ^{[ ملاحظة 2 ]} ولأن${\displaystyle Y}$بما أن الفضاء أحادي البعد، فإن الطوبولوجيات المتجهة الوحيدة عليه هي طوبولوجيا هاوسدورف الإقليدية والطوبولوجيا التافهة ، وهي مجموعة جزئية من الطوبولوجيا الإقليدية. لذا، بغض النظر عن أي من هذه الطوبولوجيات المتجهة موجودة على الفضاء الإقليدي، فإن الفضاء الإقليدي هو الفضاء الإقليدي.${\displaystyle Y,}$المجموعة${\displaystyle U\cap Y}$سيكون حيًا من أحياء الأصل في${\displaystyle Y}$فيما يتعلق بطوبولوجيا متجه هاوسدورف الفريدة (الطوبولوجيا الإقليدية). ^{[ ملاحظة 3 ]} وبالتالي${\displaystyle U}$إنه أمرٌ مُثيرٌ للاهتمام.
8. ${\displaystyle A}$يحتوي على نقطة الأصل ولكل فضاء متجهي أحادي البعد${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle X,}$${\displaystyle A\cap Y}$يستوعب${\displaystyle Y}$(وفقًا لأي شرط تعريفي لـ "الامتصاص" بخلاف هذا الشرط).
   • يُظهر هذا التوصيف أن خاصية الامتصاص في${\displaystyle X}$يعتمد الأمر فقط على كيفية${\displaystyle A}$يتصرف فيما يتعلق بالفضاءات المتجهة أحادية البعد (أو الصفرية البعد) لـ${\displaystyle X.}$في المقابل، إذا كان فضاء متجهي ذو أبعاد محدودة${\displaystyle Z}$ل${\displaystyle X}$له أبعاد${\displaystyle n>1}$وهي مزودة بطوبولوجيا هاوسدورف TVS الفريدة، ثم${\displaystyle A\cap Z}$الانغماس في${\displaystyle Z}$لم يعد ذلك كافياً لضمان ذلك${\displaystyle A\cap Z}$هو حي من أحياء الأصل في${\displaystyle Z}$(مع أنه سيظل شرطًا ضروريًا). ولكي يحدث هذا، يكفي أن${\displaystyle A\cap Z}$أن تكون مجموعة ممتصة محدبة ومتوازنة ومغلقة في${\displaystyle Z}$(تسمى هذه المجموعة برميلًا ، وستكون جوارًا للأصل في${\displaystyle Z}$لأن كل فضاء إقليدي محدود الأبعاد، بما في ذلك${\displaystyle Z,}$(هو مساحة أسطوانية ).

لو${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ثم يمكن إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

9. البنية الجبرية الداخلية لـ${\displaystyle A}$يحتوي على الأصل (أي،${\displaystyle 0\in {}^{i}A}$).

لو${\displaystyle A}$إذا كانت القائمة متوازنة ، فيمكن إضافة ما يلي إليها:

10. لكل${\displaystyle x\in X,}$يوجد عدد قياسي${\displaystyle c\neq 0}$بحيث${\displaystyle x\in cA}$^{[ 1 ]} (أو ما يعادل ذلك، بحيث${\displaystyle cx\in A}$).
11. لكل${\displaystyle x\in X,}$يوجد عدد قياسي${\displaystyle c}$بحيث${\displaystyle x\in cA.}$

لو${\displaystyle A}$إذا كان محدبًا أو متوازنًا، فيمكن إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

12. لكل${\displaystyle x\in X,}$يوجد عدد حقيقي موجب${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle rx\in A.}$
    • الدليل على أن المجموعة المتوازنة${\displaystyle A}$إن استيفاء هذا الشرط يستلزم بالضرورة استيعابًا${\displaystyle X}$ويترتب على ذلك مباشرة الشرط (10) أعلاه وحقيقة أن${\displaystyle cA=|c|A}$لجميع الكميات القياسية${\displaystyle c\neq 0}$(أين${\displaystyle r:=|c|>0}$(حقيقي).
    • البرهان على أن المجموعة المحدبة${\displaystyle A}$إن استيفاء هذا الشرط يستلزم بالضرورة استيعابًا${\displaystyle X}$الأمر أقل بساطة (لكنه ليس صعباً). يرد برهان مفصل في هذه الحاشية ^{[ البرهان 1 ]} ، وملخص له أدناه.
      • ملخص البرهان : بافتراض أن أي قيمة غير صفرية${\displaystyle 0\neq y\in X,}$من الممكن اختيار قيم حقيقية إيجابية${\displaystyle r>0}$و${\displaystyle R>0}$بحيث${\displaystyle Ry\in A}$و${\displaystyle r(-y)\in A}$بحيث تكون المجموعة المحدبة${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$يحتوي على الفترة الفرعية المفتوحة${\displaystyle (-r,R)y\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},}$والذي يحتوي على الأصل (${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$يُطلق عليها اسم فترة زمنية لأننا نحدد${\displaystyle \mathbb {R} y}$مع${\displaystyle \mathbb {R} }$وكل مجموعة فرعية محدبة غير فارغة من${\displaystyle \mathbb {R} }$(هي فترة). أعطِ${\displaystyle \mathbb {K} y}$تتميز بطوبولوجيا متجه هاوسدورف الفريدة، لذا يبقى إثبات ذلك.${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$هو حي من أحياء الأصل في${\displaystyle \mathbb {K} y.}$لو${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$وبذلك نكون قد انتهينا، لذا افترض أن${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$المجموعة${\displaystyle S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,(A\cap \mathbb {R} y)\,\cup \,(A\cap \mathbb {R} (iy))\,\subseteq \,A\cap (\mathbb {C} y)}$هو اتحاد فترتين، تحتوي كل منهما على فترة فرعية مفتوحة تحتوي على نقطة الأصل؛ علاوة على ذلك، فإن تقاطع هاتين الفترتين هو نقطة الأصل تحديدًا. لذا فإن الغلاف المحدب الرباعي الشكل لـ${\displaystyle S,}$والتي تقع ضمن المجموعة المحدبة${\displaystyle A\cap \mathbb {C} y,}$تحتوي بوضوح على كرة مفتوحة حول نقطة الأصل.${\displaystyle \blacksquare }$
13. لكل${\displaystyle x\in X,}$يوجد عدد حقيقي موجب${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle x\in rA.}$
    • هذا الشرط يعادل: كل${\displaystyle x\in X}$ينتمي إلى المجموعة${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<r<\infty }}rA=\{ra:0<r<\infty ,a\in A\}=(0,\infty )A.}$يحدث هذا إذا وفقط إذا${\displaystyle X=(0,\infty )A,}$وهذا ما يعطينا التوصيف التالي.
14. ${\displaystyle (0,\infty )A=X.}$
    • يمكن إثبات أنه لأي مجموعة جزئية${\displaystyle T}$ل${\displaystyle X,}$${\displaystyle (0,\infty )T=X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle T\cap (0,\infty )x\neq \varnothing }$لكل${\displaystyle x\in X,}$أين${\displaystyle (0,\infty )x\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{rx:0<r<\infty \}.}$
15. لكل${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle A\cap (0,\infty )x\neq \varnothing .}$

لو${\displaystyle 0\in A}$(وهو أمر ضروري لـ${\displaystyle A}$إذا كان الامتصاص كافياً، فيكفي التحقق من أي من الشروط المذكورة أعلاه لجميع القيم غير الصفرية.${\displaystyle x\in X,}$بدلاً من الكل${\displaystyle x\in X.}$

يترك${\displaystyle F:X\to Y}$ليكن تطبيقًا خطيًا بين فضاءات متجهة، وليكن${\displaystyle B\subseteq X}$و${\displaystyle C\subseteq Y}$كوّن مجموعات متوازنة. ثم${\displaystyle C}$يمتص${\displaystyle F(B)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle F^{-1}(C)}$يمتص${\displaystyle B.}$^{[ 2 ]}

إذا كانت مجموعة${\displaystyle A}$يستوعب مجموعة أخرى${\displaystyle B}$ثم أي مجموعة شاملة من${\displaystyle A}$كما أنه يمتص${\displaystyle B.}$ مجموعة${\displaystyle A}$يمتص الأصل إذا وفقط إذا كان الأصل عنصرًا من${\displaystyle A.}$

مجموعة${\displaystyle A}$يستوعب اتحادًا محدودًا${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$من المجموعات إذا وفقط إذا استوعبت فردية كل مجموعة (أي إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$يمتص${\displaystyle B_{i}}$لكل${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$). على وجه الخصوص، مجموعة${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية ممتصة من${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا استوعبت كل مجموعة جزئية منتهية من${\displaystyle X.}$

الكرة الوحدوية لأي فضاء متجهي معياري (أو فضاء متجهي شبه معياري ) هي كرة ماصة. وبشكل أعم، إذا${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا (TVS)، فإن أي جوار للأصل في${\displaystyle X}$يستوعب${\displaystyle X.}$تُعد هذه الحقيقة أحد الدوافع الرئيسية لتعريف خاصية "الاستيعاب".${\displaystyle X.}$"

كل مجموعة شاملة لمجموعة ماصة هي مجموعة ماصة. وبالتالي، فإن اتحاد أي عائلة من (مجموعة ماصة واحدة أو أكثر) هو اتحاد مجموعة ماصة. وتقاطع عدد محدود من المجموعات الجزئية الماصة هو أيضاً مجموعة جزئية ماصة. ومع ذلك، فإن الكرات المفتوحة${\displaystyle (-r_{n},-r_{n})}$نصف قطر${\displaystyle r_{n}=1,1/2,1/3,\ldots }$جميعهم منغمسون في${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$على الرغم من تقاطعهم${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(-1/n,1/n)=\{0\}}$لا يمتص.

لو${\displaystyle D\neq \varnothing }$إذا كانت قرصًا (مجموعة فرعية محدبة ومتوازنة)${\displaystyle \operatorname {span} D={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nD;}$وبالتالي، على وجه الخصوص، القرص${\displaystyle D\neq \varnothing }$هي دائماً مجموعة فرعية جذابة من${\displaystyle \operatorname {span} D.}$^{[ 3 ]} وبالتالي إذا${\displaystyle D}$هو قرص في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle D}$يستوعب${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$ لا يُضمن هذا الاستنتاج إذا كانت المجموعة${\displaystyle D\neq \varnothing }$متوازن ولكنه ليس محدبًا؛ على سبيل المثال، الاتحاد${\displaystyle D}$التابع${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$المحاور في${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$هي مجموعة متوازنة غير محدبة لا تمتص${\displaystyle \operatorname {span} D=\mathbb {R} ^{2}.}$

صورة المجموعة الماصة تحت تأثير مؤثر خطي شامل هي صورة ماصة أيضاً. الصورة العكسية لمجموعة جزئية ماصة (من المجال المقابل) تحت تأثير مؤثر خطي هي صورة ماصة أيضاً (في المجال). إذا${\displaystyle A}$وينطبق الشيء نفسه على المجموعة المتناظرة عند امتصاصها.${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uA\subseteq A.}$

المساحات المعيارية المساعدة

لو${\displaystyle W}$محدب وممتص في${\displaystyle X}$ثم المجموعة المتناظرة${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW}$سيكون محدبًا ومتوازنًا (يُعرف أيضًا باسم مجموعة محدبة تمامًا أو قرص ) بالإضافة إلى كونه ماصًا في${\displaystyle X.}$ وهذا يضمن أن يكون مينكوفسكي وظيفيًا${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ل${\displaystyle D}$سيكون ذلك شبه طبيعي في${\displaystyle X,}$وبذلك يجعل${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$إلى فضاء شبه معياري يحمل طوبولوجيته القياسية القابلة للقياس الزائف . مجموعة المضاعفات العددية${\displaystyle rD}$مثل${\displaystyle r}$نطاقات${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$(أو على أي مجموعة أخرى من القيم العددية غير الصفرية التي لها${\displaystyle 0}$تشكل نقطة النهاية أساسًا مجاورًا للأقراص الماصة عند نقطة الأصل لهذه الطوبولوجيا المحدبة محليًا . إذا${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي طوبولوجي وإذا كانت هذه المجموعة الفرعية المحدبة الماصة${\displaystyle W}$وهي أيضًا مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle X,}$إذن، كل هذا سينطبق أيضاً على القرص الممتص${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle D}$إذا لم يكن يحتوي على أي فضاء متجهي غير تافه،${\displaystyle p_{D}}$سيصبح هذا هو الوضع الطبيعي و${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$سيشكل ما يُعرف بالفضاء المعياري المساعد . ^{[ 4 ]} إذا كان هذا الفضاء المعياري فضاء باناخ، فإن${\displaystyle D}$يُطلق عليه اسم قرص باناش .